2020-2021學(xué)年遼寧省撫順市六校高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷-(解析版)

2020-2021學(xué)年遼寧省撫順市六校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題）.1．已知集合A＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，則A∩B＝（）A．{﹣4，﹣2，4} B．{﹣4，﹣2，﹣1，2，4} C．{﹣4，2，4} D．{﹣4，﹣2，1，2，4}2．若復(fù)數(shù)z滿足|z+i|＝1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線3．函數(shù)的定義域是（）A．[﹣2，+∞） B．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[﹣2，﹣1）4．已知向量，且的夾角為60°，若，則k＝（）A．2 B．1 C． D．5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，A，B是雙曲線C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，且|AB|＝4b，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．26．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為，外部大正方形的外接圓半徑為，直角三角形中較大的銳角為α，那么tan＝（）A． B． C． D．7．已知a，b都是正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）+f'（x）＞1，則不等式exf（x）＞ex﹣1的解集為（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）二、選擇題（共4小題）.9．已知橢圓的離心率是，則m的值可能是（）A．3 B．6 C． D．2710．在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國各地電影院等密閉式文娛場(chǎng)所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面臨巨大損失.2011～2020年每年上半年的票房走勢(shì)如圖所示，則下列說法不正確的是（）A．2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加 B．自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年 C．2018年上半年的票房收入增速最大 D．2020年上半年的票房收入增速最小11．已知函數(shù)f（x）是定義在[1﹣2a，a+1]上的偶函數(shù)．當(dāng)0≤x≤a+1時(shí)，，若f（log2m）＞1，則（）A．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)＝3 C．m的值可能是4 D．m的值可能是612．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E在棱DD1上，且2DE＝ED1，F(xiàn)是線段BB1上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．EF⊥AC B．存在一點(diǎn)F，使得AE∥C1F C．三棱錐D1﹣AEF的體積與點(diǎn)F的位置無關(guān) D．直線AA1，與平面AEF所成角的正弦值的最小值為二、填空題（共4小題）.13．在（x﹣3）5的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)等于．14．將一個(gè)斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為．15．已知a＞0，b＞0，且a+b＝3，則的最小值是．16．2020年10月11日，全國第七次人口普查拉開帷幕，某統(tǒng)計(jì)部門安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名工作人員到四個(gè)不同的區(qū)市具開展工作，每個(gè)地方至少需安排一名工作人員，其中A，B安排到同一區(qū)市縣工作，D，E不能安排在同一區(qū)市具工作，則不同的分配方法總數(shù)為種．三、解答題（共6小題）.17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且成等差數(shù)列．（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和Tn．18．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2021年8月18日﹣29日在成都舉行，成都某機(jī)構(gòu)隨機(jī)走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打乒乓球人次，整理數(shù)據(jù)如表（單位：天）：打乒乓球人次天氣狀況[0，100][100，200][200，300]晴天21320陰天4610雨天645雪天820（1）若用樣本頓率作為總體概率，隨機(jī)調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）假設(shè)陰天和晴天稱為“天氣好”雨天和雪天稱為“天氣不好”．完成下面的2×2列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)．人次≤200人次＞200天氣好天氣不好參考公式：，其中n＝a+b+c+d．參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82819．在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝AD＝3，PA＝PB，E，F(xiàn)分別為PA，AD的中點(diǎn)，平面PAB⊥平面ABCD．（1）證明：EF∥平面PCD．（2）若PA＝2，求二面角E﹣CF﹣A的余弦值．20．在①且2sin2B＝3sinAsinC，②（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC，③△ABC的面積這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并作答．問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且_____．（1）求sinB；（2）若a＝2c，且△ABC的面積為，求△ABC的周長．21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（3，0）的距離比它到直線l：x+5＝0的距離小2．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程．（2）過點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線l'與軌跡E交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，證明：為定值．22．已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若不等式f（x）≥（e﹣1）x﹣ex對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共8小題）.1．已知集合A＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，則A∩B＝（）A．{﹣4，﹣2，4} B．{﹣4，﹣2，﹣1，2，4} C．{﹣4，2，4} D．{﹣4，﹣2，1，2，4}解：∵A＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，4}，B＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∴A∩B＝{﹣4，﹣2，﹣1，2，4}．故選：B．2．若復(fù)數(shù)z滿足|z+i|＝1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線解：設(shè)復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），由題意可得|x+（y+1）i|＝1，則x2+（y+1）2＝1，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為圓．故選：C．3．函數(shù)的定義域是（）A．[﹣2，+∞） B．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[﹣2，﹣1）解：由題意可得，解得﹣2≤x＜﹣1或x＞﹣1．即函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），故選：B．4．已知向量，且的夾角為60°，若，則k＝（）A．2 B．1 C． D．解：由題意可得因?yàn)榈膴A角為60°，所以．因?yàn)?，所以所?k﹣4＝0，解得k＝2．故選：A．5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，A，B是雙曲線C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，且|AB|＝4b，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．2解：由雙曲線，則其漸近線方程為，因?yàn)锳，B是雙曲線C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，所以|AO|＝|BO|＝|FO|＝c，所以2c＝4b，所以c＝2b＝2，所以3c2＝4a2，所以e＝＝，故選：A．6．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為，外部大正方形的外接圓半徑為，直角三角形中較大的銳角為α，那么tan＝（）A． B． C． D．解：D由題意可知小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設(shè)直角三角形短的直角邊為x，則長的直角邊為x+1，由勾股定理得x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，所以，則．故選：D．7．已知a，b都是正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件解：由，得a＞b，則﹣a＜﹣b，從而3﹣a＜3﹣b，即；由，得a≥b，因?yàn)閍＞0，b＞0，所以，所以．即．故“”是“”的充要條件．故選：A．8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）+f'（x）＞1，則不等式exf（x）＞ex﹣1的解集為（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）解：設(shè)g（x）＝ex[f（x）﹣1]，則g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex．因?yàn)閒（x）+f′（x）＞1，所以exf（x）+exf'（x）＞ex，即exf（x）+exf'（x）﹣ex＞0，故g（x）在R上單調(diào)遞增．因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，所以g（0）＝﹣1，不等式exf（x）＞ex﹣1，即g（x）＞g（0），則x＞0．故選：B．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知橢圓的離心率是，則m的值可能是（）A．3 B．6 C． D．27解：當(dāng)0＜m＜9時(shí)，，則，解得m＝6；當(dāng)m＞9時(shí)，則，解得．故選：BC．10．在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國各地電影院等密閉式文娛場(chǎng)所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面臨巨大損失.2011～2020年每年上半年的票房走勢(shì)如圖所示，則下列說法不正確的是（）A．2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加 B．自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年 C．2018年上半年的票房收入增速最大 D．2020年上半年的票房收入增速最小解：由圖知自2011年以來，每年上半年的票房收入相比前一年有增有減，故A錯(cuò)誤；自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有3年，故B錯(cuò)誤；2017年上半年的票房收入增速最大，故C錯(cuò)誤；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正確．故選：ABC．11．已知函數(shù)f（x）是定義在[1﹣2a，a+1]上的偶函數(shù)．當(dāng)0≤x≤a+1時(shí)，，若f（log2m）＞1，則（）A．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)＝3 C．m的值可能是4 D．m的值可能是6解：由題意可得1﹣2a+a+1＝0，則a＝2，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（﹣2）＝f（2）＝1．當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，單調(diào)遞增．因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈[﹣3，0]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．因?yàn)閒（log2m）＞1，所以f（|log2m|）＞f（2）所以，解得或4＜m≤8，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．12．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E在棱DD1上，且2DE＝ED1，F(xiàn)是線段BB1上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．EF⊥AC B．存在一點(diǎn)F，使得AE∥C1F C．三棱錐D1﹣AEF的體積與點(diǎn)F的位置無關(guān) D．直線AA1，與平面AEF所成角的正弦值的最小值為解：如圖，連接BD，可得BD⊥AC，BD⊥BB1，則AC⊥平面BDEF，所以AC⊥EF，故A正確；在AA1上取一點(diǎn)H，使得HA1＝2AH，連接EC1，EH，HB1，由2DE＝ED1，可得EH∥B1C1，EH＝B1C1，四邊形B1C1EH為平行四邊形，則C1E∥B1H，C1E＝B1H．若BF＝2B1F，易證四邊形AHB1F為平行四邊形，則AF∥B1H，AF＝B1H，從而AF∥C1E，AF＝C1E，故四邊形AEC1F為平行四邊形，于是AE∥C1F，故B正確；設(shè)AB＝a，三棱錐D1﹣AEF的體積與三棱錐F﹣AD1E的體積相等，則，即三棱錐D1﹣AEF的體積與正方體的棱長有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無關(guān)，故C正確；以C1為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C1﹣xyz，設(shè)AB＝3，則A（3，3，3），A1（3，3，0），E（3，0，2），F(xiàn)（0，3，t），從而．設(shè)平面AEF的法向量，則，令z＝3，得，從而，即直線AA1與平面AEF所成角的正弦值為，因?yàn)?≤t≤3，所以10≤（t﹣3）2+10≤19，所以，即直線AA1與平面AEF所成角的正弦值的最大值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．在（x﹣3）5的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)等于90．解：在（x﹣3）5的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1＝x5﹣r（﹣3）r．令5﹣r＝3，解得r＝2，∴含x3的項(xiàng)的系數(shù)等于（﹣3）r＝90，故答案為90．14．將一個(gè)斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為．解：∵等腰直角三角形的斜邊長為4，∴直角邊長為2，由題意可知所得幾何體是圓錐，其底面圓的半徑r＝，母線長l＝4，則其表面積為，故答案為：．15．已知a＞0，b＞0，且a+b＝3，則的最小值是2+4．解：已知a＞0，b＞0，且a+b＝3，可得（a+b）＝1，則＝（a+b）（）＝（12++）≥×（+12）＝2+4．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值是2+4．故答案為：2+4．16．2020年10月11日，全國第七次人口普查拉開帷幕，某統(tǒng)計(jì)部門安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名工作人員到四個(gè)不同的區(qū)市具開展工作，每個(gè)地方至少需安排一名工作人員，其中A，B安排到同一區(qū)市縣工作，D，E不能安排在同一區(qū)市具工作，則不同的分配方法總數(shù)為216種．解：第一步，將6名工作人員分成4組，要求A，B同一組，D，E不在同一組，若分為3，1，1，1的四組，A，B必須在3人組，有種分組方法，若分為2，2，1，1的四組，A，B必須在兩人組，有種分組方法，則一共有5+4＝9種分組方法；第二步，將分好的四組全排列，分配到四個(gè)區(qū)市縣，有種．故總的分配方法有9×24＝216種，故答案為：216．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且成等差數(shù)列．（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】證明：（1）∵成等差數(shù)列，∴3an＝2Sn+a1，當(dāng)n≥2時(shí)，3an﹣1＝2Sn﹣1+a1，則3an﹣3an﹣1＝2an，即an＝3an﹣1，即．∵a1＝1，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；解：（2）由（1）可得，則，則，……故＝．18．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2021年8月18日﹣29日在成都舉行，成都某機(jī)構(gòu)隨機(jī)走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打乒乓球人次，整理數(shù)據(jù)如表（單位：天）：打乒乓球人次天氣狀況[0，100][100，200][200，300]晴天21320陰天4610雨天645雪天820（1）若用樣本頓率作為總體概率，隨機(jī)調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）假設(shè)陰天和晴天稱為“天氣好”雨天和雪天稱為“天氣不好”．完成下面的2×2列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)．人次≤200人次＞200天氣好天氣不好參考公式：，其中n＝a+b+c+d．參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：（1）由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4．設(shè)一天為陰天的概率為P，則，故，，，，，．則X的分布列為：X01234P故；（2）由題意可得的2×2列聯(lián)表：人次≤200人次＞200天氣好2530天氣不好205則．因?yàn)?.335＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)．19．在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝AD＝3，PA＝PB，E，F(xiàn)分別為PA，AD的中點(diǎn)，平面PAB⊥平面ABCD．（1）證明：EF∥平面PCD．（2）若PA＝2，求二面角E﹣CF﹣A的余弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD，因?yàn)镻D?平面PCD，EF?平面PCD，所以EF∥平面PCD．（2）解：取AB的中點(diǎn)O，連接OP．因?yàn)镻A＝PB，所以O(shè)P⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以O(shè)P⊥平面ABCD．過點(diǎn)O在平面ABCD內(nèi)作AB的垂線l，則PO，AB，l兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，因?yàn)椋訣（1，0，1），F(xiàn)（2，3，0），C（﹣2，3，0），，設(shè)平面CEF的法向量為，所以，即，可取，顯然平面CAF的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，且二面角E﹣CF﹣A為銳二面角，所以二面角E﹣CF﹣A余弦值為．20．在①且2sin2B＝3sinAsinC，②（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC，③△ABC的面積這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并作答．問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且_____．（1）求sinB；（2）若a＝2c，且△ABC的面積為，求△ABC的周長．解：（1）若選①，∵2sin2B＝3sinAsinC，∴2b2＝3ac．∵，∴a2+c2+2ac＝3b2，∴，∵0＜B＜π，∴若選②，∵（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC，∴（a﹣c）2＝b2﹣ac，∴b2＝a2+c2﹣ac，∵，∴，故．若選③，∵，∴，∵b2＝a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣b2＝2acosB，∴，∴，故．（2）∵△ABC的面積為，∴ac＝8，∵a＝2c，∴c＝2，a＝4，∵b2＝a2+c2﹣2accosB，∴，即，故△ABC的周長為．21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（3，0）的距離比它到直線l：x+5＝0的距離小2．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程．（2）過點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線l'與軌跡E交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，證明：為定值．