概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章總習題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案第一章總習題1．填空題（1）假設(shè)是兩個隨機事件，且，則，；解：即與互為對立事件，又所以（2）假設(shè)是任意兩個事件，則.解：.（3）.已知，，。則事件、、全不發(fā)生的概率為解：所求事件的概率即為,又從而則，所以2．選擇題（1）設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是.（A）事件與事件相互獨立；（B）事件與事件互逆；（C）；（D）.解：因為，而，即，所以事件與事件相互獨立，選（A）.（2）設(shè)為兩個互逆的事件，且，，則下列結(jié)論正確的是.（A）；（B）；（C）；（D）.解：因為為兩個互逆的事件，所以當事件發(fā)生時，事件是不會發(fā)生的，故.選（C）.（3）設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是.（A）事件與事件互不相容；（B）事件與事件互逆；（C）事件與事件不互相獨立；（D）事件與事件互相獨立.解：因為，所以事件與事件互相獨立.選（D）.3．從五雙不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率.解：此題考慮逆事件求解比較方便，即取得的四只鞋子中不能配成一雙.設(shè)表示“取得的四只鞋子中至少有兩只配成一雙”，則.4．（找次品問題）盒中有只次品晶體管，只正品晶體管，隨機地抽取一只進行測試，直到只次品晶體管都找到為止，求第次品晶體管在第五次測試中被發(fā)現(xiàn)的概率.解：設(shè)表示“第次找到次品晶體管”，則所求概率為：.5．（討論獎金分配的公平性問題）在一次羽毛球比賽中，設(shè)立獎金元.比賽規(guī)定：誰先勝三盤，誰獲得全部獎金.設(shè)甲、乙兩人的球技相當，現(xiàn)已打了三盤，甲勝元應(yīng)如何分配才算公平?解：應(yīng)以預(yù)期獲勝的概率為權(quán)重來分配這筆獎金，于是求出甲、乙兩人獲勝的預(yù)期概率即可.比賽采取的應(yīng)是五局三勝制，比賽已打三盤，甲勝兩盤，甲若再勝一盤即可獲勝.甲獲勝的預(yù)期概率為：.于是，甲應(yīng)分得元獎金中的元，乙分得元.6．(彩票問題)一種福利彩票稱為幸福35選7，即從01，02，…，35中不重復(fù)地開出7個基本號碼和一個特殊號碼.中獎規(guī)則如下表所示.幸福35選7的中獎規(guī)則中獎級別中獎規(guī)則一等獎二等獎三等獎四等獎五等獎六等獎七等獎7個基本號碼全中中6個基本號碼及特殊號碼中6個基本號碼中5個基本號碼及特殊號碼中5個基本號碼中4個基本號碼及特殊號碼中4個基本號碼，或中3個基本號碼及特殊號碼(1)試求各等獎的中獎概率(2)試求中獎的概率.解：(1)因為不重復(fù)地選號碼是一種不放回抽樣，所以樣本空間含有個樣本點.要中獎應(yīng)把抽樣看成是在三種類型中抽?。旱谝活愄柎a：7個基本號碼；第二類號碼：1個特殊號碼；第三類號碼：27個無用號碼。在三類號碼中抽取，若記為第等獎的概率可得各等獎的中獎概率如下：(2)若記為事件“中獎”，則為事件“不中獎”則7．甲從中任取一個數(shù)，乙從中任取一個數(shù)，求甲取得的數(shù)大于乙取得的數(shù)的概率.解：設(shè)表示甲取得的數(shù)大于乙取得的數(shù)，表示“甲取的數(shù)為”，表示“乙取的數(shù)為”，則所求概率為：由于甲、乙取數(shù)是相互獨立的，則由獨立性的性質(zhì)可知：，且，，..8．從數(shù)字中可重復(fù)地任取次，每次取一個數(shù)，求次所取數(shù)的乘積能被整除的概率.解：次取得的數(shù)的乘積能被整除，相當于取得的個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)，另一個是.設(shè)表示“所取的數(shù)是”，表示“所取的數(shù)中至少有一個是偶數(shù)”，則所求概率為：.9．向正方形區(qū)域中隨機地投一個點，如果是所投點的坐標，試求：（1）有兩個實根的概率；（2）方程有兩個正實根的概率.解：（1）設(shè)表示“有兩個實根”，有兩個實根的充要條件是，即.故.（2）設(shè)表示“方程有兩個正實根”，則方程有兩個正實根的條件是：，，，即.故.10．將四個球任意地放到四個盒子中去，每個盒子中容納球的個數(shù)不限，如果已知前兩個球放在不同的盒子中，試求有一個盒子中恰好放有三個球的概率.解：設(shè)表示“前兩個球放在不同的盒子中”，表示“有一個盒子中恰好有兩個球”，則所求概率為.樣本空間含樣本點總數(shù)為含樣本點總數(shù)為個，含樣本點總數(shù)為個,故.11．設(shè)件產(chǎn)品中有件不合格品，從中任取兩件.（1）在所取的兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是合格品的概率.解：設(shè)表示“取出的兩件產(chǎn)品中有件合格品”，則.（1）.或.（2）.12．口袋中有20個球，其中兩個是紅球，現(xiàn)從袋中取球三次，每次取一個，取后不放回，求第三次才取到紅球的概率.解：設(shè)表示“第次取得紅球”，則所求概率為：13．12個乒乓球全是新的，每次比賽時取出3個用完后放回去.（1）求第三次比賽時取到的三個球都是新球的概率；（2）問在第三次取到的三個球都是新球的條件下，第二次取到幾個新球的概率最大？解：設(shè)事件分別表示第一、二、三次比賽時取到個新球.（1）由全概率公式，.其中：，.故.（2）由貝葉斯公式，.故在第三次取到的三個球都是新球的條件下，第二次取到兩個新球的概率最大.14，總統(tǒng)正在考慮采取一項關(guān)于工資和價格控制的新政策，并關(guān)注這項政策對失業(yè)率的影響，每位顧問就這種影響給總統(tǒng)一個個人預(yù)測，預(yù)測是以失業(yè)率將減少、保持不變或上升的概率來給出的，見下表.失業(yè)率下降失業(yè)率不變失業(yè)率上升用字母分別表示顧問的經(jīng)濟理論是正確的事件，根據(jù)以往總統(tǒng)與這些顧問一起工作的經(jīng)驗，總統(tǒng)已經(jīng)形成了關(guān)于每位顧問正確的經(jīng)濟理論可能的一個估計，分別為：，，.假設(shè)總統(tǒng)采取了所提出的新政策，一年后，失業(yè)率上升了，總統(tǒng)應(yīng)如何調(diào)整他對其經(jīng)濟顧問的理論的正確的估計？解：設(shè)表示“失業(yè)率上升”，則.由Bayes公式得：，，.即總統(tǒng)調(diào)整他對其經(jīng)濟顧問的理論的正確的估計為：15．設(shè)一枚深水炸彈擊沉一艘潛水艇的概率為，擊傷的概率為，擊不中的概率為，并設(shè)擊傷兩次會導致潛水艇下沉，求施放枚深水炸彈能擊沉潛水艇的概率.（提示：先求出擊不沉的概率.）解：設(shè)表示“施放枚深水炸彈擊沉潛水艇”，依題意擊不沉一艘潛水艇只有以下兩種互斥情形：“4枚深水炸彈全擊不中潛水艇”記為事件“4枚深水炸彈中1枚擊傷潛水艇而另3枚擊不中潛水艇”記為事件由于各枚深水炸彈能襲擊潛水艇是獨立的，故有又互斥，從而.16．設(shè)有五個獨立工作的元件它們的可靠性均為.將它們按本題圖的方式連接（稱為橋式系統(tǒng)），試求出該系統(tǒng)的可靠性.解：設(shè)表示“第個元件可靠”，表示“系統(tǒng)正常工作”則所求概率為：.另解：按元件3處于正常工作與失效兩種狀態(tài)，用全概率公式，故17．（下賭注問題）17世紀未，法國的DeMere爵士與人打賭，在“一顆骰子連續(xù)擲四次至少出現(xiàn)一次六點”的情況下他贏了錢，可是在“兩顆骰子連續(xù)擲二十四次至少出現(xiàn)一次雙六點”的情況下卻輸了錢，從概率論的角度解釋這是為什么？解：應(yīng)分別求出“一顆骰子連續(xù)擲四次至少出現(xiàn)一次六點”和“兩顆骰子連續(xù)擲二十四次至少出現(xiàn)一次雙六點”的概率，比較這兩個概率的大小即可作出解釋.設(shè)“一顆骰子連續(xù)擲四次至少出現(xiàn)一次六點”，“兩顆骰子連續(xù)擲二十四次至少出現(xiàn)一次雙六點”；再設(shè)“第次拋擲時出現(xiàn)六點”，“第次拋擲時出現(xiàn)雙六點”，則.此概率大于，故贏錢的可能性大..此概率小于，故贏錢的可能性小.請注意，在“兩顆骰子連續(xù)擲二十四次至少出現(xiàn)一次雙六點”的情形中，當拋擲次數(shù)時，這時的概率大于，且拋擲次數(shù)超過次越多越有利，這是因為.18．要驗收一批件的樂器，驗收方案如下：自該樂器中隨機地取件測試（設(shè)件樂器的測試是相互獨立的），如果，而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認為不純的概率為，如果已知這件樂器中恰好有件音色不純的，試問這批樂器被接收的概率是多少？解：設(shè)表示“隨機取出的三件樂器中有件音色不純”，表示“這批樂器被接收”，則，，，，，，，.于是，由全概率公式得：19（1）若，試證(2)設(shè)試證與獨立的充要條件是證明（1）因即展開化簡得從而有即（2）證充分性：由可得化簡得，所以與獨立.證必要性：因為與獨立，所以與也獨立，從而.第一章隨機事件和概率一、選擇題1．設(shè)A,B,C為任意三個事件，則與A一定互不相容的事件為（A）（B）（C）（D）2.對于任意二事件A和B，與不等價的是（A）（B）（C）（D）3．設(shè)、是任意兩個事件，，，則下列不等式中成立的是（）4．設(shè)，，，則（）事件與互不相容事件與相互獨立事件與相互對立事件與互不獨立5．設(shè)隨機事件與互不相容，且，則與中恰有一個發(fā)生的概率等于（）6．對于任意兩事件與，（）7．若、互斥，且，則下列式子成立的是（）8．設(shè)，則下列結(jié)論中正確的是（）事件、互不相容事件、互逆事件、相互獨立9．設(shè)、互不相容，，則下列結(jié)論肯定正確的是（）與互不相容10．設(shè)、、為三個事件，已知，則（）0.30.240.511．設(shè)A，B是兩個隨機事件，且0<P(A)<1，P(B)>0，，則必有（A）（B）（C）（D）12．隨機事件A,B，滿足和，則有（A）幾何概型?。˙）（C）（D）幾何概型！13．設(shè)隨機事件A與B互不相容，,，則下面結(jié)論一定成立的是（A）A，B為對立事件（B）,互不相容（C）A,B不獨立（D）A,B獨立14．對于事件A和B，設(shè)，P(B)>0，則下列各式正確的是（A）（B）（C）（D）15．設(shè)事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則（A）（B）（C）（D）16．設(shè)A,B,C是三個相互獨立的隨機事件，且0<P(C)<1。則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是（A）與C（B）與（C）與（D）與17．設(shè)A,B,C三個事件兩兩獨立，則A,B,C相互獨立的充要條件是（A）A與BC獨立（B）AB與A+C獨立（C）AB與AC獨立（D）A+B與A+C獨立18．將一枚均勻的硬幣獨立地擲三次，記事件A=“正、反面都出現(xiàn)”，B=“正面最多出現(xiàn)一次”，C=“反面最多出現(xiàn)一次”，則下面結(jié)論中不正確的是（A）A與B獨立（B）B與C獨立（C）A與C獨立（D）與A獨立19．進行一系列獨立重復(fù)試驗，每次試驗成功的概率為p，則在成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為（A）（B）（C）（D）二、填空題1．一袋中有50個乒乓球，其中20個紅球，30個白球，今兩人從袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取到紅球的概率為__________2.設(shè)A，B是任意兩個隨機事件，則3．已知A、B兩事件滿足條件，且，則4．已知，則都不發(fā)生的概率為__________5．隨機事件、滿足，則6．設(shè)兩兩相互獨立的三事件,和滿足條件：，，且已知，則P(A)=7.設(shè)兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=8．設(shè)事件和中至少有一個發(fā)生的概率為，和中有且僅有一個發(fā)生的概率為，那么和同時發(fā)生的概率為_________9．設(shè)隨機事件A,B,C滿足，，，則A,B,C三個事件中至少出現(xiàn)一個的概率為。10．若在區(qū)間(0,1)上隨機地取兩個數(shù)u,v，則關(guān)于x的一元二次方程有實根的概率是。11．二階行列式的元素可能為0或1，而0與1出現(xiàn)的概率均為，則該行列式的值為正數(shù)的概率是。12．對同一目標接連進行3次獨立重復(fù)射擊，假設(shè)至少命中目標一