定積分應(yīng)用題

定積分應(yīng)用題2021/5/911.拋物線y2=4x及直線x=3圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積V=[].(A)18;(B)18

;(C)243/8;(D)243/8.2.半徑為R的半球形水池裝滿了水，現(xiàn)將水全部抽出，需要做的功W=[](A)(B)(C)(D)3.曲線上的弧長L為[].(A)(B)(C)(D)BCA一.選擇題2021/5/925.曲線與x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為[].(A);(B);(C);(D).6.矩形閘門的寬am，高hm，將其垂直的放入水中，上沿與水面平齊，則閘門一側(cè)所受壓力P[].(A);(B);(C);(D).4.曲線y=x(x-1)(x-2)與x軸所圍成圖形的面積

為[].(A)(B)(C)(D)CBA2021/5/93二、填空題3.若f(x)有一個原函數(shù)tanx,則4.若f(x)為[0，+∝]上的連續(xù)函數(shù)，且2021/5/946.由拋物線y=x2與直線y=2所圍成的圖形的面積A=7.曲線xy=1與直線x=1,x=2,y=0所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的立體的體積V=8.曲線弧y=x2介于x=0,x=1之間長度的定積分表達式s=2021/5/95二、典型例題例1解由對稱性,有2021/5/96由對稱性,有2021/5/97由對稱性,有2021/5/98例2

求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:2021/5/99解利用對稱性知2021/5/910例4.求心形線的全長解由對稱性2021/5/911例5.計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:利用對稱性,所求面積2021/5/912例6.

求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:

設(shè)拋物線上切點為則該點處的切線方程為它與x,y

軸的交點分別為所指面積2021/5/913且為最小點.故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點2021/5/914例7.

設(shè)非負函數(shù)曲線與直線及坐標軸所圍圖形(1)求函數(shù)(2)a

為何值時,所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解:(1)由方程得面積為2,體積最小?即故得2021/5/915又(2)旋轉(zhuǎn)體體積又為唯一極小點,因此時V

取最小值.2021/5/916例8.

半徑為R,密度為的球沉入深為H(H>2R)的水池底,

水的密度多少功?解:建立坐標系如圖.則對應(yīng)上球的薄片提到水面上的微功為提出水面后的微功為現(xiàn)將其從水池中取出,需做微元體積所受重力上升高度2021/5/917因此微功元素為球從水中提出所做的功為“偶倍奇零”2021/5/918例9解如圖所示建立坐標系.于是對半圓上任一點,有2021/5/9192021/5/920故所求速度為2021/5/921故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為2021/5/922例10解如圖建立坐標系,此閘門一側(cè)受到靜水壓力為2021/5/9232021/5/924例12.

設(shè)有半徑為R

的半球形容器如圖.(1)以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深為為h(0<h<R)時水面上升的速度.(2)設(shè)容器中已注滿水,求將其全部抽出所做的功最少應(yīng)為多少?

解:

過球心的縱截面建立坐標系如圖.則半圓方程為設(shè)經(jīng)過t

秒容器內(nèi)水深為h,2021/5/925(1)求由題設(shè),經(jīng)過t

秒后容器內(nèi)的水量為而高為

h

的球缺的體積為半球可看作半圓繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:故有兩邊對t