二次函數(shù)綜合題課件

專(zhuān)題五二次函數(shù)綜合題類(lèi)型四特殊四邊形存在性問(wèn)題(8年2考)二階

綜合訓(xùn)練1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2－2ax＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，D為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；第1題圖解：(1)∵拋物線y＝ax2－2ax＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，∴

解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3；第1題圖(2)如圖①，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，E，F(xiàn)為拋物線上兩點(diǎn)，以C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為e，求e的值；第1題圖(2)∵E的橫坐標(biāo)為e，∴E(e，－e2＋2e＋3)，設(shè)F(f，－f2＋2f＋3)，而C(0，3)，D(2，0)，①若EF，CD為對(duì)角線，則EF，CD的中點(diǎn)重合，∴

解得e＝

或e＝

；②若EC，F(xiàn)D為對(duì)角線，則

解得e＝

；③若ED，F(xiàn)C為對(duì)角線，則

解得e＝

；綜上所述，e的值為

或

或

或

；第1題圖(3)如圖②，若D為拋物線第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AD，BD分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則

是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．第1題圖(3)

是定值，設(shè)D(m，－m2＋2m＋3)，設(shè)直線AD的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，∴

解得

∴直線AD的表達(dá)式為y＝－(m－3)x＋3－m，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，3－m)，同理可得，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，3m＋3)，∴FC＝3m＋3－3＝3m，EC＝3－3＋m＝m，∴

＝

＝3.第1題圖平行四邊形存在性問(wèn)題平行四邊形存在性問(wèn)題平行四邊形存在性問(wèn)題2.(2016成都B卷28題12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a(x＋1)2－3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0，－

)，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)．(1)求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；第2題圖備用圖解：(1)將點(diǎn)C(0，－

)代入y＝a(x＋1)2－3中，得－

＝a－3，解得a＝

，∴y＝

(x＋1)2－3，當(dāng)y＝0時(shí)，即

(x＋1)2－3＝0，解得x1＝2，x2＝－4，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A(－4，0)，點(diǎn)B(2，0)；第2題圖直線l有兩種可能情況：分別為l1和l2，設(shè)直線l1與BC交于點(diǎn)E，直線l2與AD交于點(diǎn)F，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－3，∴D(－1，－3)，∴DH＝3，(2)當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；第2題圖(2)如解圖①，連接CH.第2題解圖①∴S四邊形ABCD＝S△AHD＋S△HCD＋S△BHC＝

×3×3＋

×3×1＋

×3×

＝10，則S△BHE＝S△AHF＝

S四邊形ABCD＝3.∵AH＝BH＝3，∴點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)為－2，由B(2，0)，C(0，－

)可得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝

x－

，令

x－

＝－2，解得x＝

，∴E(

，－2)，第2題解圖①同理，由A(－4，0)，D(－1，－3)可得直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x－4，令－x－4＝－2，解得x＝－2，∴F(－2，－2).設(shè)直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋b，將H(－1，0)，E(

，－2)代入，得解得

∴l(xiāng)1的函數(shù)表達(dá)式為＝－

x－

，同理l2的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x＋2.綜上所述，直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝

x－

或y＝2x＋2；第2題解圖①

解題關(guān)鍵點(diǎn)分直線l與BC相交和直線l與AD相交兩種情況求解；(3)當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否成為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．第2題圖(3)以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形．如解圖②，設(shè)lPQ：y＝kx＋k(k<0)，P(x1，

(x1＋1)2－3)，Q(x2，

(x2＋1)2－3)，聯(lián)立

整理得

x2＋(

－k)x－k－

＝0，第2題解圖②由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝3k－2，x1x2＝－3k－8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，∴x＝

＝

－1，y＝＝

k2，∴M(

－1，

k2).∵ND∥PQ，∴設(shè)lDN：y＝kx＋k－3，聯(lián)立

解得

(舍去)或

∴N(3k－1，3k2－3).第2題解圖②∵四邊形DMPN是以DP為對(duì)角線的菱形，∴由菱形的性質(zhì)得xP－xN＝xM－xD，即xP＝xM＋xN－xD＝

－1＋3k－1－(－1)＝

k－1，同理yP＝y(tǒng)M＋yN－yD＝

k2，代入二次函數(shù)表達(dá)式得

k2＝

(

k－1＋1)2－3，解得k＝－

或k＝

(舍去)，將k＝－

代入N(3k－1，3k2－3)中，得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－2－1，1).第2題解圖②

解題關(guān)鍵點(diǎn)利用菱形的性質(zhì)表示出點(diǎn)P，Q的橫、縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．菱形存在性問(wèn)題3.(2023雙流區(qū)二診)如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝3的拋物線y＝x2＋bx＋c與y軸交于點(diǎn)A(0，7)，P是拋物線上x(chóng)軸上方的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的部分(包含端點(diǎn))記為圖象C.(1)求拋物線的表達(dá)式；第3題圖備用圖解：(1)∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝3，∴－

＝3，∴b＝－6，∴拋物線表達(dá)式為y＝x2－6x＋c.將點(diǎn)A(0，7)代入拋物線表達(dá)式中，得7＝c，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－6x＋7；(2)當(dāng)m符合什么條件時(shí)，圖象C的最大值與最小值的差為9?第3題圖備用圖(2)∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－2)，當(dāng)y＝7時(shí)，x2－6x＋7＝7，∴x＝0或x＝6.當(dāng)m≥6時(shí)，圖象C的最小值為－2，最大值為m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－(－2)＝9，解得m＝0(舍去)或m＝6，∴當(dāng)m＝6時(shí)，圖象C的最大值與最小值的差為9；當(dāng)3≤m<6時(shí)，圖象C的最小值為－2，最大值為7，∴圖象C的最大值與最小值的差為9；當(dāng)0≤m＜3時(shí)，圖象C的最大值為7，最小值為m2－6m＋7，∴7－(m2－6m＋7)＝9，解得m＝3(舍去)；當(dāng)m＜0時(shí)，圖象C的最小值為7，最大值為m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－7＝9，解得m＝3－3或m＝3＋3(舍去)；綜上所述，當(dāng)3≤m≤6或m＝3－3時(shí)，圖象C的最大值與最小值的差為9；第3題圖(3)如果一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分割成兩個(gè)三角形，且這兩個(gè)三角形相似，我們就把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形，已知M為直線y＝

x上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，連接OP，若四邊形ONPM是以O(shè)P為和諧線的和諧四邊形，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．第3題圖備用圖(3)如解圖，當(dāng)四邊形ONPM是以O(shè)P為和諧線的和諧四邊形時(shí)，必然有∠OM1P＝90°或∠OPM2＝90°，且OP為∠NOM的平分線，連接NM1交OP于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)M1作M1E⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M2作M2F⊥x軸于點(diǎn)F.第3題解圖點(diǎn)M1在直線y＝

x上，設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(4a，3a)，則OM1＝5a.∵OP為∠NOM的平分線，∴PN＝PM1，ON＝OM1＝5a，設(shè)P(m，5a)，第3題解圖∵P＝(3a－5a)2＋(4a－m)2，∴(3a－5a)2＋(4a－m)2＝m2，解得m＝

a，∴點(diǎn)P(

a，5a)，∴直線OP的表達(dá)式為y＝2x，聯(lián)立方程組

解得或

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(7，14)，①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)時(shí)，由

a＝1，解得a＝

，∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(

，

).根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，則OP⊥NM1，又∵PM1⊥OM1，∴△OBM1∽△OM1P，∴＝

＝

，∵OP＝，OM1＝2，PM1＝1，∴BM1＝

＝

，∴OB＝

，∵OP⊥BM1，OP⊥PM2，∴BM1∥PM2，∴＝

，∴OM2＝

.第3題解圖∵點(diǎn)M2在直線y＝

x上，∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(2，

)；②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7，14)時(shí)，由

a＝7，解得a＝

，∴M1(

，

)，方法同①求得點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(14，

)，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

，)或(2，

)或(

，

)或(14，

).第3題解圖4.(2017成都B卷28題12分)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D(0，4)，AB＝

，設(shè)點(diǎn)F(m，0)是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′.(1)求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；第4題圖解：(1)∵AB＝4，且頂點(diǎn)D(0，4)在y軸上，∴A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴A(－2，0)，B(2，0).設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋4，將A(－2，0)代入，得0＝8a＋4，解得a＝－

.∴拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y＝－

x2＋4；第4題圖(2)若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍；第4題圖(2)∵拋物線C繞點(diǎn)F(m，0)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′，則拋物線C′的頂點(diǎn)為D′(2m，－4)，開(kāi)口大小不變，開(kāi)口方向改變，∴二次項(xiàng)系數(shù)為

，∴拋物線C′的函數(shù)表達(dá)式為y＝

(x－2m)2－4；聯(lián)立

整理得x2－2mx＋2m2－8＝0，∵兩拋物線在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴b2－4ac>0，即4m2－4(2m2－8)>0，解得－2<m<2.∵

即

解得m>2，∴2＜m＜2，∴滿足條件的m的取值范圍為2<m<2；第4題圖(3)如圖②，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C′上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP′N(xiāo)能否成為正方形，若能，求出m的值；若不