北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試(數(shù)學)篇一

北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試

數(shù)學

（考試時間：90分鐘滿分：100分）

友情提示：請將答案填寫在答題卷中，寫在試卷上不得分.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

1.已知x+y=+yTw0,則孫的值為（）

A.-1B.0C.1D.21

2.有4張全新的撲克牌，其中黑桃、紅桃各2張，它們的背面都一樣，將它們洗勻后，背面朝

上放到桌面上，從中任意摸出2張牌，摸出的花色不一樣的概率是（）

3.如圖是一個切去了一個角的正方體紙盒，切面與棱的交點A、B、C均是棱的中點，現(xiàn)將紙盒

3QX2014

5.如果關(guān)于X的方程必+履+巳獷―34+'=0的兩個實數(shù)根分別為王,々，那么」與式的值為

42X,

6.已知銳角AABC的頂點A到垂心〃（三角形三邊上高線的交點稱為垂心）的距離等于它的外接

圓的半徑，則/A的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.對于一個正整數(shù)，如果其順著數(shù)和倒著數(shù)都是一樣的，則稱此數(shù)為“回文數(shù)”(如1、11、121

都是回文數(shù)，而110則不是回文數(shù)).將所有回文數(shù)從小到大排成一列：1,2,…，9,11,22,…，

則第2022個回文數(shù)是()

A.1014101B.1015101C.1016101D.1017101

8.若四個互不相等的正實數(shù)a,b,c,d(a2015-c2015)(a2015-t/2015)=2015,

僅2015_02015),如5_12015)=2015,貝U加加5_(d)刈5的值為()

A.-2015B.-2014C.2015D.2014

二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)

9.對于任意實數(shù)a,b,定義a*人=a(a+A)+b,已知a*2.5=28.5,則實數(shù)a的值是L

10.在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0,4),點8的坐標為(-1,0),以線段上一點尸為

圓心作圓與OA,OB均相切，則點P的坐標為.

11.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,NBCD=90。,AB=25cm,\

BC=24cm.將該梯形折疊，點A恰好與點。重合，BE為折痕,A8

那么tanA=.第11題圖

12.如圖，在直角坐標系中，已知點A(-3,0),5(0,4),對AQ4B連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三

角形①、②、③、④、…，則三角形⑩的直角頂點的坐標為

13.已知6,。2,%，%，%是滿足條件q+。2+。3+。4+%=9的五個不同的整數(shù)，若》是關(guān)于X的

方程5—%)5—4)5—%)(了一%)5—%)=2009的整數(shù)根，則匕的值為.

14.正五邊形廣場ABCDE的周長為2022米.甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿

ATB-CTO-ETAT…方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分.那

么出發(fā)后經(jīng)過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上.

三、解答題（本大題共6小題，共52分）

15.（1）（本小題4分）計算：（g）-1-51-2sin60°-1

（2）（本小題4分）先化簡，再求值："二叫，—R其中|a—tan6（T|+J==0

b"a"-b'

16.（本小題8分）

如圖，M、N、尸分另ij為△ABC三邊AB、BC、

MN、AN分別交于￡、F,

（1）求證：BF=2FP；

（2）設(shè)△ABC的面積為S,求ANEF的面積

17.（本小題8分）

對于二次函數(shù)丁=以2+法+°,如果當x取任意整數(shù)時，函數(shù)值y都是整數(shù)，那么我們把

該函數(shù)的圖象叫做整點拋物線（例如：y=x2+2x+2）.

（1）請你寫出一個二次項系數(shù)的絕對值小于1的整點拋物線的解析式.（不必證明）

（2）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖诙雾椣禂?shù)的絕對值小于工的整點拋物線？若存在，請寫出其中一

2

條拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

18.（本小題8分）

己知江c是滿足c>Z>>0的整數(shù)，方程/一陵+。=0有兩個不等的實根再和Z,設(shè)

P=—+—,Q=*+x；,尺=（菁+1）（%+1），試比較尸、°、尺的大小，并說明理由.

19.(本小題8分)

預計用1500元購買甲商品》個，乙商品y個，不料甲商品每個漲價L5元，乙商品每個漲價

1元，盡管購買甲商品的個數(shù)比預定數(shù)減少10個，總金額仍多用29元.又若甲、乙兩商品每個

均只漲價1元，并且購買甲商品的數(shù)量只比預定數(shù)少5個，那么甲、乙兩商品支付的總金額是

1563.5元.

(1)求x、y的關(guān)系式；

(2)若預計購買甲商品的個數(shù)的2倍與預計購買乙商品的個數(shù)的和大于205,但小于210,

求x、y的值.

20.(本小題12分)閱讀材料：

如圖20-1,過△48。的三個頂點分別作出與水平線垂直的三

條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△48。的"水平寬”(a),

中間的這條直線在△48。內(nèi)部線段的長度叫△4SC的“鉛垂高

(")”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：SMBC=；ah,

即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

解答下列問題：

如圖20-2,拋物線頂點坐標為點4),交無軸于點A(—3,0),交y軸于點A

(1)求拋物線和直線AB的解析式；

(2)點P是拋物線(在第三象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)B4,PB,當P點運動到頂點C時，

求△CA8的鉛垂高CD及S&CAB；

(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點尸(不與。點重合)，使SSW=SACAB，若存在，求出

尸點的坐標；若不存在，請說明理由.

圖20-2

北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試

數(shù)學答題卷

一、選擇題（每小題3分，共8題，在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

題號12345678

答案

二、填空題（每小題4分，共6小題）

9.；10.；11.；

12.；13.；14.

三、解答題（共6小題，共52分）

15.（1）（本小題4分）計算：-1-51-2sin60°-+1

⑵（本小題4分）先化簡，再求值：?耍4；其中|a-tan60」+J幣=0

ba-b

16.(本小題8分)

如圖，M,N、P分別為△ABC三邊AB、BC、CA的中點，BP與MN、AN分別交于E、F,

(1)求證：BF=2FP；

(2)設(shè)△ABC的面積為S,求ANEF的面積.

17.(本小題8分)

對于二次函數(shù)y=?%2+6x+c,如果當x取任意整數(shù)時，函數(shù)值y都是整數(shù)，那么我們把

該函數(shù)的圖象叫做整點拋物線(例如：y=f+2x+2).

(1)請你寫出一個二次項系數(shù)的絕對值小于1的整點拋物線的解析式.(不必證明)

(2)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖诙雾椣禂?shù)的絕對值小于工的整點拋物線？若存在，請寫出其中一

2

條拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

18.(本小題8分)

己知&c是滿足c>Z>>0的整數(shù)，方程V一桁+。=0有兩個不等的實根苞和馬,設(shè)

P=J+J,Q=x；+x；,7?=(X1+1)(X2+1),試比較P、Q、R的大小，并說明理由.

19.(本小題8分)

預計用1500元購買甲商品x個，乙商品y個，不料甲商品每個漲價1.5元，乙商品每個漲價

1元，盡管購買甲商品的個數(shù)比預定數(shù)減少10個，總金額仍多用29元.又若甲、乙兩商品每個

均只漲價1元，并且購買甲商品的數(shù)量只比預定數(shù)少5個，那么甲、乙兩商品支付的總金額是

1563.5元.

(1)求X、y的關(guān)系式；

(2)若預計購買甲商品的個數(shù)的2倍與預計購買乙商品的個數(shù)的和大于205,但小于210,

求x、y的值

20.（本小題12分）閱讀材料：

如圖20-1,過△40。的三個頂點分別作出與水平線垂直的三

條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△力8。的"水平寬"（a）,

中間的這條直線在△AB。內(nèi)部線段的長度叫△以8。的“鉛垂高

（%）”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：5AABC=；ah,

即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

解答下列問題：

如圖20-2,拋物線頂點坐標為點。（一1,—4）,交無軸于點4-3,0）,交y軸于點

（1）求拋物線和直線A8的解析式；

（2）點尸是拋物線（在第三象限內(nèi)）上的一個動點，連結(jié)必，PB,當尸點運動到頂點C時，

求△C4B的鉛垂高CD及SACAB；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點尸（不與。點重合），使SAMB=&CAB，若存在，求出

尸點的坐標；若不存在，請說明理由.

圖20-2

北大附屬學校2022屆高一實驗班選拔考試

數(shù)學參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1——4CBBA5——8DCCA

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

（44、4

9.4或—6.510.I—-I11.—12.（36,0）13.1014.104

三、解答題（本大題共6小題，共52分）

15.⑴本小題4分）

解：原式=9-5-0-0+1+G+正

=5..................................................4分

（2）（本小題4分）

序式_〃(〃+8)a(a-b)_a

解:2分

b1(a—b)(a+b)b2

\,\a-tan60°|+A/F+~3=0/.a=tan60°=,b=-3................3分

當a=G,6=—3時，原式=幽?=!

4分

(-3)23

16.(本小題8分)

解：(1)如圖1,連結(jié)尸M則尸N〃AB,且PN=-AB.

2

AABFS&NPF,..................................................2分

BFAFAB八

-----=------=------=2........................................................3分

FPFNPN

：.BF=2FP..................................................4分

(2)如圖2,取AF的中點G,連結(jié)MG,貝|

MG//EF,AG=GF=FN...................................................5分

??SANEF=—SAMNG.................................................6分

4

=-X-S^AMN.................................................7分

43

1211八

二—x—x—SAABC=—S..............................................8分

43424

17.（本小題8分）

解：（1）如：y=—x2+—x,y=_工尤2_J_九等等

2222

（只要寫出一個符合條件的函數(shù)解析式）........................2分

（2）假設(shè)存在符合條件的拋物線，則對于拋物線丁=依2+0%+。

當x=0時y=c,當尤=1時丁=。+人+。，

由整點拋物線定義知：c為整數(shù)，〃+b+c為整數(shù)，........................4分

...〃+/?必為整數(shù).........................5分

又當x=2時，y-^a+2b+c-2a+2（〃+b）+c是整數(shù)，

.??2Q必為整數(shù)，從而。應(yīng)為上的整數(shù)倍，........................7分

2

：.\a\>-：.不存在二次項系數(shù)的絕對值小于-的整點拋物線...............8分

22

18.（本小題8分）

解：由題意：b2-4c>0

且再十%=^，%％=C.................................................1分

八M+xbl八

???P=’——工7=-<1.................................................2分

xrx2C

Q=x；+x；=b2—2c.................................................3分

>2c>l.................................................4分

R=中2+%1+%2+1=人+。+1〉1....................5分

又Q—R=〃—2c—0+c+l）=Z;2—3c—b—1...................6分

>4c—3c—b-l=c—b-l

,?*c>b:.c—Z?21「.c—b—1^0

Q-R>0.................................................7分

：.Q>R>P8分

19.(本小題8分)

解：(1)設(shè)預計購買甲、乙商品的單價分別為a元和匕元，則原計劃是

ax+by=1500,①.............................................1分

由甲商品單價上漲L5元、乙商品單價上漲1元，并且甲商品減少10個的情形，得

(?+1.5)(x-10)+(Z?+l)y=1529.②.............................................2分

再由甲商品單價上漲1元，而數(shù)量比預計數(shù)少5個，乙商品單價上漲仍是1元的情形，得

(a+l)(x-5)+(Z?+l)y=1563.5,③...............................................3分

由①、②、③得

1.5x+y-10?=44,@

〈........................5分

x+y-5a=68.5.⑤

④一⑤x2并化簡，得

x+2y=186......................................................6分

2

(2)依題意，有205<2x+y<210及x+2y=186,54<y<55j,......................7分

由于y是整數(shù)，得y=55,從而得x=76..............................................8分

20.(本小題12分)

解：⑴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)2-4.

把A(—3,0)代入解析式，解得a=1.

拋物線的表達式為弘=(x+—4=f+2x—3........................................1分

.?.5點的坐標為(0,—3)...........................................2分

_3k+Z?=’

設(shè)直線AB的表達式為％=丘+匕把4—3,0),5(0,—3)代入，得〈~

b=-3

解得左=—1,b=—3.，直線AB的表達式為%=-x-3............................................3分

(2)因為點C坐標為(―1,—4),.?.當x=—1時，必=—4,乂=一2.

CD=-2-(-4)=2..........................................4分

S.ABC=4O4CD=』x3x2=3..................