畢業(yè)設計（論文）-基于小波圖像去噪的方法研究

基于小波變換的圖像去噪方法的研究學生姓名：學號：信息與通信工程系學院：信息商務學院信息與通信工程系電氣工程及其自動化系名：電氣工程及其自動化專業(yè)：指導教師：基于小波變換的圖像去噪方法的研究摘要圖像是人類傳遞信息的主要媒介。然而,圖像在生成和傳輸的過程中會受到各種噪聲的干擾,對信息的處理、傳輸和存儲造成極大的影響。尋求一種既能有效地減小噪聲,又能很好地保留圖像邊緣信息的方法,是人們一直追求的目標。小波分析是局部化時頻分析,它用時域和頻域聯合表示信號的特征,是分析非平穩(wěn)信號的有力工具。它通過伸縮、平移等運算功能對信號進行多尺度細化分析,能有效地從信號中提取信息。隨著小波變換理論的完善,小波在圖像去噪中得到了廣泛的應用,與傳統(tǒng)的去噪方法相比小波分析有著很大的優(yōu)勢,它能在去噪的同時保留圖像細節(jié),得到原圖像的最佳恢復。本文對基于小波變換的圖像去噪方法進行了深入的研究分析,首先詳細介紹了幾種經典的小波變換去噪方法。對于小波變換模極大值去噪法,詳細介紹了其去噪原理和算法,分析了去噪過程中參數的選取問題,并給出了一些選取依據;詳細介紹了小波系數相關性去噪方法的原理和算法;對小波變換閾值去噪方法的原理和幾個關鍵問題進行了詳細討論。最后對這些方法進行了分析比較,討論了它們各自的優(yōu)缺點和適用條件,并給出了仿真實驗結果。在眾多基于小波變換的圖像去噪方法中,運用最多的是小波閾值萎縮去噪法。傳統(tǒng)的硬閾值函數和軟閾值函數去噪方法在實際中得到了廣泛的應用,而且取得了較好的效果。但是硬閾值函數的不連續(xù)性導致重構信號容易出現偽吉布斯現象;而軟閾值函數雖然整體連續(xù)性好,但估計值與實際值之間總存在恒定的偏差,具有一定的局限性。鑒于此,本文提出了一種基于小波多分辨率分析和最小均方誤差準則的自適應閾值去噪算法。該方法利用小波閾值去噪基本原理,在基于最小均方誤差算法LMS和Stein無偏估計的前提下,引出了一個具有多階連續(xù)導數的閾值函數,利用其對閾值進行迭代運算,得到最優(yōu)閾值,從而得到更好的圖像去噪效果。最后,通過仿真實驗結果可以看到,該方法去噪效果顯著,與硬閾值、軟閾值方法相比,信噪比提高較多,同時去噪后仍能較好地保留圖像細節(jié),是一種有效的圖像去噪方法。關鍵詞：小波變換，圖像去噪，閾值，閾值函數ThemethodBasedonthewaveletimagedenoisingAbstractImageisanimportantinformationsourceforhumanbeings.However,inthecourseofitsacquisitionandtransmission,noiseisoftenintroduced,whichmakesgreatinfluencetotheprocessing,deliveringandsavingofinformation.Therefore,huntingforamethodofdenoisingeffectivelyandkeepingtheedgeinformationsimultaneouslyisagoalpeoplehavebeenpursuingallthetime.Waveletanalysisislocalanalysisinthetimedomainandfrequencydomain,whichrepresentsthesignalpropertyusingcombinationofthetimedomainandfrequencydomain,whichrepresentsthesignalpropertyusingcombinationofthetimedomainandfrequencydomain.Itisausefultooltoanalyzetheunstationarysignalthatimportantmulti-scaleanalysistothesignalbythetranslationanddiatomofthemoocherwavelet,soitcaneffectivelyextractinformationfromsignal.Recently,withtheimprovementofwavelettheory,waveletanalysishasappliedtoimagedenoisingsuccessfullyComparedwithtraditionalmethods,wavelethasincomparableadvantageinimagedenoising.Itcannotonlywipeoffnoisebutalsoretaintheimagedetails.Basedontheprofoundanalysisonwaveletimagedenoising,severalclassicalwaveletdenoisingmethodsateintroducedindetail.Theprinciplesandalgorithmofwavelettransformmodulusmaximadenoisingmethodareintroducedindetailandananalysisofthechoiceofsomeparametersintheprocessofdenoisingismadeindetail.Theprinciplesandthealgorithmoftherelativityofthewaveletcoefficientdenoisingmethodareintroduced.Somekeyproblemondenoisingmethodbasedonwaveletthresholdarediscussedindetail.Theadvantagesanddisadvantagesofthesemethodsandtheirapplicableconditionarediscussedatlastandthesimulationexperimentsshowtheresultsofimagedenoising.Keywords:WaveletAnalysis;ImageDenoising;Threshold;ThresholdFunction中北大學信息商務學院2011屆畢業(yè)論文PAGE16目錄1緒論………………11.1引言……………11.2圖像去噪概述…………11.3圖像噪聲分類…………21.4圖像去噪效果的評價………………31.4.1主觀評價……………31.4.2客觀評價……………41.5基于小波變換的圖像去噪技術研究現狀……………51.6主要工作…………………62小波分析理論基礎………………62.1小波分析的產生[12]…………………72.2小波變換…………………82.2.1連續(xù)小波變換[13，14]……………………82.2.2離散小波變換[15]……………………112.2.3多分辨率分析與濾波器組…………132.2.4圖像的小波變換及其Mallat算法………………162.2.5圖像的雙正交小波變換……………202.3小波變換與傅里葉變換的比較[20…………………212.4本章小結…………………223傳統(tǒng)去噪方法……………233.1空域濾波…………………233.2頻域低通濾波法[23]…………………254基于小波變換的圖像去噪技術…………274.1常見的去噪方法…………274.2基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法…………314.2.1算法介紹……………………314.2.2實驗結果與分析……………324.3基于小波變換的圖像去噪有關問題的分析………334.3.1小波變換去噪算法中分解層數對去噪效果的影響…………344.3.2小波變換去噪算法中小波基對去噪效果的影響……………354.4本章小結…………………375結論參考文獻……………39致謝…………………411緒論1.1引言圖像是人類傳遞信息的主要媒介。圖像以其信息量大，傳輸速度快，作用距離遠等一系列優(yōu)點成人人類獲取信息的重要來源和利用信息的重要手段。是反映自然界客觀事物的，是人類認識世界和自我的重要途徑。早期人們?yōu)榱苏鎸嵎从匙匀痪拔锖腿宋锏脑?，對拍攝到的黑白照片進行手工上色，這就是最原始的圖像處理技術。隨著計算機技術的發(fā)展，原來靠手工完成的圖像處理現在可以完全依靠計算機來實現，為了使計算機可以直接對圖像進行自動處理，必須對圖像進行數字化，從此數字圖像處理技術也隨之應運而生。數字圖像在我們日常生活中起著非常重要的作用，它與我們的日常生活息息相關，例如在衛(wèi)星、電視、核磁共振、計算機視覺、地球信息系統(tǒng)以及天文學中應用非常廣泛。一般情況下采集到的數字圖像是含有噪聲的。噪聲[1]可以理解為“妨礙人們感覺器官對所接收的信源信息理解的因素”。圖像在生成和傳輸的過程中灰受到各種噪聲的干擾，對信號的處理、傳輸和存儲造成極大的影響。數字圖像之所以含有噪聲這是因為在圖像的采集、獲取、編碼和傳輸的過程中，所有的圖像均不同程度地被可見或不可見的噪聲“污染”。對于這種“污染”，如果信噪比(SNR)低于一定水平，就會影響圖像場景內容的表示，直接導致圖像質量的下降。除了視覺質量上下降外，噪聲還可能掩蓋一些重要的圖像細節(jié)，使圖像的熵增大，從而對于圖像數據的有效壓縮起到了一定的妨礙作用。對于圖像在采集、獲取過程造成的“污染”，我們雖然盡量提高硬件設備以獲取質量更高的圖像，但圖像傳感器的截止頻率總是有一定的，受硬件水平和價格的限制，且圖像在編碼和傳輸過程中造成的“污染”，必需采取有效的降噪技術才能提高圖像的質量。1.2圖像去噪概述現實中的數字圖像在數字化和傳輸過程中常受到成像設備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，稱為含噪圖像。取出或減輕在獲取數字圖像中的噪聲稱為圖像去噪。圖像去噪可以在空間域內進行，也可以在變換域內進行。不管在哪種域內進行去噪，但它們都是基于噪聲和信號在頻域上的不同分布規(guī)則為依據的，一般情況下，有用信號是主要分布在低頻區(qū)域的，而噪聲則是多分布在高頻區(qū)域的，然而由于圖像的細節(jié)也是分布在高頻區(qū)域的，因此如何在減少圖像噪聲的同時保留圖像的細節(jié)問題便成為圖像去噪技術的研究目標。對圖像進行去噪最初主要是在空域內進行的，圖像空域去噪方法很多，主要是通過各種濾波器對圖像進行去噪。例如均值濾波器、順序統(tǒng)計濾波器、維納濾波器等。為了進一步提高去噪的效果，在變換域中進行降噪處理成為有效的方法，圖像變換域去噪就是對圖像進行某一種變換，然后將圖像從時域變換到變換域中，再對變換域中的圖像變換系數按照某種方法進行處理，最后再對處理后的系數按照某種方法進行反變換，這樣就實現了將圖像去除圖像噪聲的目的。將圖像從時域轉換到變換域的變換方法很多，例如傅立葉變換、小波變換等等。不同的變換方法在變換域得到的系數都是有不同特點的，根據系數的特點合理的處理變換系數再通過反變換將圖像還原到時域，往往就可以有效地達到去除噪聲的目的。小波變換是在短時傅立葉變換的基礎上發(fā)展起來的一種新型的變換方法。小波變換具有多分辨率分析的特點，在時域、頻域都具有較強的表征信號局部特征的能力，因此基于小波分析的圖像去噪技術已成為圖像去噪的一個重要方法。1.3圖像噪聲分類目前大多數數字圖像系統(tǒng)中，輸入圖像都是采用先凍結再掃描方式將多維圖像變成一維電信號，再對其進行處理、存儲、傳輸等加工變換。最后往往還要在組成多維圖像信號，而圖像噪聲也將同樣受到這樣的分解和合成。噪聲對圖像信號幅度、相位的影響非常復雜，有些噪聲和圖像信號是相互獨立不相關的，而有些則是相關的，并且噪聲本身之間也可能相關。因此要有效降低圖像中的噪聲，必須針對不同的具體情況采用不同方法，否則就很難獲得滿意的去噪效果。一般圖像去噪中常見的噪聲有以下幾種：（1）加性噪聲加性噪聲和圖像信號強度是不相關的，如圖像在傳輸過程中引進的“信道噪聲”電視攝像機掃描圖像的噪聲等。這類帶有噪聲的圖像可看成是理想的沒有被噪聲“污染”的圖像與噪聲的和，即（1.1）（2）乘性噪聲圖像的乘性噪聲和圖像的加性噪聲是不一樣的，加性噪聲和圖像信號強度是不相關的，而乘性噪聲和圖像信號是相關的，往往隨著圖像信號的變化而發(fā)生變化，如飛點掃描圖像中的噪聲、電視掃描光柵、膠片顆粒噪聲等，這類噪聲和圖像的關系是（1.2）（3）量化噪聲量化噪聲是數字圖像的主要噪聲源，它的大小能夠表示出數字圖像和原始圖像的差異程度，有效減少這種噪聲的最好辦法就是采用按灰度級概率密度函數選擇量化級的最優(yōu)量化措施。（4）“椒鹽”噪聲此種噪聲很多，例如在圖像切割過程中引起的黑圖像上的白點、白圖像上的黑點噪聲等，還有在變換域引入的誤差，在圖像反變換時引入的變換噪聲等。實際生活中還有多種多樣的圖像噪聲，如皮革上的疤痕噪聲、氣象云圖上的條紋噪聲等等。這些噪聲一般都是簡單的加性噪聲，不會隨著圖像信號的改變而改變。這為實際的去噪工作提供了依據。圖像去噪效果的評價。1.4圖像去噪效果的評價在圖像去噪的處理中，常常需要評價去噪后圖像的質量。這是因為一個圖像經過去噪處理后所還原圖像的質量好壞，對于人們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。目前對圖像的去噪質量評價主要有兩類常用的方法：一類是人的主觀評價，它由人眼直接觀察圖像效果，這種方法受人為主觀因素的影響比較大。目前由于對人的視覺系統(tǒng)性質還沒有充分的理解，對人的心理因素還沒有找到定量分析方法。因此主觀評價標準還只是一個定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的視覺特性。另一類是圖像質量的客觀評價。它是一種數學上統(tǒng)計的處理方法，其缺點是它并不是總能反映人眼的真實感覺。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時，將主觀與客觀兩種標準結合起來考慮。1.4.1主觀評價主觀評價通常有兩種[2]：一種是作為觀察者的主觀評價，這是由選定的一組人對圖像直接用肉眼進行觀察，然后分別給出其對所觀察的圖像的質量好或壞的評價，再綜合全組人的意見給出一個綜合結論。它只是一種定性的方法，沒有定量的標準，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評價結果有一定的不確定性。另一種是隨著模糊數學的發(fā)展，可以用模糊綜合評判方法來盡量減少主觀因素的影響，實現對圖像質量近似定量的評價，不過它仍然沒有完全消除主觀不確定性的影響，其定量計算公式中的參數往往要依賴專家經驗確定。國際上通行的有5級評分的質量尺度和妨礙尺度[3]，如表1.1所示。表1.1圖像主觀評價尺度評分表效果得分質量尺度妨礙尺度5非常好絲毫看不出圖像質量變壞4好能看出圖像質量變壞，不妨礙觀看3一般能清楚地看出圖像質量變壞，對觀看稍有妨礙2差對觀看有妨礙1非常差非常嚴重地妨礙觀看注：這些都是由觀察者根據自己的經驗來對被評價圖像做出質量判斷。在有些情況下，也可以提供一組標準圖像作為參考，幫助觀察者對圖像質量做出合適的評價。一般來說，對非專業(yè)人員多采用質量尺度，對專業(yè)人員則使用妨礙尺度為宜。1.4.2客觀評價盡管主觀對去噪后圖像質量的評價是比較權威的方式，但是在一些研究場合，或者由于試驗條件的限制，也希望對去噪圖像質量有一個定量的客觀描述。圖像質量的客觀評價由于著眼點不同而有多種方法，這里介紹的是一種經常使用的所謂的逼真度測量。對于彩色圖像逼真度的定量表示是一個十分復雜的問題[3]。目前應用得較多的是對黑白圖像逼真度的定量表示。合理的測量方法應和主觀實驗結果一致，而且要求簡單易行。（1）均方誤差：（1.3）（2）信噪比：（1.4）其中表示重建恢復后圖像像素的灰度值，表示原始圖像各點的灰度值；表示重建恢復后圖像灰度值的方差。（3）峰值信噪比：（1.5）式中表示處理后的圖像的灰度，表示原始圖像的灰度，表示圖像像素的個數。單位為dB。在實際應用中，峰值信噪比是圖像處理中最常用的圖像質量評價的客觀標準。1.5基于小波變換的圖像去噪技術研究現狀小波分析與傅立葉分析有著密切的聯系，是傅立葉分析劃時代發(fā)展的結果。近些年來，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，基于小波分析的圖像去噪技術也隨著小波理論的不斷完善取得了較好的效果。上個世紀八十年代Mallet提出了MRA(Multi_ResolutionAnalysis)，并首先把小波理論運用于信號和圖像的分解與重構，利用小波變換模極大值原理進行信號的奇異性檢測，提出了交替投影算法用于信號重構，為小波變換用于圖像處理奠定了基礎[4]。后來，人們根據信號與噪聲在小波變換下模極大值在各尺度上的不同傳播特性，提出了基于模極大值去噪的基本思想。1992年，Donoho和Johnstone提出了“小波收縮”，它較傳統(tǒng)的去噪方法效率更高。“小波收縮”被Donoho和Johnstone證明是在極小化極大風險中最優(yōu)的去噪方法，但在這種方法中最重要的就是確定閾值。1995年，Stanford大學的學者D.L.Donoho和I.M.Johnstone提出了通過對小波系數進行非線性閾值處理來降低信號中的噪聲[5]。從這之后的小波去噪方法也就轉移到從閾值函數的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)來提高去噪的效果。影響比較大的方法有以下這么幾種：EeroP.Semoncelli和EdwardH.Adelson提出的基于最大后驗概率的貝葉斯估計準則確定小波閾值的方法[6]；ElwoodT.Olsen等在處理斷層圖像時提出了三種基于小波相位的去噪方法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值法以及尺度相位變動閾值法；學者Kozaitis結合小波變換和高階統(tǒng)計量的特點提出了基于高階統(tǒng)計量的小波閾值去噪方法[7]；G.P.Nason等利用原圖像和小波變換域中圖像的相關性用GCV(generalcross-validation)法對圖像進行去噪；Hang.X和Woolsey等人提出結合維納濾波器和小波閾值的方法對信號進行去噪處理[8]，VasilyStrela等人將一類新的特性良好的小波(約束對)應用于圖像去噪的方法[9]；同時，在19世紀60年代發(fā)展的隱馬爾科夫模型(HiddenMarkovModel)，是通過對小波系數建立模型以得到不同的系數處理方法；后又有人提出了雙變量模型方法[10]，它是利用觀察相鄰尺度間父系數與子系數的統(tǒng)計聯合分布來選擇一種與之匹配的二維概率密度函數。這些方法均取得了較好的效果，對小波去噪的理論和應用奠定了一定的基礎?？傊?，由于小波具有低墑性、多分辨率、去相關性、選基靈活性等特點，小波理論在去噪領域受到了許多學者的重視，并獲得了良好的效果。但如何采取一定的技術消除圖像噪聲的同時保留圖像細節(jié)仍是圖像預處理中的重要課題。目前，基于小波分析的圖像去噪技術已成為圖像去噪的一個重要方法。1.6主要工作小波理論雖經過多年發(fā)展，并取得了許多非常重要的研究成果。但小波分析的應用潛力仍然很大，仍舊存在著一些需要解決問題。本文在前人提出的有關小波應用的基礎上，展開更加系統(tǒng)、深入的分析和研究。首先對傳統(tǒng)的去噪技術進行了一定的介紹；然后在此基礎上，本文提出了基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法，通過實驗結果表明該方法的正確性，其去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)的小波圖像去噪。第一章為緒論，首先簡單介紹了圖像去噪的意義，噪聲的特性和圖像質量的評價方法。然后，介紹全文的結構安排和本文所取得的研究成果。第二章主要介紹連續(xù)小波變換、離散小波變換、小波變換性質和多分辨分析。并介紹了圖像小波變換情況，為以后幾個章節(jié)中圖像小波去噪奠定一定的理論基礎。第三章主要對傳統(tǒng)的去噪方法進行了總結和對比，主要列舉了空域濾波法和頻域低通濾波法，指出其去噪的不足。第四章介紹了小波去噪的發(fā)展歷程和小波去噪的分類，在此基礎上對傳統(tǒng)的小波去噪技術進行了一定的改進，提出基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法，用實驗驗證了該方法的可行性，并對小波變換的圖像去噪有關問題進行了分析，提出在去噪過程中應注意的一些事項。第五章為結束語，對全文加以總結。2小波分析理論基礎傅立葉分析是19世紀20年代法國數學家Fourier提出的一種經典時頻分析理論，1965年Cooley，Turkey提出的快速傅立葉變換算法推動傅立葉分析從理論走向實踐，使其在信號處理等諸多領域獲得廣泛應用。傅立葉分析為信號的時域描述和頻域描述之間的相互轉換建立了橋梁，其實質是將信號分解成不同頻率的正弦信號的疊加，從而刻畫出信號的頻率結構分布。傅立葉變換將時、頻兩域截然分開是以信號的的頻率特性時不變和統(tǒng)計特性平穩(wěn)為前提條件的。然而很多非平穩(wěn)信號，如音樂、語音信號等它們的頻域特性都隨著時間的變化而改變，也就很難表示出這些信號在任一時刻附近的頻率特征。這種情況下，就暴露出經典傅立葉分析的局限性，時、頻兩域不能截然分開，同時在任何有限頻段上信息無法刻畫任意小范圍內的空域信號[11]。為了盡可能的反映頻域特征隨時(空)間的變化，前人做了很多探索，將時(空)、頻兩域結合起來對信號予以描述，提出了時頻局部化分析方法，如短時傅立葉變換，也稱窗口傅立葉變換，特別是DennisGabor選擇Gauss函數作為最佳窗口函數，即著名的Gabor變換。窗口傅立葉變換實質上是信號分析窗口面積和形狀均固定的時頻局部化分析，一定程度上克服了傅立葉變換不能同時進行時間—頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號的分析中起到了很好的作用。但由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數的大小和形狀均與時間和頻率無關而保持不變，所以窗口傅立葉變換只是單一分辨率的分析。信號的頻率和周期是成反比的，要獲取信號高頻成份的細致分辨應該使用較窄的時(空)間窗，要獲取信號低頻成份的粗疏分辨，應該使用較寬的(空)間窗，顯然窗口傅立葉變換不具備這種“彈性”。針對這種情況，在20世紀80年代興起的小波分析是一種窗口面積固定但形狀可變的時頻局部化分析方法，即具有對信號的自適應性。在信號低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(空)間分辨率，在信號的高頻部分具有較低的頻率分辨率和較高的時(空)間分辨率，所以小波分析主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，被譽為數學上的顯微鏡。特別是近年來，小波變換作為一種數學理論和方法在科學技術和工程界引起了越來越多的關注和重視。尤其在工程應用領域，特別是在信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘測、流體力學、電磁場、CT成像、機器視覺、機械狀態(tài)監(jiān)控與故障診斷、分形、數值計算等領域被認為近年來在工具和方法上的重大突破。2.1小波分析的產生[12]小波分析的思想最早出現在1910年Haar提出了小波規(guī)范正交基。20世紀30年代，Littlewood和Paley對Fourier級數建立了二進制頻率分量分組理論（L-P理論），即最早的多尺度分析思想。1946年，Gabor提出窗口Fourier變換，對Fourier變換的不足起到了一定的彌補作用。后來Calderon,Zygmund,Stein和Weiss等人將L-P理論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論。1965年，Calderon給出了再生公式。1974年，Calfmann對Hardy空間給出了原子分解。1975年，Calderon用他早先提出的再生公式給出了的原子分解，其形式已接近小波展開。1981年，Stromberg對Haar系進行了改造，為小波分析奠定了基礎。1984年，Morlet在分析地震波的局部性時，發(fā)現傳統(tǒng)的Fourier變換不具有時-頻局部性，很難達到實際需要，因此他首先提出了小波分析的概念，并用于信號分解中。隨后，Grossman對Morlet的方法進行了研究。1985年，Meyer創(chuàng)造性地構造出了規(guī)范正交基，后被稱為Meyer基。1986年Meyer和Lemarie提出了多尺度分析的思想。后來信號分析專家Mallat提出了多分辨分析的概念，給出了構造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析為基礎提出了著名的快速小波算法——Mallat算法。Mallat算法的提出標志著小波理論獲得突破性進展，從此，小波分析從理論研究走向了應用研究。通過小波分析，可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號分解成不同頻率的塊信號，能夠有效地解決諸如數值分析、信號分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語音識別、計算機視覺、CT成像、機械故障診斷等問題。因此，小波分析在圖像去噪方面有著廣泛地應用。2.2小波變換2.2.1連續(xù)小波變換[13，14]（1）連續(xù)小波基函數所謂小波(Wavelet)，即存在于一個較小區(qū)域的波。小波函數的數學定義是：設為一平方可積函數，即，若其傅立葉變換滿足：（2.1）時，則稱為一個基本小波或小波母函數，并稱上式是小波函數的可容許條件。根據小波函數的定義，小波函數一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點;另一方面，根據可容許性條件可知，即直流分量為零，因此小波又具有正負交替的波動性。將小波母函數進行伸縮和平移，設其伸縮因子(亦稱尺度因子)為，平移因子為，并記平移伸縮后的函數為，則:（2.2）并稱為參數和小波基函數。由于和均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數，它們是由同一母函數經伸縮和平移后得到的一組函數系列。定義小波母函數的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數的窗口中心及窗口寬度分別為：（2.3）設是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有:（2.4）所以此時頻域窗口中心及窗口寬度分別為：（2.5）由此可見，連續(xù)小波的時、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數，均隨著的變化而伸縮，并且還有（2.6）即連續(xù)小波基函數的窗口面積是不變的，這正是Heisenberg測不準原理。將不同、值下的時頻窗口繪在同一個圖上，就得到小波基函數的相平面（如圖2.1所示）。圖2.1小波基函數的相平面（2）連續(xù)小波變換將空間的任意函數在小波基下進行展開，稱其為函數的連續(xù)小波變換CWT，變換式為：（2.7）當小波的容許性條件成立時，其逆變換為：（2.8）其中為的容許性條件。另外，在小波變換過程中必須保持能量成比例，即:（2.9）由CWT的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中為小波變換系數?？梢娦〔ㄗ儞Q對函數在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過縮放因子和平移因子來得到的。根據、的不同，可以得到小波變換下不同時、頻寬度的信息，從而實現對信號的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質：①線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。②平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。③伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為。④自相似性：對應于不同尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。⑤冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現在以下兩個方面：1）由連續(xù)小波變換恢復原信號的重構分式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構不存在一一對應關系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對應的。2）小波變換的核函數即小波基函數并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關的)。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應滿足定義域是緊支撐的，即在一個很小的區(qū)間之外，函數值為零，函數具有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數。一個一維函數的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數，變量比多一個，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因為它要求的存儲量和它代表的信息量都顯著增加了。對于變量超過一個的函數來說，這個變換的維數也將增加。若是一個二維函數，則它的連續(xù)小波變換是：（2.10）其中，，表示在兩個維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為：（2.11）同樣的方法可以推廣到兩個或兩個以上的變量函數上。2.2.2離散小波變換[15]計算機中的圖像信息是以離散信號形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。而最基本的離散化方法就是二進制離散，一般將這種經過離散化的小波及其變換叫做二進小波和二進變換。需要注意的是這里的離散化都是針對連續(xù)的尺度因子和連續(xù)平移因子的，而不是針對時間的。這兒限制尺度因子總是正數。（1）尺度與位移的離散化對連續(xù)小波基函數尺度因子和平移因子進行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數的冗余度。在離散化時通常對尺度因子和平移因子按冪級數進行離散化，即?。檎麛担话愣技俣ǎ?，得到離散小波函數為：（2.12）其對應系數為：（2.13）（2）二進制小波變換二進小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數，，則有。該二進尺度分解的原理在二十世紀三十年代由Littlewood和Paley在數學上進行了研究證明。離散小波變換為：（2.14）離散二進小波變換為：（2.15）二維離散小波變換：我們考慮二維尺度函數是可分離的情況，也就是：（2.16）設是與對應的一維小波函數，則有：（2.17）（2.18）（2.19）以上三式就建立了二維小波變換的基礎。2.2.3多分辨率分析與濾波器組Mallat在構造正交小波基時提出了多分辨率分析（Multi-ResolutionAnalysis）的概念，從空間概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波的快速算法——Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換在經典傅立葉分析中的地位。小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。多分辨率分析具有如下性質[16]：(1)單調性，；（2.20）(2)逼近性，；（2.21）(3)伸縮性；（2.22）(4)平移不變性；（2.23）(5)Riesz基存在函數，使得構成的Riesz基，即對任一，存在唯一的，使在均方收斂意義下成立（2.24）且存在，使（2.25）由以上可以看出，所有的閉子空間都是由同一尺度的函數伸縮后平移系列張成的的尺度空間，稱為多分辨率分析的尺度函數。尺度函數的傅里葉變換具有低通濾波的特性，小波函數的傅里葉變換具有高通濾波特性。這樣利用尺度函數和小波函數構造信號的低通濾波器和高通濾波器。則可以對信號進行不同尺度下的分解。多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（如圖2.2所示）。W1W1W2W3V3圖2.2嵌套的多分辨率子空間假設原信號的頻率空間為，經第一級分解后被分解成兩個子空間：低頻的和高頻的；經第二級分解后被分解成低頻的和高頻的。這種子空間的分解過程可以記為：（2.26）其中符號表示兩個子空間的“正交和”；代表與分辨率對應的多分辨率分析子空間；與尺度函數相對應的小波函數的伸縮和平移構成的矢量空間是的正交補空間；各是反映空間信號細節(jié)的高頻子空間，是反映空間信號概貌的低頻子空間。由離散小波框架可得到子空間的以下特性：（2.27）這一結果表明：分辨率為20=1的多分辨率分析子空間可以用有限個子空間來逼近。多分辨率分析的頻帶逐級剖分還可以直觀地表示為圖2.3。圖中假設原信號的總歸一頻帶為，從圖中可以看出，被逐級分解后各子空間所占頻帶的變化情況：、、、、、。00V3W3W2W1V2V1V0圖2.3多分辨率頻帶的逐級剖分基于上述考慮，我們可以用一對FIR濾波器去實現上述的多分辨率分解。設和分別為理想的低通和理想的高通濾波器，利用其對原始信號x(n)（其正半軸歸一頻帶在之間）的多分辨分解可表示為如圖2.4所示的樹形分解。信號經H0和H1，濾波后兩支路輸出必定正交（因為頻帶不交疊），同時由于兩支路輸出的帶寬均減半，因此采樣率可以減半而不會引起信息的丟失。正是因為如此，圖中在濾波后才可以加入降2采樣，降2采樣的目的是為了尋求各級濾波器的一致性。圖2.4中各級的低通濾波器和高通濾波器是一樣的。這是因為前一級的輸出經過了降采樣，而濾波器的設計是根據歸一頻率進行的。例如，第一級H0的真實頻帶是（Ts為輸入的采樣間隔），其歸一頻率為（注：歸一頻率=真實頻率*采樣間隔）。第二級H0的真實頻帶雖是，但其歸一頻率仍然是，因為第二級輸入的采樣間隔是2Ts，所以有。HH1H022H1H022H1H022x(n)V0V1V2V3圖2.4多分辨率分析的濾波器組分解樹多分辨率分析中的這種樹形分解有其不可替代的優(yōu)點。如果直接采用若干個帶通特性不同的帶通濾波器將原始信號x(n)分解到多個不同的頻帶、、、…，因各個濾波器均不相同，因此其設計和計算量都較大，而且，隨著分解級數的增加計算量將成比例增加。然而，采用這里的樹形分解時，各級濾波器是一樣的，其計算量小。樹形分解適應由粗到精的多分辨率分析的過程。不過樹形分解也有其缺點，就是當樹形分解的級數較大時，輸出的延時較長。上述信號經過分解后也可得以重建，其重建過程是分解過程的逆過程：每一支路先進行升采樣（即在輸入序列的每兩個相鄰樣本間補一個零，使數據長度增加一倍），從而恢復降采樣前序列的長度；其次作相應的低通或高通濾波；然后再對相應級上濾波后的兩支路進行求和。在和為理想濾波器的情況下，重建濾波器仍可采用和在這樣的逐級重建的過程中就實現了對信號由粗到精的重建。以上的分析從子空間、頻率空間的角度闡明了多分辨率分析的概念，同時，分析了多分辨率分析和濾波器組之間的密切關系。2.2.4圖像的小波變換及其Mallat算法圖像是二維信號，二維多分辨率分析與一維類似，但空間變成，一維中引入的尺度函數變?yōu)?。設是的一個多分辨率分析，則可以證明，張量空間：構成的一個多分辨率分析，并且二維多分辨率分析的二維尺度函數為(2.28)式中：是尺度函數(一維)。式(2.28)說明了二維尺度函數的可分離性。對于每一個,函數系構成的規(guī)范正交基，這里下標j，n，m的含義是：（2.29）我們將稱為的可分離多分辨率分析。因、都是低通的尺度函數，所以平滑的低通空間。如果是一維多分辨率分析的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個小波函數為：（2.30）對于每一個，它們的整數平移系為：（2.31）注意這里的上標只是索引而不是指數。它們構成了的規(guī)范正交基。因此以上的三個正交基中都至少包含一個帶通的或，所以它們都是帶通的。也就是說這三部分反應的都是細節(jié)信息。具體來說，函數系，是的正交歸一基，其中均為整數，=1,2,3分別對應于水平、垂直和對角三個方向。對于任一二維圖像信號，在分辨率下有：（2.32）上式表明，在分辨率上將圖像分解成、、和四個子圖，其中代表原圖像在分辨率上的近似（即圖像的低頻部分，不妨用LL來表示），則代表這種近似的誤差（即圖像的高頻部分或“細節(jié)”部分）；對應于垂直方向的高頻成分，即水平的邊緣（細節(jié)）信息（不妨用LH表示）；對應于水平方向的高頻成分，即垂直的邊緣（細節(jié)）信息（不妨用HL表示）；則對應于對角方向的高頻成分（不妨用HH表示）。圖2.5形象地表示了二維圖像的多分辨率小波分解。圖中符號的上標表示圖像的小波分解層數，圖中示意了圖像的2級小波分解。可以看到，在每一分解層上，圖像均被分解為LL,LH,HL和HH的四個頻帶；下一層的分解僅對低頻分量LL進行分解。f(x,y)f(x,y)LL11LL2LH2HL2HH2LH1HL1HH1(a)圖像的小波樹形分解LL2HL2LH2HH2HL1LH1HH1(b)圖像小波分解的塔型結構圖2.5二維圖像的小波分解按照Mallat的快速算法，圖像的小波分解算法如圖2.6所示：GGHGHGHX與濾波器X卷積H低通濾波器G高通濾波器從兩列中取一列從兩行中取一行圖2.6圖像的小波分解算法圖2.6示意了圖像的一步小波分解過程，可以看到：二維圖像的小波分解可以對圖像依次按行、按列與一維的低通(H)和高通(G)濾波器作卷積來實現，在卷積之后進行相應的降2采樣。圖像小波分解的重構算法如圖2.7所示。HGHGXGHHG與濾波器X卷積H低通濾波器G高通濾波器在相鄰兩列間插入一列零在相鄰兩行間插入一行零圖2.7圖像的小波重構算法圖2.7示意了小波分解圖像的一步重構過程，小波分解圖像的重構是先對列或行進行升2采樣(在相鄰列或行間插入一零列或零行)，然后再按行、按列與一維的低通或高通濾波器進行卷積，這樣遞推下去便可重構原圖像。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波變換。2.2.5圖像的雙正交小波變換在進行圖像的小波分解時，可以采用一維的CQF（ConjugateQuadratureFilter：共軛正交濾波器）濾波器組、Daubechies小波濾波器組等。CQF濾波器具有很強的正交性，所以也叫正交濾波器。采用這些正交濾波器，按照圖2.6和圖2.7的算法，可以方便地實現二維圖像的正交小波變換及其逆變換。我們知道，在子帶濾波器中，若分解和重構濾波器使用相同的FIR濾波器，那么對稱和精確重建是不可能同時滿足的（Haar小波除外）。Daubechies也證明，如果、是多尺度分析的尺度函數和正交小波函數，、是實的和緊支的，且有一個對稱或反對稱軸，則一定是一個Haar小波。然而Haar小波過于簡單，多數應用場合其性能不佳。也就是說，除了Haar小波外，緊支集正交小波不可能具有任何對稱性，此時與其對應的FIR濾波器H和G不可能具有線性相位，這樣就會產生相位失真。盡管用正交濾波器實現的正交小波變換得到了廣泛的引用，并在圖像處理（如圖像降噪、圖像邊緣檢測、圖像紋理分析、圖像壓縮編碼等）中取得了良好的效果；同時正交濾波器組也有許多優(yōu)點，例如分解的正交性、實現簡單——分解和重構濾波器相同等；但是由于用于正交小波變換的正交濾波器不具有線性相位特性，其產生的相位失真將會引起圖像中邊緣的失真。而圖像的邊緣是圖像的一個重要特征。為了彌補這一缺點，于是就出現了雙正交小波的理論。在雙正交小波的情形下，采用兩個不同的小波基和，用來分解，用來重構。和彼此對偶且相互正交（雙正交）。同時，也采用兩個尺度函數和，二者相互對偶且正交，一個用來分解，另一個用來重構。與之對應，雙正交小波分解和重構的濾波器可以有四個：分解低通濾波器、分解高通濾波器、重構低通濾波器和重構高通濾波器。與正交小波變換不同的是，雙正交小波變換的重構濾波器與分解濾波器不相同。雙正交小波對正交作出了“讓步”，以求得對稱性和緊支性，并且使用FIR濾波器可以進行精確重構。雙正交小波變換與正交小波變換相比，小波形狀能有更寬的選擇范圍，因而給設計帶來更大的靈活性。關于雙正交小波濾波器的構造設計方法、完全重構條件等問題，文獻[17-19]等均作了詳細闡述。2.3小波變換與傅里葉變換的比較[20]小波分析是傅里葉分析思想方法的發(fā)展和延拓。自產生以來，就一直與傅里葉分析密切相關。它的存在性證明，小波基的構造以及結果分析都依賴于傅里葉分析，二者是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同：（1）傅里葉變換的實質是把能量有限信號分解到以為正交基的空間上去；而小波變換的實質是把能量有限的信號分解到由小波函數所構成的空間上去。兩者的離散化形式都可以實現正交變換，都滿足時頻域的能量守恒定律。（2）傅里葉變換用到的基本函數只有，或，具有唯一性；小波分析用到的小波函數則不是唯一的，同一個工程問題用不同的小波函數進行分析時有時結果相差甚遠。小波函數的選用是小波分析應用到實際中的一個難點問題也是小波分析研究的一個熱點問題，目前往往是通過經驗或不斷的實驗，將不同的分析結果進行對照分析來選擇小波函數。一個重要的經驗就是根據待分析信號和小波函數的相似性選取，而且此時要考慮小波的消失矩、正則性、支撐長度等參數。（3）在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅里葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式，但在時域中，傅里葉變換沒有局部化能力，即無法從信號的傅里葉變換中看出的在任一時間點附近的性態(tài)。因此，小波變換在對瞬態(tài)信號分析中擁有更大的優(yōu)勢。（4）在小波分析中，尺度的值越大相當于傅里葉變換中的值越小。（5）在短時傅里葉變換中，變換系數主要依賴于信號在時間窗內的情況，一旦時間窗函數確定，則分辨率也就確定了。而在小波變換中，變換系數雖然也是依賴于信號在時間窗內的情況，但時間寬度是隨尺度的變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析的能力。因此，小波變換也可以看成是信號局部奇異性分析的有效工具。（6）若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅里葉變換不同之處在于：對短時傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率，即:(為常數)(2.33)也就是濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等Q結構（Q為濾波器的品質因數，且.有Q=中心頻率/帶寬）。我們希望在對低頻信號分析時，頻域用高分辨率，在對高頻信號分析時，頻域用低分辨率，該等Q結構恰好符合該要求。（7）從框架角度來說傅里葉變換是一種非冗余的正交緊框架，而小波變換卻可以實現冗余的非正交非緊框架。2.4本章小結本章主要介紹了小波變換、圖像小波變換及其與傅立葉變換的關系等的基本原理，著重介紹了圖像和信號的多分辨率分析，因為它是對信號和圖像進行分析的關鍵，也是本文后續(xù)章節(jié)研究的理論基礎。3傳統(tǒng)去噪方法由于噪聲源眾多(如光柵掃描、底片顆粒、機械元件、信道傳輸等)，噪聲種類復雜(如量化噪聲、乘性噪聲、加性噪聲、“椒鹽”噪聲等)，所以去噪的方法也很多。去噪既可以在空域進行也可以在頻域（變換域）進行，前者即是在原圖像上直接進行數據運算，對像素的灰度值進行處理。變換域法是在圖像的變換域上進行處理，對變換后的系數進行相應的處理，然后進行反變換達到圖像去噪的目的。傳統(tǒng)的圖像去噪是在空域實現的?？沼驁D像去噪算法可分為線性方法與非線性方法兩大類。線性方法提出較早，具有較完備的理論基礎，均值濾波是其典型代表（均值濾波適合于噪聲為零均值的高斯噪聲）。1974年Tukey首先將非線性的濾波算法（中值濾波）應用于圖像處理，由于該方法在保護圖像細節(jié)的同時能有效地濾除沖激噪聲，因此在圖像去噪領域得到了較為廣泛地應用。3.1空域濾波（1）均值濾波對一些圖像進行線性濾波可以去除圖像中某些類型的噪聲，如采用鄰域平均法的局部均值濾波器就非常適合用于去除掃描圖像中的顆粒噪聲。鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。均值濾波的思想是：對于給定一幅的圖像，圖像中的每個像素點，去噪后的圖像，去噪后圖像中的每個像素的灰度級由包含鄰域的幾個像素的灰度級的平均值所決定。也就是說，用某一像素鄰域內各像素的灰度平均值來代替該像素原來的灰度值。即用下式得到處理后的圖像：（3.1）式中是以點為中心的鄰域的集合，是內坐標的總數。圖像鄰域平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關。半徑越大，則圖像的模糊程度也越大。此外，圖像鄰域平均法算法簡單，計算速度快，但它的主要缺點是在降低噪聲的同時使圖像產生模糊，特別在邊緣和細節(jié)處，鄰域越大，模糊越厲害。另外，從實現難易程度上看，線性平滑濾波器比較容易實現，在信號頻譜和噪聲頻譜具有顯著不同特征時，表現出較好的性能。然而，在實際的圖像處理過程中，線性濾波器也不能完全去除脈沖噪聲。因此在許多應用場合，選用中值濾波來克服這些問題。(2）中值濾波中值濾波是一種非線性濾波[21，22]，由于它在實際運算過程中并不需要圖像的統(tǒng)計特性，所以比較方便。中值濾波首先是被應用在一維信號處理技術中，后來被二維圖像信號處理技術所引用。在一定的條件下，可以克服線性濾波器所帶來的圖像細節(jié)模糊，而且對濾除脈沖干擾及圖像掃描噪聲最為有效。但是對一些細節(jié)多，特別是點、線、尖頂細節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。中值濾波的基本原理是把數字圖像或數字序列中一點的值用該點的一個鄰域中各點值的中值代替。對于給定的個數值，將它們按大小順序排列。當為奇數時，位于中間位置的數值稱為這個數值的中值。當為偶數時，則將位于中間位置的兩個數值的平均值稱為這個數值的中值，記作。中值濾波就是圖像濾波后某個像素的輸出等于該像素鄰域中各個像素灰度的中值。對于二維信號進行中值濾波時，濾波窗口也是二維的，但這種二維窗口可以有各種不同的形狀，例如線狀、方形、圓形、十字形、圓環(huán)形等。一般在實際使用窗口時，窗口的尺寸一般先用小窗口，然后再逐漸增大窗口，直到其濾波效果滿意為止。與平均濾波器相比，中值濾波器從總體上來說，它能夠較好地保留原圖像中的躍變部分。相比較于局部均值濾波，中值濾波有以下優(yōu)點：①降噪效果比較明顯；②在灰度值變化比較小的情況下，可以得到很好的平滑效果；③降低了圖像邊界的模糊程度，但有時會失掉圖像中的細節(jié)和小塊的目標區(qū)域。在有些情況下，中值濾波在降低了噪聲的同時也抑制了信號。也就是說，中值濾波在去除脈沖噪聲的同時較好地保持了圖像的邊緣細節(jié)信息，解決了多數線性濾波在去噪的同時模糊圖像這一缺點，復原效果較好。但是對于大面積的噪聲污染，例如高斯分布的白噪聲，在均方誤差準則下，中值濾波的能力卻不及均值濾波。這是因為濾波窗口(即鄰域)中如果多數圖像點被噪聲污染，中值濾波的輸出仍然是某個被噪聲污染了的像素，而均值濾波卻對噪聲進行了求均值運算，在某種程度上對噪聲進行了平滑。（3）均值濾波與中值濾波結合均值濾波與中值濾波結合會產生混合濾波器?；旌蠟V波器的思想是對圖像信號進行級聯式的濾波處理，或稱為迭代處理。級聯的方法有兩種：一種是中值濾波級聯線性濾波，簡稱ML型，如式3.2所示：（3.2）另一種是線性濾波級聯中值濾波，簡稱LM型，如式3-3所示：（3.3）如果圖像是由許多灰度值相近的小塊組成，采用ML型濾波效果較好。如果噪聲是以孤立的點的形式出現，這些點對應的像素數較少，而圖像則是由像素數較多、面積較大的小塊構成，則采用LM型濾波效果較好?；旌闲蜑V波器與均值濾波器和中值濾波器相比較，無論是ML型還是LM型濾波器的濾波效果都比使用單純的中值濾波器和均值濾波器的濾波效果要明顯。而且，濾波后的圖像清晰明亮、便于觀察。3.2頻域低通濾波法[23]對于一幅圖像來說在分析其頻率特性時，它的邊緣，突變部分以及顆粒噪聲往往代表圖像信號的高頻分量，而大面積的圖像背景區(qū)則代表圖像信號的低頻分量。根據此特點使用濾波的方法濾除其高頻部分也就能夠去除噪聲，使圖像得到一定的平滑。由卷積定理知識可知空間域的卷積就等于變換域里信號和濾波器的頻域形式相乘，即有：（3.4）其中，是含噪聲圖像的傅里葉變換是平滑后圖像的傅里葉變換，是低通濾波器傳遞函數。利用使的高頻分量得到抑制，然后得到，后再經過反變換就得到降噪后的圖像了。下面簡單介紹一下頻域中常見的低通濾波器。（1）理想低通濾波器（ILPF）一個2-D理想低通濾波器的轉移函數滿足下列條件：（3.5）式中是一個非整數，稱為理想低通濾波器的截止頻率。代表從點到頻率平面的原點的距離，有：（3.6）理想低通濾波器在處理過程中會產生較嚴重的模糊和振鈴現象。這是因為在處由1突變到0，這種理想的的時域形式即對應的沖激響應在空域中表現為同心環(huán)的形式，并且此同心環(huán)半徑與成反比。越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度愈厲害。正是由于理想低通濾波器存在此“振鈴”現象，致使其平滑效果不理想。（2）巴特沃思低通濾波器（BLPF）巴特沃思低通濾波器又稱作最大平坦濾波器。與理想低通濾波器不同，它的通帶與阻帶之間沒有明顯的不連續(xù)性，因此它在空域中的響應“振鈴”效應不明顯，模糊程度減少。一個階為，截止頻率為的巴特沃思低通濾波器的轉移函數為：（3.7）與理想低通濾波器相比，巴特沃思低通濾波器保留有較多的高頻分量，所以對噪聲的平滑效果不如理想低通濾波器。（3）指數低通濾波器（ELPF）指數低通濾波器的轉移函數為：（3.8）因為指數低通濾波器具有比較平滑的過濾帶，經此平滑后的圖像“振鈴”效應不明顯，與理想低通濾波器和巴特沃思低通濾波器相比，指數低通濾波器具有更快的衰減特性，因此指數低通濾波器濾波后的圖像比巴特沃思低通濾波器處理的圖像稍微模糊。綜上所述，圖像的經典去噪方法主要有兩大類，一類是基于空間域的處理方法，一類是基于頻域的處理方法。對于經典去噪方法來說，要么完全在頻率域，要么完全在空間域。這兩類消噪方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊緣細節(jié)信息，造成圖像模糊。因此，提出了基于小波變換的去噪方法研究。小波分析由于在時域頻域同時具有良好的局部化性質和多分辨率分析的特點，能有效地把信號和噪聲區(qū)別開來，與傳統(tǒng)的去噪方法相比較，有著無可比擬的優(yōu)點，成為信號分析的一個強有力的工具。4基于小波變換的圖像去噪技術小波變換在時頻域具有很好的局部性，其變尺度的特性使得小波變換對確定的信號具有一種“集中”的能力[24]。如果一個信號的能量在小波變換域集中于少數系數上，那么，這些系數的取值大于在小波變換域內能量分散在大量系數上的信號或噪聲的小波系數值。含有噪聲的圖像經過小變換后，圖像信號和噪聲信號表現出不同的特征：信號的能量主要集中在一些亮線上，而大部分系數的值逼近于0；噪聲的分布和信號的分布相反，它的系數均勻分布于整個尺度空間，幅度相差不大(在大尺度下會對噪聲起到一定的平滑作用)。這一特性為基于小波變換的圖像去噪提供了依據。4.1常見的去噪方法小波去噪的實質是尋找從實際信號空間到小波函數空間的最佳映射，從而得到原信號的最佳恢復。從信號學的角度看，小波去噪是一個信號濾波的問題，由于在去噪后，還能夠成功地保留圖像特征，所以小波去噪實際上也是特征提取和低通濾波功能的綜合。其流程圖如圖4.1所示。小波圖像原始圖像小波分解小波圖像原始圖像小波分解小波系數處理小波系數處理去噪圖像處理后小波圖像小波逆變換去噪圖像處理后小波圖像小波逆變換圖4.1小波去噪過程由圖4.1可知，尋求基于小波變換的去除噪聲最佳方法的過程，實際上也就是尋求最佳的小波系數處理方法的過程。根據對小波系數處理方式的不同，常見的去噪方法可分為三類：①模極大值檢測法；②小波系數相關去噪法；③閾值去噪法。（1）模極大值檢測法[25]信號的奇異性是指信號某處有間斷或某階導數不連續(xù)。顯然，無限次可導的函數是光滑的或者說是沒有奇異性。奇異點也就是信號的突變點通常包含信號的重要特性。從數學的角度出發(fā)信號的奇異性是可以通過Lipschitz指數(或奇異指數)來衡量的。1992年，S.Mallat將Lipschitz指數與小波變換后系數模的局部極大值聯系起來，通過小波變換后局部極大值在不同尺度上的衰減速度來衡量信號的局部奇異性，具體來說，就是利用有用信號與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現不同的奇異性來剔除由噪聲產生的模極大值點，保留信號產生的模極大值點。最后利用剩余的模極大值來進行小波系數估計計算，然后再利用估計的小波系數進行信號恢復。其算法的基本過程為：①對原始信號進行小波分解，并計算每一尺度上小波變換系數的模極大值；②從最大尺度開始進行閾值處理。若模極大值點幅值的絕對值大于指定的閾值，則保留該點，否則去掉該點；③根據每一尺度上保留的模極大值點進行小波系數估計計算；④根據估計的小波系數進行信號恢復。利用模極大值檢測法去噪時去噪效果對噪聲的依賴性較小并且性能穩(wěn)定，無需知道較多的噪聲的先驗數值，特別是對低信噪比的信號有較明顯的去噪效果。實驗證明當圖像中含有白噪聲并且圖像中含有較多奇異點時，使用該方法除噪后的圖像沒有多余振蕩，能獲得較高的信噪比。同時使用該方法時還應注意尺度、閾值的選取以及小波系數估計計算方法。（2）小波系數相關去噪法小波域濾波是根據信號和噪聲在不同尺度上小波變換的不同形態(tài)表現，來構造出相應的去除規(guī)則對信號和噪聲的小波變換系數進行處理，處理的目的在于減小以至完全剔除噪聲所對應的小波變換系數，同時最大限度地保留有效信號對應的小波系數。信號經小波變換之后，其小波系數在各尺度上有較強的相關性，尤其是在信號的邊緣附近[26，27]，其相關性更加明顯，而噪聲對應的小波系數在尺度間卻沒有這種明顯的相關性?？梢酝ㄟ^對圖像進行多級小波變換，計算相鄰尺度間小波變換系數的相關性，利用小波系數在不同尺度上的相關性來區(qū)分信號系數和噪聲系數，進行信號和噪聲的取舍，最終由取舍后的估計小波系數進行信號恢復[28，29]該方法把低分辨率(大尺度)下的小波變換系數全部保留，高分辨率(小尺度)下的小波變換系數在被確認為邊沿附近的各點時才給予保留，其余的都加以去除。由于噪聲的小波變換主要集中在小尺度各層次中，因此經上述處理后，噪聲基本被剔除而邊沿信息則得以較好的保留。其算法的基本過程為：①對原始信號進行小波分解；②計算信號進行小波分解后的小波系數，并對相關系數進行歸一化處理；③若某一尺度下某點的歸一化后的系數大于該點的相同尺度下的小波系數，則認為該點處的小波系數是由信號所產生的，相關的運算將會使該點處所對應的小波變換的系數幅值加大。此時把該點處的小波系數值賦給該點的歸一化后的系數，同時將該點的小波系數置為。否則，就認為該點處的小波系數是由噪聲引起的，保留該點的小波系數值，把歸一化后的小波系數值置為0。然后在每一尺度上重新計算歸一化后的系數值；④重復②、③，直到小波系數的方差小于某一特定的閾值。小波系數相關去噪法思想簡單，但計算量較大，需要多次反復才能完成，而且某一點處的相關系數僅由相鄰的兩個尺度上的小波系數決定。如果小波分解出現誤差，可能導致相關系數不能真實地反映該點處的相關性情況，從而也就不能對該點正確賦值。另外，反復計算的結束取決于設定的閾值的大小。因此，如何高效正確地計算相關系數及如何選擇地選擇閾值大小仍是一個需要探討的問題。（3）閾值去噪法閾值去噪法就是通過對圖像進行小波變換，得到小波變換系數。因為信號對應的小波系數包含有重要的信息，其數據較少，幅值變化較大，而噪聲對應的小波系數的分布則恰好相反，通過設定特定的閾值對小波系數進行取舍，就可以得到小波系數估計值，最后通過估計小波系數進行小波重構，就得到去噪后的圖像[30]。其算法的基本過程為：①對原始信號進行小波分解；②對變換后的小波系數進行閾值處理，得到估計小波系數；③根據估計小波系數進行小波重構。閾值去噪法實現簡單，計算量小，在實際中有著廣泛的應用。經過閾值處理后，得到的處理后的小波系數多，因此可以直接對其進行小波重構。閾值處理的方法有兩種：一種是硬閾值法，定義為（4.1）硬閾值法得到的小波系數的連續(xù)性較差，重構信號可能出現突變或振蕩現象；如圖4.2（a）所示。另一種方法是軟閾值法，定義為：（4.2）軟閾值法的到的小波系數的連續(xù)性好，但當小波系數較大時，得到的處理后的小波系數和實際的小波系數有一定的偏差，會導致重構結果的誤差。如圖4.2（b）所示。-t-ttAt-tA（a）硬閾值（b）軟閾值圖4.2兩種閾值方法當所選閾值過大或過小都不能達到在去噪的同時保留圖像細節(jié)和邊緣信息。因此合理選擇閾值可以在去噪的同時保留圖像細節(jié)和邊緣信息。目前閾值選取使用可以分為全局閾值和局部適應閾值兩類。其中全局閾值是對各層所有的小波系數或同一層內不同方向的小波系數都選用同一個閾值；而局部閾值是根據不同層不同方向分別選取閾值[31]。有以下幾種情況：①全局閾值，其中，為噪聲標準差，M、N為圖像的尺度。這是斯坦福大學的Donoho和Johnstone教授提出的，在正態(tài)高斯噪聲模型下，針對多維獨立正態(tài)變量聯合分布，在維數趨向無窮時的研究得出的結論，即大于該閾值的系數含有噪聲信號的概率趨于零。這個閾值由于和信號的尺寸對數的平方根成正比，所以當N較大時，閾值趨向于將所有的小波系數置零，此時小波濾波器退化為低通濾波器。②基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值；③最小最大化閾值；采用的也是一種固定的閾值，它產生一個最小均方誤差的極值。在統(tǒng)計學上，這種極值原理用于設計估計器，因為被去噪的信號可以看作與未知回歸函數的估計式相似，這種極值估計器可以在一個給定的函數集中實現最大均方誤差最小化。④TOP閾值。其中P是需要保留的大的小波系數的比率。此種方法需要作者多次選擇不同的來進行多次實驗恢復圖像，從而從中選出較好的閾值。⑤SURE閾值；此方法適用于分解后的小波系數比較集中的情況，如果小波系數是稀疏的，用此方法效果不好。⑥BayesShrink閾值。時至今日，對閾值選擇方法的研究仍是一個熱門話題，仍有新的閾值公式不斷被提出。但通常閾值是根據實際應用的需要，通過確定合適的準則，以及對可能的閾值進行尋優(yōu)來選擇的。在以上閾值中，全局閾值計算簡單，但是它趨向于“過扼殺”小波系數，在重構時會導致較大誤差；置信區(qū)間閾值雖然和圖像大小無關，但由于隨著圖像尺寸的增大，大的噪聲系數出現的數目也會增多，在閾值處理時被保留部分較多，從而去噪效果不好，誤差較大；最小最大化閾值，由于它采用最小均方誤差的極值，所以有時也會“過扼殺”系數；SURE閾值較好，但求解閾值過程相當復雜；BayesShrink閾值效果緊次于SURE，但算法簡單，節(jié)省時間。4.2基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法4.2.1算法介紹設是大小為原始無噪聲圖像，是一個在空間平穩(wěn)、獨立同分布、方差為的零均值高斯白噪聲，是一個被噪聲“污染”的噪的圖像信號。噪聲滿足以下關系：（4.3）小波變換把圖像信號變換到小波域，在小波域中，圖像本身的能量主要分布在低分辨的尺度系數和一些較大的小波系數上，而噪聲能量仍然均勻散布在低分辨的尺度系數和所有小波系數上。在變換域，圖像的空間相關性降低，能量更加集中，而噪聲的能量分布情況則不變。根據以上情況基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法步驟為：①對含噪圖像進行小波分解；②對小波分解系數進行閾值處理；③對處理后的系數重構；④對重構圖像進行中值濾波級聯線性濾波。4.2.2實驗結果與分析為說明該方法的有效性，這兒對含有高斯白噪聲的woman圖像進行消噪處理，其中噪聲方差為10。在去噪實驗中，采用“bior4.4”小波，因為bior系列雙正交小波具有對稱性，對稱的小波濾波器有兩個優(yōu)點，一是人類的視覺系統(tǒng)對邊緣附近對稱的量化誤差較非對稱誤差更不敏感，二是對稱小波濾波器具有線性相位特性，對圖像邊緣作對稱邊界擴展時，重構圖像邊緣部分失真較小。圖像分解層數為三層，對重構圖像進行濾波時選擇的濾波窗口，對小波系數進行閾值處理時采用逐點Bayes軟閾值門限處理。如圖4.3所示。圖4.3不同算法的圖像去噪比較由圖可以看出本算法能夠較好地去除噪聲，且去噪后圖像清晰、明了，有較好的視覺效果。為了說明本方法的優(yōu)越性，以峰值信噪比作為評價標準，當噪聲方差分別取不同的值時用以上三種方法通過多次實驗進行，如表4.1。表4.1不同噪聲大小、不同方法去噪后的PSNR結果噪聲方差噪聲模極大值系數相關法小波閾值本算法1028.178234.763134.679234.329634.32011524.701332.219232.169731.830931.81152022.152330.316430.050129.756229.75162520.210229.506820.424829.227329.22143018.760329.249328.963828.