高中數(shù)學(xué)全部知識點(diǎn)歸納 典型例題 回歸課本復(fù)習(xí)指導(dǎo)1(理數(shù))

集合、邏輯與函數(shù)

—.重要的知識點(diǎn)

（-）集合與邏輯

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序

性”.

如:集合、B、C中元

素各表示什么？2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集

的特殊情況.

數(shù)形結(jié)合是解決集合問題的常用方法，解題要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系

或韋恩圖.注意：空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集.

3.的四種等價(jià)形式：①；②瘍；③

④

,，，且和，，非.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”

若為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真；若為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一

個為真；若為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假；

5.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，

即同真同假.）

6.若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是B

的充要條件.

7.特稱命題，p（x）,它的否定是：，，

全稱命題，q（x）,它的否定是：，

（二）函數(shù)

1.映射f：中，要注意A中元素的任意性和B中與它對應(yīng)元素的唯一性.

能夠構(gòu)成映射的只能是多對一和一對一對應(yīng).函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射“

例如：⑴集合A={1,2,3},集合B={1,2},則從集合A到集合B的映射有

個；

⑵函數(shù)的定義域人={1,2,3},值域B={1,2},則從集合A到集合B的函數(shù)有6

個.

2.求不等式（方程）的解集，或求函數(shù)定義域、單調(diào)區(qū)間時(shí)，要寫成集合或

區(qū)間的形式.

3.⑴求一個函數(shù)的解析式，你注明了該函數(shù)的定義域了嗎？

⑵你會求分式函數(shù)的對稱中心嗎？例如：已知函數(shù)的對稱中心是

，求a的值

（答案：，故對稱中心是，所以）

4.⑴探究函數(shù)的性質(zhì)：要先求定義域，后化簡，再研究性質(zhì).

⑵復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則：①“同增異減”判定；②由導(dǎo)數(shù)來判斷.

5.函數(shù)的奇偶性：

⑴若是偶函數(shù)，那么；

⑵若是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則（可用于求參數(shù)）；3

；f（x）

⑷若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再化簡，

再判斷其奇偶性；⑸奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對

稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性.

6.函數(shù)圖像（或方程對應(yīng)的曲線）的對稱性：

⑴證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對

稱點(diǎn)仍在圖像上；⑵證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對

稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在C2上，反

之亦然；

⑶若函數(shù)對x@R時(shí)恒成立，則圖像

關(guān)于直線對稱；⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：

,或⑷函數(shù)與的圖像關(guān)于直線

對稱；2

1

⑸若函數(shù)對?xeR時(shí)恒成立，則

圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.即：函數(shù)與的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0,0）

成中心對稱；

函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（,）對稱；22mn

7.函數(shù)的周期性：

（1）對xeR時(shí)，，或，或

,或恒成立，則是周期函數(shù)，

⑵若是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對稱，則是周期為2a的

周期函數(shù)；⑶若奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對稱，則是周

期為4a的周期函數(shù)；⑷若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，

則是周期函數(shù)，；

⑸的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)是周期函數(shù),

；（6）的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對稱，則函數(shù)是

周期函數(shù)，；

8.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值.

求最值時(shí)要“兩看”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系;含參

數(shù)的要討論.

9.二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題：設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程

的兩根為xl,x2：

210.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)定義域R,值域?yàn)?/p>

11.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)），定義域，值域?yàn)镽.

注意：與對數(shù)有關(guān)的問題一定要注意底數(shù)、真數(shù)的限制條件.

12.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線

對稱.

13.幕函數(shù)的性質(zhì)：

①所有事函數(shù)在■都有意義，并且圖像都過點(diǎn).

②若在區(qū)間上為增函數(shù)；若則在■單減.

③當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，塞函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，塞函數(shù)為偶函數(shù).

二.課本重點(diǎn)例習(xí)題：

必修1：P7第1題，第3題；P12B組第2題，第3題；.P23第2題；P24第9

題；P25第4題；

P39A組第6題；B組第2題；P44第4題，第9題，第10題；P45第7題.

2

選修2-1：P8第1題，第2題；P11例3；P10例2；第4題；P12第2題；P13

第1題;第6例3；

P18第2題；P24例3；P25例4；P27第3題.

三.推薦例習(xí)題：

例1.命題甲：或；命題乙：，則甲是乙的(B)

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分條件也不必要條件

解析：甲乙，例如，；

乙甲，“若，則或的逆否命題為“若且，則

此逆否命題為真命題，所以原命題為真命題.

例2.已知集合___________庫多有一個元素，則a的取值范圍是

或8

若至少有一個元素，則a的取值范圍是

解：當(dāng)A中僅有一個元素時(shí)，，或；98

9,或；8

9當(dāng)A中有兩個元素時(shí)，；.?.至少有一個元素，則.8當(dāng)A

中有0個元素時(shí)，；，至多有一個元素則

ii(3a-l)x+4a(x<l)例3.已知f(x)=i是(-?,fik)gx(x21)ia1)上的減函數(shù),那么a

的取值范圍是(C)

A.(0,1)B.(0,1)311C.[,)731D.[,1)7

解：時(shí)，f(x)=logax單調(diào)遞減，

V時(shí)，f(x)=(3a-l)x+4a單調(diào)遞減，.*.a<1.3

111又函數(shù)在定義域上連續(xù)，故當(dāng)x=l時(shí)，(3a-l)x+4a>logax,得a>,故Wa<.

773

三角函數(shù)

一.重要的知識點(diǎn)

1.終邊相同的角？若角與的終邊相同，則

若角

與的終邊共線，則：

角

與

若

的終邊關(guān)于x軸對稱，則：

角

與

若

角

與的終邊關(guān)于y軸對稱，貝的

若的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則：

3

若角與的終邊關(guān)于直線對稱，則:

各象限三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；150角的正弦

余弦值還記得嗎？

2.

正弦線、余弦線、正切線，借助于三角函數(shù)線解三角不等式或不等式組的步驟

還清楚嗎？如：

2由三角函數(shù)線，我們很容易得到函數(shù)，和一.一

的單調(diào)區(qū)間；

三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）圖象的草圖能迅速畫出嗎？能寫出它們的單調(diào)

區(qū)間、對

稱中心、對稱軸及其取得最值時(shí)的x值的集合嗎？（別忘了）

圖象的對稱中心是點(diǎn)，而不是點(diǎn)你可不能搞錯了！

2

你會用單位圓比較sinx與cosx的大小嗎？當(dāng)

2）時(shí)，x,sinx,tanx的大小關(guān)系如何？

過關(guān)題15:函數(shù)x與函數(shù)圖象在xW[-2兀,2兀]上的交點(diǎn)的個數(shù)有

個？

3.三角函數(shù)中，兩角、

的和、差公式及其逆用、變形用都掌握了嗎？倍角公式、降次公式呢？

中角是如何確定的？

（可由確定，也可由

及a,b的符號來確定）公式的作用太多了，有此體會嗎？a

22

重要公式：；

?;

巧變角：如，，

9

2222

4.會用五點(diǎn)法畫的草圖嗎？哪五點(diǎn)？會根據(jù)圖象求參數(shù)A、

、的值嗎？

5.同角三角函數(shù)的三個基本關(guān)系，你記住了嗎？三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：

“奇變偶不變，符號看象限”

6.正弦定理、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？會用它們解斜三角形嗎？

如何實(shí)現(xiàn)邊

角互化？（用：面積公式，正弦定理，余弦定理，大角對大邊等實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化）

7.你對三角變換中的幾種常見變換清楚嗎？（1）角的變換:和差、倍角公式、

異角化同角、單復(fù)角互化；（2）名的變換：切割化弦；（3）次的變換：降累公式;

（4）形的變換：通分、去根式、1的代換

）等，這

些統(tǒng)稱為1的代換。

8.在已知三角函數(shù)中求一個角時(shí)，你（1）注意考慮兩方面了嗎？（先判定角的

范圍，再求出某一個三角函數(shù)值）（2）注意考慮到函數(shù)的單調(diào)性嗎？

9.形如，的最小正周期會求嗎？有關(guān)周期

函數(shù)的結(jié)論還記得多少？周期函數(shù)對定義域有什么要求嗎？求三角函數(shù)周期的

幾種方法你記得嗎？

10、與y=sinx變換關(guān)系:（p正左移負(fù)右移；b正上移負(fù)下移;

左

或右平移橫坐標(biāo)伸縮到原來的1倍，

等），

4

左或右平移

A倍縱坐標(biāo)伸縮到原來的上或下平

移橫坐標(biāo)伸縮到原來的倍

11.在解含有正余弦函數(shù)的問題時(shí)，你深入挖出正余弦的有界性了嗎？

1,求的變化范圍。2

提示：整體換元，令，然后與相加、相減，求交集。

12.請記住與之間的關(guān)系。過關(guān)題18：已知

過關(guān)題19：求函數(shù)y=sin2x+sinx+cosx的值域。

13.常見角的范圍①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值

范圍依次是，

[0,],;2

②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是，，

2]

14.你還記得弧度制下的弧長公式和扇形面積公式嗎？

15.三角形中的三角函數(shù)的幾個結(jié)論你還記得嗎？Hr2

A

⑴sinAsinBsinC

222注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)

必注意可能有兩解

等，常選用余弦⑶余弦定理：，

定理鑒定三角形的類型。

(4)面積公式：，(2)A為直角或鈍角時(shí)：①時(shí)，無解；②a>b

時(shí)，

一解(銳角)。A

二.課本重點(diǎn)例習(xí)題

必修4P60,例1；P62,例4；P141,例4；P142,練習(xí)1；P143,A組

第2題B組第3題；P146,第2,4,5題；P147,第3,4題

必修5P13,例4；P14,例5；P15,例6；P20,B組，第2題(1)；

三.推薦例習(xí)題

例1.(2例2年湖北)已知a

設(shè)函數(shù)

5

的圖象關(guān)于直線對稱，其中為常數(shù)，且

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

3兀兀(H)若(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(,0),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的取值范圍.54

解析：

(I)因?yàn)?/p>

兀由直線是圖象的一條對稱軸，可得

6

所以即6223

56711又所以故所以f(x)的最小正周期是.

652

7171(IDS的圖象過點(diǎn)(,0),得

44

5兀兀兀BP

即

6264

5兀3兀兀5兀5兀故由有

15兀57r所以

得

3兀故函數(shù)f(x)在［0,］上的取值范圍為

例2.例012年四川)

函數(shù)在一個周期2

3)

又由于正三角形ABC的高為2,則BC=4函數(shù)f(x)的周期，即

，得

4,...函數(shù)f(x)的值域?yàn)橐驗(yàn)?，?/p>

I，即，5435435由

)，得，即_

故

4

4

3

4

3

4

.5

例3.(2012年江西)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

4

證

若求4ABC的面積.

442

【解析】(1)證明:由bsin(

及正弦定理得:

44

4

整理得所以又所以

2

可得

又

所以

2sin,

sinA8sinA8

(2)由(1)及

2888842

平面向量

重要的知識點(diǎn)

12.在中，D是BC中點(diǎn)，則

2

3.平面向量基本定理：如果el和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么

對該平面內(nèi)的任一向量a,

有且只有一對實(shí)數(shù)、，使

7

，a在b的方向上的投影是|b|

；(2)

.設(shè)為a與b的夾角，則

a在b的方向上的投影是

注意：為銳角不同向；為直角

為鈍角不反向.

7.三點(diǎn)A、B、C共線

與共線；AB表示與共線的單位向量.|AB|

8.,注意等號成立的條件.

9.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:

(1)若,,則；

|AB|;

（2）若，則

10.

1,P,P2三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)、使得

2且

11.三角形中向量性質(zhì)：

①

過BC邊的中點(diǎn)：（AB

IACABAC

為的心；（重）

③

為的心；（垂）

④

為的心；（內(nèi)）

所在直線過心.（內(nèi)）

二.課本重點(diǎn)例習(xí)題

必修4

P99,例8；P109,例1,例2；P20,4,6,8.

三.推薦例習(xí)題

例（2012年（新課標(biāo)理））已知向量a,b夾角為

且則

8

【解析】

考點(diǎn)分析：本小題考查平面向量模和數(shù)量積的運(yùn)算。

例2.（2012年安徽）若平面向量a,b滿足則的最小值是

【解析】，

8

考點(diǎn)分析：本小題考查平面向量模和數(shù)量積的運(yùn)算公式。

例3.（2012年天津）已知4ABC為等邊三角形,AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足

2

A.

()

12B

C

D

C

【解析】

又?:

2

32

22312

所以解得

22

考點(diǎn)分析：本小題以等邊三角形為載體，主要考查了向量加減法的幾何意義，平

面向量基本定理，

共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用.

例4.(2012年上海理)在平行四邊形ABCD中,NA=,邊AB、AD的長分別為

2、1.若M、N分別

是邊BC、CD上的點(diǎn)，則的取值范圍是

【解析】如圖建系，則A(0,0),B(2,0),D(),C(

).

則

),N(-2t

2

所以M(2+),

2

t

故-2t)+2

2

22

9

因?yàn)樗詅⑴遞減

考點(diǎn)分析：本小題考查平面向量的運(yùn)算及函數(shù)值域得求法。

解析幾何

一、重要知識點(diǎn)

1.記住的圖象!以便由直線斜率的范圍求傾斜角的范圍，反之由傾斜

角的范圍求斜率的范圍.2.A(xl,yl),B(x2,y2),以AB為直徑的圓的方程為

3.直線與圓的關(guān)系問題時(shí)，常作圓心到直線的垂線段，常用到平幾知識.

求直線與圓相交的弦長，一般用半徑，弦心距，半弦長三者之間的關(guān)系。

處理圓的有關(guān)問題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的性質(zhì)，如“垂直于弦的

直徑必平分弦”，“圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”，“兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓

圓心三點(diǎn)共線”等等，尋找解題途徑，減少運(yùn)算量.還有，過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中,

最短的是垂直于過此點(diǎn)的直徑的那條弦，最長的是過這點(diǎn)的直徑.

4.上的PO(xO,yO)點(diǎn)的切線方程為xOx若點(diǎn)(xO,yO)在已知圓外，

x0x+y0y=r2表示切點(diǎn)弦;過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為再利用

圓心到切線的距離等于半徑求k,這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的

切線.

5.直線與圓的關(guān)系問題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦

長、弦心距構(gòu)成直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).

6.什么時(shí)候利用橢圓、雙曲線的第一定義解題？什么時(shí)候利用它們的第二定

義解題？

7.曲線的統(tǒng)一定義又是聯(lián)系三種圓錐曲線的橋梁，特別是涉及兩種圓錐曲線

的交點(diǎn)問題；兩種圓錐曲線共焦點(diǎn)、共準(zhǔn)線等問題時(shí)，千萬別忘記想到利用它們

的定義喲！

8.用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時(shí)，你是否注意到定義中的定比的分子、分母的

順序了呢？如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式？

區(qū)分橢圓方程中三參數(shù)a、b、c滿足的關(guān)系與雙曲線方程中三參數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)

系.

9.線有兩條漸近線,給出雙曲線的漸近線我們可確定其中心和離心率，反之也如

此.

10.曲線有關(guān)問題的常用方法有：①借助平幾知識,用二次曲線的兩種定義和性

質(zhì)；②韋達(dá)定理（設(shè)而不求）；③點(diǎn)差法（得到弦的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系）.

解二次曲線有關(guān)問題的常用思想有:數(shù)形結(jié)合，方程（如求值，求范圍），函數(shù)（如求

最值，范圍）,從特殊到一般的方法（如定點(diǎn)，定線，定角等）.

11.曲線方程與直線方程聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的

系數(shù)是否為零？判別式的限制.在求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對稱，存

在性問題中都在下進(jìn)行，最后是韋達(dá)定理的應(yīng)用，圓錐曲線本身的范圍你

注意了嗎？

12.直線與圓錐曲線相交時(shí)，弦長如何求，弦長公式你記得嗎？（直線方程的

兩種設(shè)法）

13.何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎？

題目中是否已經(jīng)有坐標(biāo)系了，是否需要建立直角坐標(biāo)系？

2y0,y0）,以簡化計(jì)算.14.拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（2p

x2y2

15.線中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理''或"點(diǎn)差法''求解.在橢圓

中，以ab

10

b2x0

x2y2

P（x0,y0）為中點(diǎn)的弦所在直線斜率；在雙曲線中，以P（x0,y0）為

中點(diǎn)的弦所在

ay0abb2x0p

直線斜率；在拋物線中，以P（x0,y0）為中點(diǎn)的弦所在直線的

斜率

yOayO

16.的幾種基本方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、幾何法等.請思考

每一種方法的基本步

驟是怎樣的.最后要檢查有無多余的的點(diǎn)和遺漏的點(diǎn).二、課本重點(diǎn)例習(xí)題

必修2P132A組4TP133A組9T,10T,11TB組3T,

5T

選修2—1P37A組4T；B組IT,2T；P49A組5T,7T；P50B組1T,

2T；P54例2；P553T；P62A組5T,6T；B組4T；P70例5；P71

例6P80A組3T,4T,12T；P81B組4T,6T三、推薦例習(xí)題

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線()

相交于A,B兩

點(diǎn).

(I)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0的對稱點(diǎn)，求4ANB面積的最小值；

(II)是否存在垂直于y軸的直線1,使得1被以AC為直徑

2

的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出1的方程；若不存在，x說明理由.

【解答】本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查

綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.

解法1：(I)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,，可設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),

,直線AB的方程為，與聯(lián)立得

2

消去y得.由韋達(dá)定理得，

1

于是$△△△

222

2

.?.當(dāng)時(shí)，(SA

(II)假設(shè)滿足條件的直線1存在，其方程為，

AC的中點(diǎn)為，1與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q,PQ的中點(diǎn)為H,

11

則點(diǎn)的坐標(biāo)為

,22

2

2

2

令

PPP

,得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線1存在，其方程為

222

即拋物線的通徑所在的直線.解法

2：(I)前同解法1,再由弦長公式得

又由點(diǎn)到直線的距離公式得

從而SA

1

212

.?.當(dāng)時(shí)，（SA

（H）假設(shè)滿足條件的直線1存在，其方程為，則以AC為直徑的圓的方

程為

將直線方程代入得則△

2

2

設(shè)直線1與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x3,y3）,

Q(x4,y4),

則有

12

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線1存在，其方

程為，222即拋物線的通徑所在的直線.

y2x22.已知橢圓

0）的離心率

，拋物線ab

的焦點(diǎn)F與橢圓C1的一個焦點(diǎn)重合.

（1）過F的直線與拋物線C2交于M,N兩點(diǎn)，過M,N分別作拋物線C2的切

線11,12,求直線11,12的交點(diǎn)Q的軌跡方程；

（2）從圓上任意一點(diǎn)P作橢圓C1的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,試問

的大小是否為定值，若是定值，求出這個定值，若不是說明理由.22

，則

ay2x2橢圓方程為

1,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,3c2c

y2x2

焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故拋物線方程為?故所求的橢圓方程為32

設(shè)直線，代入拋物線方程得

設(shè)M(xl,yl),N(x2,y2),則.111由于，所以，

故直線11的斜率為xl,422

111111的方程為，即，4224

112同理12的方程為，24

111121令，即,24242

11顯然，故，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，22

112111點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是，24444

即點(diǎn)，故點(diǎn)Q的軌跡方程是.解析：(1)設(shè)橢圓的半焦距

為c

,則

(2)當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時(shí)，根據(jù)對稱性,

設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則此時(shí)P

,代入圓的方程得P

此時(shí)兩條切線方程分別為此時(shí)2

71.

2

當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，即，切線的斜率為k,若的

大小為定值，則這個定值只能是

則切線方程為，

222與橢圓方程聯(lián)立消元得

由于直線是橢圓的切線，故

,整理得

13

3切線PA,PB的斜率kl,k2是上述方程的兩個實(shí)根，故，

22點(diǎn)P在圓上，故yO,所以，所以

2

綜上可知：的大小為定值，則這個定值只能是九2

立體幾何

一\重要知識點(diǎn)

1、兩直線三百位置關(guān)系:平行、相交、異面；直線與平面的位置關(guān)系:平行、相

交、線在平面若一條直線上有兩點(diǎn)在一個平面若兩個平面有一個公共點(diǎn)，則這兩

個平面有一條經(jīng)過該點(diǎn)的公共直線.

公理3不共線的三點(diǎn)確定一個平面.推論1經(jīng)過一直線和直線外一點(diǎn)有且

僅有一個平面.

推論2兩相交直線確定一個平面.推論3兩平行直線確定一個平面.

線、面平行的定理有:公理4平行于同一直線的兩條直線互相平行.直線與平面

平行的判定定理若平面外的一條直線與平面若一條直線平行于一個平面，經(jīng)過

這條直線的平面與這個平面相交，則交線與這條直線平行.平面與平面平行的判定

定理若一個平面若兩個平面都和第三個平面平行，則這兩個平面互相平行.兩

平面平行的性質(zhì)定理2若兩個平面平行，和第三個平面相交，則它們的交線互相

平行.兩平面平行的性質(zhì)定理3若兩個平面平行，則一個平面若一條直線與一個

平面若一條直線與一個平面垂直，則經(jīng)過這條直線的任何平面與這個平面垂直.兩

平面垂直的性質(zhì)定理1若兩平面互相垂直,則一個平面若兩相交平面都和第三

個平面垂直,則它們的交線也和第三個平面垂直.三垂線定理平面平面內(nèi)的一條

直線，若和這個平面的一條斜線垂直，則和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.

線、面平行與垂直轉(zhuǎn)化的定理有:垂直于同一平面的兩條直線互相平行.垂直于

同一直線的兩個平面平行.若兩平行直線有一條與一個平面垂直，則另一條直線也

與這個平面垂直.

4、兩異面直線所成的角是在空間中任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)分別作它們的平行線，兩平

行線的夾角，其范圍是（0,］；直線與平面所成的角是直線與其射影的夾角，其的范圍

是［（）,］;二面角是過棱上一點(diǎn)分別在兩22

個面內(nèi)作棱的垂線，垂線的夾角，其范圍是

直線1在平面內(nèi)的射影是m,n是平面內(nèi)一直線，若1與m、m與n、1與n所成

的角分別記為、、則

求直線與平面所成的角，可作射影，用定義法，也可求直線上一點(diǎn)到平面的距

離及此點(diǎn)到斜足的距離，

14

用間接法.

作二面角的方法有：三垂線定理法（能找出或作出一個半平面內(nèi)一點(diǎn)到另一半

平面的垂線）、定義法（有共底等腰三角形或全等三角形）、垂面法（有垂直于棱

的平面）；求二面角間接方法有：射影面積法（有一個半平面內(nèi)的某圖形在另一

個半平面內(nèi)的射影）、距離法（求一個半平面內(nèi)一點(diǎn)到另一個半平面的距離及這

點(diǎn)到二面角棱的距離，再求二面角的正弦）、鈍二面角可先求其補(bǔ)角.

平行線作法：過一點(diǎn)作一條直線的平行線時(shí)，要在這個點(diǎn)和這條直線確定一平

面上作.

平面垂線作法：過一點(diǎn)作一平面的垂線，首先應(yīng)找到（或作出）過該點(diǎn)且與這

個平面垂直的平面，再作交線的垂線.

5、兩異面直線之間的距離是公垂線段的長;點(diǎn)到平面之間的距離是點(diǎn)到平面的

垂線段的長;平行于平面的直線到平面之間的距離是直線上任一點(diǎn)到平面的距離;

兩平行平面之間的距離是公垂線段的長.

求上述距離可用直接法和轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化法能把這些距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距，求點(diǎn)面

距的間接方法有：體積法、平行轉(zhuǎn)化法和比例轉(zhuǎn)化法.

6、棱柱有兩個面平行，其它的面是平行四邊形,且相鄰的兩面的交線也互相平行.

側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.直棱柱的側(cè)

面和底面垂直，正棱柱有良好的對稱性.底面是平行四邊形的棱柱叫平行六面

體.側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體.底面是矩形的直平行六面體

叫長方體.各棱長均相等的長方體叫正方體.平行六面體的對角線互相平分，長方

體的對角線長的平方是同一頂點(diǎn)三棱長的平方和.

有一個面是多邊形，其它的面是有同一公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐.底面

是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.正棱錐具有良好

的對稱性.

到一定點(diǎn)的距離小于等于定長的點(diǎn)的集合是球.球心與球的截面圓（不過球心）

的圓心的連線垂直于

4222截面圓，我們有，球的體積是，表面積是.3

多面體內(nèi)接于球時(shí)，球心與和頂點(diǎn)連線都等于半徑，直線與球相切時(shí)切點(diǎn)半徑

與直線垂直，平面與球相切時(shí)，切點(diǎn)半徑與平面垂直.

7、解有關(guān)折、展的問題時(shí)應(yīng)注意變化前后的線段與角的不變的部分；三側(cè)棱

兩兩垂直的三棱錐可補(bǔ)成長方體.

8、三視圖

“長對正，高平齊，寬相等“是三視圖之間的投影規(guī)律，是畫圖和讀圖的重要依

據(jù).畫幾何體的三視圖時(shí)，能看見的輪廓線和棱用實(shí)線表示，不能看見的輪廓線

和棱用虛線表示.

9、空間向量和立體幾何

(1)空間向量的加、減、夾角、數(shù)量積運(yùn)算的定義與平面向量是一樣的,坐標(biāo)運(yùn)

算是類似的.

(2)平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣：始點(diǎn)相同且不在同一個平面

內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的

對角線所表示的向量.

(3)共線向量定理：對空間任意兩個向量a、b(b/O),a〃存在實(shí)數(shù)X使

a=Xb.及常用結(jié)論：P、A、B三

點(diǎn)共線共面向量

定理：向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對x,y,使

推論：①空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)

的存在有序?qū)崝?shù)對x,y,使，

或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對x,y,

使

②A、B、C、D四點(diǎn)共

面—與ABAC共面

(平面

ABC).

(5)空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p,

存在一個唯一的有

序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p=xa+yb+zc.

推論：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三

個有序?qū)崝?shù)x,y,z,

15

使

(6)求幾個空間的量的向量公式：①異面直線所成角：

為平面的法向量).②直線AB

：或(m,n為平面,的法向量).|m||n|

④點(diǎn)P到平面的距離：為平面的法向量，A為平

面，第1題；P10,第1題；P19,第2、3題；P26,例3；P29,第4題；

P36,第6、9題；P37,第4題；P52,第8題；P53,第3題；P59,例3；P63,

第4題；P67,第2、3題；P69,練習(xí)；P74,第3題；P78,第1、2題選修

2-1P88,例1；P89,第2題；P92,第3題；P98,第11題；P105,例1；P106,

例2；P107,例3；P111,第2題;P113,第10、12、2題;P114,第3題;P118,

第12題；P119,第1題；

三.推薦例習(xí)題

例1.如圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面

ABCD,

PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點(diǎn).(1)求證：平面PAD；(2)在

△PAD:.

二四邊形ABME是平行四邊形.二平面PAD,平面【證

明］（1）?.7是PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E,則PAD.平面PAD

（.2）由（1）知ABME為平行四邊形，底面ABCD,

?,

同理平面底面ABCD..又平面PAD,

PAD,平面PAD.

?9...ABME為菱形，?

又*等腰三角形ADP中，E為PD的中點(diǎn)，...??平面ABME.

又??平面PBD,.?.平面平面ABME,交線為BE.在平面ABME內(nèi),

作于F,并延長MF交AE于N,所以平面PBD.在矩形ABME

內(nèi)

...,N為AE的中點(diǎn)....當(dāng)點(diǎn)N是△邊PD中線的中點(diǎn)時(shí)，

平面PBD.

例2、［2012.湖南卷］如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB

=4,

BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=90°,E是CD的中點(diǎn).（1）證明：CD,平

面PAE

16

(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱

錐P—ABCD的體積.解：解法1：(1)如下圖(1),連結(jié)AC.由AB=4,BC=3,

NABC=90。得AC=5.又AD=5,E是CD的中點(diǎn)，所以CD_LAE.因?yàn)镻A_L平

面