2019年山東省菏澤市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年山東省荷澤市中考數(shù)學試卷

選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是正確的，請把正確選項的序號涂在答題卡的相應(yīng)位置

1.（3分）（2019?荷澤）下列各數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.」B.1C.0D.-2

24

【考點】18：有理數(shù)大小比較.

【專題】11：計算題；511：實數(shù)；61：數(shù)感；62：符號意識.

【分析】比較確定出最大的數(shù)即可.

【解答】解：-2<-1<0<1,

24

則最大的數(shù)是工，

4

故選：B.

【點評】此題考查了有理數(shù)大小比較，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2019?荷澤）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A*啟俅G

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；64：幾何直觀.

【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行解答.

【解答】解：4不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；

。、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,

圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

3.（3分）（2019?荷澤）下列運算正確的是（）

A.（-er）2=-a6B.cr9cr=crC.cr^cr=atD.3a2-2cr=cr

【考點】35：合并同類項；46：同底數(shù)幕的乘法；47：幕的乘方與積的乘方；48：同底

數(shù)幕的除法.

【專題】11：計算題；511：實數(shù).

【分析】各項計算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【解答】解：A、原式=/,不符合題意；

B、原式=/,不符合題意；

C、原式=/,不符合題意；

。、原式=〃2,符合題意，

故選：D.

【點評】此題考查了同底數(shù)募的除法，合并同類項，同底數(shù)塞的乘法，以及累的乘方與

積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

4.（3分）（2019?荷澤）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積是（）

俯

視

要

A.5cm2B.8cm2C.9cm2D.10cm2

【考點】14：幾何體的表面積；U3：由三視圖判斷幾何體.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】由題意推知幾何體長方體，長、寬、高分別為law、1cm、2cm,可求其表面積.

【解答】解：由題意推知幾何體是長方體，長、寬、高分別la”、1cm、2cm,

所以其面積為：2X（1X1+1X2+1X2）=10（cm2）.

故選：D.

【點評】本題考查三視圖、圓柱的表面積，考查簡單幾何體的三視圖的運用.培養(yǎng)同學

們的空間想象能力和基本的運算能力.

5.（3分）（2019?苗澤）已知是方程組[ax+by=2的解，則行匕的值是（）

[y=-2lbx+ay=-3

A.-1B.1C.-5D.5

【考點】97：二元一次方程組的解.

【專題】11：計算題；521：一次方程（組）及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法即可求出答案.

【解答】解：將（x=3代入卜x+by=2,

（y=-2lbx+ay=-3

可得：1%-2b=2,

l3b-2a=-3

兩式相加：a+b=-1,

故選：A.

【點評】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是熟練運用二元一次方程組的解法,

本題屬于基礎(chǔ)題型.

6.（3分）（2019?荷澤）如圖，是。。的直徑，C,。是上的兩點，且平分

分別與BC,OC相交于點E,F,則下列結(jié)論不一定成立的是（)

A.OC//BDB.AD1OCC.D.AF=FD

【考點】KB：全等三角形的判定；M5：圓周角定理.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角

三角形；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】由圓周角定理和角平分線得出/AO8=90°,ZOBC=ZDBC,由等腰三角形

的性質(zhì)得出/0CB=N08C,得出證出0C〃8。，選項A成立；

由平行線的性質(zhì)得出AOLOC,選項8成立；

由垂徑定理得出AP=FD,選項。成立；

△CEF和△BED中，沒有相等的邊，ACEF與ABED不全等,選項C不成立，即可得

出答案.

【解答】解：TAB是。。的直徑，BC平分/AB。，

AZADB=90°,NOBC=/DBC,

：.AD±BD,

\'OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC,

:.NDBC=NOCB,

：.OC//BD,選項A成立；

：.AD±OC,選項3成立；

：.AF=FD,選項。成立；

,/△CEF和4BED中,沒有相等的邊，

...△CEF與△8EO不全等，選項C不成立；

故選：C.

【點評】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌圓周角定理和垂徑定理.

7.(3分)(2019?荷澤)在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點。出

發(fā)，按“向上一向右一向下一向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其

移動路線如圖所示，第一次移動到點4,第二次移動到點A2……第〃次移動到點A”，則

點A2019的坐標是()

【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】根據(jù)圖象可得移動4次圖象完成一個循環(huán)，從而可得出點A2019的坐標.

【解答】解:A1(0,1),A2(1,1),43(1,0),A4(2,0),45(2,1),4(3,1),…，

2019+4=504…3,

所以A2019的坐標為(504X2+1,0),

則A2019的坐標是(1009,0).

故選：C.

【點評】本題考查了點的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖象，得到點的變化規(guī)

律，難度一般.

8.(3分)(2019?荷澤)如圖，正方形ABC。的邊長為2c〃z,動點P,。同時從點A出發(fā),

在正方形的邊上，分別按A-O-C,A-B-C的方向，都以lcm/s的速度運動，到達點

C運動終止，連接尸Q,設(shè)運動時間為xs,△APQ的面積為yc機2,則下列圖象中能大致

表示y與尤的函數(shù)關(guān)系的是()

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】122：幾何動點問題.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形，分情況討論：

①0WxW2時，根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象；

②24W4時，根據(jù)S^APQ^S正方形ABCD-S&CP，Q'-SAABQ'-S/^AP'。列出函數(shù)關(guān)系式,

從而得到函數(shù)圖象，再結(jié)合四個選項即可得解.

【解答】解：①當00W2時,

?.?正方形的邊長為2cm,

.'.y—S^APQ——AQ,AP——x1；

22

②當2WxW4時，

y=&AP。

=

S正方形ABCD-SACPQ'_S/xABQ'_S/\AP'D,

=2X2」(4-x)2」X2X(x-2)」X2X(%-2)

222

=--JT+Zr

2

所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項，只有A選項圖

象符合.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意，分別求出兩個時間段的函數(shù)關(guān)系

式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求把最后結(jié)果填寫在答題卡

的相應(yīng)區(qū)域內(nèi).）

9.（3分）（2019?荷澤）計算-3）2的結(jié)果是-7.

2

【考點】1A：有理數(shù)的減法；1E：有理數(shù)的乘方；6F：負整數(shù)指數(shù)累.

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用負指數(shù)累的性質(zhì)化簡得出答案.

【解答】解：原式=2-9=-7.

故答案為：-7.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

10.（3分）（2019?荷澤）已知尤=或+我，那么/-2匹x的值是4.

【考點】7A：二次根式的化簡求值.

【專題】514：二次根式；61：數(shù)感.

【分析】根據(jù)二次根式的運算以及完全平方公式即可求出答案.

【解答】解：：尤-血=%，

.'.X2-2\[2^+2=6,

.'.x2-2^/2^—4,

故答案為：4

【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算以及完全平

方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

11.（3分）（2019?荷澤）如圖，AD//CE,ZABC=100°,則/2-/1的度數(shù)是80。.

AD

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】直接作出BF//AD,再利用平行線的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：作斯〃4，

"."AD//CE,

C.AD//BF//EC,

/.Z1=Z3,Z4+Z2=180°,Z3+Z4=100°,

.?.Zl+Z4=100°,Z2+Z4=180°,

；./2-Zl=80°.

故答案為：80°.

【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出/1+/4=100°,Z2+Z4=180°是

解題關(guān)鍵.

12.(3分)(2019?荷澤)一組數(shù)據(jù)4,5,6,x的眾數(shù)與中位數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的方差是

1

旦一

【考點】W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)；W7：方差.

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】分別假設(shè)眾數(shù)為4,5,6,分類討論，找到符合題意的x的值，再根據(jù)方差的定

義求解可得.

【解答】解：若眾數(shù)為4,則數(shù)據(jù)為4,4,5,6,此時中位數(shù)為4.5,不符合題意；

若眾數(shù)為5,則數(shù)據(jù)為4,5,5,6,中位數(shù)為5,符合題意，

此時平均數(shù)為4+5+5+6=5,方差為(4-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(6-5)2]=—；

442

若眾數(shù)為6,則數(shù)據(jù)為4,5,6,6,中位數(shù)為5.5,不符合題意;

故答案為L.

2

【點評】本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)及方差，根據(jù)眾數(shù)的可能情況分類討論求解是解題

的關(guān)鍵.

13.（3分）（2019?荷澤）如圖，E,尸是正方形A8C。的對角線AC上的兩點，AC=8,AE

=CF=2,則四邊形BEDF的周長是8亞.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì).

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】連接2。交AC于點O,則可證得。E=OROD=OB,可證四邊形BEL不為平

行四邊形，且可證得四邊形8EDF為菱形；根據(jù)勾股定理計算。E的長，可得

結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接8。交AC于點。，

:四邊形ABC。為正方形，

：.BD.LAC,OD=OB=OA=OC,

；AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,即OE=OF,

：.四邊形BEDF為平行四邊形，且8。_LER

...四邊形8瓦不為菱形，

:.DE=DF=BE=BF,

：AC=BD=8,。￡=。/=此1=2,

2

由勾股定理得：DE=qOD2+0￡2=4/+22=2A/"^,

，四邊形BEDF的周長=4OE=4義2旄=8代，

故答案為：8旄.

【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)及勾股定理，掌握對角線互相

垂直平分的四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵.

14.(3分)(2019嘀澤)如圖，直線y=-卜3交x軸于點A,交y軸于點8,點尸是x

軸上一動點，以點P為圓心，以1個單位長度為半徑作OP,當OP與直線相切時，

點尸的坐標是(-［，0)或尸(-紅，0).

【考點】F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；ME：切線的判定與性質(zhì).

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得A(-4,0),B(0.-3),得到04=4,08=3,根據(jù)勾

股定理得到AB=5,設(shè)。尸與直線AB相切于。，連接尸。，則POLAB,PD=\,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：直線y=3交無軸于點A,交y軸于點3,

，令冗=0,得y=-3,令y=0,得％=-4,

???A(-4,0),B(0.-3),

：.OA=4,03=3,

.'.AB=5,

設(shè)。尸與直線AB相切于。,

連接尸。，

貝！JPD_LA8,PD=1,

VZADP=ZAOB=90°,ZPAD=ZBAO,

，△APDsAABO,

.PD=AP

"OBAB，

.1_AP

??------f

35

：.AP=^~,

3

，。尸=1或op=lZ_,

33

：.P（-工，0）或「（-口,0）,

33

故答案為：（-工，0）或P（-紅，0）.

【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖形上點的坐標特征，相似三角形的

判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應(yīng)區(qū)域內(nèi)）

x-3（x-2）,

15.（6分）（2019?荷澤）解不等式組：|,2x+l

[xT<k

【考點】CB：解一元一次不等式組.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式x-3（x-2）2-4,得：xW5,

解不等式X-1〈組L,得：x<4,

3

則不等式組的解集為x<4.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

16.（6分）（2019?荷澤）先化簡，再求值：」一（上匕-1）4--—,其中x=y+2019.

22

Xpx+yy-x

【考點】6D：分式的化簡求值.

【專題】11：計算題.

【分析】根據(jù)分式的減法和乘除法可以化簡題目中的式子，然后將x=y+2019代入化簡

后的式子即可解答本題.

【解答】解：」一（上匕-1）+J.

x+yy^-x2

,+y）.（y+x）（y-x）

x-yx+y

=-（2y-x-y）

=x-y，

：x=y+2019,

.,.原式=>+2019-y=2019.

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

17.（6分）（2019?荷澤）如圖，四邊形A8C￡）是矩形.

（1）用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，交于點E,交C。于點E（不寫作法，保留作

圖痕跡）；

（2）若BC=4,ZBAC=30°,求BE的長.

【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)；N2：作圖一基本作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的作圖解答即可；

（2）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：（1）如圖所示:

（2）?..四邊形ABC。是矩形，跖是線段AC的垂直平分線,

：.AE=ECfZCAB=ZACE=30°,

：.ZECB=60°,

：.ZECB=30°,

VBC=4,

:.BE=^^~.

3

【點評】此題考查基本作圖問題，關(guān)鍵是根據(jù)線段的垂直平分線的作圖和性質(zhì)解答.

18.（6分）（2019?荷澤）列方程（組）解應(yīng)用題：

德上高速公路巨野至單縣段正在加速建設(shè)，預(yù)計2019年8月竣工.屆時，如果汽車行駛

高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行駛81千米的高速公

路比行駛同等長度的普通公路所用時間將會縮短36分鐘，求該汽車在高速公路上的平均

速度.

【考點】B7：分式方程的應(yīng)用.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】設(shè)汽車行駛在普通公路上的平均速度是x千米/分鐘，則汽車行駛在高速公路上

的平均速度是L8x千米/分鐘，根據(jù)“行駛81千米的高速公路比行駛同等長度的普通公

路所用時間將會縮短36分鐘”列出方程并解答.

【解答】解：設(shè)汽車行駛在普通公路上的平均速度是x千米/分鐘，則汽車行駛在高速公

路上的平均速度是1.8x千米/分鐘，

由題意，得一吼+36=坦.

1.8xx

解得尤=1.

經(jīng)檢驗，X=1是所列方程的根，且符合題意.

所以1.8x=1.8（千米/分鐘）.

答：汽車行駛在高速公路上的平均速度是1.8千米/分鐘.

【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

19.（7分）（2019?荷澤）由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成

功完成第一次海上試驗任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達A處時，測得小島8位于

它的北偏東30。方向，且與航母相距80海里再航行一段時間后到達C處，測得小島B

位于它的西北方向，求此時航母與小島的距離的長.

北

A

----＞東

【考點】TB：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】過點B作于點。，根據(jù)題意得到/54。=60°,ZBCD=45°,AB=

80,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過點8作8￡）J_AC于點。，

由題意，得：ZBAD=60°,/BCD=45°,A3=80,

在中，ZBAD=60°,

：.AD=^AB=40,

2

BD=J^-AB=4(hj3,

2

在RtZXBCD中，ZBCD=45°,

：.BD=CD=40^/3,

：.BC^y/2BD=4Q\[^,

答：BC的距離是40遙海里.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

20.（7分）（2019?荷澤）如圖，口42?！辏┲?，頂點A的坐標是（0,2）,AD//x^,BC交y

軸于點E,頂點C的縱坐標是-4,^ABCD的面積是24.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過

x

點B和。，求：

（1）反比例函數(shù)的表達式;

(2)A8所在直線的函數(shù)表達式.

【考點】FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；G5：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；G6：

反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；G7：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；L5：平行四邊

形的性質(zhì).

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)題意得出AE=6,結(jié)合平行四邊形的面積得出AD=BC=4,繼而知點

。坐標，從而得出反比例函數(shù)解析式；

(2)先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解可得.

【解答】解：(1)??.頂點A的坐標是(0,2),頂點C的縱坐標是-4,

.".AE—6,

又=ABCD的面積是24,

：.AD=BC^4,

則D(4,2)

.,#=4X2=8,

反比例函數(shù)解析式為y=當

x

(2)由題意知2的縱坐標為-4,

,其橫坐標為-2,

則2(-2,-4),

設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b,

將A(0,2)、2(-2,-4)代入，得：『二2,

l-2k+b=-4

解得」仁3,

lb=2

所以AB所在直線解析式為y=3x+2.

【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形

的面積公式及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的能力.

21.（10分）（2019?荷澤）4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持

思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”我市某中學響應(yīng)號召，鼓勵師生利

用課余時間廣泛閱讀，該校文學社發(fā)起了“讀書感悟?分享”比賽活動根據(jù)參賽學生的成

績劃分為A，B,C,。四個等級，并繪制了下面不完整的統(tǒng)計圖表，根據(jù)圖表中提供的

信息解答下列問題；

頻數(shù)頻率

A4

B

Ca0.3

D16b

（1）求a,b的值；

（2）求8等級對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；

（3）學校要從A等級的學生中隨機選取2人參加市級比賽，求A等級中的學生小明被選

中參加市級比賽的概率.

【考點】V7：頻數(shù)（率）分布表；VB：扇形統(tǒng)計圖；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理；543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)A等級有4人，所占的百分比是10%即可求得總?cè)藬?shù)，然后求得a和

b的值；

（2）首先計算出2等級頻數(shù)，再利用360°乘以對應(yīng)的百分比即可求得B等級所對應(yīng)的

圓心角度數(shù)；

（3）利用列舉法求得選中A等級的小明的概率.

【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)：44-10%=40,

4=40X0.3=12,

6=邁=0.4；

40

(2)B的頻數(shù)：40-4-12-16=8,

8等級對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)：AX360°=72°；

40

(3)用〃表示小明，用/?、c、d表示另外三名同學.

則選中小明的概率是：&=1.

122

abcd

/|\/l\

bedacdabdabc

【點評】本題主要考查了頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計圖以及樹狀圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖,

從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.

22.(10分)(2019?荷澤)如圖，8C是的直徑，CE是。。的弦，過點E作。。的切線,

交CB的延長線于點G,過點2作8PLGE于點R交CE的延長線于點A.

(1)求證：ZABG=2ZC；

(2)若G尸=3<5，GB=6,求的半徑.

G-5VOJc

【考點】M5：圓周角定理；MC：切線的性質(zhì).

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【分析】(1)連接OE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OELEG,推出OE〃A8,得到/A=/OEC,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/OEC=/C,求得NA=/C,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即

可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理得到8尸=而%P=3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接OE,

是的切線，

：.OE.LEG,

VBFXGE,

：.OE//AB,

：.ZA=ZOEC,

?：OE=OC,

：./OEC=/C,

：.NA=NC,

ZABG=ZA+ZC,

：.ZABG=2ZC；

(2)解：'：BF±GE,

：.ZBFG=90°,

?：GF=3如,GB=6,

BF=22=

?*,7BG-GF3'

9：BF//0E,

:?△BGFs^OGE,

.BF=BG

"OE0G，

?3=6

**0E6+OE'

：.OE=6,

???OO的半徑為6.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，

正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.（10分）（2019?荷澤）如圖，△ABC和△AOE是有公共頂點的等腰直角三角形，ABAC

ZDAE=9Q°.

5圖IC5圖2C

(1)如圖1,連接BE,CD,BE的廷長線交AC于點尸，交CD于點P,求證：BPLCD-,

(2)如圖2,把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當點。落在A8上時，連接BE,CD,CD

的延長線交BE于點P,若8c=6歷，AD=3,求△P￡)E的面積.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；55D：圖形的相似.

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=AE,AB=AC,ZBAC-ZEAF^Z

EAD-NEAF,求得N8AE=ND4C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ABE=/AC。，根據(jù)

余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/AC。，BE=CD,求得/EPD=90°,得到

DE=3?A2=6,求得3D=6-3=3,CDf卜"+小=3相,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)得到尸。=返，尸8=殳區(qū)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

55

【解答】解：(1):△ABC和△AOE是有公共頂點的等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE

=90°.

：.AD=AE,AB^AC,ZBAC-ZEAF^ZEAD-ZEAF,

即/BAE=ZDAC,

'AB=AC

在△ABE與△AOC中，，NBAE二NCAD，

,AE=AD

AABE^AADC(SAS),

：.ZABE=ZACD,

'：ZABE+ZAFB=ZABE+ZCFP^90°,

：.ZCPF=9Q°,

C.BPLCD-,

'AE=AD

(2)在△ABE與△AC。中，，ZEAB=ZCAB=90°，

AB=AC

/.AABE^^ACD(SAS),

:./ABE=/ACD,BE=CD,

,：ZPDB^ZADC,

：.ZBPD=ZCAB=9Q°,

：.ZEPD=90°,BC=6圾，AO=3,求的面積.

,:BC=6?,AD=3,

:.DE=3?,AB=6,

：.BD=6-3=3,CD=VAD2+AC2=3^>

,:△BDPs^CDA,

.BD=PD=PB

"CDAD而，

.3_PD_PB

??乖丁T'

:.PE=3顯-

55

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.（10分）（2019?荷澤）如圖，拋物線與無軸交于A,8兩點，與y軸交于點C（0,-2）,

點4的坐標是（2,0）,尸為拋物線上的一個動點，過點P作軸于點。，交直線

BC于點E,拋物線的對稱軸是直線尤=-1.

(2)若點P在第二象限內(nèi)，且PE=L。。，求△PBE的面積.

4

(3)在(2)的條件下，若M為直線2C上一點，在x軸的上方，是否存在點M,使4

是以8。為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；33：函數(shù)思想；65：數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】(1)點A(2,0)、點5(-4,0),則函數(shù)的表達式為：y=a(%-2)(x+4)=

a(/+2x-8),即可求解；

(2)PE=kOD,則PE=(l-x2+l.x-2-L+2)=[(-尤)，求得：點。(-5,0),

44224

利用SAPBE=LPEXBD=L(L/+L：-2-L+2)(-4-X),即可求解；

22422

(3)BD=1=BM,則VM=-BMsinZABC=-IX---即可求解.

V55

【解答】解：(1)點A的坐標是(2,0),拋物線的對稱軸是直線x=-1,則點2(-4,

0),

則函數(shù)的表達式為：y=a(x-2)(x+4)—a(x2+2x-8),

即：-Sa=-2,解得：a——,

4

故拋物線的表達式為：y=L?+L-2；

42

(2)將點3、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：并解得：

直線BC的表達式為：y=-Lx-2,貝|Jtan/A8C=L,則sinZABC=Ar,

22V5

設(shè)點。(x,0),則點P(x,L?+L-2),點E(X,L-2),

422

?：PE=^OD,

4

PE—(—x2+—-2-—x+2)=—(-尤)，

4224

解得：尤=0或-5(舍去x=0),

即點。(-5,0)

SAPBE=LXPEXBD=L_2-Xr+2)(-4-尤)=包；

224228

(3)由題意得：是以8。為腰的等腰三角形，

①當80=8/時，過點M作軸于點

BD=1=BM,

則MH=VM=BMsinZABC=1X1='=—>

V55

則.=20+2恒

5__

故點ML20+2述,一返）；

55

②當BD=DMCM'）時，

同理可得：點（-罵，里）；

55

故點M坐標為（-20+2泥,-返）或（-絲，A）.

5555

【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要

會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長

度，從而求出線段之間的關(guān)系.

考點卡片

1.有理數(shù)大小比較

（1）有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示

的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及。的大小,

利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小.

（2）有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0；

②負數(shù)都小于0；

③正數(shù)大于一切負數(shù)；

④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

1.法則比較：正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù).兩個負數(shù)比較大小，絕對

值大的反而小.

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù).

3.作差比較：

若a-b>0,則a>b；

若a-b<0,則a<b；

若a-b=0,貝！Ia=b.

2.有理數(shù)的減法

（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即：?-b=a+Lb）

（2）方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；

②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減

數(shù)的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）；

【注意工在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比,0加任何數(shù)都不變,0減任何數(shù)應(yīng)依法則進行計算.

3.有理數(shù)的乘方

（1）有理數(shù)乘方的定義：求〃個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方.

乘方的結(jié)果叫做事，在a"中，。叫做底數(shù)，”叫做指數(shù).a"讀作a的”次方.（將a"看作是

。的“次方的結(jié)果時，也可以讀作。的〃次累.）

（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次事都是正數(shù)；負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù);

0的任何正整數(shù)次幕都是0.

（3）方法指引：

①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定幕的符號，然后再計算塞

的絕對值；

②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應(yīng)先算乘方，再做乘

除，最后做加減.

4.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

5.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

am-an=am+n（m,〃是正整數(shù)）

（2）推廣：am-an'aP=am+n+P（m,n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)幕的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/廬）3與（/必）

4,（x-y）2與（x-y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只

有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)哥的乘法，是學習整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學好整式運算的關(guān)鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數(shù)塞.

6.塞的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（心）"=心"（相，”是正整數(shù)）

注意：①暴的乘方的底數(shù)指的是基的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是暴的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)幕的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

（M）"=0附（〃是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

7.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)累的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

0m+0n=d"n（aWO,比,〃是正整數(shù)，

①底數(shù)aWO,因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應(yīng)用同底數(shù)幕除法的法則時，底數(shù)?？墒菃雾検?，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

8.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

9.負整數(shù)指數(shù)塞

負整數(shù)指數(shù)塞：a~P=laPQWO,p為正整數(shù))

注意：①aWO；

②計算負整數(shù)指數(shù)累時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)累的意義計算，避免出現(xiàn)(-3)==(-

3)X(-2)的錯誤.

③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

10.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)

分，避免互相干擾.

11.二元一次方程組的解

(1)定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

(2)一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學概念是數(shù)學的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

12.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹!J、解、驗、答.

必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整,

要寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率

=工作量工作時間

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能

力.

13.解一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

(2)解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.

14.規(guī)律型：點的坐標

規(guī)律型：點的坐標.

15.動點問題的函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中

的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.

用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

16.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)〉=依+6,梟W0,且左，6為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與無軸的交點坐標是（-

p0）；與y軸的交點坐標是（0,b\

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式>=依+從

17.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：

（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)>=依+6；

（2）將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的

方程或方程組；

（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式.

注意：求正比例函數(shù)，只要一對尤，y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函

數(shù)>=依+匕，則需要兩組x,y的值.

18.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

比例系數(shù)k的幾何意義

在反比例函數(shù)y=N圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成

x

的矩形的面積是定值冏.

在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角

形的面積是工|用，且保持不變.

2

19.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)y="x（人為常數(shù)，ZWO）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（尤，y）的橫縱坐標的積是定值公即沖=%

②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；

③在y=klx圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形

的面積是定值|川.

20.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要注意：

（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=k（左為常數(shù)，左力0）；

x

（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；

（3）解方程，求出待定系數(shù)；

（4）寫出解析式.

21.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

22.幾何體的表面積

（1）幾何體的表面積=側(cè)面積+底面積（上、下底的面積和）

（2）常見的幾種幾何體的表面積的計算公式

①圓柱體表面積：2TT7?2+2ir7?/z（R為圓柱體上下底圓半徑，〃為圓柱體高）

②圓錐體表面積：Ttr+wTi"2+廠2）360（廠為圓錐體低圓半徑，/?為其高，〃為圓錐側(cè)面展

開圖中扇形的圓心角）

③長方體表面積：2（ab+ah+bh）（a為長方體的長，b為長方體的寬，為長方體的高）

④正方體表面積：6a2（a為正方體棱長）

23.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

24.全等三角形的判定

（1）判定定理I：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：上遼--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若

已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊

對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)

鄰邊.

25.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構(gòu)造三角形.

26.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到

線段兩端點的距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心,

并且這一點到三個頂點的距離相等.

27.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和

直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，

三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等

腰直角三角形的兩個小角均為45°,高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三

角形，則兩