2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步練習(xí)-全書綜合測評

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊

全書綜合測評

(全卷滿分150分，考試用時120分鐘)

一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的)

[已知集合A={x[0<log4X<2},B={x|ex-341}JJI!]AnCRB)=()

A.(3,16)B.(3,8)C.(l,3]D.(l,+oo)

2.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機抽取10件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標，其

頻率分布表如下：

質(zhì)量指標分組[10,30)[30,50)[50,70]

頻率0.10.60.3

則可估計這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標的眾數(shù)(以中點值代替)，中位數(shù)分別為()

A.30,43|B.40,43C.40,43|D.30,43

3.下列命題是真命題的是()

A.若x>y>乙則|xy|>|yz|

B.若工<卜0廁ab>b2

C若a>b,c>d,則ac>bd

D.若a2x>a2y,則x>y

4.已知正數(shù)x,y滿足§+W=3,則x+y的最小值為()

A.|B.2C.；D.6

33

5.函數(shù)g(x)=|loga(x+l)|(a>0且awl)的圖象大致為()

6.北京時間2021年10月16日0時23分才苔載神舟十三號載人飛船的長征二

號F遙十三運載火箭,在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預(yù)定時間精準點火發(fā)射，長征系列

火箭的頻頻發(fā)射成功，顯示出我國強大的科技實力.在不考慮空氣動力和地球引力

的理想情況下，可以用公式v=vo-ln(l+?計算火箭的最大速度v(m/s),其中

vo(m/s)是噴流相對速度,m(kg)是火箭(除推進劑外)的質(zhì)量,M(kg)是推進劑與火

箭質(zhì)量的總和，”稱為總質(zhì)比，當(dāng)總質(zhì)比較大時,公式真數(shù)中的1可忽略不計.若將

m

M型火箭的總質(zhì)比從500提升到1000,則其最大速度v大約增加了()

(參考數(shù)據(jù):1g2?0.301,1g3-0.477)

A.5%B.ll%C.20%D30%

7.已知f(X)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，且在(-8,0]上是增函數(shù).若

a=f(log47),b=f(log工3),c=f(0.2°6),貝]a,b,c的大小關(guān)系是()

2

A.c<b<aB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

X>1

8.若函數(shù)f(x)=('A；工？v々1且滿足對任意的實數(shù)X1WX2,都有皿也2>0

((4一7X+2,xV1,萬戶2

成立,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[4,8)B.(4,8)C.(l,8]D.(l,8)

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0

分)

9.設(shè)全集為U,下列選項中是BCA的充要條件的為()

A.AUB=BB.([uA)nB=0

C.(CuA)c([uB)D.AU(CuB)=U

10.下列計算正確的是()

A.i〃-3)4=g

2111Z15\

B.(a赤)?(-3成㈣1呵=-9a(a>0,b>0)

C.2log32-log336+log25xlog54=0

D.已知x2+x-2=2,151]x+x-1=2

11.算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.如圖是一把算盤的

初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、干位……,上面一粒珠子(簡稱上

珠)代表5,下面一粒珠子(簡稱下珠)代表L即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠

的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算

盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設(shè)事件A="表示

的四位數(shù)能被3整除"，B="表示的四位數(shù)能被5整除"，則()

檔

39o083090早

00000一上珠

--r7---7

--1-T--!一

梁一00000

000O0&006d

000o0&00o

0000001o

框/00Ri0000od>5珠

A.P(A)=1O3B.P(B)=1

C.P(AUB)七D.P(AB)=1

12.對于實數(shù)x,符號岡表示不超過x的最大整數(shù)，例如[川=3,[-1.08]=-2,定義函

數(shù)f(x)=x-岡，則下列命題是真命題的是()

A.f(-3.9)=f(4.1)

B.函數(shù)f(x)的最大值為1

C.函數(shù)f(x)的最小值為0

D.方程f(x)—二O有無數(shù)個根

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填

在題中橫線上)

13.已知幕函數(shù)y=f(x)的圖象過點(2,夜)廁f(4)=.

14.為了解中學(xué)生對"雙減"政策落實的滿意度，某部門欲從A,B兩校共4000

名中學(xué)生中,用分層隨機抽樣的方法抽取240名中學(xué)生進行問卷調(diào)查，已知A校

有1800名中學(xué)生,則應(yīng)在B校抽取的中學(xué)生人數(shù)是.

15.若函數(shù)取)=1*為奇函數(shù)則實數(shù)a的值為，當(dāng)x>4時,f(x)的最

大值為.(第一空2分,第二空3分)

16.在實數(shù)集R中定義一種運算"*"，具有下列性質(zhì)：

(1)對任意a,b￡R,a*b=b*a;

(2)對任意aGR,3*0=3；

⑶對任意a,b,cGR,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c.

則函數(shù)f(x)=x*?x>0)的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.(10分)已知全集為R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-D(x-m-7)>0}.

(1)若m=-2,求集合AU[RB;

(2)請在①"X￡A"是"x￡B”的充分不必要條件;②若X￡A,則X4B;③ACCRB

這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解答.

若，求實數(shù)m的取值范圍.

注:如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分.

18.(12分)環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標準》規(guī)定:居民區(qū)PM2.5的年平均濃

度不得超過35微克/立方米,PM”的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.

某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)

測數(shù)據(jù)如下：

PM2.5的24小時平均濃度

組別頻數(shù)慶)頻率

(微克/立方米)

第一組(0,25]30.15

第二組(25,50]120.6

第三組(50,75]30.15

第四組(75,100]20.1

⑴從樣本中PM”的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機抽取

2天，求恰好有1天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率；

(2)求樣本平均數(shù)，并利用樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷

該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進，并說明理由.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值作代表)

19.(12分)已知定義域為R的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時,f(x)=x2+|.

Q)求當(dāng)X40時f(x)的解析式;

(2)求證:f(x)在[L+8)上為增函數(shù);

⑶解關(guān)于x的不等式f(2x+6)>f(4x+3x2x+3).

20.(12分)隨機抽取100名學(xué)生，測得他們的身高(單位:cm),并按照區(qū)間

[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分組，得到樣本身高的頻率

分布直方圖(如圖).

(1)求頻率分布直方圖中x的值及身高在170cm及以上的學(xué)生人數(shù)；

⑵用分層隨機抽樣的方法從身高在區(qū)間[170,175),[175,180),[180,185]內(nèi)的學(xué)

生中共抽取6人,求從這三個區(qū)間中分別抽取的學(xué)生人數(shù)；

(3)在(2)的條件下，要從6名學(xué)生中抽取2人，求至少有1人的身高在[175,180)內(nèi)

的概率.

21.(12分)經(jīng)多次試驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q(單位:L)、百公里耗

油量W(單位:L)與速度v(單位:km/h)(40wvW120)的部分數(shù)據(jù)關(guān)系如下表：

V406090100120

Q5.2683251015.6

W139.25

為描述Q與v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型可供選

擇:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.

(1)請?zhí)顚懕砀窨瞻滋幍臄?shù)據(jù),選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函

數(shù)解析式；

(2)已知某高速公路共有三條車道，分別是外側(cè)車道、中間車道和內(nèi)側(cè)車道，車速范

圍分別是[60,90),[90,U0),[110,120](單位:km/h),問該型號汽車在哪條車道以

什么速度行駛時W最小？

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=x4對任意實數(shù)t,gt(x)=-tx+1.

⑴若函數(shù)h(x)=看-gt(x)在(0,2］上是單調(diào)遞減的,求實數(shù)t的取值范圍;

⑵若f(x)<mg2(x)對任意x《0身恒成立,求正數(shù)m的取值范圍.

答案與解析

全書綜合測評

1.A集合A={x|0<log4X<2}={x|l<x<16},B={x|ex3<1}={X|X<3},所以

CRB=(3,+8),所以An([RB)=(3,16).故選A.

2.C根據(jù)題中頻率分布表可知，頻率最高的分組為[30,50)〃??眾數(shù)為40.設(shè)中位數(shù)

為x廁0.1+熹x0.6=0.5,解得x=43抑中位數(shù)為43提故選C.

3.PA中,不妨取x=l,y=-2,z=-3,此時|lx(-2)k|(-2)x(-3)|,所以A是假命題;B

中，若狀<°，則b<a<0廁b2>ab,所以B是假命題;C中，不妨取a=-l,b=-2,c=-

3,d=-4,則-lx(-3)<-2x(-4),所以C是假命題;D中若a2x>a2y,則a2(x-y)>0廁

x-y>0,即x>y,所以D是真命題.故選D.

4.B由題彳導(dǎo)x+y=x+(y+l)-lWx[x+(y+l)]x3-lWx[x+(y+l)]xG+木)-

1三啡+彳+言聲號X(5+2/F^)-l=2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時取等號，所以x+y的最小值為2.

5.C函數(shù)g(x)的定義域為僅|x>-l}排除D;由g(x)=|loga(x+l)|2排除B;當(dāng)

x=0時,g(x)=0排除A.故選C.一

6.8當(dāng)白500Htv-voln500當(dāng)=1000Htv-voln1000,

因為武二愣二1二是所以將總質(zhì)比從500提升至I」1000,其最

大速度v大約增加了11%.故選B.

7.C」印)在(-8,+8)上是偶函數(shù).山=可它3)=耳-

2

Iog23)=f(log23)/.,log47>log44=l,log23=log49>log47,0<0.206<l,.,.log23>lo

g47>0.20.6>0.〈f(x)是偶函數(shù)且在(-8,0]上是增函數(shù)」.f(x)在(0,+8)上是減函

數(shù),??.f(log23)<f(log47)<f(0.206),即b<a<c.故選C.

a>1,

4-5>。，解得4wa<8,

{a>4-^+2,

所以實數(shù)a的取值范圍為[4,8).故選A.

9.BCD如圖而Venn圖可知,B、C、D都是BuA的充要條件.故選BCD.

2111/1-

10.BC選項A,欽可二?錚=%，故錯誤;選項BG詞(3a痂)+&*=-

211115._..一

9a"赤+春=-9a,故正確;選項C,原式二log34-log336+log24=log32+2=-2+2=0,

故正確;選項D,因為x2+x，=(x+x；)2-2=2,所以(x+x-i)2=4,則x+x-i=±2,故錯誤.

故選BC.

U.ACD將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，所

得四位數(shù)共16個,分別為1111,1115,1151,1155,1511,1515,1551,1

555,5111,5115,5151,5155,5511,5515,5551,5555.

事件A包含的樣本點有1155,1515,1551,5115,5151,55U,共6個，因此

P(A)=2=|;事件B包含的樣本點有1115,1155,1515,1555,5115,5155,5

515,5555,共8個，因此P(B)4W；事件AUB包含的樣本點有1n5,1155,1

515,1551,1555,5115,5151,5155,5511,5515,5555,共U個因此

P(AUB)二？事件AB包含的樣本點有1155,1515,5U5,共3個，因此P(AB)=2

故選ACD.

12.ACD由題意得f(-3.9)=(-3.9H-3.9]=-3.9-(-4)=0.Lf(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-

4=0.1,A是真命題油題意可畫出f(x)的部分圖象，如圖：

由圖可得,f(x)的最小值為0,無最大值，圖象與直線y=；有無數(shù)個交點，即方程f(x)-

|=0有無數(shù)個根，故B錯誤,C正確,D正確.故選ACD.

13.答案2

解析設(shè)幕函數(shù)y=f(x)=xa,a￡R/.?其圖象過點(2,⑸

11

「?2a=四解得a=，」.f(x)=n「.f(4)=45=2.

14.答案132

解析-.A,B兩校共4000名中學(xué)生，且A校有1800名中學(xué)生〃:B校有2200

名中學(xué)生，從A,B兩校中用分層隨機抽樣的方法抽取240名中學(xué)生，每個學(xué)生被

抽到的概率為篇看/應(yīng)在B校抽取的中學(xué)生人數(shù)是2200x^=132.

15.答案2;1

解析因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)所以f(-x)+f(x)=0,即行小+再金『0,即

-=0,^4-2a=0,gpa=2,所以f(x)二冊當(dāng)x>4時,f(x)=±,注意到

(%十zJ(Xizj(%十a(chǎn)jyX~ctjx-q%_一

x

y=xq在[4,+8)上單調(diào)遞墻故x-拉4-戶3,所以0<*,故當(dāng)x>4時,f(x)的最大值

XXx%__J

X

16.答案3

解析在(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c中，令c=0,得

(a*b)*0=0*(ab)+(a*0)+(b*0),由性質(zhì)(l)a*b=b*a,可得

(a*b)*0=(ab)*0+(a*0)+(b*0),由性質(zhì)(2)a*0=a,可得(a*b)*0=a*b=ab+a+b,所

以f(x)=x*3=l+x+(.因為x>0,所以f(x)=l+x+拉3,當(dāng)且僅當(dāng)x4即x=l時，等號

成立，所以f(x)的最小值為3.

17.解析(l)A={xx2<4}=(-2,2),(1分)

當(dāng)m=-2時,B={X[(X+1)(X-5)>0}=(-8,-1)U(5,+8),(2分)

???[RB=[-1,5],(3分)

??.AUCRB=(-2,5].(5分)

⑵易得A=(-2,2),B={x|(x-m-l)(x-m-7)>0}=(-8,m+l)U(m+7,+8).(6分)

若選①廁A郭,(7分)

所以m+122或m+7,2,(8分)

解得m>l或m<-9,

所以實數(shù)m的取值范圍為(-*-9]U[l,+oo).(10分)

若選②廁AAB=0,(7分)

所以m+14-2且m+7N2,(8分)

解得-5wmV-3,所以實數(shù)m的取值范圍為[-5,-3].(10分)

易得[RB=[m+l,m+7],(7分)

若選③廁m+l<-2且m+7>2,(8分)

解得-54mw-3,所以實數(shù)m的取值范圍為[-5,-3].(10分)

18.解析(1)設(shè)PM2.5的24小時平均濃度在(50,75]內(nèi)的三天分別記為

AI,A2,A3,PM2.5的24小時平均濃度在(75,100]內(nèi)的兩天分別記為BiE,所以從5

天中隨機抽取2天的情況有

A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10種,（2分）

其中符合條件的有A1中,A1B2,A2BLA2B2,A3BLA3B2,共6種,（4分）

所以所求的概率P=A=|.（6分）

（2）隨機抽取的該居民區(qū)去年20天PM2.5的平均濃度為

12.5x0.15+37.5x0.6+62.5x0.：L5+87.5x0.1=42.5（微克/立方米）.（8分）

該居民區(qū)的環(huán)境需要改進.（10分）

理由:利用樣本估計總體的思想，估計該居民區(qū)去年P(guān)M2.5的年平均濃度為42.5

微克/立方米.因為42.5>35,所以去年該居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不符合《環(huán)

境空氣質(zhì)量標準》的規(guī)定，所以該居民區(qū)的環(huán)境需要改進。2分）

19.解析⑴由f（x）是定義域為R的奇函數(shù)知f（0）=0.（l分）

當(dāng)x<0時,-x>0廁f（-x）=x2-|,f（x）=-f（-x）=-x2+|.（2分）

綜上所述，當(dāng)x<0時,f（x）=<0（3分）

IX

（2）證明:任取X1,X2曰L+8）,且X1<X2,（4分）

則f（X2）-f（Xl）=若+*或=（今看）+

=（X2-X1）（X2+-靖）（6分）

???14X1<X2/.X2-X1>O,X2+X1>2高<2〃.X2+X1-套>0,

」.（X2-X1）卜2+xr品>0，（7分）

???f（X2）-f（Xi）>0,即f（X2）>f（xi）〃?.f（x）在［L+8）上為增函數(shù)（8分）

⑶2x+6>6,4x+3x2x+3>3,設(shè)2x=t（t>0）,根據(jù)⑵及3+6）>野+3立+3）,可得

t+6>t2+3t+3,即修；02t-3<0,.0<卜1,（9分）

即0<2x<L（10分）

解得x<0.（U分）

由衽不等式的籥集為{x|x<0}.（12分）

20.解析⑴由頻率分布直方圖可知,5x=l-5x（0.07+0.04+0.02+0.01）,（l分）

所以x=0.06.（2分）

因此身高在170cm及以上的學(xué)生人數(shù)為

100x（0.06x5+0.04x5+0.02x5）=60.（4分）

（2）身高在［170,175）,［175,180）,［180,185］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分另U為

0.06x5x100=30,0.04x5x100=20,0.02x5x100=10,（6分）

因此應(yīng)該從身高在［170,175）,［175,180）,［180,185］內(nèi)的學(xué)生中分別抽取

6x黑3（人）,6x黑2（人）,6x黑1（人）.（8分）

⑶在（2）的條件下，設(shè)身高在［170,175）內(nèi)的3名學(xué)生分別為ALA2,A3,身高在

［175,180）內(nèi)的2名學(xué)生分別為8遇2,身高在［180,：185］內(nèi)的1名學(xué)生為Co廁從

6名學(xué)生中抽取2人的樣本點共15個,分別為

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,CO),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,CO),(A3,B1),(A3,

B2),(A3,CO),(BI,B2),(BI,CO),(B2,CO),(1O

至少有1人的身高在［175,180)內(nèi)包含的樣本點有9個,分別為

(4力1)?1力2)①2上1)以2力2)①3臼)/3力2),但1力2),(81,(：0),包工0),所以至少有1

人的身高在［175,180)內(nèi)的概率為蔣=|.(12分)

21.解析⑴填表如下：

V406090100120

Q5.2683251015.6

W13109.251013

(2分)

由題意可得符合的函數(shù)模型需滿足在40<v<120時有意義，且在［40,120］上為增

函數(shù).

Q(v)=0.5v+a在［40,120］上是減