高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.1.1省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲

第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡單應(yīng)用1/682/68主題1:分類加法計(jì)數(shù)原理某志愿者從杭州奔赴北京參加公益活動(dòng),假設(shè)天天有4個(gè)航班,5列火車.3/681.該志愿者要完成一件事是什么?提醒:從杭州乘火車或飛機(jī)奔赴北京參加公益活動(dòng).4/682.有幾類方案可完成這件事?每類方案又各有幾個(gè)方法?每種方法是否都能完成這件事?提醒:兩類方案,第一類方類:乘飛機(jī),有4種方法;第二類方案:坐火車,有5種方法.每種方案中每種方法都能完成這件事.5/683.該志愿者從杭州到北京共有多少種不一樣方法?提醒:共有4+5=9種不一樣方法.6/68結(jié)論:分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不一樣方案,在第1類方案中有m種不同方法,在第2類方案中有n種不一樣方法,那么完成這件事共有N=____種不一樣方法.m+n7/68【微思索】依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理考慮完成一件事第1類方案與第2類方案中每一個(gè)方法有沒有重復(fù)或遺漏?提醒:每種方法都能夠獨(dú)立地完成這件事,它們之間沒有重復(fù)或遺漏.8/68主題2:分步乘法計(jì)數(shù)原理某志愿者從麗水奔赴北京參加公益活動(dòng),中間在杭州停留,假設(shè)天天從麗水到杭州有3次汽車,從杭州到北京有4個(gè)航班.9/681.該志愿者要完成這件事需要幾個(gè)步驟?提醒:兩個(gè),即先坐汽車到杭州,再從杭州乘飛機(jī)到北京.2.完成每一步各有幾個(gè)方法?提醒:第一步(坐汽車):有3種方法,第二步(乘飛機(jī)):有4種方法.10/683.該志愿者從麗水到北京共有多少種不一樣方法?提醒:共有3×4=12種方法.11/68結(jié)論:分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不一樣方法,做第2步有n種不一樣方法,那么完成這件事共有N=_____種不一樣方法.m×n12/68【微思索】1.分步乘法計(jì)數(shù)原理特征是什么?提醒:分步就是說完成這件事任何一個(gè)方法,都要分成若干個(gè)步驟,要完成這件事必須且只需連續(xù)完成這若干個(gè)步驟后,這件事才算完成.13/682.第1步采取不一樣方法對第2步方法選取有沒有影響?提醒:第1步與第2步相互獨(dú)立,沒有影響.14/68【預(yù)習(xí)自測】1.從A地到B地,可乘汽車、火車、輪船三種交通工具,假如一天內(nèi)汽車發(fā)3次,火車發(fā)4次,輪船發(fā)2次,那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具不一樣走法為(

)A.1+1+1=3

B.3+4+2=9C.3×4×2=24 D.以上都不對15/68【解析】選B.乘汽車有3種方法,乘火車有4種方法,坐輪船有2種方法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有3+4+2=9種不一樣走法.16/682.某體育場南側(cè)有4個(gè)大門,北側(cè)有3個(gè)大門,某學(xué)生到該體育場練習(xí)跑步,則他進(jìn)出門方案有(

)A.12種B.7種C.24種D.49種17/68【解析】選D.該學(xué)生從南側(cè)進(jìn)、南側(cè)出有4×4=16種方案;從北側(cè)進(jìn)、北側(cè)出有3×3=9種方案;從一側(cè)進(jìn)另一側(cè)出有2×4×3=24種方案,所以共有16+9+24=49種方案.18/683.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)展開式中共有(

)A.60項(xiàng) B.12項(xiàng)C.30項(xiàng) D.以上都不對19/68【解析】選B.完成這件事需分兩步,第一步:從第一個(gè)括號中取一字母有3種方法;第二步:從第二個(gè)括號中取一字母有4種方法.故共有3×4=12項(xiàng).20/684.加工某個(gè)零件分三道工序,第一道工序有5人能夠選擇,第二道工序有6人能夠選擇,第三道工序有4人能夠選擇,從中選3人每人做一道工序,則選法有________種.21/68【解析】選第一、第二、第三道工序各一人方法數(shù)依次為5,6,4,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,選法總數(shù)為N=5×6×4=120.答案:12022/685.現(xiàn)有5幅不一樣國畫,2幅不一樣油畫,7幅不一樣水彩畫.(1)從中任取一幅畫布置房間,有幾個(gè)不一樣選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾個(gè)不一樣選法?(仿照教材P5例3解析過程)23/68【解析】(1)從中任取一幅畫,有三類方法:第1類方法是從國畫中取一幅有5種不一樣方法;第2類方法是從油畫中取一幅有2種不一樣方法;第3類方法是從水彩畫中取一幅有7種不一樣方法.所以不一樣取法種數(shù)是5+2+7=14.24/68(2)從三種畫中各取一幅,可分成三個(gè)步驟完成:第1步,從國畫中取1幅,有5種方法;第2步,從油畫中取1幅,有2種方法;第3步,從水彩畫中取1幅,有7種方法.所以不一樣取法種數(shù)是5×2×7=70.25/68類型一分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用【典例1】(1)(·日照高二檢測)如圖所表示,在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落造成斷路,則電路不通,現(xiàn)發(fā)覺電路不通,則焊接點(diǎn)脫落不一樣情況有(

)26/68A.16種 B.15種C.9種 D.8種27/68(2)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解有序數(shù)對(a,b)個(gè)數(shù)為________.28/68【解題指南】(1)依據(jù)題意,可將其分為1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)焊接點(diǎn)脫落情形,即分成四類,按照分類加法計(jì)數(shù)原理求解.(2)分a=0與a≠0兩種情況,當(dāng)a≠0時(shí)再借助判別式討論求解.29/68【解析】(1)選B.按照可能脫落個(gè)數(shù)可分成四類:第一類:1個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有4種情況.第二類:2個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有6種情況.即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).第三類:3個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有4種情況.即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).30/68第四類:4個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況.即(1,2,3,4).所以共有4+6+4+1=15種情況.31/68(2)當(dāng)a=0時(shí),關(guān)于x方程為2x+b=0,此時(shí)有序數(shù)對(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均滿足要求;當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此時(shí)滿足要求有序數(shù)對為(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).綜上,滿足要求有序數(shù)對共有13個(gè).答案:1332/68【延伸探究】1.若將典例1(1)中“圖形”改變成“以下列圖形”,結(jié)果怎樣?33/68【解析】按照可能脫落個(gè)數(shù)可分成四類:第一類:1個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有2種情況,即1,4.第二類:2個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有6種情況,即(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4).第三類:3個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有4種情況,即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).34/68第四類:4個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況,即(1,2,3,4).所以共有2+6+4+1=13種情況.35/682.若將典例1(1)中增加條件“已知焊接點(diǎn)2是正常”,結(jié)果怎樣?36/68【解析】因?yàn)楹附狱c(diǎn)2正常,所以可能脫落個(gè)數(shù)可分成三類:第一類:1個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有3種情況,即1,3,4.第二類:2個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有3種情況,即(1,3),(1,4),(3,4).第三類:3個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況,即(1,3,4).所以共有3+3+1=7種情況.37/68【方法總結(jié)】1.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原了解題步驟38/682.分類加法計(jì)數(shù)原理推廣完成一件事有n類不一樣方案,在第1類方案中有m1種不一樣方法,在第2類方案中有m2種不一樣方法,……,在第n類方案中有mn種不一樣方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不一樣方法.39/68【賠償訓(xùn)練】(1)某興趣小組有男生10名,女生9名,要從中選出一名組長,不一樣選法共有(

)A.8種 B.7種C.19種 D.90種40/68(2)書架上層放4本不一樣數(shù)學(xué)書,中層放6本不一樣外語書,下層放5本不一樣語文書,從中任取1本,不一樣取法種數(shù)為(

)A.15 B.120 C.3 D.141/68【解析】(1)選C.只要選出一名組長即可,共有N=10+9=19種方法.(2)選A.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有4+6+5=15種不一樣取法.42/68類型二分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用【典例2】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),若點(diǎn)P(x,y)橫、縱坐標(biāo)均在{0,1,2,3}內(nèi)取值.問:(1)點(diǎn)P能夠表示平面上多少個(gè)不一樣點(diǎn)?(2)點(diǎn)P能夠表示平面上多少個(gè)第一象限點(diǎn)?43/68【解題指南】先確定P點(diǎn)橫坐標(biāo),再確定其縱坐標(biāo),用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.44/68【解析】(1)確定P坐標(biāo)分兩步第1步:確定橫坐標(biāo)x,從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè),有4種方法.第2步:確定縱坐標(biāo)y,從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè),有4種方法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,全部不一樣點(diǎn)P個(gè)數(shù)為:4×4=16(個(gè)).45/68(2)第一象限點(diǎn)橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)都為正數(shù),所以橫坐標(biāo)x從1,2,3三個(gè)數(shù)中選一個(gè),有3種方法.縱坐標(biāo)y從1,2,3三個(gè)數(shù)中選一個(gè),有3種方法,所以第一象限點(diǎn)共有3×3=9(個(gè)).46/68【方法總結(jié)】1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原了解題步驟47/682.分步乘法計(jì)數(shù)原理推廣完成一件事需要n個(gè)步驟,做第1步有m1種不一樣方法,做第2步有m2種不一樣方法,……,做第n步有mn種不一樣方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不一樣方法.48/68【鞏固訓(xùn)練】(·全國卷Ⅱ)如圖,小明從街道E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓能夠選擇最短路徑條數(shù)為(

)A.24 B.18 C.12 D.949/68【解析】選B.E→F有6種走法,F→G有3種走法,由分歩乘法計(jì)數(shù)原理知,共6×3=18種走法.50/68【賠償訓(xùn)練】從集合{1,2,3,…,10}中,選出由5個(gè)數(shù)組成集合子集,使得這5個(gè)數(shù)中任何兩個(gè)數(shù)和不等于11,這么子集共有多少個(gè)?51/68【解題指南】依據(jù)子集定義分析,把握任意兩個(gè)數(shù)和不等于11,能夠先尋找和等于11情況,再依據(jù)子集思想分析處理.52/68【解析】和為11數(shù)共有5組:1與10,2與9,3與8,4與7,5與6,子集中元素不能取自同一組中兩數(shù),即子集中元素取自5個(gè)組中一個(gè)數(shù),而每個(gè)數(shù)取法有2種,所以子集個(gè)數(shù)為N=2×2×2×2×2=25=32.53/68類型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用【典例3】(·濟(jì)寧高二檢測)某藝術(shù)小組有9人,每人最少會(huì)鋼琴和小號中一個(gè)樂器,其中7人會(huì)鋼琴,3人會(huì)小號,從中選出會(huì)鋼琴與小號各1人,有多少種不一樣選法?54/68【解題指南】先確定既會(huì)鋼琴又會(huì)小號人數(shù),再以既會(huì)鋼琴又會(huì)小號人為依據(jù)分類討論.55/68【解析】由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(把該人稱為“多面手”).只會(huì)鋼琴有6人,只會(huì)小號有2人,把選出會(huì)鋼琴,小號各1人方法分為兩類:56/68第一步:多面手入選,另1人只需從其它8人中任選一個(gè),故這類選法共有8種.第二步:多面手不入選,則選會(huì)鋼琴者只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴人中選出,選會(huì)小號者也只能從只會(huì)小號2人中選出,故這類選法共有6×2=12(種).所以N=8+6×2=20(種),故共有20種不一樣選法.57/68【方法總結(jié)】利用兩個(gè)原理處理計(jì)數(shù)問題應(yīng)注意事項(xiàng)(1)在處理詳細(xì)應(yīng)用題時(shí),首先必須搞清是“分類”還是“分步”,其次要搞清“分類”或“分步”詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)是什么.選擇合理標(biāo)準(zhǔn)處理事件,能夠防止計(jì)數(shù)重復(fù)或遺漏.58/68(2)對于一些比較復(fù)雜既要利用分類加法計(jì)數(shù)原理又要利用分步乘法計(jì)數(shù)原理問題,我們能夠恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題愈加直觀、清楚.59/68【鞏固訓(xùn)練】現(xiàn)有高一年級四個(gè)班學(xué)生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.(1)選其中一人為責(zé)任人,有多少種不一樣選法?(2)每班選一名組長,有多少種不一樣選法?(3)推選兩人做中心講話,這兩人需來自不一樣班級,有多少種不一樣選法?60/68【解析】(1)分四類:第一類,從一班學(xué)生中選1人,有7種選法;第二類,從二班學(xué)生中選1人,有8種選法;第三類,從三班學(xué)生中選1人,有9種選法;第四類,從四班學(xué)生中選1人,有10種選法,所以,共有不一樣選法N=7+8+9+10=34(種).61/68(2)分四步:第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長.所以,共有不一樣選法