河南省開封市梁寨聯(lián)中高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

河南省開封市梁寨聯(lián)中高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，則=

（

）

A．63

B．168

C．84

D．189

參考答案：B略2.已知集合，，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圓：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，則在前2012個圓中共有●的個數(shù)是（）A．61

B．62

C．63

D．64參考答案：A略4.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i（2+i）的共軛復(fù)數(shù)為（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i參考答案：D【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出． 【解答】解：復(fù)數(shù)i（2+i）=2i﹣1的共軛復(fù)數(shù)為﹣1﹣2i． 故選：D． 【點評】本題考查共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 5.已知，則的值是

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為（）A． B． C． D．3參考答案：A【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列性質(zhì)，列出方程求出d=2，從而an=2n﹣1，，進而得到，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵a1=1，a1，a3，a13成等比數(shù)列，∴（1+2d）2=1+12d，解得d=2或d=0（舍去），∴an=2n﹣1，∴，∴，n+1=2時原式取得最小值為．故選：A．7.《萊因德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小一份為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)五個人所分得的面包為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d（d＞0），根據(jù)條件列出方程求出a和d的值，從而得最小一份的值．【解答】解：設(shè)五個人所分得的面包為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；∵把100個面包分給5個人，∴（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，得a=20，∵使較大的三份之和的是較小的兩份之和，∴（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d），化簡得24d=11a，∴d==，所以最小的1分為a﹣2d=20﹣2×=，故選：A．【點評】本題考查了等差數(shù)列模型的實際應(yīng)用，解題時應(yīng)巧設(shè)數(shù)列的中間項，從而容易得出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)集合，，則下列關(guān)系中正確的是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：C9.在如圖的表格中,每格填上一個數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每一縱行成等比數(shù)列,則a＋b＋c的值為

A．1

B．2

C．3 D．4參考答案：A10.對于直線和平面，下列條件中能得出的是（）A．

B．C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓（）的離心率是，且點在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ)若過點的直線與橢圓交于不同的兩點，試求△面積的取值范圍（為坐標(biāo)原點）．參考答案：解：（1）由已知有①，又由，得，從而得②，由①②解得橢圓方程為……

4分（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與橢圓無交點，故可設(shè)為……

5分由得得

…………7分設(shè)，由韋達定理得………

9分設(shè)點O到直線EF的距離為d,則，令，則又，得，又，得……11分當(dāng)時，取最大值，所以的取值范圍為……13分略12.在△ABC中，若sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且滿足ab＝4，則該三角形的面積為_______。參考答案：13.已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，A，B，D分別為橢圓C的左、右頂點和上頂點，P為C上一點，且軸，過A，D點的直線l與直線PF交于M，若直BM線與線段OD交于點N，且，則橢圓C的離心率為_____．參考答案：【分析】由題意作出圖像，先由是橢圓的左焦點，得到的坐標(biāo)，求出的長度，根據(jù)，表示出的長度，再由，表示出的長度，列出等式，求解即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，作出圖像如下：因為是橢圓的左焦點，所以，又軸，所以，因為分別為橢圓的左、右頂點和上頂點，直線與線段交于點，且，所以，，由題意易得，，所以，，因此，整理得,所以離心率為.故答案為【點睛】本題主要考查橢圓離心率，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

14.設(shè)函數(shù)的定義域為，若，使得成立，則稱函數(shù)為“美麗函數(shù)”.下列所給出的五個函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中是“美麗函數(shù)”的序號有

．參考答案：②③④略15.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，，則______.參考答案：－1【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前和得出和，即可求出通項式，從而求出?！驹斀狻坑深}意可得【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列前項和，等差數(shù)列的通項式（和之間的關(guān)系）。16.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，（為常數(shù)），則

參考答案：17.若點G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則sinC的最大值為．參考答案：【考點】三角形五心．【專題】計算題；解三角形．【分析】以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，點C的坐標(biāo)為（x，y），可得G（，）．根據(jù)AG⊥BG建立x、y的關(guān)系式，化簡整理得x2+y2=9，得到點C在以原點為圓心，半徑為3的圓上運動（x軸上兩點除外）．運動點C并加以觀察可得當(dāng)C點在y軸時，∠C達到最大值，且sinC同時達到最大值，由此結(jié)合三角函數(shù)公式即可算出sinC的最大值．【解答】解：設(shè)AB中點為O，連接AO，可得重心G在CO上且=以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系設(shè)AB=2，則A（﹣1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），可得G（，）∵AG⊥BG，∴點G在以AB為直徑的圓上運動（A、B兩點除外）由此可得（）2+（）2=1，整理得x2+y2=9因此，點C在以原點為圓心，半徑為3的圓上運動（x軸上兩點除外）在點C的運動中觀察∠C的變化，可得當(dāng)C點在y軸時，∠C達到最大值而且sinC同時達到最大值．此時tan=，可得sinC==故選：【點評】本題給出三角形的重心G對A、B的張角為直角，求角C的正弦最大值，著重考查了三角形重心的性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣2mx+2﹣m．（Ⅰ）若不等式f（x）≥x﹣mx在R上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）記A={y|y=f（x），0≤x≤1}，且A?[0，+∞），求實數(shù)m的最大值．參考答案：【考點】：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）由題意可得x2﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即x2﹣（m+1）x+2﹣m≥0恒成立，由判別式小于或等于零求得實數(shù)m的取值范圍．（Ⅱ）由題意可得x2﹣2mx+2﹣m≥0在[0，1]上恒成立，分m＜0、0≤m≤1、m＞1三種情況分別求出實數(shù)m的取值范圍，再去并集，即得所求．解：（Ⅰ）由題意可得x2﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即x2﹣（m+1）x+2﹣m≥0恒成立，∴△=（m+1）2﹣4（2﹣m）≤0，解得﹣7≤m≤1，故實數(shù)m的取值范圍為[﹣7，1]．（Ⅱ）由題意可得，A={y|y=f（x），0≤x≤1}={y|y≥0在[0，1]上恒成立}，即x2﹣2mx+2﹣m≥0在[0，1]上恒成立．當(dāng)m＜0時，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值為f（0）=2﹣m≥0，m≤2．當(dāng)0≤m≤1時，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值為f（m）=2﹣m﹣m2≥0，解得﹣2≤m≤1，故此時0≤m≤1．當(dāng)m＞1時，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值為f（1）=﹣3m+3≥0，m≤1．故此時m的值不存在．綜上，實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，1]，故實數(shù)m的最大值為1．【點評】：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)（a∈R）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在[1，2]上有且僅有一個零點，求a的取值范圍；

（3）已知當(dāng)x>-1,n≥1時，，求證：當(dāng)n∈N*，x2<n時，不等式成立．參考答案：(1)解： 1分

當(dāng)a≤0時，，則在上單調(diào)遞增 2分

當(dāng)a>0時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 4分(2)解：由，得 5分

考查函數(shù)(x∈[1，2])，則 6分

令，

當(dāng)1≤x≤2時，，∴在[1，2]上單調(diào)遞增 7分

∴,，∴在[1，2]上單調(diào)遞增

∴在[1，2]上的最小值為，最大值為 8分

∴當(dāng)時，函數(shù)在[1，2]上有且僅有一個零點 9分(3)解： 10分

由(1)知，則 11分

∵，且n∈N*，∴，∴ 12分

又∵，∴ 13分

14分20.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】點P是曲線上的動點，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點O為中心，將點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點Q，設(shè)點Q的軌跡為曲線C2．（1）求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2）射線與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，設(shè)定點，求的面積．參考答案：（1），；（2）．（1）曲線的圓心為，半徑為2，把互化公式代入可得：曲線的極坐標(biāo)方程為．設(shè)，則，則有．所以曲線的極坐標(biāo)方程為．（2）到射線的距離為，，則．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為參數(shù)）（1）若，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（3）求證：參考答案：（1），定義域為當(dāng)時，，令得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為------------------------4分（2）①當(dāng)時，對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值為②當(dāng)時，；令（?。┤?，即時，則對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值為（ⅱ）若時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處有極小值。所以在區(qū)間上的最小值為綜上，得------------------------------------------8分（3）對兩邊取對數(shù)，得即。令，只要證證明如下：由（1）知時，的最小值為所以又因為當(dāng)時，上式等號取不到，所以------------------------------------①令則在上是增函數(shù)-----------------------------------------②所以綜合①②，得令則，所以原不等式成立-----------------------------------12分22.已知正實數(shù)a，b滿足.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)若對任意正實數(shù)a，b，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)見解析.(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意得，對