高三一輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測43平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

[課時(shí)跟蹤檢測][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是()A．－4 B．4C．－2 D．2解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(2,3).∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.答案：A2．(2017屆河南八市重點(diǎn)高中質(zhì)檢)已知平面向量a，b的夾角為eq\f(2π,3)，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，則|b|等于()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3 D．4解析：因?yàn)閍·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×eq\f(1,2)＝8，解得|b|＝4.答案：D3．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，且|2a＋b|＝eq\r(7)，則向量a與向量a＋b的夾角為()A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D．π解析：由題意得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝2，故cos〈a，a＋b〉＝eq\f(a·a＋b,|a|·|a＋b|)＝eq\f(1,2)，所以〈a，a＋b〉＝eq\f(π,3)，故選B.答案：B4．(2017屆遼寧撫順一中月考)在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，點(diǎn)M滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，則eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A．2 B．3C．－3 D．6解析：∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，∴eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(CB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CA,\s\up6(→))))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝3.故選B.答案：B5．已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1)，若m⊥n，且a＋b＝10，則△ABC周長的最小值為()A．10－5eq\r(3) B．10＋5eq\r(3)C．10－2eq\r(3) D．10＋2eq\r(3)解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，即2cos2C－cosC－2cosC－2＝0.整理得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－eq\f(1,2)或cosC＝2(舍去)．又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)＝102－2abeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))≥100－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝100－25＝75，∴c≥5eq\r(3)，則△ABC的周長為a＋b＋c≥10＋5eq\r(3).故選B.答案：B6．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，a＋b＝(eq\r(3)，1)，則a＋b與a－b的夾角為()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)解析：由a＋b＝(eq\r(3)，1)得|a＋b|2＝(a＋b)2＝4，又|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋2a·b＋3＝4，解得2a·b＝0，所以|a－b|＝eq\r(|a－b|2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝2，設(shè)a＋b與a－b的夾角為θ，則由夾角公式可得cosθ＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝eq\f(|a|2－|b|2,2×2)＝－eq\f(1,2)，且θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2,3)π，即a＋b與a－b的夾角為eq\f(2,3)π.答案：C7．(2017屆山東師大附中模擬)如圖，在圓O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值等于()A．－8 B．－1C．1 D．8解析：取eq\o(BC,\s\up6(→))的中點(diǎn)D，連接OD，AD，則eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)).而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)(52－32)＝8，故選D.答案：D8．已知正三角形OAB中，點(diǎn)O原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(－3，4)，點(diǎn)A在第一象限，向量m＝(－1,0)，記向量m與向量eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為α，則sinα的值為()A．－eq\f(4＋3\r(3),10) B．eq\f(4＋3\r(3),10)C.eq\f(3\r(3)－4,10) D．eq\f(4－3\r(3),10)解析：由題可得eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))夾角為60°，設(shè)eq\o(OB,\s\up6(→))與m的夾角為θ(θ為銳角)，則cosθ＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))·m,|\o(OB,\s\up6(→))||m|)＝eq\f(－3×－1＋4×0,\r(－32＋42)·\r(－12＋02))＝eq\f(3,5)，則sinθ＝eq\f(4,5)，∴sinα＝sin(60°＋θ)＝sin60°cosθ＋cos60°sinθ＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(4＋3\r(3),10).答案：B9．已知平面上四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D滿足(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(2eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀為________．解析：由已知得eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝0即eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0設(shè)D為BC中點(diǎn)，則eq\o(CB,\s\up6(→))·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴CB⊥AD，∴△ABC為等腰三角形．答案：等腰三角形10．(2018屆衡水調(diào)研)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b解析：∵(2a＋b)·b＝0，∴2|a||b|cosθ＋b2由|a|＝|b|，可得cosθ＝－eq\f(1,2).故a與b的夾角為120°.答案：120°11．已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為________．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．則D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．設(shè)E(1，a)(0≤a≤1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1，a)·(1,0)＝1，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為1.答案：1112．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，作△ABC，求△ABC的面積．解：(1)由(2a－3b)·(2a＋得4|a|2－4a·b－3|b|2∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32∴|a＋b|＝eq\r(13).同理，|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(37).(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×3×4×sin120°＝3eq\r(3).[能力提升]1．已知a，b均為單位向量，且a·b＝0，若|c－4a|＋|c－3b|＝5，則|c＋aA．[3，eq\r(10)] B．[3,5]C．[3,4] D．[eq\r(10)，5]解析：∵a，b均為單位向量，且a·b＝0，∴設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得eq\r(x－42＋y2)＋eq\r(x2＋y－32)＝5.即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距離和為5，∴c的終點(diǎn)軌跡是點(diǎn)(4,0)和(0,3)之間的線段，|c＋a|＝eq\r(x＋12＋y2)，表示M(－1,0)到線段AB上點(diǎn)的距離，最小值是點(diǎn)(－1,0)到直線3x＋4y－12＝0的距離．∴|c＋a|min＝eq\f(|－3－12|,5)＝3.最大值為|MA|＝5.∴|c＋a|的取值范圍是[3,5]．答案：B2．(2017年全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1解析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，A(0，eq\r(3))，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2x2＋2y2－2eq\r(3)y＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2))－eq\f(3,2)，令x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)，則[eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))]min＝－eq\f(3,2)，故選B.答案：B3．若平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b解析：由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b.而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－eq\f(9,答案：－eq\f(9,8)4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分