2020-2021學(xué)年山東省濱州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年山東省濱州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題）.

1.設(shè)集合M={x|（x+3）（x-1）<0},N={x|0<x<4},則MCN=（）

A.（0,1）B.（-1,4）C.（0,3）D.（-1,3）

2.已知i為虛數(shù)單位，若2=-a：.",則z的共輾復(fù)數(shù)W=（）

cosD+ismy

A.cos0-zsinOB.sin0-zcosOC.sin0+zcos0D.cos0+zsin0

3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上

造、公士，凡五人，共出百欲令高爵出少，以次漸多，冏各黑何？”意思是：“有

大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低

每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若大夫出4錢，則

上造出的錢數(shù)為（）

A.8B.12C.20D.28

5.己知平面向量之，E滿足（；+E）=3，且圖=2,陰=1,則向量之與芯的夾角為（）

6.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與無軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-3,4）,

貝cos2a=()

724

A.Bc24D.

25-飛,2525

7.已知函數(shù)/(x)對(duì)任意xER都有/(x+2)=-/(%),且當(dāng)比［0,2)時(shí)，f(x)=log2

(x+1),則/(2021)-2021)=()

A.2B.1C.-1D.-2

8.已知雙曲線C3~-工^1(&>0,b>0),P(xg,y0)是直線加;-〃y+2a=0上任意

一點(diǎn)，若(%-次)2+(y-yo)2=2與雙曲線C的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心

率的取值范圍是()

A.(1,2］B.(1,C.(2,+8)D.［軻，￡O)

二、多項(xiàng)選擇題(共4小題).

9.下列命題為真命題的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

B.若〃V/?V0,貝(Ja2V°芋〈爐

C.若c>a>6>0,則-

c-ac-b

D.若a>b>c>0,則包〉史工

bb+c

10.設(shè)m,〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面.下列說法正確的是()

A.若根J_a,〃-La,貝|小〃〃

B.若。_10,m±p,meta,則相〃a

C.若(1_10,mua,則機(jī)J_0

D.若機(jī)ua,"ua,m//p,〃〃0,貝1Ja〃0

11.二項(xiàng)展開式(2x-1)5=a5X5+a4J(4+a3X3+a2^2+a\x+ao,貝!!()

A.ao=-1

B.5〃5+4〃4+3。3+2〃2+〃1=10

C.〃3=80

D.41+〃2+的+〃4+〃5=1

12.已知函數(shù)/(%)=asinx+Z?cosx(obWO),且對(duì)任意xER都有f(1一x)=f(1-+X)，

Oo

貝(！()

A.f(x)的最小正周期為2Tl

07TIT

B./(x)在［多一，上單調(diào)遞增

oO

c.器是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)

0

D.—b=5/3

三、填空題（共4小題）.

13.曲線C：y=xe*在點(diǎn)e）處的切線方程為.

14.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于48兩點(diǎn)，則|48|=.

15.甲、乙兩人從4門不同的課程中各隨機(jī)選修2門課程，則甲、乙所選的課程中至少有1

門課程不同的概率為.

16.已知側(cè)棱長(zhǎng)為?的正四棱錐S-A3。的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，當(dāng)該棱錐體積

最大時(shí)，底面ABCD的邊長(zhǎng)為,此時(shí)球。的表面積為.

四、解答題（共6小題）.

17.在①2sinA=3sin8；②△ABC的面積為冕運(yùn)；@b（Z?cosC+ccosB）=6這三個(gè)條件中

4

任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.

在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a-6=1,cosC=-二，______.

4

（1）求C的值；

（2）求tan2B的值.

18.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且3s3=S4+2S2,ai=2.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

-

（2）設(shè)6"=log2。"，Cn=an+77T,求｛Cn｝的前〃項(xiàng)和7k

19.2020年春，我國(guó)出現(xiàn)病毒，感染后會(huì)出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等癥狀，嚴(yán)重

的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命.病毒疫情牽動(dòng)每一個(gè)中國(guó)人的心，為了遏制病毒的傳播，

危難時(shí)刻全國(guó)人民眾志成城、共克時(shí)艱.某校為了了解學(xué)生對(duì)病毒的防護(hù)認(rèn)識(shí)，對(duì)該校

學(xué)生開展網(wǎng)上防疫知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng)，并從男生、女生中各隨機(jī)抽取20人，統(tǒng)計(jì)答題成

績(jī)分別制成如下頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表：

女生成績(jī)

成績(jī)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)7742

規(guī)定：成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的同學(xué)稱為“防疫明星”.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“防疫明星

與性別有關(guān)；

男生女生合計(jì)

防疫明星

非防疫明星

合計(jì)

(2)以樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校男生中隨機(jī)抽取4人，其中“防疫明

星”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附：參考公式瓦2n,其中n—a+b+c+d.

(a+c)(b+d)(a+b)(c+b)

參考數(shù)據(jù)：

P(爛》無)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

10.828

頻率

男生成績(jī)

20.如圖1,一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板中，ZB=ZE=9Q°,ZA=60°,DE=EF,BC=DF.將

三角板的邊BC與。尸重合，把兩個(gè)三角板拼成一個(gè)空間圖形，如圖2.設(shè)M是AC的中

點(diǎn)，N是的中點(diǎn).

(1)求證：平面A8C_L平面EMN；

(2)若AC=2￡M=4,求二面角E-AC-8的余弦值.

C(F)

22

21.已知橢圓C：3r送『l(a〉b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)P(2,6)在橢

abz

圓C上，且滿足^^?麗^=麗^土

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/：y=fcv+〃z與橢圓C交于不同兩點(diǎn)N,且OMLON.證明：總存在一

個(gè)確定的圓與直線/相切，并求該圓的方程.

22.已知函數(shù)/(%)=-—+lnx.

x

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若〃=1,證明

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(共8小題).

1.設(shè)集合M={尤|(x+3)(x-1)<0},N={x|O<尤<4},則MPN=()

A.(0,1)B.(-1,4)C.(0,3)D.(-1,3)

解：M={x\(x+3)(x-1)<0}={x|-3<x<l},

而雙={尤|0<%<4},所以A/GN={ROVxVl}.

故選：A.

2.已知，?為虛數(shù)單位，若2=-a：,a，貝Ijz的共物復(fù)數(shù)z=()

cosu+isinD

A.cos0-zsinQB.sin0-zcosOC.sin0+zcos0D.cos0+fsin0

to,..1cos8-isinQQ..?

解：?a、/------Q■■一。-

?z=-c--o-s--af+is.maf=7(-c--o-s--fa+isinu；[cosf-ism1)=coszsmO,

z=cos0+zsin0,

故選：D.

3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上

造、公士，凡五人，共出百欲令高爵出少，以次漸多，冏各黑何？”意思是：“有

大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次變低)5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低

每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若大夫出4錢，則

上造出的錢數(shù)為()

A.8B.12C.20D.28

解：設(shè)首項(xiàng)為的，公差為d>0.由題意可得ai=4,①

Ss=5ai+也看上d=l00，②

由①②聯(lián)立可得

1=8,

則上造出的錢數(shù)為04=01+34=4+3X8=28,

故選：D.

4.函數(shù)/(無)—2(x3-%)陰的圖象大致是()

解：函數(shù)/(x)=2(x3-x)

則/(-無)=-2(x3-x)ew=-f(x),

：.f(%)是奇函數(shù)，排除A選項(xiàng).

令/（x）=0,可得x=±l,

當(dāng)x=4時(shí)，可得/（春）=2（H）F＜。，圖象在x軸的下方，排除B,O選項(xiàng).

故選：C.

5.已知平面向量之，E滿足彳?（Z+E）=3，且域1=2,忘=1,則向量Z與5的夾角為（

解：:|a【=2,「?之2=4

又?:a*(a+b)=3,

???；2+示=4+3=3,得n=7'

設(shè)之與E的夾角為式，

則之用=|a||b卜。sa=-1,即2X1Xcosa=-1,得cosa=-

Vae[0,ir],

._2兀

..a---

故選：c.

6.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與無軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-3,4）,

貝!jcos2a=()

A.7Bc24D.24

25-飛,2525

解：???角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-3,4）,

44

…而2+4片巨

貝！Jcos2a==l-2sin2a=1-2X-^-=-

2525

故選：B.

7.已知函數(shù)/(x)對(duì)任意在R都有/(x+2)=-/(x),且當(dāng)撫[0,2)時(shí)，/(x)=log2

(x+1),則/(2021)-/(-2021)=()

A.2B.1C.-1D.-2

解：,:f(x+2)=-f(x),

.*./(x+4)=-f(x+2)=f(x),

???/(%)是周期為4的周期函數(shù)，

,當(dāng)xC[0,2)時(shí)，f(x)=log2(x+1),

(2021)=f(1)=log22=l,

由/(x+2)=-f(x),可得/(x)=-f(x+2),

/(-2021)=/(-1)=-/(1)=-1,

:?f(2021)-f(-2021)=2.

故選：A.

22

8.已知雙曲線C：-1(a>0,b>0),P(xQ>)是直線fcv-ay+2〃=0上任意

一點(diǎn)，若(x-xo)2+(y-yo)2=2與雙曲線。的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線。的離心

率的取值范圍是()

A.(1,2]B.(1,^/2]C.(2,+8)D.[版，Q)

22

解：雙曲線C：---二=1(a>Q,b>0)的一條漸近線方程為y=4,即bx-ay

a2b2a

=0,

VP(xo,yo)是直線bx-分+2〃=0上任意一點(diǎn)，

、.2a

貝!!直線bx-ay+2a=0與直線bx-ay=0的星巨禺d=[？2=----，

va+bc

???圓(x-xo)2+(y-yo)2=2與雙曲線。的右支沒有公共點(diǎn)，

:.d，近,

金加，

c

即e=U限

a

故e的取值范圍為（1,丁為，

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,貝!jac2>bc2

B.若a<b<0,則d1<ab<b1

C.若c>a>6>0,則-^―〉一^-

c-ac-b

D.若a>6>c>0,則包〉史*

bb+c

解：當(dāng)c=0時(shí)，ac1=bc2,所以A不正確；

若〃VbV0,例如〃=-2,b=-1,則〃2>人2,所以5不正確；

c>a>b>09a(c-Z?)-b(c-a)=ac-bc=c(a-b)>0,所以—>°,所以

c-ac-b

C正確；

若a>b>c>0,則:4=曲富當(dāng)區(qū)=強(qiáng)4>0,所以。正確；

bb+cb(b-c)b(b-c)

故選：CD.

10.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面.下列說法正確的是（）

A.若機(jī)J_a,〃_La,貝|加〃〃

B.若aJ_0,m±p,加0a,則小〃a

C.若。_10,mca,則徵_10

D.若mua,nca,m//n//p,則a〃0

解：由加，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，得：

對(duì)于A,若mJ_a,〃_La,則由線面垂直的性質(zhì)定理得加〃"，故A正確；

對(duì)于3,若。_10,m±p,m（ta,則由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)得力〃a,故5正確;

對(duì)于C,若。_10,mca,則m與0相交、平行或mU0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若mucc,〃ua,m/7p,〃〃仇則（X與0相交或平行，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.二項(xiàng)展開式(2x-1)5=a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+aof貝!j(

A.ao=-1

B.5Q5+4〃4+3Q3+2〃2+〃I=10

C.“3=80

D.a\+〃2+的+〃4+〃5—1

解：由二項(xiàng)展開式(2x-1)5=4Z5X5+6Z4X4+tZ3X3+6Z2X2+6llX+?0,

令1=0,可得〃o=-l,故A正確.

兩邊對(duì)X求導(dǎo)數(shù)，可得10(2x-1)4=5?5X4+4d!4X3+3d!3X2+2d!2X+6Zl,

再令x=1,可得5〃5+444+3的+2〃2+〃1=10,故B正確;

43=C^?23=80,故C正確;

在展開式中，令x=l,可得-1+41+。2+。3+。4+。5=1,故。1+。2+。3+。4+。5=2,故。錯(cuò)誤,

故選：ABC.

兀兀

12.已知函數(shù)/（九）=〃sinx+/?cosx（〃/?W0）,且對(duì)任意xCR都有f（一萬一x）二f（二廠+x），

00

則（）

A.f（x）的最小正周期為2JT

QTTJT

B./（x）在［多一，上單調(diào)遞增

OO

C.笆?是/（x）的一個(gè)零點(diǎn)

6

D.—=A/Q

b

JT兀

解：函數(shù)/（%）=〃sinx+Z?cosx（〃Z?WO）,且對(duì)任意xER都有f=f（工~+乂），

oo

IT

所以函數(shù)/（無）的圖象關(guān)于》=亍對(duì)稱，

O

所以“。）=/（手），即匕=與7-薪所以。=?6,由"W0,可得￡=?，故

J/乙D

D正確;

所以/(無)=J*§bsinA+6cosx=2b

所以/（尤）的最小正周期為211,故A正確;

當(dāng)代［卓，*］，x吟曰-卷，三］,當(dāng)6>0時(shí)，/（x）在［卓，3］上單

33bNN00

兀兀

調(diào)遞增；當(dāng)》<0時(shí)，/（X）在［三9",二卜］上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤.

oO

當(dāng)戶啥時(shí)'/⑴=。’故哈是了⑴的一個(gè)零點(diǎn)，故C正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線C：y=xe*在點(diǎn)A/（1,e）處的切線方程為y=2e尤-e.

解：函數(shù)的/（x）的導(dǎo)數(shù)（無）=（1+無）/

則曲線在（1,e）處的切線斜率左=f（1）=2e,

則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-e=2e（x-1）,

即y—2ex-e.

故答案為：y=2ex-e

14.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線V=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A,8兩點(diǎn)，則|AB|=8.

解：拋物線焦點(diǎn)為（1,0）

則直線方程為了=尤-1,代入拋物線方程得尤2-6x+l=0

??Xl+%2==6

根據(jù)拋物線的定義可知|A8|=xi+^-+x2+y=xi+xi+p=6+2=8

故答案為：8

15.甲、乙兩人從4門不同的課程中各隨機(jī)選修2門課程，則甲、乙所選的課程中至少有1

5

門課程不同的概率為7--

一6一

解：甲、乙兩人從4門不同的課程中各隨機(jī)選修2門課程，

基本事件總數(shù)〃=C：C：=36,

甲、乙所選的課程中至少有1門課程不同包含的基本事件個(gè)數(shù)加=。歐+"以4=30,

則甲、乙所選的課程中至少有1門課程不同的概率為尸=處=碧=?.

n366

故答案為：-.

0

16.已知側(cè)棱長(zhǎng)為網(wǎng)的正四棱錐S-A8CD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，當(dāng)該棱錐體積

最大時(shí)，底面ABC）的邊長(zhǎng)為2,此時(shí)球。的表面積為9TT.

解：設(shè)四棱錐的高為打，

則丫］X（2V3-h2）\=2h（?/「）_,

J/o

V，=2(l+/z)(1-h)，

當(dāng)/i=l時(shí)，V最大，此時(shí)底面ABC。的邊長(zhǎng)為2,

設(shè)球半徑為R，則2+(R-1)2=R2,

3

解得R=W，

2

...球。的表面積為S=4TTX(5)』91T.

故答案為：2,91T.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在①2sinA=3sinB；②△ABC的面積為雙運(yùn)；③6(bcosC+ccosB)=6這三個(gè)條件中

4

任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.

在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a-6=1,cosC—--y,______.

4

(1)求C的值；

(2)求tan2B的值.

解：(1)若選擇①，

因?yàn)?sinA=3sinB,由正弦定理可得2a=3b,

又a-b=l,解得〃=3,b=2,

由余弦定理可得理=9+4-2義3><2義(--^)=16,解得c=4；

若選擇②，

因?yàn)閏osC=-1,0<C<7T,可得sinC=dbco$2,=^^'

由△ABC的面積為亞運(yùn)■濡sinC,解得而=6,

42

又a-b=l,所以爐+b-6=0,解得b=2,或-3(舍去)，所以〃=3,

由余弦定理,可得$=9+4-2X3X2X(-卜)=16,解得c=4；

若選擇③，

因?yàn)??(Z?cosC+ccosB)=6,

222222

由余弦定理可得b二￡_+c?a+c—)=6,整理可得4=6,

2ab2ac

又a-b=l,可得"+/?-6=0,解得人=2,或-3(舍去)，可得〃=3,

由余弦定理，可得。2=9+4-2X3X2X(-/)=16,解得C=4；

(2)由余弦定理可得COSB=2生小—佬當(dāng)券=1，

2acx3A4o

又因?yàn)镺VBVm

_715

所以sinB

8

2V15

"\/Ts2tanB77\<15

可得tanB=----,tan2B=5~~

71-tanB,1517

1-49

18.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”且3s3=S4+2S2,0=2.

(1)求數(shù)列｛念｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)瓦=log2Z,Cn=?n+T7-u,求｛0｝的前〃項(xiàng)和4.

bnbni-l

解：(1)等比數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且3s3=84+2%,〃i=2.設(shè)公比為夕,

貝!j3(〃3+〃2+〃1)=(〃l+〃2+〃3+〃4)+2(〃l+〃2)，

整理得2〃3=〃4,

故q=2.

所以二a/qX、？11.

(2)由(1)得仇=log2〃〃="，

Cn=a”+—-=2n+z1=2n+^-^j-，

^n^rd-1n(n+l)nn+1

故Tn=3+22+…+2%(1444+…得-煮)=22：1)+(「?)=

n+ln+2

2nK

19.2020年春，我國(guó)出現(xiàn)病毒，感染后會(huì)出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等癥狀，嚴(yán)重

的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命.病毒疫情牽動(dòng)每一個(gè)中國(guó)人的心，為了遏制病毒的傳播，

危難時(shí)刻全國(guó)人民眾志成城、共克時(shí)艱.某校為了了解學(xué)生對(duì)病毒的防護(hù)認(rèn)識(shí)，對(duì)該校

學(xué)生開展網(wǎng)上防疫知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng)，并從男生、女生中各隨機(jī)抽取20人，統(tǒng)計(jì)答題成

績(jī)分別制成如下頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表：

女生成績(jī)

成績(jī)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)7742

規(guī)定：成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的同學(xué)稱為“防疫明星”.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“防疫明星”

與性別有關(guān)；

星”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：參考公式K2=7-----、尸嗎、/-------7其中〃=a+b+c+d.

(a+c)(b+d)(a+b)(c+b)

參考數(shù)據(jù)：

P(爛三公)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

頻率

男生成績(jī)

解：(1)由頻率分布直方圖可得：男生中成績(jī)大于等于80的頻率為(0.035+0.025)X

10=0.6,

則男生中“防疫明星”的人數(shù)為20X0.6=12人，"非防疫明星”人數(shù)為8人,

由頻數(shù)分布表可得，女生中“防疫明星”的人數(shù)為6人，“非防疫明星”人數(shù)為14人,

所以2X2列聯(lián)表為:

男生女生合計(jì)

防疫明星12618

非防疫明星81422

合計(jì)202040

所以凡喘黜攀二f—您,

所以有99%的把握認(rèn)為“防疫明星”與性別有關(guān)；

（2）從20名男生中隨機(jī)抽取1人，是防疫明星的概率為i點(diǎn)p《3，

2Ub

從該校男生中隨機(jī)抽取4人，其中“防疫明星”的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，

即X?5（4,3），X的可能取值為0,1,2,3,4,

則尸（X=。）=C：（f）°e）4溪，尸（x=D=0（看）1（卷）3喘,

P5=。淖）2電2噬7q）3（卷）1髓,

P（X=4）=中高）4/）。嗡，

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X01234

P169621621681

625625625625625

219

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=4X^m?.

55

20.如圖1,一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板中，ZB=ZE=90°,ZA=60°,DE=EF,BC=DF.將

三角板的邊BC與。尸重合，把兩個(gè)三角板拼成一個(gè)空間圖形，如圖2.設(shè)M是AC的中

點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).

（1）求證：平面48。_1平面￡7時(shí)；

（2）若AC=2EM=4,求二面角E-AC-2的余弦值.

【解答】（1）證明：因?yàn)镸,N分別為AC,8c的中點(diǎn),

所以又因?yàn)锳B_LBC,所以MN_L8C,

因?yàn)?。E=EF,所以EN_LBC,

因?yàn)镸NC\EN=N,且MN,EN都在平面EMN內(nèi)，

所以8CLL平面EMN,因?yàn)锽Cu平面4BC,

所以平面ABC_L平面EMN-,

(2)解：在Rt^ABC中，ZBAC=60°,AC=4,

所以42=2,BC=2M，

所以MN=1,EN=M，

又因?yàn)镋M=2,所以EA/nEM+MV2,所以EALLMW,

又因?yàn)镋NLBC,MV與BC是平面ABC內(nèi)的相交直線，

所以EN_L平面ABC,又ACu平面ABC,所以EN_LAC,

過點(diǎn)N作NGLAC于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

則AC_L平面EGN,又EGu平面EGN,所以EGJ_AC,

所以/EGN為二面角E-AC-8的平面角，

在RtZXMNC中，MN=1,NC=M，MC=2,所以NG=^

在RtAENG中，EN=0所以EG=

a

所以cos/EGN喘&卓，

~2~

故二面角E-AC-B的余弦值為虐■.

5

22

21.已知橢圓C：￥+^l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,尸2,點(diǎn)P(2,加)在橢

圓C上，且滿足立釘.百4=而^土

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/：y=fcc+加與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N,且OM_LON.證明：總存在一

個(gè)確定的圓與直線/相切，并求該圓的方程.

，PF_pF=0,

解：⑴,?,?F^PF；=FF^2'."?PF2^l2^

即PF[,F2FI=0,得PhJ_F再

又點(diǎn)尸(2,&)在橢圓C上，.?.尸1(-2,0),F1(2,0),

且由橢圓定義，

得2a=\PFi\+\PF2\=yl(-2-2)2+(0-V2)2+7(2-2)2+(0-V2)2=幺歷?

a=2&,。2=〃2_4=4,

22

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工上二1；

84

y=kxtni

證明：(2)聯(lián)立＜22,消去y,得(1+2N)x2+4^mx+2(m2-4)=0.