大學(xué)物理課后習(xí)題湖南大學(xué)出版

第十三章靜電場

0=arctan—=33.69°.

E?

P38.

13.1如圖所

示，在直角三角形13.2半徑為火的一段圓弧，圓心

Z8CZ）的/點處，有微、8角為60。，一半均勻帶正電，另一半均

點電荷qi=J勻帶負(fù)電，其電線密度分別為+2和U,

1.8x10",8點處有-求圓心處的場強.

點電荷為=圖13.i［解答］在帶正山/I

-4.8x10-9C,AC=電的圓弧上取一弧/XJpE

3cm,BC=4cm,試求。點的場強.元…的

［解答］根據(jù)點電荷的場強大小的公

式電荷元為dq=Ads,

在。點產(chǎn)生的場強大小為

d￡=_L也=?招，

9224在0R-4TVE0R~4許）7?

其中1/（4萬f0）=^=9.0x10N-m-C'.

點電荷/在。點產(chǎn)生的場強大小場強的分量為dEx=亞cos。，dEy=

為dEsin。.

對于帶負(fù)電的/|

￡,=—1--鼻圓弧，同樣可得在O，之j％-

4兀AC?點的場強的兩個分*

量.由于弧形是對稱球J：

k8><19

=9X109XQ=1.8X104(N-C-1)的，x方向的合場強

(3x10-2)2

為零，總場強沿著》軸正方向，大小

為

方向向下.

E=2Ev=jdEsind

點電荷弦在。點產(chǎn)生的場強大小

j?r/61Jti6

」一fsin8d'=」一(一cos。)

瑪二,1”,2%RJ2%R

0

24兀BC2

=9X109X4-8X109,=2.7X104(N-CI),。寺急

(4x10-2)2

方向向右.13.3均勻帶電細(xì)棒，棒長a=

。處的總場強大小為20cm,電荷線密度為/l=3xl（y8c.m”,

求：

￡=瀉+6

（1）棒的延長線上與棒的近端小

=8cm處的場強；

=0.9713X104=3.245X104(NC-'),

（2）棒的垂直平分線上與棒的中

總場強與分場強E2的夾角為點相距4=8cm處的場強.

［解答］（1）建立坐標(biāo)系，其中￡=

tz/2=O.l(m),x=L+d\=O.18(m).由于棒是對稱的，x方向的合場強為

在▲零，y分量為dEy=dE^sin。.

細(xì)棒上Xd/由圖可知：尸=必/sin。，/=心cot。,

取一線工根二r曲Xj所以d/=gde/sin%,

d/,,￡

兀oLl<-i—>1因此d￡=—'sin。",

所帶的,

4庇,2

電量為dq=2d/,

根據(jù)點電荷的場強公式，電荷元在P\總場強大小為

點產(chǎn)生的場強的大小為

7dqAd/4兀Eqd?_

aE.=k-=---------l=L

r-4唉(x-1)-

場強的方向沿x軸正向.因此P1點的

總場強大小通過積分得

EJ|d/

'4F」(X-/)2

_12LA②

x-l_L

2.11將數(shù)值代入公式得Pi點的場強為

----(----:------7

A兀￡0x—Lx+L^.=9xl0-x2X0.1X3X10-

,0.08(0.082+0.12),/2

12口①

=5.27X103(N-C').

4^ex2-1?

0方向沿著y軸正向.

將數(shù)值代入公式得Pi點的場強為［討論］(1)由于￡=a/2,x=L+d\,

代入①式，化簡得

2x0.1x3x10-8

=9x109x

,0.182-0.12?2aA1

E1——9

4麻4+。4麻o44/Q+1

=2.41X103(N-C-'),

方向沿著x軸正向.保持用不變，當(dāng)4-8時，可得

(2)建立

E「一^,③

坐標(biāo)系，y=

d?.

在細(xì)棒上這就是半無限長帶電直線在相距為“

取一線元dl,的延長線上產(chǎn)生的場強大小.

所帶的電量(2)由②式得

為?A,a

dq=Ad/,E=-------/“

'4陽WJd；+(a/2)2

在棒的垂直平分線上的尸2點產(chǎn)生的場

強的大小為21

_J_d/4在o&4+(1/2>

d.華

4%尸2

當(dāng)Qf8時，得根據(jù)上一題的公式③可得半無限

長帶電直線在延長上O點產(chǎn)生的場強

”占，④

大小為

2兀

這就是無限長帶電直線在線外產(chǎn)生的E

4?！窻

場強公式.

如果d\=d2,則有大小關(guān)系Ey=由于兩根半無限長帶電直線對稱放

25.置，它們在。點產(chǎn)生的合場強為

13.4一均勻Er=2Ecos—=-----cos—，

22TUER2

帶電的細(xì)棒被彎成Q

如圖所示的對稱形方向沿著X軸負(fù)向.

狀，試問e為何值當(dāng)O點合場強為零時，必有

時，圓心o點處的

E=E,可得tanO/2=1,

場強為零.xx

［解答］設(shè)電荷線密度為九先計算因此/2=兀/4,

圓弧的電荷在圓所以6=7(.11.

心產(chǎn)生的場強.

在圓弧上取13.5一寬為b的無限長均勻帶電

一弧元&?=R平面薄板，其電荷密111P

度為為如圖所示.試丁一

d(p9

所帶的電量為

(1)平板所在KI

dq=,

在圓心處產(chǎn)生的場強的大小為平面內(nèi)，距薄板邊緣

為a處的場強.

dE=心=〃-曰=,(2)通過薄板111g

r2R-4碇0R

兒何中心的垂直線圖13$

由于弧是對稱的，場強只剩x分量,上與薄板距離為d處的場強.

取x軸方向為正，場強為［解答］(1)建

dEx=-dEcos(p.立坐標(biāo)系.在平面

總場強為薄板上取一寬度

_丸2尸一夕/2為dr的帶電直

E=-------------[COS69(169

Y4FR京線，電荷的線密度

為

_幾2*-6/2=bdx,

-----sin(p根據(jù)直線帶電線的場強公式

4fR*

2點0廠

=-----sin-，

2%R2

得帶電直線在P點產(chǎn)生的場強為

方向沿著X軸正向.

,「d2adx

再計算兩根半無限長帶電直線在dE=-----=----------------

27r2笳0s/2+Q-x)

其方向沿X軸正向.

由于每條無限長直線在P點的產(chǎn)2=ab,

生的場強方向相同，所以總場強為①式的場強可化為

b/2

丁-----1-----dx「Aln(l-\-b/a)

E=---------------------------

b/2+a-xIne^ab/a

當(dāng)6—0時，薄板就變成一根直線，應(yīng)

-ab/2

ln(/?/2+(7-x)用羅必塔法則或泰勒展開式，場強公

-h/2式變?yōu)?/p>

CT

ln(l+-).①ET③

2兀￡。a

場強方向沿X軸正向.這正是帶電直線的場強公式.

(2)為了便于觀察，將薄板旋(2)②也可以化為

轉(zhuǎn)建立坐

dr2arctan(b/2d)

標(biāo)系.仍然E;

27TEdbl2d

在平面薄Q

板上取一當(dāng)6—0時，薄板就變成一根直線，應(yīng)

寬度為dr用羅必塔法則或泰勒展開式，場強公

的帶電直式變?yōu)?/p>

線，電荷的

線密度仍然為

dZ=<rdx,

帶電直線在。點產(chǎn)生的場強為這也是帶電直線的場強公式.

當(dāng)6―8時，可得

(Ucrdr

dE

2?！?2碼&+/嚴(yán)

E->—,④

z2/

沿z軸方向的分量為

這是無限大帶電平面所產(chǎn)生的場強公

bcosSdr

dE,=dEcos6式.

2212

27TE0(b+X)'

設(shè)x=dtan。，貝ijdx=ddO/cos%,因此13.6(1)點電荷夕位于一個邊

長為a的立方體中心，試求在該點電

d￡_=d￡cos6rd6

0=荷電場中穿過立方體一面的電通量是

2兀

多少？

積分得(2)如果將該場源點電荷移到立

arctan(6/2d)方體的的一個角上，這時通過立方體

E.=f各面的電通量是多少？

2兀

-arctan(/>/2t/)［解答］點電荷產(chǎn)生的電通量為

(T,b、①e=q/久.

=---arctan(——).②(1)當(dāng)點電荷放在中心時，電通

7TE2d

0量要穿過6個面，通過每一面的電通

場強方向沿z軸正向.量為

［討論］(1)薄板單位長度上電荷①i=0J6=夕/6比.

為(2)當(dāng)點電荷放在一個頂角時,

電通量要穿過8個卦限，立方體的3(3)在外圓柱面之外做一同軸圓柱

個面在一個卦限中，通過每個面的電形高斯面，由于高斯內(nèi)電荷的代數(shù)和為

通量為零，所以

01=①J24=q/24￡o；E=0,(r>&).

立方體的另外3個面的法向與電力線

垂直，通過每個面的電通量為零.13.9—厚度為d的均勻帶電無限

大平板，電荷體密度為p,求板內(nèi)外各

13.7面電荷密度為。的均勻無限點的場強.

大帶電平板，以平板上的一點O為中［解答,方法一：高斯定理法.

心，R為半徑尸~~~一(1)由于平板具有面對稱性，因

作一半球面，"廠/此產(chǎn)生的場強的方向與平板垂直且對

如圖所示.求/于。，/稱于中心面：E=E'.

Z

通過此半球-----;-------/在板

面的電通量.圖1'7內(nèi)取一底

［解答］設(shè)想在平板下面補一個半面積為S,

球面，與上面的半球面合成一個球高為2r的

面.球面內(nèi)包含的電荷為圓柱面作

q—兀R2。,為高斯

通過球面的電通量為面，場強

(Pe=q/e0,與上下兩表面的法線方向平等而與側(cè)

通過半球面的電通量為面垂直，通過高斯面的電通量為

①=①=兀叱。［2氫.

◎，=j>dS

13.8兩無限長同軸圓柱面，半徑=[EdS+fE-dS+fEdS

分別為Ri和&(凡>&),帶有等量異JS]JS-)JSQ

號電荷，單位長度的電量為2和-九求

=ES+E'S+0=2ES,

⑴r<Ri；(2)Ai<r<^2;(3)r>

此處各點的場強.高斯面內(nèi)的體積為V=2rS,

［解答］由于電荷分布包含的電量為q=pV=2prS,

具有軸對稱性，所以電場根據(jù)高斯定理①e=q/久，

分布也具有軸對稱性.可得場強為E=pr/feo，

(1)在內(nèi)圓柱面內(nèi)做(0WrW〃2).①

一同軸圓柱形高斯面，由(2)穿過平板作一底面積為S,

于高斯內(nèi)沒有電荷，所以高為2r的圓柱形高斯面，通過高斯面

E=0,(r</?,).的電通量仍為

(2)在兩個圓柱之間做一長度為2ES,

I,半徑為r的同軸圓柱形高斯面，高高斯面在板內(nèi)的體積為V=Sd,

斯面內(nèi)包含的電荷為q="包含的電量為q=pV=pSd,

穿過高斯面的電通量為根據(jù)高斯定理6=q/￡o,

可得場強為E-pdlleQ

=巾E?dS=￡EdS=ElTtrl,

(欄d/2).②

根據(jù)高斯定理B=q/￡0,所以方法二：場強疊加法.

(1)

E=———,(7?i<r<7?2)?由于平板

2兀6r

的可視很多薄板疊而成的，以尸為界，

14

下面平板產(chǎn)生的場強方向向上，上面E4兀產(chǎn)2=----Kr3p

3

平板產(chǎn)生的場強方向向下.在下面板

中取一薄層dy,面電荷密度為P點場強大小為

da="dy,

產(chǎn)生的場強為的=da/2￡o，

積分得

當(dāng)場點尸在球外時，過P點作一

|四=2且③

半徑為r的同心球形高斯面，根據(jù)高斯

J/22￡02?2

定理可得方程

同理，上面板產(chǎn)生的場強為

E4^r2=--一兀R3P

了四二2包④￡()3

/2￡。2/2

P點場強大小為

r處的總場強為E=E\-E2=pr/Eo.

(2)在公式③和④中，令r=d/2,

3埒廣

得

￡2=0、E=Ei=pdUso,O點在大球體中心、小球體之

E就是平板表面的場強.外.大球體在O點產(chǎn)生的場強為零，

平板外的場強是無數(shù)個無限薄的小球在O點產(chǎn)生的場強大小為

帶電平板產(chǎn)生的電場疊加的結(jié)果，是

3%,

均強電場，方向與平板垂直，大小等

03ea2

于平板表面的場強，也能得出②式.o

方向由。指向O'.

13.10一半徑為R的均勻帶電球。,點在小球體中心、大球體之

體內(nèi)的電荷體/內(nèi).小球體在O'點產(chǎn)生的場強為零，

密度為P，若在大球在。點產(chǎn)生的場強大小為

球內(nèi)挖去一塊】片0

半徑為的.：；：：：-］

小球體，如圖所V；

示，試求兩球心\……方向也由。指向O,.

。與。、處的電［證明］在小球內(nèi)任一點P，大球和

場強度，并證明圖13.10

小球空腔內(nèi)的

電場為均強電場.

［解答］挖去一塊小球體，相當(dāng)于在

該處填充一塊電荷體密度為叩的小球

體，因此，空間任何一點的場強是兩

個球體產(chǎn)生的場強的疊加.

對于一個半徑為R，電荷體密度為

"的球體來說，當(dāng)場點尸在球內(nèi)時，過

P點作一半徑為r的同心球形高斯面，

根據(jù)高斯定理可得方程方向如圖所示.

設(shè)兩場強之間的夾角為仇合場強

的平方為［解答］兩平面產(chǎn)生的電場強度大小

分別為

￡2=/+￡；+2E,￡，.cos6

EA—2d2go=。/比，EB-。/2￡O，

兩平面在它們之間產(chǎn)生的場強方向相

222

=(-^-)(r+r>+2rr'cos^)>反，因此，總場強大小為

3￡。

E=EA-EB=(T/2￡O，

根據(jù)余弦定理得方向由/平面指向8平面.

兩平面間的電勢差為

a2=r2+r'2—2rr'cos(7T-6),

U=Ed=od/2￡。，

當(dāng)點電荷q從/面移到B面時，電場

所以E=-^-a,力做的功為

3￡°

W=qU=qad/2eo.

可見：空腔內(nèi)任意點的電場是一個常

量.還可以證明：場強的方向沿著。13.13一半徑為R的均勻帶電球

到。'的方向.因此空腔內(nèi)的電場為勻面，帶電量為Q.若規(guī)定該球面上電

強電場.勢值為零，則無限遠(yuǎn)處的電勢為多

少？

13.11如圖所示，在4、8兩點［解答］帶電球面在外部產(chǎn)生的場

處放有電量分別為+夕和R的點電荷,強為

AB間距離為

2R,現(xiàn)將另一

4/盧

正試驗電荷q

o從。點經(jīng)由于

過半圓弧路徑圖13.11

移到C點，求移動過程中電場力所做Ui」］Edl=田廠

的功.RR

［解答］正負(fù)電荷在O點的電勢的

和為零：

4磔。(

U()=0；

在。點產(chǎn)生的電勢為

0

、一4兀4R

%q?q_—_q

4兀53R4?！晷??！闝R

0

電場力將正電荷qo從。移到。所做當(dāng)"=0時，U.

4TT￡R

的功為Q

W=qoUoD=QO(UO-UD)=

伙)q/67r￡()7?.13.14電荷。均勻地分布在半徑

為R的球體內(nèi)，試證明離球心r(?R)

13.12真空中有兩塊相互平行的處的電勢為

無限大均勻帶電平面Z和B.A平面的,0(3相一昌

電荷面密度為2°,B平面的電荷面密

―8?！?。爐?

度為兩面間的距離為4.當(dāng)點電荷

q從A面移到B面時，電場力做的功［證明］球的體積為憶=3力2,

為多少？

上下兩表面的法線方向平等而與側(cè)面

電荷的體密度為P=Q=2Q^.

V4兀R3垂直，通過高斯面的電通量為

利用13.10題的方法可求球內(nèi)外0"［EdS

的電場強度大小為

EdS+E-dS+EdS=2ES.

E=j=0，r，”WR）；

3/4fR

高斯面內(nèi)的體積為V=2yS,

包含的電量為q=pV=2pSy,

，（三）

E=0,rR.根據(jù)高斯定理

4^er2①e=q/瓜，

0可得場強為E=py/eo,

取無窮遠(yuǎn)處的電勢為零，則尸處的（-b=y=h）.

電勢為穿過平板作一底面積為S,高為2y

OOROO的圓柱形高斯面，通過高斯面的電通

U=|Edl=j￡1dr+j￡dr量仍為地

①e=2ES,

高斯面在板內(nèi)的體積為V=S2b,

包含的電量為q=pV=pS2b,

根據(jù)高斯定理①e=q/e。，

可得場強為E=pb/so,

（b=y）；

E=-pb/so,

（片-8）.

22

—^—r(R-r)+---圖如左圖所示.

8萬火34g

（2）對于平面之間的點，電勢為

0（3火2j）

8萬￡（尺

13.15在夕和y=6兩個“無

限大”平面間均勻充滿電荷，電荷體2》

密度為〃，其他地方無電荷.在y=0處。=0,所以C=0,因此電

（1）求此帶電系統(tǒng)的電場分布,勢為

iffllE-y圖；2

（2）以y=0作為零電勢面，求電。=-也，（/L

2￡。

勢分布，畫E-y圖.

［解答］平板電荷產(chǎn)生的場強的方這是一條開口向下的拋物線.

向與平板垂直且對稱于中心面：E=當(dāng)丁三6時，電勢為

E',但方向相反.U=_fE-dl=-f辿dy=-辿y+C，

（1）在JJ4/

板內(nèi)取一底在y=b處U=-pb2/2so,所以C=

E'「2

面積為S,高pb/2sQ9因此電勢為

為々的圓柱S2J

,5,U=_曲y+畫,（bWy）.

面作為高斯-bo'b

-y￡（）2/

面，場強與Sf

2So;

E\

-_?;<b?S|

當(dāng)yWY時，電勢為E=(rl&o,

方向從Z指向B.

u-jEdl==心歹+c，

以B板為原點建

在^=?b處U=-pB12久，所以。=立坐標(biāo)系，則0=0，

p屆0,因此電勢為rp=-0.04m,以=

-0.05m.

U=Wy+”,

(DP點和B板間

￡()的電勢差為

兩個公式綜合得

jEd=pdr

U\y\+^—?(H—d).

>>rp

_o-

這是兩條直線.--(心一。)，

U-y圖如右圖所示.U-y圖的斜率

就形成E-y圖，在歹=±方點，電場強由于％=0,所以0點的電勢為

度是連續(xù)的，因此，在U-y圖中兩條

直線與拋物線在歹=±6點相切.Up=1,xO04=L493xl()4(V).

P8.84x10*

(2)同理可得/板的電勢為

6=2%)=L866xl()4(v).

［注意］根據(jù)電場求電勢時，如果無

法確定零勢點，可不加積分的上下限,13.17電量g均勻分布在長為2L

但是要在積分之后加?個積分常的細(xì)直線上，試求：

量.根據(jù)其他關(guān)系確定常量，就能求(1)帶電直線延長線上離中點為

出電勢，不過，線積分前面要加一個r處的電勢；

負(fù)號，即(2)帶電直線中垂線上離中點為

r處的電勢；

U=-JEdl

(3)由電勢梯度算出上述兩點的

這是因為積分的起點位置是積分下場強.

限.［解答］電荷的線密度為2=

(1)建

13.16兩塊“無限大”平行帶電立坐標(biāo)系，.「

板如圖所示，Z板帶正電，8板帶負(fù)電在細(xì)線上取

一線元61,工Kxr

并接地(地的電勢為

零)，設(shè)/和8兩板相隔A.所帶的電量

5.0cm,板上各帶電荷p為

<7=3.3xiO_6C-m-2,求:dq=M,

(1)在兩板之間離根據(jù)點電荷的電勢公式，它在Pl點產(chǎn)

〃板1.0cm處尸點的電圖13.16生的電勢為

勢；

1Jd/

(2)A板的電勢.dU1

r-l

［解答］兩板之間的電場強度為

總電勢為P2點的場強為

E私

i=dr

4兀

=「一二—]

4?！窵rVr2+A2(Vr2+A2+A)

=—―ln(r—/)

qi

4/Vr2+1}

方向沿著y軸正向.

(2)建立［討論］習(xí)題13.3的解答已經(jīng)計算

坐標(biāo)系，在細(xì)了帶電線的延長線上的場強為

線上取一線12LA

元d/,所帶的'x2-Lr，

電量為dq=

Ad/,由于2〃=g,^x=r,就得公式①.

在線的垂直(2)習(xí)題13.3的解答還計算

平分線上的02點產(chǎn)生的電勢為了中垂線上的場強為

.12LA

Ar,_4d/

2―4碼(/+/2嚴(yán)'，4庇°d^d1+1}

積分得取4=心可得公式②.

由此可見，電場強度可用場強疊

U2=-^~[,\d/

4萬￡。"2+/2產(chǎn)加原理計算，也可以用電勢的關(guān)系計

算.

=—^―ln(Vr2+/2+/)

13.18如圖

4*o所示，一個均勻帶

qyjr~+1}+L電，內(nèi)、外半徑分

=---In/一一二--------別為Ri和&的均

22

8庇Vr+L—L勻帶電球殼，所帶

q.J/+//+L電荷體密度為2，

-——-——In----------試計算：圖13.18

4兀％Lr

(1)A,8兩點的電勢;

(3)Pi點的場強大小為(2)利用電勢梯度求A,B兩點

的場強.

［解答］(1)N點在球殼的空腔內(nèi)，

空腔內(nèi)的電勢處處相等，因此/點的

=q(?J---L.電勢就等于球心。點的電勢.

8?！辍鉒r—Lr+L

在半徑為r的

球殼處取一厚度為

=_?__L_,”的薄殼，其體積

4TTEr2-I?，

0為

方向沿著x軸正向.dV=4?rJdr,

包含的電量為

dq="d/=4砍Jd〃，

在球心處產(chǎn)生的電勢為

［討論］過空腔中Z點作一半徑為r

du?！?旦也，的同心球形高斯面，由于面內(nèi)沒有電

4的）廠￡。

荷，根據(jù)高斯定理，可得空腔中A點

球心處的總電勢為場強為

R,E=0,（rWRi）.

〃=旦上山-=白（&-火：），過球殼中8點作?一半徑為尸的同心

￡o?,（）

2￡球形高斯面，面內(nèi)球殼的體積為

這就是〃點的電勢-=丁4（一一苗）,

過B點作一

球面，B的點電包含的電量為q=pV,

勢是球面外的電根據(jù)高斯定理得方程4兀在=q/%,

荷和球面內(nèi)的電可得8點的場強為

荷共同產(chǎn)生的.

（一與），（&

球面外的電E=g

荷在B點產(chǎn)生的電勢就等于這些電荷

在球心處產(chǎn)生的電勢，根據(jù)上面的推這兩個結(jié)果與上面計算的結(jié)果相同.

導(dǎo)可得在球殼外面作一半徑為r的同心球

形高斯面，面內(nèi)球殼的體積為

5=白咫-嗡.4

25■=?。恳豢桑?

球面內(nèi)的電荷在B點產(chǎn)生的電勢包含的電量為q=pV,

等于這些電荷集中在球心處在B點產(chǎn)根據(jù)高斯定理得可得球殼外的場強為

生的電勢.球殼在球面內(nèi)的體積為

q，（&-府

4a.2

4疫（/3￡or

包含的電