2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)青島版下冊《6.3特殊平行四邊形-正方形》同步提升訓(xùn)練(附答案)

青島版2021年度八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊《6.3特殊平行四邊形—正方形》同步提升訓(xùn)練（附答案）1．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF的值為（）A．4 B．2 C． D．22．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且AE＝AB，連接BE，DE，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°3．如圖，在正方形ABCD所在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P與正方形ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．8個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．11個(gè)4．將三個(gè)大小不同的正方形如圖放置，頂點(diǎn)處兩兩相接，若正方形A的邊長為4，正方形C的邊長為3，則正方形B的面積為（）A．25 B．5 C．16 D．125．正方形ABCD的一條對(duì)角線長為2，則正方形ABCD的周長為（）A．4 B．8 C．2 D．46．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，四邊形OABC為正方形，若點(diǎn)B（1，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，） C．（﹣，2） D．（﹣1，）7．如圖，正方形ABCD中，在BA延長線上取一點(diǎn)，使BE＝BD，連接DE，則∠EDA的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．30° D．22.5°8．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，P為邊BC上一點(diǎn)，且BP＝OB，則∠COP的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°9．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF給出下列四個(gè)結(jié)論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，6），點(diǎn)E、F分別在邊BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）A．2 B． C． D．﹣111．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是．12．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE⊥BE于點(diǎn)E，且AE＝5，BE＝12，則陰影部分的面積是．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A從點(diǎn)M（0，5）出發(fā)向原點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)B從點(diǎn)N（3，0）出發(fā)，在x軸正半軸上以相同的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)終點(diǎn)O時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接AB，以線段AB為一邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，則正方形ABCD面積的最小值為．14．如圖，四邊形ABCD是正方形，按如下步驟操作：①分別以點(diǎn)A，D為圓心，以AD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP，DP；②連接BP，CP，則∠BPC＝．15．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為．16．如圖，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩條平行線間隔均為1，正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線上，則正方形的面積為．17．如圖，兩個(gè)正方形邊長分別為2、a（a＞2），圖中陰影部分的面積為．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣4，0），以AB為邊作正方形ABCD，連接OD，DB．則△DOB的面積是．19．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)正方形，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且AC＝EC，則∠DAE＝．20．已知正方形ABCD的邊長為2，EF分別是邊BC，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE＝CF，連接AE，AF，則AE+AF的最小值為．21．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABEF是正方形；（2）若AD＝AE，求證：AB＝AG；（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，求OD的長．22．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝3，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．23．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB中點(diǎn)，連接DF交AC于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出ME的長．24．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為F，G，若正方形ABCD的周長是40cm．（1）求證：四邊形BFEG是矩形；（2）求四邊形EFBG的周長；（3）當(dāng)AF的長為多少時(shí)，四邊形BFEG是正方形？25．如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB、BC上，且AE＝BF．（1）試探索線段AF、DE的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；（2）連接EF、DF，分別取AE、EF、FD、DA的中點(diǎn)H、I、J、K，則四邊形HIJK是什么特殊平行四邊形？請(qǐng)?jiān)趫D②中補(bǔ)全圖形，并說明理由．26．如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分線交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別作直線CE，CF的垂線，B，D為垂足．（1）求證：四邊形ABCD是正方形．（2）已知AB的長為6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面問題的解題思路，解決下列問題：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一條高是PH，長度為6，QH＝2，則HR＝．27．已知：如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求證：四邊形ABCD是正方形．（2）E是OB上一點(diǎn)，DH⊥CE，垂足為H，DH與OC相交于點(diǎn)F，求證：OE＝OF．28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)C、A分別在x、y軸上，A（0，6），E（0，2），點(diǎn)H、F分別在邊AB、OC上，以H、E、F為頂點(diǎn)作菱形EFGH．（1）當(dāng)H（﹣2，6）時(shí)，求證：四邊形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

參考答案1．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四邊形OEPF為矩形，△AEP是等腰直角三角形，∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA，∵正方形ABCD的邊長為2，∴OA＝AC＝＝．故選：C．2．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故選：B．3．解：分為三種情況：①正方形對(duì)角線的交點(diǎn)P1；②作AD邊的垂直平分線MN，以點(diǎn)D為圓心，以DC為半徑畫弧，交MN于點(diǎn)P2和P3；以點(diǎn)C為圓心，以DC為半徑畫弧，交MN于點(diǎn)P4和P5，如圖：③同理，作AB邊的垂直平分線，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，AD為半徑畫弧，與該垂直平分線也有4個(gè)交點(diǎn)．綜上，符合題意的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為：1+4+4＝9（個(gè)）．故選：B．4．解：如圖，∵根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DF＝FG，∠DEF＝∠GHF＝∠DFG＝90°，∴∠EDF+∠DFE＝90°，∠DFE+∠GFH＝90°，∴∠EDF＝∠GFH，在△DEF和△FHG中，，∴△DEF≌△FHG（AAS），∴DE＝FH＝4，∵GH＝3，在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG2＝32+42＝25，則正方形B的面積為25．故選：A．5．解：因?yàn)檎叫蜛BCD的一條對(duì)角線長為2，設(shè)正方形的邊長為a，根據(jù)勾股定理，得a2+a2＝22，解得a＝，所以正方形的邊長為，則正方形ABCD的周長為4．故選：D．6．解：作CD⊥x軸于D，作BE⊥CD于E，交y軸于F，如圖，∵B（1，3），∴DE＝3，BF＝1，設(shè)C（m，n），則OD＝EF＝﹣m，CD＝n，∵四邊形ABCO為正方形，∴∠BCO＝90°，CB＝CO，∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠OCD＝∠CBE，在△OCD和△CBE中，∴△OCD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE，OD＝CE，即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，∴m＝﹣1，n＝2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）．故選：A．7．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°＝∠ADB，∵BE＝BD，∴∠BDE＝67.5°，∴∠EDA＝∠BDE﹣∠ADB＝22.5°，故選：D．8．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，∵BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．故選：B．9．解：如圖，連接PC，延長AP交EF于H，延長FP交AB于G，在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，∵在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四邊形PECF是矩形，∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①④正確；只有點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)或PD＝AD時(shí)，△APD是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；∵PF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝90°，∵∠BAP＝∠PFE，∠APG＝∠FPH，∴∠AGP＝∠AHF＝90°，∴AP⊥EF，故②正確，故選：C．10．解：如圖，連接EF，延長BA，使得AM＝CE，在△OCE和△OAM中，，∴△OCE≌△OAM（SAS）．∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+∠AOF＝45°，∴∠MOA+∠AOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，設(shè)AF＝x，∵CE＝＝＝3，∴EF＝3+x，EB＝3，F(xiàn)B＝6﹣x，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，∴x＝2，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為2，故選：A．11．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長線于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四邊形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四邊形ABCD的面積＝四邊形DPBE的面積＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案為：3．12．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴正方形的面積是13×13＝169，∵△AEB的面積是AE×BE＝×5×12＝30，∴陰影部分的面積是169﹣30＝139，故答案為：139．13．解：由題意可得，NB＝MA，則AO+OB＝8，設(shè)AO＝x，則OB＝8﹣x，∵S正方形ABCD＝AB2＝AO2+OB2＝x2+（8﹣x）2＝2（x﹣4）2+32，∴當(dāng)x＝4時(shí)，正方形ABCD的面積取得最小值32，故答案為：32．14．解：根據(jù)作圖過程可知：AD＝AP＝PD，∴△ADP是等邊三角形，∴∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB＝AP，DP＝DC，∴∠ABP＝∠APB＝∠DPC＝∠DCP＝75°，∴∠BPC＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°．故答案為：150°．15．解：連接MC，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵M(jìn)E⊥BC于E，MF⊥CD于F，∴四邊形MECF為矩形，∴EF＝MC，當(dāng)MC⊥BD時(shí)，MC取得最小值，此時(shí)△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝×6＝3，∴EF的最小值為3；故答案為：3．16．解：過C點(diǎn)作EF⊥l2，交l1于E點(diǎn)，交l4于F點(diǎn)．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面積為5．故答案為：5．17．解：陰影部分的面積＝18．解：過點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E．∵A的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣4，0），∴OA＝3，OB＝4．∵ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°．∴∠DAE＝∠AB0．在△ABO和△DAE中，∴△ABO≌△DAE．∴AE＝OB＝4．∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．∴△OBD的面積＝OB?OE＝×4×7＝14．故答案為：14．19．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案為：22.5°．20．解：連接DE，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴DF＝CE，在△DCE與△ADF中，，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，則AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，當(dāng)D、E、A′在同一直線時(shí)，AE+AF最小，AA′＝2AB＝4，此時(shí)，在Rt△ADA′中，DA′＝＝2，故AE+AF的最小值為2．故答案為：2．21．（1）證明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四邊形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四邊形ABEF是正方形；（2）∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，，∴△AGD≌△ABE（AAS），∴AB＝AG；（3）∵四邊形ABEF是正方形，∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∵AD＝AE，∴AD﹣AF＝AE﹣AG，即DF＝EG，在△DFO和△EGO中，，∴△DFO≌△EGO（AAS），∴FO＝GO，F(xiàn)D＝EG∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，∴DF＝FO＝OG＝EG，∴DO＝OF＝OG，∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，∴OG＝＝﹣1，∴OD＝（﹣1）＝2﹣．22．解：（1）如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值為6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．23．解：（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四邊形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形．（2）∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如圖，作EH⊥DF于H．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中點(diǎn)，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．24．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四邊形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周長是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四邊形ABCD為正方形，∴△AEF為等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四邊形EFBG的周長C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四邊形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴當(dāng)AF＝5cm時(shí)，四邊形BFEG是正方形．25．解：（1）AF＝DE．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，∴AF＝DE．（2）四邊形HIJK是正方形．如下圖，H、I、J、K分別是AE、EF、FD、DA的中點(diǎn)，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四邊形HIJK是菱形，∵△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°∴∠KHI＝90°，∴四邊形HIJK是正方形．26．（1）證明：作AG⊥EF于G，如圖1所示：則∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四邊形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分線交于點(diǎn)A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝BG，同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，設(shè)BE＝x，DF＝y(tǒng)，則CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，在Rt△CEF