陜西省西安市蓮湖區(qū)七十中2023-2024學年高考數(shù)學五模試卷含解析

陜西省西安市蓮湖區(qū)七十中2023-2024學年高考數(shù)學五模試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．2．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里3．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．4．已知為定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（）A． B． C． D．5．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調遞減，已知是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能6．A． B． C． D．7．年某省將實行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．249．已知中，，則（）A．1 B． C． D．10．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或11．五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為（）A． B． C． D．12．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數(shù)據(jù)的標準差為_______.14．設復數(shù)滿足,則_________.15．已知四棱錐，底面四邊形為正方形，，四棱錐的體積為，在該四棱錐內放置一球，則球體積的最大值為_________．16．三棱柱中，，側棱底面，且三棱柱的側面積為.若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上，則球的表面積的最小值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）為坐標原點，過作兩條射線，分別交橢圓于、兩點，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）當x>0時，若函數(shù)g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求實數(shù)a的取值范圍．19．（12分）第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關法規(guī)宣傳普及的關系，對某試點社區(qū)抽取戶居民進行調查，得到如下的列聯(lián)表．分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計已知在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為．（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有關？說明你的理由；（2）已知在試點前分類意識強的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中，隨機選出戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考20．（12分）在平面直角坐標系中，將曲線（為參數(shù)）通過伸縮變換，得到曲線，設直線（為參數(shù))與曲線相交于不同兩點，.（1）若，求線段的中點的坐標；（2）設點，若，求直線的斜率.21．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對應的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.22．（10分）在三棱錐S-ABC中，∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點，SA=2(I)證明：SD⊥BC；(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設,,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設,,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.2、B【解析】

人每天走的路程構成公比為的等比數(shù)列，設此人第一天走的路程為，計算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構成公比為的等比數(shù)列，設此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.3、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調遞增，且，所以.【詳解】在上單調遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，利用單調性比大小等知識，考查了學生的運算求解能力.4、D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學生對于函數(shù)性質的靈活運用.5、B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調性，結合三角函數(shù)的性質即可比較．【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因為在區(qū)間上單調遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，在上單調遞增，因為，是銳角三角形的兩個內角，所以且即，所以即，．故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．6、A【解析】

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．7、B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．8、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質，是數(shù)列的?？碱}型.9、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.10、C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據(jù)題意有，即，因為數(shù)列各項都是正數(shù)，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.11、D【解析】

三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1，求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意，三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1；基本事件總數(shù)有種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種情況；若為第二種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率為，故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選：D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.12、B【解析】

設，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標，結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標準差．【詳解】解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差為：，該組數(shù)據(jù)的標準差為1．故答案為：1．【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標準差的求法，考查平均數(shù)、方差、標準差的定義等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．14、.【解析】

利用復數(shù)的運算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念可得結果.【詳解】∵復數(shù)滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題．15、【解析】

由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設，由球與四棱錐的內切關系可知，設，用和表示四棱錐的體積，解得和的關系，進而表示出內切球的半徑，并求出半徑的最大值，進而求出球的體積的最大值.【詳解】設，，由球O內切于四棱錐可知，，，則，球O的半徑，，，，當且僅當時，等號成立，此時.故答案為：.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題，內切球問題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.16、【解析】

分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設棱柱的底面邊長為，高為，則三棱柱的側面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖，∵三棱柱為正三棱柱∴設，∴三棱柱的側面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為：【點睛】考查學生對幾何體的正確認識，能通過題意了解到題目傳達的意思，培養(yǎng)學生空間想象力，能夠利用題目條件，畫出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由條件可得，再根據(jù)離心率可求得，則可得橢圓方程；（2）當與軸垂直時，設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立求得的坐標，通過、斜率之積為列方程可得的值，進而可得的面積；當與軸不垂直時，設，，的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和、斜率之積為可得，再利用弦長公式求出，以及到的距離，通過三角形的面積公式求解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，，，，，，橢圓方程為；（2）（?。┊斉c軸垂直時，設直線的方程為：代入得：，，，解得：，；（ⅱ）當與軸不垂直時，設，，的方程為由，由①，，，即整理得：代入①得：到的距離綜上：為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）。【解析】

（Ⅰ）分類討論，去掉絕對值，求得原絕對值不等式的解集；（Ⅱ）由條件利用基本不等式求得，，再由，求得的范圍．【詳解】（Ⅰ）當時，原不等式可化為，此時不成立；當時，原不等式可化為，解得，即；當時，原不等式可化為，解得.綜上，原不等式的解集是．（Ⅱ）因為，當且僅當時等號成立，所以.當時，，所以．所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及轉化與化歸思想，難度一般；常見的絕對值不等式的解法，法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．19、（1）有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系．見解析（2）分布列見解析，期望為1．【解析】

（1）由在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為可得列聯(lián)表，然后計算后可得結論；（2）由已知的取值分別為，分別計算概率得分布列，由公式計算出期望．【詳解】解：（1）根據(jù)在抽取的戶居民中隨機抽取戶，到分類意識強的概率為，可得分類意識強的有戶，故可得列聯(lián)表如下：分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計因為的觀測值，所以有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系．（2）現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中，選出戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，則0，1，2，3，故，，，，則的分布列為．【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望．考查學生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力．20、（1）；（2）.【解析】

（1）由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點參數(shù)和，再利用M點的參數(shù)為A、B兩點參數(shù)和的一半即可求M的坐標；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到，再利用計算即可，但要注意判別式還要大于0.【詳解】（1）由已知，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其普通方程為，當時，將（為參數(shù)）代入得，設直線l上A、B兩點所對應的參數(shù)為，中點M所對應的參數(shù)為，則，所以的坐標為；（2）將代入得，則，因為即，所