高等數(shù)學(xué)第六版上冊課后習(xí)題答案與及解析

高等數(shù)學(xué)第六版上冊課后習(xí)題答案與及解析

第一章

習(xí)題11

1設(shè)力⑸⑸夙103)寫出4的為\6及小(小曲的表達(dá)式

解四⑶⑸

Ml05)

小6(10)(5)

小(外曲[105)

2設(shè)4、8是任意兩個(gè)集合證明對偶律(/而'7"

證明因?yàn)?/p>

x{AB)exABxA或XBXA或xExA'B'

所以(陰^

3設(shè)映射ZTOMT證明

⑴/W)f(4)f(8)

(2)f{AB)f(A)M

證明因?yàn)?/p>

yf(A協(xié)xAB懾f(x)y

(因?yàn)閤A或xB)yf(/)或yf⑵

yMM

所以f(AU)MM

(2)因?yàn)?/p>

yf(A*使f(x)y(因?yàn)镸且xB)yf{A}且yf⑵

所以fMMM

4設(shè)映射MY若存在一個(gè)映射gzr使go/=/x/。8=/丫其中乙、分分別是xy上的恒等

映射即對于每一個(gè)xl有/陽才對于每一個(gè)yN有7?yy證明/'是雙射且g是/1的逆映射g/1

證明因?yàn)閷τ谌我獾膟?有xg(y)才且f(x)/tg(y)]ZJT1即Y中任意元素都是X中某元素

的像所以f為I到Y(jié)的滿射

又因?yàn)閷τ谌我獾男∫脖赜蠪(X1)f(及)否則若/1(X1)/1(均)g[f(%)]g[F(X2)]X\X2

因此f既是單射又是滿射即f是雙射

對于映射gKT因?yàn)閷γ總€(gè)y?有g(shù)(y)xX且滿足f(x)f[g(y)]77yy按逆映射的定義g是f

的逆映射

5設(shè)映射方%4才證明

⑴/(W))力

(2)當(dāng)/■是單射時(shí)有f(f(/))/1

證明⑴因?yàn)閤Af[x)yf(A)f(y)xf

所以￡(f3)Z

(2)由(1)知/1(/■(/))4

另一方面對于任意的矛/"(4))存在"(4)使/(y)xf(x)y因?yàn)閥f")且f是單射所以

必這就證明了/*(〃/))/因此/(『(4))/

6求下列函數(shù)的自然定義域

(1)y=j3尤+2

解由3必得x>-|函數(shù)的定義域?yàn)镴I,+OO)

解由lxt得xl函數(shù)的定義域?yàn)?1)(11)(1)

(3)y=--yl\-x2

X

解由M)且1喜)得函數(shù)的定義域Z?[10)(01]

(4)f

解由4而得⑶2函數(shù)的定義域?yàn)?22)

(5)y=sin?

解由M)得函數(shù)的定義〃[0)

(6)ytan(xl)

解由x+14(A012)得函數(shù)的定義域?yàn)閮?nèi)〃+5一1(知12)

(7)Taresin(%3)

解由1x3」得函數(shù)的定義域列24]

(8)y=j3-x+arctaP

x

解由3M且加得函數(shù)的定義域〃(0)(03)

(9)yln(xl)

解由只0得函數(shù)的定義域〃(1)

1

(10)y=ex

解由乂)得函數(shù)的定義域。(0)(0)

7下列各題中函數(shù)/'(x)和g(x)是否相同？為什么？

(1)f[x)1gxg(x)21gx

(2)f(x)xg{x)俄:

⑶/(%)=、短一/g(x)=^X-l

(4)f(x)lg(x)sec'ztan'x

解(1)不同因?yàn)槎x域不同

(2)不同因?yàn)閷?yīng)法則不同AO時(shí)g(x)x

(3)相同因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則均相相同

⑷不同因?yàn)槎x域不同

|sinx||x|<y

8設(shè)e(x)=,3求夕(芻w(J)奴-與⑵并作出函數(shù)y(x)的圖形

0\x\>j644

解奴勺hsi匹=、9號)小哈=嚀＞(—q)0sin(—多卜嚀奴-2)=0

OoZ44Z44，

9試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性

⑴產(chǎn)產(chǎn)⑴

1-x

⑵yxlnx(O)

證明(1)對于任意的為及(1)有IxQlaO因?yàn)楫?dāng)X論時(shí)

所以函數(shù)丁=盧在區(qū)間(1)內(nèi)是單調(diào)增加的

i-x

(2)對于任意的XiX2(0)當(dāng)x、X2時(shí)有

所以函數(shù)yxlnx在區(qū)間(0)內(nèi)是單調(diào)增加的

10設(shè)f(x)為定義在(〃)內(nèi)的奇函數(shù)若/tv)在(01)內(nèi)單調(diào)增加證明/'(x)在(10)內(nèi)也單

調(diào)增加

證明對于小吊(/0)且為及有x{x2(07)且xYx2

因?yàn)閒(x)在(01)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)所以

這就證明了對于x/2(/0)有汽幻f3所以F(x)在(70)內(nèi)也單調(diào)增加

11設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(〃)上的證明

⑴兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)

(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是

奇函數(shù)

證明⑴設(shè)尺x)f(x)g(x)如果f{x}和g(x)都是偶函數(shù)則

F(x)f(,x)g(x)f(x)g(x)Ax)

所以Kx)為偶函數(shù)即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)

如果/'(X)和g(x)都是奇函數(shù)則

F{x)f{x)g(x)f(x)g(x)Kx)

所以Rx)為奇函數(shù)即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)

(2)設(shè)Kx)f(x)g(x)如果/'(X)和g(x)都是偶函數(shù)則

F{x}f(x)g(x)f(x)g(x)/(x)

所以b(x)為偶函數(shù)即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)

如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù)則

夕(才)f(x)g(x)[f(x)][g(x)]f(x)g(x)F(公

所以尺x)為偶函數(shù)即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)

如果f(x)是偶函數(shù)而g(x)是奇函數(shù)則

夕(x)f(x)g(x)f(x)[g(x)]/(%)g(x)/(x)

所以尸(x)為奇函數(shù)即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù)

12下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)哪些是奇函數(shù)哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？

⑴"If)

(2)y3xx

⑶產(chǎn)工4

1+X2

(4)yx(xl)(xl)

⑸ysinxcosxl

(\ax+a~x

⑹a尸一2—

解(1)因?yàn)閒(X)(X)2[1(X)2]f(1力f(X)所以f(X)是偶函數(shù)

(2)由f(x)3(4可見4)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

.2

⑶因?yàn)?(3嗎=R=/(x)所以/'(X)是偶函數(shù)

(4)因?yàn)閒(x)(x)(xl)(xl)x(xl)(xl)f(x)所以((X)是奇函數(shù)

(5)由f(x)sin(x)cos(x)Isinxcosxl可見f{x}既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

(6)因?yàn)?(—%)=貯竽心=丐Q=/口)所以/V)是偶函數(shù)

13下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)指出其周期

(1)ycos(^2)

解是周期函數(shù)周期為72

(2)ycos4x

解是周期函數(shù)周期為/=5

(3)ylsinx

解是周期函數(shù)周期為12

(4)yxcosx

解不是周期函數(shù)

⑸jsin'x

解是周期函數(shù)周期為1

14求下列函數(shù)的反函數(shù)

⑴y=lfx+\

解由y=Vx+l得xy\所以y=Vx+l的反函數(shù)為yx\

⑵臉

解由尸修得4宗所以的反函數(shù)為)“丑

⑶y=（adb肉）

cx+d

解由y=^±k得后也也所以產(chǎn)結(jié)”的反函數(shù)為y=土地

cx+dcy-acx+dex-a

(4)y2sin3x

解由"sin3x得x=；arcsin■所以y2sin3x的反函數(shù)為y=:arcsi畤

(5)ylln(A2)

解由HlnCv2)得xe"所以yllnC?2)的反函數(shù)為yex2

解由y=8得無=log，4所以產(chǎn)者的反函數(shù)為尸log2盧

2'+1l—y2<+11-x

15設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集才上有定義試證函數(shù)M在才上有界的充分必要條件是它在X

上既有上界又有下界

證明先證必要性設(shè)函數(shù)M在X上有界則存在正數(shù)〃使"(x)|必即這就證明了

f(公在X上有下界"和上界M

再證充分性設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界％和上界友即及取物ax{14I友|}則

K2M

即

這就證明了f(x)在不上有界

16在下列各題中求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值為

和至的函數(shù)值

⑴yuusmxx=—x=-r

Io23

22sin22=

解ysiiixy1=sin^=(^)J2=y=(-y)^

(2)/sin〃￡/2xX]=J*2=9

o-4

解ysin2xy}=sin(2~)=sin^=^-乃=sin(2?J)=sing=l

o4242

(3)y=y[uu\xx}\x-2

解y=Jl+A：2y=Jl+12%=Jl+22=4

yeuxx^x21

解y=ex2y=e02=1%="=e

(5)yiiuexAxA

解療ye*■⑴e2

17設(shè)F(x)的定義域Z?[01]求下列各函數(shù)的定義域

(DA/)

解由0/1得31所以函數(shù)H*)的定義域?yàn)?11〕

(2)f(sinx)

解由Osinxl得2〃x(2〃l)(M12)所以函數(shù)F(sinx)的定義域?yàn)?/p>

⑵?(2〃1)](M12)

(3)f{xa)(a>0)

解由Ozal得axla所以函數(shù)f{xa)的定義域?yàn)閇ala]

(4)f{xa)_f(xa)(aO)

解由Oxal且Oxal得當(dāng)時(shí)ax^a當(dāng)時(shí)無解因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

[ala]當(dāng)。>寺時(shí)函數(shù)無意義

1\x\<l

18設(shè)/(x)=?0|x|=lg(x)e'求丹g(x)]和g[f(x)]并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形

-1曲1

1|e*l1x<0

解加⑼=40d0即/[g(xO=,0x=0

-1|ex|>l-1x>0

e'kl<lfe|A|<1

g[/(x)]=e〃x)=<e°|x曰即g"(x)]="1\x\=\

e~l|x|>le~l|x|>l

19已知水渠的橫斷面為等腰梯形斜角40(圖137)當(dāng)過水?dāng)嗝?舒的面積為定值W時(shí)

求濕周￡(〃8仇％9)與水深力之間的函數(shù)關(guān)系式并指明其定義域

圖137

解AB二℃=^4^又從

sin40

1A[BC+(BC+2cot40°-//)b50得

BC=H-cot40°?〃所以

h

自變量力的取值范圍應(yīng)由不等式組

AO享-cot40°.〃>0

h

確定定義域?yàn)?<〃<JS()cot40°

20收斂音機(jī)每臺售價(jià)為90元成本為60元廠方為鼓勵銷售商大量采購決定凡是訂購量

超過100臺以上的每多訂購1臺售價(jià)就降低1分但最低價(jià)為每臺75元

⑴將每臺的實(shí)際售價(jià)0表示為訂購量x的函數(shù)

⑵將廠方所獲的利潤。表示成訂購量x的函數(shù)

(3)某一商行訂購了1000臺廠方可獲利潤多少？

解(1)當(dāng)0x100時(shí)M0

令001U100)9075得^1600因此當(dāng)只600時(shí)075

當(dāng)100x1600時(shí)

MO(xl00)00191001x

綜合上述結(jié)果得到

3Ox0<x<100

(2)P=(p-6O)x=<3Lr-0.0lx210(kx<1600

15xx>1600

(3)/B110000011000221000(元)

習(xí)題12

1觀察一般項(xiàng)照如下的數(shù)列｛%｝的變化趨勢寫出它們的極限

⑴

解當(dāng)〃時(shí)x“=」-oiim」_=O

"2""*2"

⑵/=(-

n

解當(dāng)〃時(shí).=(一1)"工0lim(-1)，』=0

nn

⑶X”=2T?-y

n

解當(dāng)〃時(shí)/=2+」21im(2+l)=2

rr〃一0°

⑷

n+\

解當(dāng)A時(shí)/=q=l—3()limq=l

(5)%1A⑴"

解當(dāng)〃時(shí)工"1)"沒有極限

cos終

2設(shè)數(shù)列｛x〃｝的一般項(xiàng)為7=—問Iimxw求出N使當(dāng)時(shí)x〃與其極限之差的絕對值小

于正數(shù)當(dāng)0001時(shí)求出數(shù)N

解limxn=0

18s號^?]11

區(qū)-01=——f0要使I演0|只要也就是心工取7V=[1]

nnns￡

則有|為01

當(dāng)0001時(shí)N=[占1000

￡

3根據(jù)數(shù)列極限的定義證明

⑴lim4r=0

“Too九2

分析要使四-oi=e<￡只須即〃>金=

nn￡yjs

證明因?yàn)?N=[4]當(dāng)〃/V時(shí)有色—()!<￡所以lim4=()

n〃-

分析要使I誓牛=不\<4<￡只須;<￡即〃-

2〃+122(2〃+1)4〃4n

證明因?yàn)?N=[，-]當(dāng)A/V時(shí)有|孚斗一身<￡所以lim半斗

4s2〃+12"+O2?+12

⑶1而近逵=1

ns/2

分析要使I叵昱—舊而不/2—<心￡只須〃〉Q

〃?n(Vrt2+a2+n)n￡

證明因?yàn)?N=[之]當(dāng)時(shí)有|安運(yùn)一1|<￡所以lim擊乜2=1

￡n”->8n

(4)limO.999…9=1

分析要使109991]=77%<￡只須？7%即〃>1+31

11/1\7￡

證明因?yàn)?N=[l+lg」當(dāng)面，時(shí)有|09991|所以limO.999…9=1

￡■

41im〃“=a證明并舉例說明如果數(shù)列｛|扁|｝有極限但數(shù)列｛也｝未必有極限

〃T8”foe

證明因?yàn)閘imu=a所以O(shè)AN當(dāng)加V時(shí)有心-"|<￡從而

/7-?00

iIun\\a\\'u?a\

這就證明了舊a|

71—>00

數(shù)列｛IX1｝有極限但數(shù)列5J未必有極限例如lim|(-l)"|=l但lim(-l)"不存在

〃一>8〃一>8

5設(shè)數(shù)列｛演｝有界又lim%=0證明limx?y?=0

〃一>8〃一>8

證明因?yàn)閿?shù)列｛或有界所以存在也使成有|幻M

又lim%=0所以0A3當(dāng)時(shí)有|y”K芻從而當(dāng)mV時(shí)有

n—>ooJyl

所以limx?y?=0

W—>00

6對于數(shù)列｛x〃｝若?a(A)及心(公

證明xa(n)

證明因?yàn)閍a⑷羯a(Q所以0

%當(dāng)2A1281時(shí)有

及當(dāng)2A2及時(shí)有x2ka\

取Max｛2412局只要mV就有x?a

因此x?a(n)

習(xí)題13

1根據(jù)函數(shù)極限的定義證明

(1)lim(3x-l)=8

x—>3

分析因?yàn)?/p>

I(3xl)8||3加⑶/3|

所以要使1(3x1)81只須|x-3K京

證明因?yàn)?5=^￡當(dāng)0|x31時(shí)有

|(3x1)8

所以lim(3x-l)=8

.r->3

(2)lim(5x+2)=12

XT2

分析因?yàn)?/p>

I(5嵬)12|；5X10|5|JT2

所以要使I(5嵬)12|只須以一2)<上￡

證明因?yàn)?6=%當(dāng)0⑷時(shí)有

|(5^2)121

所以期（5X+2A12

⑶lim當(dāng)=—4

x->-2X+2

分析因?yàn)?/p>

所以要使|左?一（一4）|<￡只須以一（一2）|<￡

證明因?yàn)?5=￡當(dāng)0|x（2）時(shí)有

所以1加.7=-4

xf-2X+2

⑷.田

2

分析因?yàn)?/p>

所以要使|冷-2|<￡只須|>（一]）|<9

證明因?yàn)镺b=；￡當(dāng)0<|%—（一3）1<5時(shí)有

所以1油黑4=2

T2x+\

2根據(jù)函數(shù)極限的定義證明

⑴lim察=[

x->82xZ

分析因?yàn)?/p>

親即此卷

2x32

證明因?yàn)?乂=霜當(dāng)|才|了時(shí)有

所以lim與

xf82x2

⑵hm娛0

工—

分析因?yàn)?/p>

所以要使|嘿-0卜￡只須4<￡即%>1

y/X￡

證明因?yàn)镺X=-V當(dāng)日時(shí)有

所以lim坐=0

XT+8y/X

3當(dāng)立時(shí)44問等于多少使當(dāng)立|〈時(shí)）4|<0001?

解由于當(dāng)A2時(shí)1立|0故可設(shè)|嵬|1即1x3

要使

\x4\\^2|A25A210001

只要|x—2|<^^=O.OOO2

取00002則當(dāng)01M|時(shí)就有xA10001

4當(dāng)x時(shí)y=立1.1問X等于多少使當(dāng)入1時(shí)|貝001

k+3

解要使|￡4-1卜<0?01只要因>、孱另=百的故x=?。?/p>

1尤2+3Id+3VO.O1

5證明函數(shù)f{x)|x|當(dāng)A0時(shí)極限為零

證明因?yàn)?/p>

IfU)0|||A-|0|x\|AO

所以要使|f(x)0|只須X、

因?yàn)閷?使當(dāng)0|乂)|時(shí)有

mX)。川X⑹

所以lim|止0

x->0

6求/。)=人,以用=區(qū)當(dāng)M時(shí)的左、右極限并說明它們在AO時(shí)的極限是否存在

XX

證明因?yàn)?/p>

所以極限lim/(x)存在

x->0

因?yàn)?/p>

所以極限lims(x)不存在

x->0

7證明若x及x時(shí)函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于力則limf(x)=A

X->00

證明因?yàn)閘imf(x)=Alim/(x)=A所以>0

X-?-00X—>+8

XO使當(dāng)xX時(shí)有|f(x)4|

40使當(dāng)x%時(shí)有|f(x)4|

取加ax{4%}則當(dāng)|x/時(shí)有(x)川即limf(x)=A

x-?co

8根據(jù)極限的定義證明函數(shù)f(x)當(dāng)xx。時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各

自存在并且相等

證明先證明必要性設(shè)/■(x)/(xxo)則》00使當(dāng)0〈|xx(J〈時(shí)有

"(X)水

因此當(dāng)Xo<X〈Xo和吊<底荀時(shí)都有

If(x)A|<

這說明f(x)當(dāng)x吊時(shí)左右極限都存在并且都等于4

再證明充分性設(shè)代選0)/'(劉0)4則>0

i>0使當(dāng)即<矛〈的時(shí)有"(x)A<

2>0使當(dāng)Xo<X<Xo+2時(shí)有f(x)A\<

取min{12)則當(dāng)0<〈時(shí)有水的及兩〈正照+2從而有

"(x)水

即f(x)A(xxo)

9試給出x時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理并加以證明

解X時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理如果Ax)當(dāng)X時(shí)的極限存在則存在加及加使當(dāng)

3才時(shí)"(x)M

證明設(shè)f(x)4(x)則對于1加當(dāng)|xI時(shí)有1所以

\f{x)\\f{x)AA\\f{x)A\\A\i\A\

這就是說存在和及加使當(dāng)Ix|X時(shí)，f(x)I物其中加A

習(xí)題14

1兩個(gè)無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之

解不一定

例如當(dāng)刈時(shí)(x)2x(x)3x都是無窮小但lim梁=?祟不是無窮小

XT0以尤)3伙X)

2根據(jù)定義證明

(1)當(dāng)*3時(shí)為無窮?。?/p>

(2)y=xsin—當(dāng)AO時(shí)為無窮小

x

證明(1)當(dāng)“3時(shí)因?yàn)?當(dāng)O|x3|時(shí)有

所以當(dāng)x3時(shí)產(chǎn)々為無窮小

x+3

⑵當(dāng)時(shí)|汴Wlsin工國%—0|因?yàn)?當(dāng)0M|時(shí)有

X

所以當(dāng)M時(shí)丁=心皿工為無窮小

X

3根據(jù)定義證明函數(shù))，=上心為當(dāng)M時(shí)的無窮大問x應(yīng)滿足什么條件能使IT10"?

X

證明分析|y|=|亨卜|2+撲卜-2要使|引出只須七-2>M即為

證明因?yàn)榧?=弁二使當(dāng)0|M時(shí)有|上走|>M

所以當(dāng)AO時(shí)函數(shù)y=l±空是無窮大

X

取MO1則旌竟亞當(dāng)°小一°片舟蒞時(shí)了io'

4求下列極限并說明理由

X

解⑴因?yàn)?1=2+1而當(dāng)x時(shí)工是無窮小所以lim2=2

XXXX*X

(2)因?yàn)槎?1+無(xl)而當(dāng)初時(shí)x為無窮小所以

1—XD1-X

5根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義填寫下表

f(x)AF(x)f(x)Ax)

00使

XX。當(dāng)0|xx<J時(shí)

有恒1Ax)川

XXQ

XXQ

0和使當(dāng)|引力時(shí)

X

有恒If{x}\M

X

X

解

MAf(x)f(x)f(x)

00使當(dāng)01XX。時(shí)欣)0使當(dāng)OlxAbla0使當(dāng)Ol^bl如0使當(dāng)0|才的|

XXo有恒|f(x)4|時(shí)有恒|f(x)\M時(shí)有恒f{x)M時(shí)有恒f{x)M

00使當(dāng)Oxx。時(shí)有W0使當(dāng)Ox*o時(shí)■)0使當(dāng)0“時(shí)使當(dāng)Oxx。時(shí)

XX。

恒有恒f{x}\M有恒f(x)M有恒f{x)M

00使當(dāng)0x°x時(shí)有,W0使當(dāng)0蜀x時(shí)如0使當(dāng)0用不時(shí)M)0使當(dāng)(Ux時(shí)

XXo恒"(x)4有恒|f{x)|M有恒f(x)M有恒f[x)M

0加便當(dāng)|x|才時(shí)0對使當(dāng)|引才時(shí)0加使當(dāng)|x|4時(shí)0如使當(dāng)|x|1時(shí)

X

有恒|f(x)4|有恒If(X)|〃有恒f(x)M有恒f{x)M

0A0使當(dāng)xX時(shí)有0加使當(dāng)x才時(shí)有0如使當(dāng)x才時(shí)有0次使當(dāng)x1時(shí)有

X

恒"(x)4恒|f{x)|M恒f(x)M恒f{x)M

0A0使當(dāng)xX時(shí)有0加使當(dāng)才才時(shí)有0如使當(dāng)xX時(shí)有0網(wǎng)使當(dāng)寸時(shí)有

X

恒"5)4恒f(x)\M恒f(x)M恒f{x}M

6函數(shù)yxcosx在()內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)x時(shí)的無窮大？為什么？

解函數(shù)yxcosx在()內(nèi)無界

這是因?yàn)榧釉?)內(nèi)總能找到這樣的x使得Iy(x)|"例如

y(2A)2Acos2A-2A(A012)

當(dāng)々充分大時(shí)就有“(2公\M

當(dāng)x時(shí)函數(shù)yxcosx不是無窮大

這是因?yàn)橐?找不到這樣一個(gè)時(shí)刻/V使對一切大于/V的x都有|y(x)例如

>(2左左+.)=(2—+.)cos必萬+9=0(A012)

對任何大的N當(dāng)在充分大時(shí)總有x=2b"+5>N但，(x)|0〃

7證明函數(shù)y二!呢!!！在區(qū)間（01］上無界但這函數(shù)不是當(dāng)時(shí)的無窮大

XX

證明函數(shù)y=Uin］在區(qū)間（01］上無界這是因?yàn)?/p>

加在（01］中總可以找到點(diǎn)Xk使y（右）〃例如當(dāng)

Xk=―—（A012）

2k兀吟

2

時(shí)有

當(dāng)女充分大時(shí)y（x*）"

當(dāng)MT時(shí)函數(shù)y=Lsin!不是無窮大這是因?yàn)?/p>

XX

加對所有的0總可以找到這樣的點(diǎn)"使0以但y（幻〃例如可取

“臉（如⑵

當(dāng)4充分大時(shí)項(xiàng)但y（項(xiàng)）2Ain2如"

習(xí)題15

1計(jì)算下列極限

（1）

x->2x-3

解li嗎凸在串在一9

XT2x—32—3

⑵li叫專4

xt6X+1

解Hm電=空二

=0

2

X->73X+l(百)2+1

(3)(m叱2中

IlXL-\

解lim'神+Llim._07)2_=1而忙L?=O

XT1X2—1XTl(x—l)(x+l)x->】x+l2

4X3一2工2+工

⑷㈣

3X2+2X

解Iirp4x3_2x2+x_]jm4.2_2x+l_1

牛x-o3x2+2xio3犬+22

(x+A)2-x2

⑸a,h

(x+/z)2—九:x2+2,zx+h2x2

解㈣'-=hm-=\im(2x+h)=2x

h/?->0hA->0

(6)lim(2―-H■-y)

L

x->8XX

解lim(2'+』)=2-lim」+lime=2

x—>00xxfocxx-?oo

(7)lim-f-1-

KT82xz-x-l

1-X

Y2_11JI

解lim-:7-lim—盧_1

Xf81x->8n1~~2

2x--X-乙--------

XX.2

⑻期^

x2+x

解lim=0（分子次數(shù)低于分母次數(shù)極限為零）

X->00x4-3x2-l

_L+±

或lim7=1加丹=0

X—>8X-3x4-lx—>00]z1

kF

⑼.得鬻

解勤占咂任去典告=言4

(10)lim(l+，)(2—4)

XX

解lim(l+-)(2—!r)=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2

ZZ

Xf8XXXx^oox

(11)lim(l+-+-+---+—)

…242"

解lim(l+^+^+???+—)=lim=2

fo'24，i1

2"T81-2

(12)liml+2+3+---+(/7-l)

z?-?oo*

(n-l)n

解lim1+2+3+；+(〃T)=——所上1y

〃一>8/?—>00〃22〃T8Yl2

(13)lim("+l)("+?("+3)

解Hm(?+I)(?+2)(n+3)=l(分子與分母的次數(shù)相同極限為

〃T85〃'5

最高次項(xiàng)系數(shù)之比)

或Hm(n+l)(/?42)(/;+3)=1iim(i+l)(i+2)(1+3)=l

85〃35n—>oo〃nn5

(14)"丁金)

解I即占-13?)=linr!士二±工±3=—lim0一中^^2),

Xf1(l-x)(l+x+x2)X->1(l-x)(l+x+x2)

2計(jì)算下列極限

x3+2x2

⑴rlim------

Xf2(X-2)2

解因?yàn)閯t詈翁方。所以甄霍翁8

x2

⑵lim

Xf82x+l

y2

解limkJ=oo(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù))

Xf82x+l

(3)lim(2x3-x+l)

X->00

解lim(2x3-x+l)=oo(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù))

Xf00

3計(jì)算下列極限

(1)limx2sin—

x->0x

解limx2sin—=0(當(dāng)時(shí)/是無窮小而sin，是有界變量)

X->OXX

⑵lim照里四

X->8X

解lim膽陋=limLarctanx=O(當(dāng)x時(shí)上是無窮小

Xf8XX->00XX

而arctanx是有界變量)

4證明本節(jié)定理3中的(2)

習(xí)題15

1計(jì)算下列極限

(1)lim^^

解1而頭=普=-9

X—>2x—32-3

⑵鹿言

解騫云;=翳三=°

(3)lim叱2x+l

l

iix-\

解Hm正科l=lim上3^=lim忙L?=0

A—>1X2—1X->1(X—1)(X+1)X->1X4-12

(4)iim?-+x

x-?o3X2+2X

解lim4^2x^=lim4^z2x±l=l

io3X2+2XAT。3X4-22

(5)lim.+『

力foh

解缺*X24-2/1X4-A2-X2

lim=lim=lim(2x+/z)=2x

20hhfOh

(6)lim(2--4

XT8xX

解lim(2—-+4r)=2-lim—+lim4r=2

x->00xX2x->ooXx^ooX2

(7)limf-1

x-82xx-x-l

l-±

r2_i/I

解

lim.z:f=lim

XT82x-x-\Xf00112

N9-------------z-

XX2

(8)lim

2

解lim尸0(分子次數(shù)低于分母次數(shù)極限為零)

18%'一3廿一1

j_+±

或linr==lim彳；?，.=()

XT8?T-lXT8[21

1

X5Z'Z

⑼曲二鬻

解則會篙則EH吧皆士H

(10)lirn(14--)(2--y)

解lim(l+-)(2-^y)=Iim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2

x—>ooxX2x—>ooXx—>oo

(11)lim(l+j-+4-+-??+—)

n—xo242〃

(12)lim"2+3+；+(〃一1)

"TOO及Z

(n-l)n

A7；v1+2+3+???+(〃-l)].21n—11

解lim-------z--——-=hm—(-=-lim----=-

〃一>8/?—>0028〃2

(13)lim(〃+D(〃+?(〃+3)

解lim(?+D(?+2)(n+3)=|(分子與分母的次數(shù)相同極限為

〃->85〃J

最高次項(xiàng)系數(shù)之比)

或lim@tD('?+jX"3)=3lim(1+l)(1+2)(1+3)=l

〃T85〃->8nnn5

(⑷!吧(士一金)

解lim(-----J)=lim!±吐±3,=_..(匕)。+2),

X—I1-X1-X3X->1(l-x)(l+x+x2)Xfl(1—X)(l+X+》2)

2計(jì)算下列極限

⑴啊K

解因?yàn)槿陔x哈二°所以物音R

2

⑵limX

Xf82x+l

x2

解lim=00(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù))

X-?002x+l

(3)lim(2x3-x+l)

X-?00

解lim(2x3-x+l)=oo(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù))

X—>00

3計(jì)算下列極限

(1)limx2sin—

x->0x

解limA-2sin—=0（當(dāng)M）時(shí)*是無窮小而sid是有界變量）

XX

⑵lim照擔(dān)更

Xf8X

解limarctanv=HmLarctanr=O（當(dāng)x時(shí)上是無窮小

Xf8XXf?xX

而arctanx是有界變量）

4證明本節(jié)定理3中的（2）

習(xí)題17

1當(dāng)時(shí)2xV與f系相比哪一個(gè)是高階無窮??？

232

解因?yàn)榕９?0

x-^c>2x-x2x->o2-x

所以當(dāng)M時(shí)是高階無窮小即

2當(dāng)xl時(shí)無窮小lx和（l）lf（2）Jl—%2）是否同階？是否等價(jià)？

解（1）因?yàn)閘imJ匚=1而」—'**+'*+'*）=lim（l+x+*2）=3

Xfl1—XA—>11—XXfl

所以當(dāng)xl時(shí)lx和If是同階的無窮小但不是等價(jià)無窮小

⑵因?yàn)閘imJ----=±lim（l+x）=l

XTl\-X2x->l

所以當(dāng)X1時(shí)lx和夕1-/）是同階的無窮小而且是等價(jià)無窮小

3證明當(dāng)M）時(shí)有

⑴arctanx~x

2

（2）secx-l~—v

證明⑴因?yàn)閘imarctanr=limj=1（提示令7arctanx則當(dāng)AO時(shí)W）

x->oxy->otany

所以當(dāng)M）時(shí)arctanA^x

2sin242sin]

⑵因?yàn)閘im理"=21im早咨=lim---=lim（-------—）2=1

x->012x-^OxzCOSXx->0x2DX

2~22

2

所以當(dāng)M）時(shí)secx-l?亍v

4利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)求下列極限

⑴lim嚶

X->O2X

⑵畸腎（〃加為正整數(shù)）

⑶粵tanx-sinx

sin3x

(4)limi——-sinx—t-a-n--x----

^°(V1+X2-l)(Vl+sinx-D

解⑴limlan3x=lim^=3

2xzo2x2

1n-m

g].sin(xM)].Xn

(2)hm——---=lim——=<0n>m

mm

x—o(sinx)XTOx

00n<m

?sinX-------1)i[

⑶12.『外一平一=隔上半-=lim—一)

x->osin,x丫->0sin'xx—Ocosxsin'x-v->ox2cosx2

(4)因?yàn)?/p>

sinx-tarLx=tarLx(cosx-l)=-2tanxsin2-^2x-(^)2=—^A3(AO)

汕+彳2_[=/-----!A2(X))

#(1+丁2)2+前++2+13

Vl+sinx-l=_-----sinx~x(AO)

Vl+sinx+1

_1^3

所以I2上下￡土.—；巾2_.3

1。即+N-l)(Vl+sinx-l)-0J

3

5證明無窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)

(1)~(自反性)

⑵若~則~(對稱性)

⑶若~~則~(傳遞性)

證明⑴lim2=l所以~

⑵若~貝”加烏=1從而lim^=l因此~

Ba

⑶若~~Hn￡=lim2?lim^=l因此~

YYP

習(xí)題18

1研究下列函數(shù)的連續(xù)性并畫出函數(shù)的圖形

x20<%<1

(1)/(%)=,

2—xl<x<2

解已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)所以函數(shù)/'(x)在［01)和(12］內(nèi)是連續(xù)的

在X1處因?yàn)锳D1并且

所以lim/(x)=l從而函數(shù)f(x)在xl處是連續(xù)的

A->1

綜上所述，函數(shù)f(x)在［02］上是連續(xù)函數(shù)

⑵/(%)=｛：

|x|>l

解只需考察函數(shù)在X1和X1處的連續(xù)性

在X1處因?yàn)锳D1并且

所以函數(shù)在X1處間斷但右連續(xù)

在X1處因?yàn)閒(l)i并且

limf(x)=limx=l/(I)limf(x)=lim1=1Al)

Xfrx->l+X->1*

所以函數(shù)在xl處連續(xù)

綜合上述討論函數(shù)在(1)和(1)內(nèi)連續(xù)在xl處間斷但右連續(xù)

2下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類如果是可去間斷點(diǎn)則補(bǔ)充或

改變函數(shù)的定義使它連續(xù)

x'-3x+2

解尸產(chǎn)翌二產(chǎn)!因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)和X1處無定義所以卷和X1是函數(shù)的間斷

X2-3X+2(X-2)(X-1)

點(diǎn)

因?yàn)閘imy=limk=8所以也是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)

Xf212尤2_3》+2

因?yàn)閘imy=limF孚=-2所以xl是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)并且是可去間斷點(diǎn)在0處令

(x-2)

y2則函數(shù)在x1處成為連續(xù)的

(2)y=xxkx=kjr+^-(A012)

tanx2

解函數(shù)在點(diǎn)瓶(AZ)和x=b■+段(4Z)處無定義因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn)

因lim-^=oo(A0)故xk(kO)是第二類間斷點(diǎn)

xikTttanx

因?yàn)閘im^=llim^=0(依)所以必和40+?(依)是第一類間斷點(diǎn)且是可去

x-?otanxtfk訃8tanx2

,2

間斷點(diǎn)

令引力則函數(shù)在M)處成為連續(xù)的

令戶%乃+■^時(shí)w則函數(shù)在x=Z萬+微處成為連續(xù)的

(3)y=cos2—^0

解因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)cos2工在M處無定義所以A0是函數(shù)廠cos21的間斷點(diǎn)又因?yàn)閘imcos2-5-

XXZoX

不存在所以如是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)

3-xx>\

解因?yàn)閘im/(x)=lim(x-l)=0lim/(x)=lim(3-x)=2所以xl是函數(shù)的第一類不可去問

X->rX->1+Xfl+

斷點(diǎn)

3討論函數(shù)/(x)=lim=的連續(xù)性若有間斷點(diǎn)判別其類型

〃一>814-X

1_丫2〃-x|x|>l

解A叫吧,I0|x|=l

X|x|<l

在分段點(diǎn)xl處因?yàn)閘imf(x)~lim(-JC)=1lim/(x)=limx=—l所以xl為函數(shù)的第一

x->-r%->-rx->-i+

類不可去間斷點(diǎn)

在分段點(diǎn)xl處因?yàn)閘imf(x)=limx=llim/(x)=lim(-x)=-l所以xl為函數(shù)的第一類不

Xfl-X-?rXT1+X->1+

可去間斷點(diǎn)

4證明若函數(shù)f(x)在點(diǎn)荀連續(xù)且f(xo)0則存在總的某一鄰域〃(劉)當(dāng)xU(x。時(shí)—(x)。

證明不妨設(shè)?(%)>0因?yàn)閒(x)在選連續(xù)所以lim/(x)=/(Xo)>O由極限的局部保號性定

XfXo

理存在用的某一去心鄰域灰飛)使當(dāng)xl5))時(shí)f(x)>0從而當(dāng)xU(x。時(shí)fkx)>0這就是

說則存在X。的某一鄰域〃(兩)當(dāng)xU(x>時(shí)/1(x)0

5試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子

(1)M12±[A±1?是f(x)的所有間斷點(diǎn)且它們都是無窮間斷點(diǎn)

解函數(shù)f(x)=CSC(OT)+csc—在點(diǎn)AO12±!〃±L處是間斷的

x2n

且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)

(2)f(x)在R上處處不連續(xù)但"(x)|在R上處處連續(xù)

解函數(shù)”1在R上處處不連續(xù)但|F(x)]在R上處處連續(xù)

(3)fix)在R上處處有定義但僅在一點(diǎn)連續(xù)

解函數(shù)/(x)={:逮在R上處處有定義它只在AO處連續(xù)

習(xí)題19

1求函數(shù)/(x)=立與的連續(xù)區(qū)間并求極限lim/(x)lim/(x)及

X-hx—ox-0x->-3x->2

解了(幻=犬3+\/+3=(*：3)(;二1)(：：1)函數(shù)在o內(nèi)除點(diǎn)嵬和然外是連續(xù)的所以函數(shù)

xz+x-6(x+3)(x-2)

f(x)的連續(xù)區(qū)間為(3)、(32)、(2)

在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處lim/(x)=/(0)=1

%->o2

在函數(shù)的間斷點(diǎn)邊和火3處

2設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)X。連續(xù)證明函數(shù)

(x)max"(x)g(x)}(x)min{f(x)g(x)}

在點(diǎn)Xo也連續(xù)

證明已知limf(x)=f(XQ)limg(x)=g(x())

x->xQx—>x0

可以驗(yàn)證

因此奴題)=；"(與)+8(廂)+|/(珀一8(鳳)|]

因?yàn)?/p>

=；(/(與)+g(聞)+1/(%)-g(K)l](X。)

所以(X)在點(diǎn)%0也連續(xù)

同理可證明(X)在點(diǎn)吊也連續(xù)

3求下列極限

(1)limJ尤2-2%+5

x->0

⑵lim(sin2x)3

r

(3)limln(2cos2x)

(4)Jim近亙」

xfOX

(5)加6-4-4

X->1X-\

(6)lim迎死血

Xfax-a

(7)lim(A/X2+X-VX2-X)

+8

解(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(幻=乒五音是初等函數(shù)f(x)在點(diǎn)AO有定義所以

⑵因?yàn)楹瘮?shù)F3(sin2x)3是初等函數(shù)4)在點(diǎn)x埼有定義所以

(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)In(2cos2x)是初等函數(shù)f(x)在點(diǎn)尤=鄉(xiāng)有定義所以

X

=lim——7=——

^ox(Vx+l+l)

y/5x—4-yj-X

⑸㈣x-1T盤(x-1)(A/5X-4+6)

..2cos——sin---

(6)lim迎3二S3=]im------2------二

Xiax-ax->aX-a

⑺lim(廬￡而)=lim(際一但三)(產(chǎn)+月)

X*x-E(ylx2+x+y/x2-x)

4求下列極限

1_

(1)limex

X->8

x->0X

1￡

(3)lim(l+-)2

XT8X

(4)lima+Starfx)00*^

⑸lim(尹)號

A>86+%

⑹]而Jl+t亞-J[+sinx

1°x5/l+sin2x—x

-lim-

解⑴lime』、』』

(2)limln皿=ln(lim皿)=lnl=0

x-^0Xx->0X

ii1

(3)lim(1+-)x2=limf(l+-)v5=^=^

XTOOXX->OOLX」

(4)lim(l+31an2x)cot2x=lim[(1+31an2x)3tan2vJ=e3

o.?%—1o6+x_3x-l

⑸(#)〒因?yàn)?/p>

6+x6+x

□?x—1_3

所以lim(/v)2=e2

⑹］im一Hm(后tanx二Jl+sinx)(Jl+sin2s+l)

a。xy/l+sin2x—xa。x(Vl+sin2x-1)(Vl+tanx+Jl+sinx)

5設(shè)函數(shù)fkx)^尤<?應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a使得/'(x)成為在()內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？

［a+xx>0

解要使函數(shù)/(%)在()內(nèi)連續(xù)只須f(x)在M處連續(xù)即只須

因?yàn)閘imf(x)-limex-llim/(無)=lim(n+x)=a所以只須取al

x->-0x->-0x->+0x->+0

習(xí)題110

1證明方程/3^1至少有一個(gè)根介于1和2之間

證明設(shè)A^)/3^1則/?(*)是閉區(qū)間［12］上的連續(xù)函數(shù)

因?yàn)閞(l)3/(2)25/(1)/(2)0所以由零點(diǎn)定理在(12)內(nèi)至少有一點(diǎn)

(⑵使f()0即x是方程熹0的介于1和2之間的根

因此方程f3xl至少有一個(gè)根介于1和2之間

2證明方程xasinxb其中aObO至少有一個(gè)正根并且它不超過ab

證明設(shè)f(x)asinx6x則f(x)是［OaA］上的連續(xù)函數(shù)

/(0)bf(a6)asin(aA)b(a6)a［sin(aZ?)l］0

若f(a6)0則說明就是方程xasinxb的一個(gè)不超過ab的根

若f(公)0則f(0)f(a，)0由零點(diǎn)定理至少存在一點(diǎn)(0a⑸使f()0這說明x也是方程

x=asix\xb的一個(gè)不超過勖的根

總之方程xasinxb至少有一個(gè)正根并且它不超過ab

3設(shè)函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間［a6］上的任意兩點(diǎn)x、y恒有f(x)f(力|￡|燈,其中/為正常

數(shù)且f(a)f(6)0證明至少有一點(diǎn)(a力使得f00

證明設(shè)施為(aS)內(nèi)任意一點(diǎn)因?yàn)?/p>

所以lim|/(x)-/(Ao)|=O

即lim/(x)=/(而)

因此/'(x)在Q6)內(nèi)連續(xù)

同理可證f(x)在點(diǎn)a處左連續(xù)在點(diǎn)方處右連續(xù)所以f(x)在［a，］上連續(xù)

因?yàn)閒(x)在［a6］上連續(xù)且f(a)f(6)0由零點(diǎn)定理至少有一點(diǎn)(aZ?)使得f()0

4若/'(x)在\.ab\上連續(xù)ax\XzX“b則在上至少有一點(diǎn)使

證明顯然M在［為先］上也連續(xù)設(shè)"和勿分別是M在［x/j上的最大值和最小值

因?yàn)?1力?)所以有M從而有

由介值定理推論在［%意上至少有一點(diǎn)使

5證明若f(x)在()內(nèi)連續(xù)且lim/(x)存在則f(x)必在()內(nèi)有界

X->00

證明令lim/(x)=A則對于給定的0存在初只要x乃就有

Xf8

"(x)川即AMA

又由于f(x)在閉區(qū)間［闕上連續(xù)根據(jù)有界性定理存在如使"(x)MxlXX\

取Afnax｛M\A\A\｝則If(x)IMr()即f｛x)在()內(nèi)有界

6在什么條件下(a6)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？

總習(xí)題一

1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正