2017-2021年陜西中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形和四邊形

2017-2021年陜西中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形和四邊形

一.選擇題（共16小題）

1.（2020?陜西）如圖，ACLBC,直線EF經(jīng)過點C,若Nl=35°,則/2的大小為（）

C.45°D.35°

2.（2020?陜西）若NA=23°,則N4余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

3.（2021?陜西）如圖，直線人〃/2,直線/1、/2被直線/3所截，若Nl=54°,則N2的大

小為（）

4.（2021?陜西）如圖，△ABC的中線BE、C尸交于點O,連接E凡則處的值為（）

A.AB.AC.2D.A

2334

5.（2021?陜西）如圖，在菱形ABC。中，NA8C=60°,連接AC、B。，則蛆的值為（）

BD

D

A?5B.亨C.喙D.返

3

6.（2019?陜西）如圖，在△A8C中，NB=30°,ZC=45°,AD平分/84C交BC于點

D,DEIAB,垂足為E.若。E=l,則BC的長為（）

C

BD

A.2+V2B.V2+V3C.2+A/3D.3

7.（2018?陜西）如圖，在△48C中，AC=8,ZABC=60°,/C=45°,ADLBC,垂足

為D,NABC的平分線交AO于點E,則AE的長為（）

A

BDC

2

A，y>/2B.V2C.-|^2D.3近

8.（2017?陜西）如圖，在△ABC中，ZA=60°,ZB=45°.若邊AC的垂直平分線OE

交邊A8于點。，交邊AC于點E,連接CD,貝Ij/OCB=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

9.（2020?陜西）如圖，在3X3的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,。都在

格點上，若8。是aABC的高，則B。的長為（）

B,會后C-^13D.

10.（2019?陜西）如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=6,若點E,尸分別在A8,C。上,

且BE=2AE,DF=2FC,G,H分別是AC的三等分點，則四邊形EHFG的面積為（）

C.2D.4

11.（2021?陜西）如圖，點。、E分別在線段BC、AC上，連接A。、BE.若NA=35°,

NB=25°,ZC=50°,則/I的大小為（）

12.（2020?陜西）如圖，在菱形A8CQ中，AC=8,BD=6,DEVAB,垂足為E,DE與

D.4

13.（2020?陜西）如圖，在QA8C￡>中，AB=5,BC=8.E是邊8C的中點，F(xiàn)^ABCD|*J

一點，且NBFC=90°.連接AF并延長，交CD于點G.若EF//AB,則DG的長為（）

A.5B.3C.3D.2

22

14.（2019?陜西）如圖，在△4BC中，NABC=90°,ZC=52°,BE為AC邊上的中線，

AD平分NBAC,交BC邊于點D,過點B作BFLAD,垂足為F,則ZEBF的度數(shù)為（）

15.（2018?陜西）如圖，在RtZVLBC中，/ACB=90°,ZA=65°,CDLAB,垂足為

E是BC的中點，連接ED,則NOEC的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

16.（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點4、C、E

共線.若AC=6cm,CD1BC,則線段CE的長度是（）

A.6cmB.1cmC.D.8cm

二.填空題（共4小題）

17.（2017?陜西）如圖.在中，AC=3,乙48c=90°,8。是△ABC的角平分線,

過點。作交8。邊于點￡若AZ）=1,則圖中陰影部分的面積為

18.（2021?陜西）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代

的數(shù)學(xué)成就.如圖所示的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼

成的一個大正方形.直角三角形的斜邊長為13,一條直角邊長為12,則小正方形ABCO

的面積的大小為.

19.（2017?陜西）如圖，在四邊形ABCQ中，A8=AO,ZBAD=ZBCD=90°,連接AC.若

AC=6,則四邊形ABC。的面積為.

D

B

20.（2018?陜西）如圖，在矩形中，AB=3,AO=4,連接AC,。是AC的中點，M

是AQ上一點，且MO=1,P是BC上一動點，則尸M-P。的最大值為.

三.解答題（共3小題）

21.（2021?陜西）如圖，ZA=ZBCD,C4=C。，點E在BC上，KDE//AB,求證：AB

=EC.

D

22.（2020?陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測算所住樓

對面商業(yè)大廈的高M(jìn)N.他倆在小明家的窗臺B處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角/I的

度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測得商業(yè)大廈底部〃的俯角的度數(shù).于是，他

倆上樓來到小華家，在窗臺C處測得大廈底部M的俯角N2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)/I與/2

恰好相等.已知A,B,C三點共線，CALAM,NMLAM,AB=31w,BC=l8m,試求

商業(yè)大廈的高M(jìn)N.

23.（2018?陜西）如圖，AB//CD,E、尸分別為AB、C。上的點，且EC〃BF,連接A。,

分別與￡C、BF相交于點G,H,若AB=CD,求證：AG=DH.

CD

2017-2021年陜西中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形和四邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共16小題）

1.（2020?陜西）如圖，ACLBC,直線EF經(jīng)過點C,若Nl=35°,則/2的大小為（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【考點】垂線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由垂線的性質(zhì)可得NACB=90°,由平角的性質(zhì)可求解.

【解答】解：...ACaBC,

AZACB=90°,

VZ1+ZACB+Z2=18O°,

，N2=180°-90°-35°=55°,

故選：B.

【點評】本題考查了垂線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

2.（2020?陜西）若NA=23°,則NA余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

【考點】余角和補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)/A的余角是90°-ZA,代入求出即可.

【解答】解：：乙4=23°,

...NA的余角是90°-23°=67°.

故選:B.

【點評】本題考查了互余的應(yīng)用，注意：如果NA和互為余角，那么/A=90°-Z

B.

3.（2021?陜西）如圖，直線/1〃/2,直線力、/2被直線/3所截，若/1=54°,則N2的大

小為（）

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)，由得N1=N3=54°,那么N2=180°-Z

3=126°.

【解答】解：如圖.

'：h//l2,

.*.Z1=Z3=54°.

.?.N2=180°-/3=180°-54°=126°.

故選：C.

【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N1=N3=54°是解決本

題的關(guān)鍵.

4.（2021?陜西）如圖，△ABC的中線BE、CF交于點O,連接EF,則好的值為（）

FC

,A

0

B

A.AB.Ac.2D.A

2334

【考點】三角形的重心；三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；圖形的相似；推理能力.

【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EF〃BC,EF=LBC,則可判斷

2

利用相似比得到里=1,然后根據(jù)比例的性質(zhì)得到”的值.

0C2FC

【解答】解：：中線BE、CF交于點O,

...EF為△ABC的中位線，

J.EF//BC,EF=LBC,

2

：./\OEF^/\OBC,

.OF=EF=1

,,0CBCT

?PL=1

??而3"

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂

點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

5.（2021?陜西）如圖，在菱形ABCQ中，NABC=60°,連接AC、B￡>,則隹■的值為（）

BD

【考點】菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值：等邊三角形的判定

與性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO=CO,BO=DO,AC1BD,NAB￡>=」NA8C=30°,

2

由銳角三角函數(shù)可求解.

【解答】解：設(shè)AC與3。交于點0,

A

D

//

-----------------X?

???西邊形ABC。是菱形，

：.AO=CO,BO=DO,ACLBD,/ABO=LABC=30°,

_2

?：lanZABD=^-^-,

_BO3

.ACM

??--z:---,

BD3

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?陜西）如圖，在△A8C中，ZB=30°,NC=45°,A￡>平分NBAC交BC于點

D,DELAB,垂足為E.若DE=1,則BC的長為（）

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線.

【分析】過點D作DFLAC于F如圖所示，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF=\,解

直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過點。作。尸，4c于凡如圖所示，

為/BAC的平分線，且?？谟贓,DFLAC^F,

：.DE=DF=\,

在RtZYBE。中，ZB=30°,

：.BD=2DE=2,

在Rtz^CD尸中，ZC=45°,

...△CDF為等腰直角三角形,

:.CD=?DF=

:.BC=BD+CD=2^[^,

故選：A.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2018?陜西）如圖，在△A8C中，AC=8,/ABC=60°，NC=45°，ADA.BC,垂足

為。，NA8C的平分線交于點E,則4E的長為（）

A

BDC

A.三代B.272C..|^/2D.372

【考點】勾股定理；角平分線的定義；含30度角的直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】在RtZsAOC中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出A。的長度，在RtZXAOB中，

由AD的長度及乙48。的度數(shù)可求出BD的長度，在RtZ\EBO中，由BD的長度及NEBO

的度數(shù)可求出DE的長度，再利用AE=AD-DE即可求出AE的長度.

【解答】'：ADA.BC,

：.ZADC=ZADB=90Q.

在RtAADC中，AC=8,/C=45°,

：.AD=CD,

.\AD=^4C=4A/2.

2

在RtZXADB中,AO=4&,ZABD=60Q,

：.BD=^-AD=W6

33

「BE平分NA8C,

；.NEBD=30°.

在RtZXEBD中，8D=&昆，NEBD=30°,

3

:.DE=?BD=^k,

33

：.AE=AD-DE=色巨.

3

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形以及特殊

角的三角函數(shù)，通過解直角三角形求出AO、力E的長度是解題的關(guān)鍵.

8.（2017?陜西）如圖，在△4BC中，乙4=60°,NB=45°.若邊4c的垂直平分線。E

交邊AB于點D,交邊AC于點E,連接CD,則NQCB=（）

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到/AC8的度數(shù)，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即

可得出/AC。的度數(shù)，進(jìn)而得到/OC8的度數(shù).

【解答】解：；/4=60°,NB=45°,

AZACB=75°,

；DE垂直平分AC,

：.AD=CD,

：.ZACD=ZA=60°,

ZBCD^ZACB-ZACD^15Q-60°=15°,

故選：A.

【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點，到線段

兩端點的距離相等.

9.（2020?陜西）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在

格點上，若8。是△A8C的高，則8。的長為（)

^^13口.2-^

B.言布

【考點】勾股定理.

【專題】網(wǎng)格型；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識.

【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的

面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：由勾股定理得：AC=^22+32=y/~i3,

：SAABC=3X3-yXIX2-yXIX3-yX2X3=3.5,

???y1AC'BD=7^

?,?713*30=7,

；.BD=

13

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2019?陜西）如圖，在矩形48C。中，48=3,BC=6,若點E,尸分別在AB,CD上,

且BE=2AE,DF=2FC,G,H分別是AC的三等分點，則四邊形EHFG的面積為（）

【考點】矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形.

【分析】由題意可證EG〃BC,EG=2,HF//AD,HF=2,可得四邊形EHFG為平行四

邊形，即可求解.

【解答】解：'：BE=2AE,DF=2FC,，坐」，空=」

BE2DF2

???G、H分別是AC的三等分點

,AG1CH=1

…而而'AH2

.AEAG

'*BE=GC

：.EG//BC

.?.毀且BC=6

BCAB3

:.EG=2,

同理可得H/〃AO,HF=2

四邊形EHFG為平行四邊形，且EG和HF間距離為1

??S叫邊形EHFG=2X1=2,

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明四邊形E”FG為平行

四邊形是本題的關(guān)鍵.

11.(2021?陜西)如圖，點。、E分別在線段BC、AC上，連接A。、BE.若NA=35°,

/8=25°,/C=50°,則N1的大小為()

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì).

【專題】三角形；運算能力.

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，可得Nl=180-(NB+NADB),ZADB=ZA+ZC,

所以Nl=180°-(ZB+ZA+ZC),由此解答即可.

【解答】解：VZl=180-(NB+NADB),ZADB^ZA+ZC,

.?./1=180°-(ZB+ZA+ZC)

=180°-(25°+35°+50°)

=180°-110°

=70。，

故選：B.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，掌握這些知識點是解題的關(guān)

鍵.

12.（2020?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,DEVAB,垂足為E,DE與

D.4

【考點】菱形的性質(zhì)；解直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形;矩形菱形正方形：圖形的相似；運算能力；推理

能力.

【分析】RtZ\AB。中，sinZABO=M=A,而NABO=NAFE=NOFC,即可求解.

AB5

【解答】解：設(shè)AC與8。相交于O,

;四邊形ABC。是菱形，4c=8,BD=6,AD=AB,

：.ACLOD,AO=L1C=4,DO=BO=、BD=3,

22

由勾股定理得到：AO=A8={A02+B02=5,

在RtZ\A8。中，sinZABO=-^-=A,

AB5

VZEAF+ZAFE=90Q,ZFAE+ZABO^90Q,

NABO=NAFE=ZDFC,

:.sinNDFC=生

5

故選：D.

D

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，確定NABO=NAFE=NQFC是本題解題的關(guān)鍵.

13.（2020?陜西）如圖，在nABCD中，AB=5,BC=8.E是邊BC的中點，F(xiàn)是。ABC。內(nèi)

一點，且/8FC=90°.連接AE并延長，交C￡＞于點G.若EF〃A8,則。G的長為（）

A.3B.3C.3D.2

22

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；梯形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】延長交CO的延長線于H,可證Ek是△BCH的中位線，由中垂線的性質(zhì)可

得BC=CH=8,可求力"=3,由“4SA”可證△ABFg/XGFH,可得AB=GH=5,可求

解.

【解答】解：如圖，延長BF交CD的延長線于4,

?；四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB=CD=5,AB//CD,

：.NH=ZABF,

,JEF//AB,

J.EF//CD,

是邊BC的中點，

是△BCH的中位線，

：.BF=FH,

■:NBFC=90°,

；.CF上BF,

；.CF是BH的中垂線，

：.BC=CH=S,

：.DH=CH-CD=3,

在△ABF和△G”尸中，

，ZABF=ZH

<BF=HF>

,NAFB=NGFH

A/\ABF^/\GFH（ASA）,

：.AB=GH=5,

：.DG=GH-DH=2,

故選：D.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線

定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

14.（2019?陜西）如圖，在△ABC中，NABC=90°,ZC=52°,BE為AC邊上的中線，

AD平分N8AC,交BC邊于點D,過點H作BF1AD,垂足為F,則NEBF的度數(shù)為（）

A.19°B.33°C.34°D.43°

【考點】直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BE=1AC^AE,由等腰三角形的性質(zhì)得

2

出/54E=/ABE=38°,由角平分線定義得出NBAO=19°,由三角形的外角性質(zhì)得出

NBOF=51°,由直角三角形的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：：NABC=90°,為AC邊上的中線，

AZBAC=90°-ZC=90°-52°=38°，BE=^AC=AE,

2

：.ZBAC=ZABE=3S°,

平分NBAC,

...NBAF=JL/B4C=19°,

2

AZBOF^ZBAD+ZABE=190+38°=57°,

'：BF1.AD,

；.NBFO=90°,

；.NEBF=90°-ZBOF=90Q-57°=33°；

故選：B.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)等知識；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2018?陜西）如圖，在RtZVLBC中，/ACB=90°,ZA=65°,CDLAB,垂足為。,

E是的中點，連接E￡>,則NOEC的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【考點】直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識.

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：VZACB=900,ZA=65°,

.*.ZB=90°-65°=25°,

'：CD±AB,

：.ZCDB=90°,

：.ZDCB=65°,

,:CE=EB,

：.DE=CE=EB,

:.NEDC=NECD=65°,

AZDEC=180°-65°-65°=50°,

故選：O.

【點評】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

16.（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點A、C、E

共線.#AC=6cm,CD1BC,則線段CE的長度是（）

A.6cmB.1cmC.D.8cm

【考點】全等三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【分析】過B作于M,過。作。NLCE于N,由等腰三角形的性質(zhì)得到AM=

CM=3,CN=EN,根據(jù)全等三角形判定證得△BCM也△8M得到BM=CN,在RtA

BCM中，根據(jù)勾股定理求出8M=4,進(jìn)而求出.

【解答】解：由題意知，AB=BC=CD=DE=5cm,AC=6cm,

過8作BM_LAC于M,過。作QALLCE于N,

則NBMC=/CN￡）=90°,AM=CM=Lc=>lx6=3,CN=EN,

22

,:CDLBC,

：.ZBCD=90°,

/BCM+/CBM=NBCM+NDCN=90°,

：.ZCBM=ZDCN,

在△BCA/和△C￡W中,

，ZCBM=ZDCN

<ZBMC=ZCND)

BC=DC

:.叢BCM4叢CDN(A4S),

:.BM=CN,

在RtABCM中，

"：BC=5,CM=3,

BA/=VBC2-CM2=V52-32=4,

:.CN=4,

；.CE=2CN=2X4=8,

故選：D.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正

確作出輔助線，證得△BCMg△CDN是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

17.（2017?陜西）如圖.在RtZvWC中，AC=3,ZABC=90°,2。是△ABC的角平分線,

過點力作。交BC邊于點E.若AD=1,則圖中陰影部分的面積為1

【考點】三角形的面積；勾股定理.

【專題】三角形.

【分析】作DHA.BC于H,由題意可得，4BDE是等腰直角三角形，設(shè)DH=BH=EH

="，證明可得冤，CE=a,在中，由勾股定理可得

△CD，sz^CAB,AB=RtAABC

2

AB2+BC2=AC2,即旦2根據(jù)陰影部分的面積=三角形的面積

a?+9a2=9,-a=l＞ABC

44

-三角形的面積，即可得出圖中陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，作于”，

9：ZABC=90°,8。是△ABC的角平分線，

ZDBC=ZABD=45°,

:DE1.BD,

：.ZDEB=45°,

???ABDE是等腰直角三角形，

設(shè)DH=BH=EH=a,

*：DH//AB

?DHJHg

e，AB'CB"CA?

VAD=1,AC=3,

?a_CE+a2,

??瓦■二CE+2a而‘

.?.AB=&,CE=a,

2

t：AB2+BC2=AC2,

?92s2c52-

a+9a=9,=T

44

2

圖中陰影部分的面積4x|aX3a-{x2aXa=|a=l.

解法二：將△￡>反：繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△￡>87.

5：/EC

,f?

；NDEC=NDBT=135°,ZABD=45°,

；.NABD+NDBT=180°,

：.A,B,T共線，

圖中陰影部分的面積=S”DT=工XA￡)XD7=1.

2

故答案為：1.

A

D

上I\

BHEC

【點評】本題考查三角形面積的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)

鍵是用“來表示出直角邊AB,BC的長.

18.（2021?陜西）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代

的數(shù)學(xué)成就.如圖所示的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼

成的一個大正方形.直角三角形的斜邊長為13,一條直角邊長為12,則小正方形ABCQ

的面積的大小為49.

【考點】勾股定理的證明：數(shù)學(xué)常識；全等圖形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；應(yīng)用意識.

【分析】首先利用勾股定理求得另一直角邊的長度，然后結(jié)合圖形求得小正方形的邊長,

易得小正方形的面積.

【解答】解：根據(jù)勾股定理，得4尸=屈%^=五￡?^=5?

所以AB=12-5=7.

所以正方形ABC。的面積為：7X7=49.

【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形

的另一直角邊的長度.

19.（2017?陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,NBAD=NBCD=9G：連接AC.若

AC=6,則四邊形ABCQ的面積為18.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】作輔助線：證明△ABM名△AON,得至ljAAf=AM與△AON的面積相等;

求出正方形AMCN的面積即可解決問題.

【解答】解：如圖，作AMLBC、ANLCD,交CO的延長線于點N；

■:NBAD=NBCD=90°

四邊形AMC7V為矩形，NMAN=90°；

；NBAD=90°,

:.NBAM=NDAN；

在△A8M與△ADV中，

，ZBAM=ZDAN

<ZAMB=ZAND-

AB=AD

:.AABM@AADN(A4S),

，AM=AN(設(shè)為人)；/XABM與△AON的面積相等；

四邊形ABCD的面積=正方形AMCN的面積；

由勾股定理得：AC2=AM2+MC1,而4c=6；

A2A2=36,入2=18,

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、正方形的判定及其性質(zhì)等幾何知

識點的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和正方形.

20.（2018?陜西）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,連接AC,。是AC的中點，M

是AQ上一點，且MO=1,P是BC上一動點，則尸M-P。的最大值為文亙.

—2—

【考點】三角形三邊關(guān)系；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】連接MO并延長交8c于P,則此時，PM-PO的值最大，且PM-P。的最大

值=OM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=CP=3,OM=OP,求得PB=\,過M作

MNLBC于N,得到四邊形MNC。是矩形，得到MN=CD,CN=DM,根據(jù)勾股定理即

可得到結(jié)論.

【解答】解：：在矩形ABC。中，4。=4,MD=\,

：.AM=3,

連接MO并延長交BC于P,

則此時，PM-P。的值最大，且PM-PO的最大值=OM,

'：AM//CP,

：.ZMAO^ZPCO,

VZAOM=ZCOP,AO=CO,

.,.△AOM絲△COP（ASA）,

；.AM=CP=3,OM=OP,

：.PB=\,

過M作MN1.BC于N,

四邊形MNCZ）是矩形，

:.MN=CD,CN=DM,

:.PN=4-1-1=2,

??MP={§2+2

。仞=?1,

2

故答案為：巫.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

21.（2021?陜西）如圖，ZA=ZBCD,CA=C￡>,點E在BC上，J!LDE//AB,求證：AB

=EC.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題；圖形的全等；推理能力.

【分析】由平行線的性質(zhì)得出/ABC,證明△48C絲△CEO（AAS）,由全等三

角形的性質(zhì)得出結(jié)論AB=EC.

【解答】證明：'：DE//AB,

：.NDEC=ZABC,

在△ABC和△CEO中，

，ZA=ZECD

-ZABC=ZDEC-

CA=CD

:.△ABC^XCED（AAS）,

；.AB=EC.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABCWaCE。是

解題的關(guān)鍵.

22.（2020?陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測算所住樓

對面商業(yè)大廈的高他倆在小明家的窗臺B處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角N1的

度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在8處測得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù).于是，他

倆上樓來到小華家，在窗臺C處測得大廈底部M的俯角N2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)/I與N2

恰好相等.已知A,B,C三點共線，CALAM,NMLAM,AB=31M,8c=18機(jī)，試求

商業(yè)大廈的高M(jìn)N.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力.

【分析】過點C作CELMN于點E,過點8作于點尸，可得四邊形AMEC和四

邊形AMF8均為矩形，可以證明△BEVgZXCEM,得NF=EM=49,進(jìn)而可得商業(yè)大廈

的高M(jìn)N.

【解答】解：如圖，過點C作CELMN于點E,過點8作于點F,

:.NCEF=NBFE=9()°,

VCA1AM,NMLAM,

：.四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形,

：.CE=BF,ME=AC,

VZ1=Z2,

也△CEM(ASA),

；.NF=EM=31+18=49，*,

由矩形性質(zhì)可知：EF=CB=lSm,

:.MN=NF+EM-EF=49+49-18=80Cm）.

答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N為80%

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義,

構(gòu)造全等三角形解決問題.

23.（2018?陜西）如圖，AB//CD,E、尸分別為AB、C。上的點，HEC//BF,連接A。,

分別與EC、8F相交于點G,H,若AB=C￡）,求證：AG^DH.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】證明題；圖形的全等.

【分析】由AB〃C￡＞、EC〃BF知四邊形BFCE是平行四邊形、ZA=ZD,從而得出N

AEG=NDFH、BE=CF,結(jié)合AB=C。知AE=Z）F,根據(jù)ASA可得aAEG0△。/H,據(jù)

此即可得證.

【解答】證明：EC//BF,

...四邊形BFCE是平行四邊形，ZA=ZD,

:./BEC=NBFC,BE=CF,

：.NAEG=ZDFH,

'：AB=CD,

：.AE=DF,

在aAEG和△。尸H中，

'NA=ND

AE=DF，

ZAEG=ZDFH

.'.△AEG之（ASA）,

：.AG=DH.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)與平

行四邊形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì).

考點卡片

1.數(shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解.比如給出一個物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

2.角平分線的定義

（1）角平分線的定義

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.

（2）性質(zhì)：若0c是NAOB的平分線

則/A0C=或/AOB=2NAOC=2/BOC.

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐.

3.余角和補(bǔ)角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是

另一個角的余角.

（2）補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角.即其中一個角是

另一個角的補(bǔ)角.

（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足

了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

4.垂線

（1）垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

（2）垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”,“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

5.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

6.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即必=上X底X高.

2

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

7.三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點.

（2）重心的性質(zhì)：

①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.

③重心到三角形3個頂點距離的和最小.（等邊三角形）

8.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，

只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角

形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱微

的定時炸彈，容易忽略.

9.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且

每個內(nèi)角均大于0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，

用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，己知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

10.三角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

（2）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角

形的外角.

11.全等圖形

（1）全等形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

（2）全等三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

（3）三角形全等的符號

“全等”用符號“且”表示.注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置

上.

（4）對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角

把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角

叫做對應(yīng)角.

12.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

13.全等三角形的應(yīng)用

（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要

認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決

中線問題的基本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”,

這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明.

（3）全等三角形在實際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已

知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

14.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長：②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相

等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分

線的性質(zhì)語言：如圖，在/40B的平分線上，CDLOA,CELOB：.CD=CE

15.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到

線段兩端點的距離相等.一③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，

并且這一點到三個頂點的距離相等.

16.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ),

它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,

同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成

含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三