函數(shù)的表示方法

5.2函數(shù)的表示方法【考點梳理】考點一：函數(shù)的表示方法考點二：分段函數(shù)1．一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．2．分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．3．作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別作出每一段的圖象．【題型歸納】題型一：已知函數(shù)類型求解析式（待定系數(shù)法）1．（2023·江蘇·高一）已知是一次函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)給定條件列出方程組，求解作答.【詳解】依題意，設(shè)，則有，解得，所以.故選：D2．（2023·江蘇·高一）已知二次函數(shù)滿足，則（）A．1 B．7 C．8 D．16【答案】B【分析】采用待定系數(shù)法先求解出的解析式，然后即可計算出的值.【詳解】設(shè)，因為，所以，化簡可得：，所以，所以，所以，所以，所以，故選：B.3．（2018秋·江蘇南京·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，函數(shù)為一次函數(shù)，若，則.【答案】【分析】設(shè)出函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由題意，函數(shù)為一次函數(shù),由待定系數(shù)法，設(shè)（），所以，由對應(yīng)系數(shù)相等，得，，故.故答案為：題型二：換元法求函數(shù)解析式4．（2022秋·江蘇常州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用換元法求解即可.【詳解】因為，，令，則，，所以，故.故選：C.5．（2023·高一課時練習(xí)）若，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用換元法，令，則，，可求出的解析式，從而得出的解析式.【詳解】解：已知，令，則，，，.故選：C.6．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，則，代入已知解析式可得的表達式，再將換成即可求解.【詳解】令，則，所以，所以，故選：A.題型三：方程組法求函數(shù)解析式7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則等于（

）A． B．3 C． D．1【答案】A【分析】由方程組法求出，代值運算即可.【詳解】①，則②，聯(lián)立①②解得，則,故選：A8．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令為，則，然后與聯(lián)立可求出【詳解】令為，則，與聯(lián)立可解得，．故選：D．9．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(3－x)＝x2，則f(x)的解析式為（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【答案】B【分析】用代替原方程中的，構(gòu)造方程，解方程組的方法求解.【詳解】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，.故選：B題型四：求分段函數(shù)的解析式或者值10．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù),求的值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分段函數(shù)直接有里及外求出函數(shù)的值【詳解】∵，∴，∴.故選：A11．（2020秋·江蘇蘇州·高一星海實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知則的值等于（

）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接代入求解.【詳解】因為所以.故選：B12．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】代入分段函數(shù)解析式依次計算，.【詳解】由題意，得，則.故選：D題型五：分段函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用13．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知f（x）=使f（x）≥–1成立的x的取值范圍是A．[–4，2） B．[–4，2] C．（0，2] D．（–4，2]【答案】B【詳解】∵f（x）≥–1，∴或，∴–4≤x≤0或0<x≤2，即–4≤x≤2．故選B．14．（2022秋·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)則方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考慮和兩種情況，代入解方程得到答案.【詳解】當(dāng)時，，故，解得或（舍去）；當(dāng)時，，故，解得或（舍去）.綜上所述：或.故選：B15．（2022秋·江蘇南京·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】化簡函數(shù)解析式，分區(qū)間討論化簡不等式求其解.【詳解】∵

，∴

，當(dāng)且時，不等式可化為，∴，當(dāng)且時，不等式可化為，∴滿足條件的不存在，當(dāng)且時，不等式可化為，∴滿足條件的不存在，當(dāng)且時，不等式可化為，∴，∴滿足的x的取值范圍是，故選：B.題型六：分段函數(shù)的值域或者最值問題16．（2022秋·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)若，則實數(shù)（

）A．－5 B．5 C．－6 D．6【答案】A【分析】先求，再由列方程求解即可.【詳解】由題意可得，因為，即，所以，得，故選：A17．（2020秋·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則實數(shù)的值是（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】分和兩種情況求解【詳解】解：當(dāng)時，因為，所以，解得，當(dāng)時，因為，所以，解得（舍去），或，綜上或，故選：D18．（2022秋·江蘇連云港·高一校考期中）已知，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)分段函數(shù)，先求得,再根據(jù)求解.【詳解】因為，所以,所以,解得,故選:A題型七：函數(shù)表示的綜合問題19．（2023秋·高一課時練習(xí)）（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式；（2）通過配方得到含的解析式，即得的解析式；（3）利用方程組求函數(shù)解析式即可.【詳解】（1），令，則，，；（2），；（3），將原式中的x與互換，得.所以，解得.20．（2023·高一課時練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)設(shè)，，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式.（2）寫出解析式，討論二次函數(shù)對稱軸位置，確定的最小值.【詳解】（1）設(shè)，因為，所以，則，因為，所以，解得故解析式為：（2），化解可得：，由此可知對稱軸為當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，故21．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是R上的函數(shù)，，并且對任意的實數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系數(shù)法：先設(shè)含待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程（組），通過解方程（組）求出相應(yīng)的待定系數(shù).（2）方程組法：已知關(guān)于與的表達式，構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組求出.（3）特殊值法（賦值法）：通過取特殊值代入題設(shè)中的等式，使抽象的問題具體化、簡單化，求出解析式.【詳解】（1）設(shè)，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，則，∴.（2）∵，①∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，則，∴.【雙基達標】單選題22．（2022秋·江蘇南京·高一金陵中學(xué)校）已知函數(shù)滿足，則解析式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用換元法，求函數(shù)的解析式.【詳解】設(shè)，故，則，所以.故選：A23．（2021秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值是（

）A．或5 B．3或 C．5 D．3或或5【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別討論，兩種情況，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】若，則，∴（舍去），若，則，∴，綜上可得，或.故選：A．24．（2022秋·江蘇宿遷·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出函數(shù)在、上的值域，取并集可得函數(shù)的值域.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此，函數(shù)的值域為.故選：C.25．（2023秋·高一課時練習(xí)）(1)已知函數(shù)，則的值域；(2)已知，求的解析式；(3)已知函數(shù)對于任意的都有，求的解析式.【答案】（1）；（2），其中；（3）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得函數(shù)的值域；（2）配湊法或換元法求函數(shù)的解析式（3）列方程組法求函數(shù)的解析式【詳解】（1）由于，故，故函數(shù)的值域為（2），其中+1≥1，故所求函數(shù)的解析式為，其中.（3）∵對于任意的x都有，∴將x替換為x，得，聯(lián)立方程組：消去，可得.26．（2022秋·江蘇南京·高一江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為()，根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求出a、b、c即可；(2)將原不等式化為，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法求出不等式當(dāng)、、時的解集即可.【詳解】（1）設(shè)，由，得又，則，解得，所以.（2）由已知，即，即，①當(dāng)時，原不等式即為：，解得；②當(dāng)時，解得；③當(dāng)時，解得綜上，當(dāng)時，不等式的解集為：，當(dāng)時，不等式的解集為：，當(dāng)時，不等式的解集為：.【高分突破】一、單選題27．（2023·高一課時練習(xí)）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用換元法，可得答案.【詳解】令，即，則，由，則，故的解析式為.故選：C.28．（2022秋·高一單元測試）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，求出的值，代值計算可得的值.【詳解】因為，所以，函數(shù)在和上均為增函數(shù)，因為，所以，可得，由題意可得，即，解得，合乎題意，所以，.故選：D.29．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)若，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先計算，然后討論的范圍，根據(jù)直接計算即可.【詳解】由題可知：①，則②所以故選：A.30．（2021·江蘇·高一期末）已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出當(dāng)時，的值域為.由題意可知，當(dāng)時，有解，此時，所以，故，然后根據(jù)的單調(diào)性對分和兩種情況進行討論即可求解.【詳解】解：由題意，當(dāng)時，，又函數(shù)的值域是，當(dāng)時，有解，此時，所以，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，①若，則，所以，此時，符合題意；②若，則，所以，要使，只須，即；綜上，.故選：B.31．（2021秋·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出，在上的圖象，當(dāng)?shù)膱D象在的圖象的上方時，分析此時的取值范圍即可.【詳解】作出，在上的圖象如下圖所示：因為在上恒成立，所以的圖象在的圖象的上方（可以部分點重合），且，令，所以，所以，根據(jù)圖象可知：當(dāng)經(jīng)過點時，有最小值，，當(dāng)經(jīng)過點時，有最大值，，綜上可知的取值范圍是，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).32．（2021秋·江蘇·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】討論和兩種情況，結(jié)合函數(shù)解析式，得到對應(yīng)的不等式，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，當(dāng)，即時，不等式可化為，解得，則；當(dāng)，即時，不等式可化為，即，則；綜上，滿足的的取值范圍為.故選：C.33．（2021秋·江蘇·高一專題練習(xí)）對于任意實數(shù)，定義例如；設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再分別求出函數(shù)的值域，即可得答案；【詳解】當(dāng)或時，；當(dāng)時，；，故選：A.二、多選題34．（2021秋·高一單元測試）已知函數(shù)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．的定義域為R B．的值域為C．若，則x的值是 D．的解集為【答案】BC【分析】求出分段函數(shù)的定義域可判斷A；求出分段函數(shù)的值域可判斷B；分、兩種情況令求出可判斷C；分、兩種情況解不等式可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域是，故A錯誤；當(dāng)時，，值域為，當(dāng)時，，值域為，故的值域為，故B正確；當(dāng)時，令，無解，當(dāng)時，令，得到，故C正確；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，令，解得，故的解集為，故D錯誤．故選：BC．35．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由換元法求出，可判斷C；分別令或可判斷A，B；求出可判斷D.【詳解】令，則，所以，則，故C錯誤；，故A正確；，故B錯誤；（且），故D正確．故選：AD．36．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）具有性質(zhì)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)，其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對于選項A、B、D，代入化簡判斷即可；對于選項C，分類討論再化簡判斷即可．【詳解】對于選項A，f（）x，﹣f（x）x，故滿足“倒負”變換；對于選項B，f（）x，﹣f（x）x，故不滿足“倒負”變換；對于選項C，當(dāng)0＜x＜1時，f（）＝﹣x，﹣f（x）＝﹣x，當(dāng)x＝1時，f（1）＝0，成立，當(dāng)x＞1時，f（），﹣f（x），故滿足“倒負”變換；對于選項D，f（），﹣f（x），故不滿足“倒負”變換；故選：AC．37．（2021·高一課時練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，下列結(jié)論正確的為（

）A．函數(shù)的值域為B．存在，使得不等式成立C．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸圍成的面積為，則D．當(dāng)時，【答案】ACD【分析】作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合即可判斷；【詳解】解：作出函數(shù)的圖象，具體如下：先作在的圖象，先進行分段即，作出其圖象，然后向右每次將橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜耐瑫r，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，如圖所示；（A）從圖象可知；函數(shù)的值域為；（B）結(jié)合的圖象，即知對于任意的都有，即，（C）顯然當(dāng)時，函數(shù)的最高點為，與軸圍成的面積為，故成立；（D），，由圖易知D為正確.故選：ACD三、填空題38．（2022秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)滿足，則=.【答案】【分析】利用換元法，求解函數(shù)的解析式.【詳解】設(shè)，，則，則函數(shù).故答案為：39．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則不等式的解集是．【答案】【分析】分和，利用分段函數(shù)求解.【詳解】當(dāng)時，由－x，解得x，當(dāng)時，由2x－1，解得x，綜上不等式的解為x或x.所以.故答案為：40．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若值域為，則實數(shù)c的范圍是.【答案】【分析】由分段函數(shù)的解析式進行分析，畫出函數(shù)圖像，由圖像分析得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)x＝2時，，，∵值域為，∴當(dāng)時，由，得，此時，由，得，解得x＝2或x＝－1，作出圖像：有圖像可得：要滿足題意則：綜上，，即實數(shù)c的取值范圍是.故答案為：41．（2022秋·高一單元測試）已知函數(shù)下面四個結(jié)論：①對，都只有唯一與之對應(yīng)；②對，都有兩個不同的與之對應(yīng)；③對，都有三個不同的與之對應(yīng)；④，有四個不同的與之對應(yīng)；其中正確結(jié)論的序號是.（把你認為正確的結(jié)論的序號都填上）【答案】②③【分析】由分段函數(shù)的特點，得出對應(yīng)取值范圍的的取值，并畫出草圖，從而判斷4個結(jié)論的正確與否.【詳解】解：由題意知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，且圖象不過點,圖象最低點為.畫出分段函數(shù)的草圖：當(dāng)時，有兩個不同的與之對應(yīng)，所以①錯；當(dāng)時，點取不到，有兩個不同的與之對應(yīng)