定積分及其應用(高數(shù))

存在定理的概念定積分定積分的性質(zhì)定積分的牛頓-萊布尼茨公式章定積分及其應用定積分的應用2021/5/91(1)定積分的定義定義1.定積分的概念2021/5/92被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和2021/5/93(1).定積分表示一個數(shù)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即注意：(3)可積的必要條件：2021/5/94曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值(2)定積分的幾何意義2021/5/95性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3（區(qū)間可加性）2.定積分的性質(zhì)2021/5/96性質(zhì)5推論（比較定理或有序性）：（1）（2）性質(zhì)42021/5/97（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6:估值性質(zhì)2021/5/98性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式2021/5/99解令于是例12021/5/910解2021/5/911例3.證明：證明：令則令得駐點為：因為所以從而即2021/5/912變上限的定積分函數(shù)3.變上限的定積分函數(shù)及其導數(shù)變上限的定積分函數(shù)的性質(zhì)

說明：變上限的定積分函數(shù)對積分上限x的一階導數(shù)等于將被積函數(shù)表達式中的變量記號t改寫為積分上限x所得到的函數(shù)，而與積分下限a無關(guān)。2021/5/913補充2021/5/914例

1

求

(x).解根據(jù)定理

，得2021/5/915例2求F(x).解根據(jù)定理

，得2021/5/916例3求

(x).解

(x)2021/5/917例4求解分析：這是型不定式，應用洛必達法則.2021/5/9182021/5/919證2021/5/9202021/5/921證令由零點存在定理知，在（0，1）之間至少存在一點2021/5/922定理3（微積分基本公式）牛頓—萊布尼茨公式4.牛頓—萊布尼茨公式2021/5/923（1）直接積分法5.定積分的計算（2）湊微分法（第一類換元法）（3）變量替換法（第二類換元法）（4）分部積分法2021/5/924則有定積分換元公式（1）定積分的換元法定理1假設(shè)函數(shù)函數(shù)滿足條件:)(txj=(1)(2)具有連續(xù)導數(shù),且其值域;)(,)(ba==bjaj2021/5/925定積分的分部積分公式（2）定積分的分部積分法設(shè)有連續(xù)的導數(shù),則定理2由不定積分的分部積分法及N--L公式.類似于不定積分的分部積分法：“反、對、冪、指、三”2021/5/926奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式（3）重要公式2021/5/927奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)且有則則例2021/5/928例

為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)==òòxxxxdcosdsin207207pp109三角函數(shù)的定積分公式2021/5/929周期函數(shù)的定積分公式這個公式就是說：周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等.2021/5/930例1設(shè)

,求.解例2求

解2021/5/931例3計算解2021/5/932例

4

計算下列定積分.

解2021/5/933例5解2021/5/934解令原式例6：2021/5/935例7

計算解令則2021/5/936例8

計算解2021/5/937例9：設(shè)求上的表達式。2021/5/938故2021/5/9392021/5/940思考：2021/5/941例11解法一ò-31d)2(xxf)(tfò=2021/5/942法二即{2021/5/9436.廣義積分（1）無窮限的廣義積分（2）無界函數(shù)的廣義積分2021/5/944（1）無窮限的廣義積分2021/5/9452021/5/9462021/5/947例1

計算廣義積分解2021/5/948例2

計算廣義積分解2021/5/949證2021/5/950（2）無界函數(shù)的廣義積分2021/5/9512021/5/9522021/5/953例4

計算廣義積分解2021/5/954證2021/5/9557.定積分的應用1、平面圖形的面積2、旋轉(zhuǎn)體的體積3、平面曲線的弧長2021/5/9561平面圖形的面積(1)直角坐標情形2021/5/957如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)參數(shù)方程所表示的函數(shù)2021/5/9582、旋轉(zhuǎn)體的體積xyo2021/5/959

繞固定軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積2021/5/960選為積分變量解:

由得交點2021/5/961解兩曲線的交點選為積分變量2021/5/962解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．2021/5/963例4：求由所圍平面解：2021/5/964計算由橢圓所圍圖形繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1利用直角坐標方程則(利用對稱性)例52021/5/965方法2