湖北省十堰市2021年中考數(shù)學(xué)試卷試題真題(含答案解析)

湖北省十堰市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共10題；共20分）

1.-^的相反數(shù)是（）

11

A.-2B.2C.--%

【答案】D

【考點】相反數(shù)及有理數(shù)的相反數(shù)

【解析】【解答】因為（一》+：=0,所以一：的相反數(shù)是.

故答案為D

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)可求解.

2.如圖，直線AB〃CC,/1=55°,2=32°，貝U與=（）

A.87°B.23°C.67°D.90°

【答案】A

【考點】平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)

【解析】【解答】解：：AB//CD,^1=55°,

4=/I=55°,

42+4=87°,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出4=/1=55°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出N3=N2+NC,據(jù)此

計算即可.

3.由5個相同的小立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的俯視圖為（）

人rrRB-用cBznD-cB

【答案】A

【考點】簡單組合體的三視圖

【解析】【解答】解：該幾何體從上向下看，其俯視圖是

rrR

故答案為：A.

【分析】俯視圖：從物體上面所看的平面圖形；注意：看到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線，據(jù)此判斷

即可.

4.下列計算正確的是()

A.a3-a3=2a3B.(—2a)2=4a2

C.(a+b)2=a2+b2D.(a+2)(a-2)=a2—2

【答案】B

【考點】同底數(shù)基的乘法，完全平方公式及運用，平方差公式及應(yīng)用，積的乘方

【解析】【解答】解：A.a3-a3=a6,該項計算錯誤；

B.(-2a)2=4a2,該項計算正確；

C.(a4-b)2=a2+2ab+b2,該項計算錯誤；

D.(a+2)(a-2)=a2-4,該項計算錯誤；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法、積的乘方、完全平方公式及平方差公式分別進(jìn)行計算，然后判斷即可.

5.某校男子足球隊的年齡分布如下表

年齡131415161718

人數(shù)268321

則這些隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()

A.8,15B.8,14C.15,14D.15,15

【答案】D

【考點】中位數(shù)，眾數(shù)

【解析】【解答】解：根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，同一年齡人數(shù)最多的是15歲，共8人，所以眾數(shù)是15歲；

22名隊員中，按照年齡從小到大排列，第11名隊員與第12名隊員的年齡都是15歲，所以，中位數(shù)是(15

+15)+2=15歲.

故答案為：D.

【分析】中位數(shù)：先把數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)進(jìn)行排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么最中間的

那個數(shù)據(jù)就是中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么最中間的那兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，眾數(shù)：

是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；據(jù)此求解即可.

6.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)400臺機(jī)器所需時間比原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器

所需時間少1天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則下列方程正確的是()

400450—1450400_1

一±B.

XX-50X-50X

400_當(dāng)-450400__

-3cUnD.—5

XX+1-X+1X

【答案】B

【考點】分式方程的實際應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)現(xiàn)在每天生產(chǎn)x臺，則原來可生產(chǎn)(x-50)臺.

依題意得：推一第=1.

故答案為：B.

【分析】設(shè)現(xiàn)在每天生產(chǎn)x臺，則原來可生產(chǎn)(x-50)臺，根據(jù)"生產(chǎn)400臺機(jī)器所需時間比原計劃生

產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間少1天”列出方程即可.

7.如圖，小明利用一個銳角是30°的三角板測量操場旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離BC

為15m，AB為1.5m(即小明的眼睛與地面的距離)，那么旗桿的高度是()

A.(15V3+|)mB.5V3mC.15V3mD.(5V3+|)m

【答案】D

【考點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：ABJLBC,DE±BC,ADIIBC,

四邊形ABCD是矩形，

BC=15m,AB=1.5m,

AD=BC=15m,DC=AB=1.5m,

在RtAAED中，

???ZEAD=30",AD=15m,

ED=AD?tan30°=15x叵=S圾，

3

CE=CD+DE=(5V3+|)m.

故答案為：D.

【分析】證明四邊形ABCD是矩形，可得AD=BC=15m,DC=AB=1.5m,在RSAED中，求出ED=

AD?tan30°=56,利用CE=CD+DE即可求出結(jié)論.

8.如圖，4ABC內(nèi)接于。0,/BAC=120°,AB=AC,BD是。。的直徑，若力。=3,貝UBC=

()

A.2V3B.3V3C.3D.4

【答案】C

【考點】垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形

【解析】【解答】解：過點。作OFJ_BC于F,

BF=CF=-BC,

2

,/AB=AC,ZBAC=120°,

ZC=NABC=(180°-ZBAC)4-2=30°,

zC與ND是同弧所對的圓周角，

/.ZD=ZC=30°,

VBD為OO的直徑，

ZBAD=90°,

/.ZABD=60°,

ZOBC=NABD-ZABC=30°,

,/AD=3,

??.BD=AD+cos30°=3+3=2次，

2

OB=1BD=V3，

BF=OB?cos300=y/3x~，

22

/.BC=3.

故答案為：c.

【分析】過點。作。F_LBC于F,根據(jù)垂徑定理求出BF=CF=iBC,利用等腰三角形的性質(zhì)得出NC=

NABC=30。，根據(jù)圓周角定理求出ND=NC=30。，ZBAD=90°,從而求出NOBC=NABD-NABC=30。，

繼而得出BD=AD4-COS30°=2V3，可求出OB=|BD=V3,由BF=OB?cos30°求出BF,從而求出BC

的長.

9.將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列的數(shù)為27,則位于第32行第

13列的數(shù)是()

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【考點】探索數(shù)與式的規(guī)律

【解析】【解答】解：觀察數(shù)字的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n行，第n列的數(shù)據(jù)為：2n(n-l)+l,

.??第32行,第32列的數(shù)據(jù)為：2x32x(32-1)+1=1985,

根據(jù)數(shù)據(jù)的排列規(guī)律，第偶數(shù)行從右往左的數(shù)據(jù)一次增加2,

第32行,第13列的數(shù)據(jù)為：1985+2x(32-13)=2023,

故答案為：B.

【分析】觀察數(shù)字的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n行，第n列的數(shù)據(jù)為：2n(n-l)+l,據(jù)此求出n=32時的數(shù)據(jù)，

根據(jù)數(shù)據(jù)的排列規(guī)律，第偶數(shù)行從右往左的數(shù)據(jù)一次增加2,從而求出結(jié)論.

10.如圖，反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象經(jīng)過點4(2,1),過A作ABly軸于點B,連。4,直線

CDLOA,交x軸于點C,交y軸于點D,若點B關(guān)于直線CD的對稱點B’恰好落在該反比例函數(shù)圖

象上，則D點縱坐標(biāo)為()

【答案】A

【考點】勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，平行線分線段成比例，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

【解析1【解答】解：..?反比例函數(shù)y=E(x>0)的圖象經(jīng)過點4(2,1),

.k=2,

???直線OA的解析式為y=^x,

■：CD1OA,

設(shè)直線CD的解析式為y=—2x+b,

則D(Q,b),

設(shè)點B關(guān)于直線CD的對稱點,

則3—1)2=。2+《一人)2①,

旦BB'“OA,

2

即匚！=工，解得。=而—1,

a2

代入①可得b=56

4

故答案為：A.

【分析】將點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k=2,即得y=|,利用待定系數(shù)法求出直線0A的解

析式為y=：久，由CD1。4可設(shè)直線CD的解析式為y=—2x+b.可得D(O,b),可設(shè)

8'(a$,利用勾股定理可得(b-=a?+吟-b)2①，由BB，〃04，可得二2=：,求出a值，

然后將a值代入①求出b值即可.

二、填空題(共5題；共6分)

11.已知xy=2,x-3y=3,則2x3y-12x12y2+18xy3=.

【答案】36

【考點】因式分解的應(yīng)用

【解析】【解答】丫xy=2,x-3y=3,

原式=2xy(x—3y/=2x2x32=36,

故答案是：36.

【分析】利用因式分解將原式變形為2xyQ-3y尸，然后整體代入計算即可.

12.如圖，。是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點.若AB=5,AD=12,則四邊形ABOM的周

長為.

【答案】20

【考點】矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點,

11

/.OM=-CD=-AB=2.5,

22

?，,AB=5,AD=12,

AC=V52+122=13,

O是矩形ABCD的對角線AC的中點，

BOJAC=6.5,

2

四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20,

故答案為：20.

【分析】根據(jù)題意可知OM是△ADC的中位線，所以O(shè)M的長可求；根據(jù)勾股定理可求出AC的長，利用

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出BO的長，進(jìn)而求出四邊形ABOM的周長.

13.對于任意實數(shù)a、b,定義一?種運算：a⑤b=a?+爐一也，若x<8)(%-1)=3,則x的值為

【答案】-1或2

【考點】因式分解法解一元二次方程，定義新運算

【解析】【解答】解：根據(jù)新定義內(nèi)容可得：x0(x-1)=x2+(x-I)2-x(x-1)=3,

整理可得X2-X-2=0,

解得%!=-1,x2=2,

故答案為：-1或2.

【分析】利用定義新運算可得工笆)。-1)=M+。一1)2一乂(尤一1)=3,然后求出方程的解即可.

14.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以AB為直徑的半圓交對角線AC于點E,以C為圓心、BC

長為半徑畫弧交AC于點F,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】3H-6

【考點】三角形的面積，正方形的性質(zhì)，扇形面積的計算

【解析】【解答】連接BE,

■.?在正方形ABCD中，以AB為直徑的半圓交對角線AC于點E,

ZAEB=90°,即：AC±BE,

???ZCAB=45",

t^ABE是等腰直角三角形，即：AE=BE,

弓形BE的面積=-7TX2^—X2X2=7T—2,

42

陰影部分的面積=弓形BE的面積+扇形CBF的面積-△BCE的面積

=兀一2+竺絲上11/XC》

-2X2X4X4=3兀-6.

360

故答案是：3n-6.

【分析】連接BE,可求出△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE,由于陰影部分的面積=弓形BE的面積+

扇形CBF的面積-4BCE的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式進(jìn)行計算即可.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6，點P是平面內(nèi)一個動點，且4尸=3,Q

為BP的中點，在P點運動過程中，設(shè)線段CQ的長度為m,則m的取值范圍是.

【答案】|Sm<當(dāng)

【考點】三角形三邊關(guān)系，勾股定理，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：作AB的中點M,連接CM、QM.

"AP=3,

???P在以A為圓心，3為半徑的圓上運動，

在直角△ABC中，AB=JAC2+BC2=V82+62=10，

??M是直角△ABC斜邊AB上的中點，

CM=-AB=5.

2

.Q是BP的中點，M是AB的中點，

13

MQ=-AP=-.

22

在4CMQ中，5-|<CQ<j+5,即|<m<y.

故答案是：|SmST-

【分析】作AB的中點M,連接CM、QM,在直角△ABC中，利用勾股定理求出AB=10,利用直角三角形

斜邊中線的性質(zhì)得出CM=|AB=5,根據(jù)三角形中位線的定理可得MQ=|AP=|,在△CMQ中，

CM-MQ<CQ<MQ+CM,據(jù)此即可求出結(jié)論.

三、解答題（共9題；共90分）

16.計算：V^cos45+(-)-1—|-3|.

【答案】解：原式=V2x^+3-3

=1.

【考點】實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【分析】利用特殊角三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)幕的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別進(jìn)行計算，再合并即可.

".化簡：（黑-玲）+??

【答案】解：原式=（痣與一品）

(a+2)(a—2)a

a(a-2/a(a-2產(chǎn))a-4

a2-4-a2+aa

------------------------------?------------

a(a-2)2a-4

a-4a

a(a—2)2a—4

]

(a3

【考點】分式的混合運算

【解析】【分析】將括號內(nèi)通分并利用同分母分式減法法則計算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)行約分即可化

簡.

18.為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行黨史知識競賽活動.賽后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績，按得

分劃分為A、B、C、D四個等級，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.

等級成績（X）人數(shù)

A90<x<10015

B80<x<90a

C70<x<8018

D%<707

根據(jù)圖表信息，回答下列問題：

（1）表中a=；扇形統(tǒng)計圖中，C等級所占的百分比是；D等級對應(yīng)的扇形圓心角為

度；若全校共有1800名學(xué)生參加了此次知識競賽活動，請估計成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有

________人.

（2）若95分以上的學(xué)生有4人，其中甲、乙兩人來自同一班級，學(xué)校將從這4人中隨機(jī)選出兩人參加市

級比賽，請用列表或樹狀圖法求甲、乙兩人至少有1人被選中的概率

【答案】（1）20；30%；42°；450

（2）解：列表如下：

甲乙丙一「

甲甲乙甲丙甲J-

乙甲乙乙丙乙丁

內(nèi)甲丙乙丙丙丁

T甲丁乙丁丙丁

共有12種情況，其中甲、乙兩人至少有1人被選中的有10種，

，P（甲、乙兩人至少有1人被選中）

126

【考點】用樣本估計總體，統(tǒng)計表，扇形統(tǒng)計圖，列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)為15+2=60人，

???a=60-15-18-7=20,

C等級所占的百分比券x100%=30%,

60

D等級對應(yīng)的扇形圓心角｝x360=42°,

60

若全校共有1800名學(xué)生參加了此次知識競賽活動，成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有1800X^=450人；

【分析】（1）先求出抽取總?cè)藬?shù)，再利用總?cè)藬?shù)分別減去A、C、D等級人數(shù)，即得a值；利用C等級人

數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以100%即得C等級的百分比；利用D等級的百分比乘以360。即得D等級對應(yīng)的扇形

圓心角度數(shù)；利用樣本中A等級百分比乘以1800,即得結(jié)論；

（2）利用列表法列舉出共有12種等可能情況，其中甲、乙兩人至少有1人被選中的有10種，然后利

用概率公式計算即可.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程%2-4%-2m+5=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若該方程的兩個根都是符號相同的整數(shù)，求整數(shù)m的值.

【答案】（D解：丫一元二次方程x2-4x-2m+5=0有兩個不相等的實數(shù)根，

Zl=16-4（-2m+5）>0,

解得m>|

（2）解：設(shè)該方程的兩個根為打、x2,

該方程的兩個根都是符號相同的整數(shù)，

xrx2=-2m+5>0,XI+%2=4,

m的值為1或2,

當(dāng)m=1時，方程兩個根為Xj=1>小=3；

當(dāng)加=2時，方程兩個根5與x2不是整數(shù)；

m的值為1

【考點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次方程/一4%一2機(jī)+5=()有兩個不相等的實數(shù)根，可得△>0,據(jù)

此解答即可；

(2)設(shè)該方程的兩個根為％、打，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系及方程的兩個根都是符號相同的整數(shù)，可

得/%2=-2血+5>0,與+&=4,可得m的范圍，然后求出其整數(shù)解即可.

20.如圖，已知AABC中，D是4C的中點，過點D作DE1AC交BC于點E,過點A作AF//BC交

DE于點F,連接AE>CF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若CF=2,ZFAC=30°,=45°，求4B的長.

【答案】⑴證明：AF//BC,

???NFAD=ZECD,

■二D是AC的中點，DELAC,

NFDA=/EDC,AD=CD,

△ADF=△CDE，

??.AF=CE,

四邊形AECF是平行四邊形，

DE1AC,

，平行四邊形AECF是菱形

(2)解：?.AECF是菱形，

AF=CF=2,

AD=AF-cos30°=用，

AC=2AD=2V3,

過點A作AM1BC,

AM=AC-sin30°=遮，

AM

AB

sin450

【考點】菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，三角形全等的判定(ASA)

【解析】【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)可證得NFAD=NECD,利用垂直的定義和線段中點的定義可證得

ZFDA=ZEDC,AD=CD,利用ASA可證得△AD也△CDE,利用全等三角形的性質(zhì)可證得AF=CE；再利用一

組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的平

行四邊形是菱形，可證得結(jié)論.

(2)利用菱形的性質(zhì)可求出AF的長，利用解直角三角形求出AD的長，即可求出AC的長；過點A作

AM±BC,利用解直角三角形求出AM,AB的長.

21.如圖，已知AB是。。的直徑，C為。。上一點，NOCB的角平分線交O0于點D,F在直線

AB上，且。尸1BC,垂足為E,連接4。、BD.

(1)求證：DF是0。的切線；

(2)若tan4=：,。。的半徑為3,求EF的長.

【答案】(1)證明：連接0D,

0D=0C,

???NOCD=ZODC，

CD平分/OCB，

???ZOCD=/BCD,

/ODC=/BCD,

OD“BC,

,/DF1BC

???ODIDF,

「?DF是OO的切線

（2）解：:NADO+NBDO=90°,ZFDB+ZBDO=90°，

???ZADO=/FDB,

ZADO=ZOAD,

??.ZOAD=NFDB,

△ADFDBF,

DBDFBF1

—AD=—AF=—DF=tan^71=2-,

DF=-AF=2BF，

2

即|（^F+6）=2BF,解得BF=2,DF=4,

OD1.DF,BELDF,

△ODFs&BEF,

,解得EF=-

DFOF2+35

【考點】切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形

【解析X分析［（1）連接OD,利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證得NODC=NBCD,可推出ODIIBC,

結(jié)合已知條件可得到ODLDF,然后利用切線的判定定理可證得結(jié)論.

（2）利用余角的性質(zhì)可證得NADO=NFDB,再證明NOAD=NFDB,可證得△ADF-△DBF,利用相似三角

形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義可證得DF=2BF,由此可求出BF,DF的長；再證明△ODF。ABEF,利用相

似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出EF的長.

22.某商貿(mào)公司購進(jìn)某種商品的成本為20元/kg，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價

y（元/版）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：、=嚴(yán)及:怒1氣就且x為整數(shù)，且日銷量

m&g）與時間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系,如下表：

時間X（天）13610

日銷量m（kg）142138132124

填空：

（1）m與x的函數(shù)關(guān)系為；

（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前20天中，公司決定每銷售Kg商品就捐贈n元利潤（n<4）給當(dāng)?shù)馗＠海?/p>

發(fā)現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間x的增大而增大，求n的取值范圍.

【答案】（1）m=-2x+144

（2）解：當(dāng)1WxW20時，

銷售利潤W=my-20m=（-2x+144）（0.25x+30-20）=-|（x-16）2+1568,

當(dāng)x=16時，銷售利潤最大為1568元；

當(dāng)20cx<40時，

銷售利潤W=my-20m=-30x+2160,

當(dāng)尤=21時，銷售利潤最大為1530元；

綜上所述，第16天銷售利潤最大，最大為1568元

(3)解：在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤為：

W'—my-20m—nm—(0.25x+10—n)(-2x+144)=—1x2+(16+2n)x+1440—144n,

1WXM20時，Wz隨x的增大而增大，

對稱軸16+2n420,解得0<n<2

【考點】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答］解：(1)設(shè)m=+b,將(1,142)，(3,138)代入可得：

f142=k+bZBfk=-2

138=3k+bb=144

m=—2x+144；

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出m與x的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)14XW20,根據(jù)W二my,可得到W與x之間的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)可求出銷售利潤最大值；當(dāng)20<x“0,根據(jù)W=my,可得到W與x之間的函數(shù)解析式，利

用一次函數(shù)的性質(zhì)求出銷售利潤的最大值，即可求解.

(2)由題意可知W'=my-2m-nm,列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

23.已知等邊三角形ABC,過A點作AC的垂線I,點P為I上一動點(不與點A重合)，連接CP,把

線段CP繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CQ,連QB.

(1)如圖1，直接寫出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點P、B在AC同側(cè)且AP=AC時，求證：直線PB垂直平分線段CQ；

(3)如圖3,若等邊三角形ABC的邊長為4,點P、B分別位于直線AC異側(cè)，且△APQ的面積等于

在，求線段AP的長度.

4

【答案】(1)證明：???線段CP繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CQ,

/.CP=CQ,ZPCQ=60°,

，?,在等邊三角形ABC中，ZACB=60°,AC=BC,

ZACP=ZBCQ,

??△ACP=△BCQ,

AP=BQ

(2)解：I，AP=AC,CA±I,

^ACP是等腰直角三角形，

^ACPSABCQ,

?1?4BCQ是等腰直角三角形，ZCBQ=90°,

...在等邊三角形ABC中,AC=AB,ZBAC=ZABC=60°,

AB=AP,ZBAP=90--60°=30°,

ZABP=ZAPB=(180°-30°)+2=75°,

ZCBD=180°-75°-60°=45°,

PD平分NCBQ,

直線PB垂直平分線段CQ

(3)解：過點B作BE_U,過點Q作QFL,

由(1)小題，可知：4ACP三4BCQ,

AP=BQ,ZCAP=ZCBQ=90°,

ZACB=60°,ZCAM=90°,

ZAMB=360o-60o-90°-90o=120o,即：ZBME=ZQMF=60",

ZBAE=90°-60°=30°,AB=4,

BE=-AB=2,

2

BM=BE+sin60-=2+更=士百，

23

設(shè)AP=x,貝ljBQ=x,MQ=x--V3,QF=MQxsin600=(x--V3)x@,

332

XAPQ的面積等于f,

；APxQF=在，即：；xx(x-：百僅狼=在，解得：乂=+且或久=?6一包(不合題

242'31243333

意，舍去)，

AP=-V3+—

33

【考點】解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的綜合

【解析】【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得CP=CQ,NPCQ=60。，利用等邊三角形的性質(zhì)去證明

ZACP=ZBCQ,利用SAS,可證得AACP2&BCQ,利用全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論.

(2)利用已知條件易證AACP是等腰直角三角形，利用全等三角形的性質(zhì)可證得△BCQ是等腰直角三角

形，再利用等邊三角形的性質(zhì)去證明AB=AP,同時可求出NBAP,ZABP,NCBD的度數(shù)，由此可證得結(jié)

論.

(3)利用全等三角形的性質(zhì)可證得AP=BQ,NCAP=NCBQ=90。，再證明NQMF=NBAE=60。，同時可求出

NBAE的度數(shù)；利用直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長，利用解直角三角形求出BM的長，設(shè)AP=x,則

BQ=x,可表示出MQ,QF的長；再利用APAQ的面積=在,建立關(guān)于X的方程，解方程求出符合題意的X

4

的值，即可得到AP的長.

24.已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于點4(-1,0)和5(-5,0),與y軸交于點C,頂點為P,點N

在拋物線對稱軸上且位于x軸下方，連AN交拋物線于M,連AC、CM.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)tan/4cM=2時，求M點的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2,過點P作x軸的平行線I,過M作MO11于D,若MD=6MN,求N點的坐標(biāo).

【答案】(1)解：將點4(-1,0)和點B(-5,0)代入y=ax2+bx-5得

a—b—5=0a=

解得:-1

25a-5b-5=0b=-6

：?y=—x2—6x—5

(2)解：點A作AELAC交CM的延長線于點E,過E作EF，％軸于E,如下圖

???ZEFA=ZEAC=90°

???ZFAE+ZOAC=90°

又???ZACO+ZOAC=90°

???ZEAF=ZACO

AAAOC?AEFA

.AC_AO_CO

“EA~EF~AF

vtan^TlCM=2即隼=2

ACAOCO1

—=—=—=—

EAEFAF2

當(dāng)x=0時，y=-5

???C(0,-5)即OC=5

：.EF=2,AF=10即F(-ll,-2)

???設(shè)直線CE的解析式為