李正元高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化講義

第一講極限、無(wú)窮小與連續(xù)性一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這局部的重點(diǎn)是：①掌握求極限的各種方法．②掌握無(wú)窮小階的比擬及確定無(wú)窮小階的方法．③判斷函數(shù)是否連續(xù)及確定間斷點(diǎn)的類型〔本質(zhì)上是求極限〕．④復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算．§1極限的重要性質(zhì)1．不等式性質(zhì)設(shè)，且A＞B，那么存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有xn＞yn．設(shè)，且存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)有xn≥yn，那么A≥B．作為上述性質(zhì)的推論，有如下的保號(hào)性質(zhì)：設(shè)，且A＞0，那么存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有xn＞0．設(shè)，且存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)有xn≥0，那么A≥0．對(duì)各種函數(shù)極限有類似的性質(zhì)．例如：設(shè)，且A＞B，那么存在δ＞0，使得當(dāng)＜δ有f〔x〕＞g〔x〕．設(shè)，且存在δ＞0，使得當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)f〔x〕≥g〔x〕，那么A≥B．2．有界或局部有界性性質(zhì)設(shè)，那么數(shù)列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M〔n=1，2，3，…〕．設(shè)那么函數(shù)f〔x〕在x=x0的某空心鄰域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)有｜f〔x〕｜≤M．對(duì)其他類型的函數(shù)極限也有類似的結(jié)論．§2求極限的方法1．極限的四那么運(yùn)算法那么及其推廣設(shè)，那么只要設(shè)存在或是無(wú)窮大量，上面的四那么運(yùn)算法那么可以推廣到除“”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四種未定式以外的各種情形．即：1°設(shè)，那么.〔〕又B≠0，那么．2°設(shè)，當(dāng)x→x0時(shí)局部有界，〔即，使得時(shí)〕，那么．設(shè)，當(dāng)x→x0時(shí)｜g〔x〕｜局部有正下界，〔即δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)｜g〔x〕｜≥b＞0〕，那么．3°設(shè)，，那么，又δ＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)f〔x〕g〔x〕＞0，那么．4°設(shè)，x→x0時(shí)g〔x〕局部有界，那么〔無(wú)窮小量與有界變量之積為無(wú)窮?。?．冪指函數(shù)的極限及其推廣設(shè)只要設(shè)存在或是無(wú)窮大量,上面的結(jié)果可以推廣到除“1∞”，“00”及“∞0”三種未定式以外的各種情形．這是因?yàn)閮H在這三個(gè)情況下是“0·∞”1°設(shè)=0〔0＜｜x－｜＜δ時(shí)f〔x〕＞0〕，，那么2°設(shè)=A＞0，A≠1，=+∞，那么3°設(shè)=+∞，，那么【例1】設(shè)【分析】【例2】設(shè)｛an｝，｛bn｝，｛cn｝均為非負(fù)數(shù)列，且那么必有〔A〕an＜bn對(duì)任意n成立．〔B〕bn＜cn對(duì)任意n成立．〔C〕極限不存在．〔D〕不存在．用相消法求或型極限【例1】求【解】作恒等變形，分子、分母同乘．【例2】求【解】作恒等變形，分子、分母同除得利用洛必達(dá)法那么求極限【例1】設(shè)f〔x〕在x=0有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又求．【例2】求．【例3】求．【例4】求．【例5】假設(shè)，那么．【例6】求．【例7】設(shè)＞0，≠0為常數(shù)且，那么〔，〕=__________．【分析】∞－∞型極限．因此〔，〕=．分別求左、右極限的情形，分別求的情形【例1】設(shè)，求．【例2】求利用函數(shù)極限求數(shù)列極限【例1】求．【例2】求．【解1】轉(zhuǎn)化為求【解2】用求指數(shù)型極限的一般方法．轉(zhuǎn)化為求〔等價(jià)無(wú)窮小因子替換〕，余下同前．§3無(wú)窮小和它的階1．無(wú)窮小、極限、無(wú)窮大及其聯(lián)系〔1〕無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義〔2〕極限與無(wú)窮小，無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系其中o〔1〕表示無(wú)窮小量．在同一個(gè)極限過(guò)程中，u是無(wú)窮小量〔u≠0〕是無(wú)窮大量．反之假設(shè)u是無(wú)窮大量，那么是無(wú)窮小量．2．無(wú)窮小階的概念〔1〕定義同一極限過(guò)程中，〔x〕，〔x〕為無(wú)窮小，設(shè)定義設(shè)在同一極限過(guò)程中〔x〕，〔x〕均為無(wú)窮小，〔x〕為根本無(wú)窮小，假設(shè)存在正數(shù)k與常數(shù)使得稱〔x〕是〔x〕的k階無(wú)窮小，特別有，稱x→x0時(shí)〔x〕是〔x－x0〕的k階無(wú)窮?。?〕重要的等價(jià)無(wú)窮小x→0時(shí)sinx~x，tanx~x，㏑〔1+x〕~x，ex－1~x；ax－1~xlna，arcsinx~x，arctanx~x；〔1+x〕a―1~ax，1―cosx~．〔3〕等價(jià)無(wú)窮小的重要性質(zhì)在同一個(gè)極限過(guò)程中1°假設(shè)~，~~．2°~=+o〔〕3°在求“”型與“0·∞”型極限過(guò)程中等價(jià)無(wú)窮小因子可以替換【例1】求．【例2】設(shè)．【分析】由條件及．又在x=0某空心鄰域f〔x〕≠0，又3x－1~xln3．于是．【例3】設(shè)x→a時(shí)〔x〕，〔x〕分別是x－a的n階與m階無(wú)窮小，又，那么x→a時(shí)〔1〕〔x〕h〔x〕是x－a的__________階無(wú)窮?。?〕〔x〕〔x〕是x－a的__________階無(wú)窮?。?〕n＜m時(shí)，〔x〕±〔x〕是x－a的__________階無(wú)窮?。?〕n＞m時(shí)是x－a的__________階無(wú)窮?。?〕k是正整數(shù)時(shí)，k是x－a的__________階無(wú)窮小．以上結(jié)論容易按定義證明。例如，，f〔x〕g〔x〕是x－a的n+m階無(wú)窮?。纠?】設(shè)f〔x〕連續(xù)，x→a時(shí)f〔x〕是x－a的n階無(wú)窮小，求證：是x－a的n+1階無(wú)窮?。纠?】x→0時(shí)，是x的________階無(wú)窮??；是x的_________階無(wú)窮??；是x的_________階無(wú)窮小，是x的_________階無(wú)窮?。纠?】x→0時(shí)，以下無(wú)窮小中〔〕比其他三個(gè)的階高，〔A〕x2〔B〕1－cosx〔C〕〔D〕x－tanx【例7】當(dāng)x→0時(shí)，與比擬是〔〕的無(wú)窮?。睞〕等價(jià)〔B〕同階非等價(jià)〔C〕高階〔D〕低階§4連續(xù)性及其判斷1．連續(xù)性概念〔1〕連續(xù)的定義：函數(shù)f〔x〕滿足，那么稱f〔x〕在點(diǎn)x=x0處連續(xù)；f〔x〕滿足〔或，那么稱f〔x〕在x=x0處右〔或左〕連續(xù)．假設(shè)f〔x〕在〔a，b〕內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，那么稱f〔x〕在〔a，b〕內(nèi)連續(xù)；假設(shè)f〔x〕在〔a，b〕內(nèi)連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在點(diǎn)x=b處左連續(xù)，那么稱f〔x〕在[a，b]上連續(xù)．〔2〕單雙側(cè)連續(xù)性f〔x〕在x=x0處連續(xù)f〔x〕在x=x0處既左連續(xù)，又右連續(xù)．〔3〕間斷點(diǎn)的分類：設(shè)f〔x〕在點(diǎn)x=x0的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且x0是f〔x〕的間斷點(diǎn)．假設(shè)f〔x〕在點(diǎn)x=x0處的左、右極限f〔x0－0〕與f〔x0+0〕存在并相等，但不等于函數(shù)值f〔x0〕或f〔x〕在x0無(wú)定義，那么稱點(diǎn)x0是可去間斷點(diǎn)；假設(shè)f〔x〕在點(diǎn)x=x0處的左、右極限f〔x0－0〕與f〔x0+0〕存在但不等，那么稱點(diǎn)x0是跳躍間斷點(diǎn)：它們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)．假設(shè)f〔x〕在點(diǎn)x=x0處的左、右極限f〔x0－0〕與f〔x0+0〕至少有一個(gè)不存在，那么稱點(diǎn)x0為第二類間斷點(diǎn)．2．函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的判斷：假設(shè)f〔x〕為初等函數(shù)，那么f〔x〕在其定義域區(qū)間D上連續(xù)，即當(dāng)開(kāi)區(qū)間〔a，b〕D，那么f〔x〕在〔a，b〕內(nèi)連續(xù)；當(dāng)閉區(qū)間[c，d]D，那么f〔x〕在[c，d]上連續(xù)．假設(shè)f〔x〕是非初等函數(shù)或不清楚它是否為初等函數(shù)，那么用連續(xù)的定義和連續(xù)性運(yùn)算法那么〔四那么運(yùn)算，反函數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算〕來(lái)判斷．當(dāng)f〔x〕為分段函數(shù)時(shí)，在其分界點(diǎn)處那么需按定義或分別判斷左、右連續(xù)性．判斷f〔x〕的間斷點(diǎn)的類型，就是求極限．3．有界閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值和最小值定理：設(shè)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么存在ξ和η[a，b]，使得f〔ξ〕≤f〔x〕≤f〔η〕，〔a≤x≤b〕有界性定理：設(shè)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么存在M＞0，使得｜f〔x〕｜≤M，〔a≤x≤b〕介值定理：設(shè)函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f〔a〕≠f〔b〕，那么對(duì)f〔a〕與f〔b〕之間的任意一個(gè)數(shù)c，在〔a，b〕內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f〔ξ〕=c推論1〔零值定理〕：設(shè)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f〔a〕f〔b〕＜0，那么在〔a，b〕內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f〔ξ〕=0推論2：設(shè)f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且m和M分別是f〔x〕在[a，b]上最小值和最大值，假設(shè)m＜M，那么f〔x〕在[a，b]上的值域?yàn)閇m，M]．【例1】函數(shù)在以下哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界．〔A〕〔－1，0〕．〔B〕〔0，1〕．〔C〕〔1，2〕．〔D〕〔2，3〕．【分析一】這里有界．只須考察，g(x〕是初等函數(shù)，它在定義域〔x≠1，x≠2〕上連續(xù)，有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界，[－1，0]定義域，g(x〕在[－1，0]有界，選〔A〕．【分析二】設(shè)h(x〕定義在〔a，b〕上，假設(shè)或，那么h(x〕在〔a，b〕無(wú)界．因，在〔0，1〕，〔1，2〕，〔2，3〕均無(wú)界．選〔A〕．【例2】設(shè)，討論y=f〔g〔x〕〕的連續(xù)性，假設(shè)有間斷點(diǎn)并指出類型．【分析與解法1】先求f〔g〔x〕〕的表達(dá)式．在〔－∞，1〕，〔1，2〕，〔2，5〕，〔5，+∞〕，f〔g(x〕〕分別與初等函數(shù)相同，故連續(xù)．x=2或5時(shí)可添加等號(hào)，左、右連接起來(lái)，即左連續(xù)又右連續(xù)f〔g(x〕〕在x=2或5連續(xù)．x=1時(shí)x=1是f〔g〔x〕〕的第一類間斷點(diǎn)〔跳躍間斷點(diǎn)〕．【分析與解法2】不必求出f〔g〔x〕〕的表達(dá)式．g(x〕的表達(dá)式中，x=2或5處可添加等號(hào)，左、右連接起來(lái)g(x〕在〔－∞，+∞〕處處連續(xù)．，u≠1時(shí)連續(xù)．u=g〔x〕=1x=1因此，x≠1時(shí)由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的f〔g〔x〕〕連續(xù).x=1時(shí)x=1是f〔g〔x〕〕的第一類間斷點(diǎn)．第二講一元函數(shù)微分學(xué)的概念、計(jì)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這局部的重點(diǎn)是①導(dǎo)數(shù)與微分的定義、幾何意義，討論函數(shù)的可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系．②按定義或微分法那么求各種類型函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)或微分〔包括：初等函數(shù)，冪指數(shù)函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，變限積分函數(shù)，參數(shù)式，分段函數(shù)及帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)〕，求n階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式．③求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變化率．④導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用如“彈性”，“邊際”等〔只對(duì)數(shù)三，數(shù)四〕．§1一元函數(shù)微分學(xué)中的根本概念及其聯(lián)系1．可導(dǎo)與可微的定義及其聯(lián)系2．幾何意義與力學(xué)意義是曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔x0，f(x0〕〕處切線的斜率．是相應(yīng)于x該切線上縱坐標(biāo)的增量．質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=x(t〕，是t=t0時(shí)刻的速度．3．單側(cè)導(dǎo)數(shù)與雙側(cè)導(dǎo)數(shù)f〔x〕在x=x0可導(dǎo)均存在且相等．此時(shí)【例1】說(shuō)明以下事實(shí)的幾何意義〔1〕〔2〕f(x)，g(x)在x=x0處有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，，〔3〕f(x〕在x=x0處存在，但.〔4〕y=f(x〕在x=x0處連續(xù)且【例2】，＞0為某常數(shù)．設(shè)均存在且.求證：.【例3】請(qǐng)答復(fù)以下問(wèn)題：〔1〕設(shè)y=f〔x〕在x=x0可導(dǎo)，相應(yīng)于x有y=f〔x0+x〕－f〔x0〕，x→0時(shí)它們均是無(wú)窮?。嚤葦M以下無(wú)窮小：y是x的__________無(wú)窮小；y－dy是x的________無(wú)窮??；時(shí)y與dy是________無(wú)窮?。?〕du與u是否相等？【例4】設(shè)f〔x〕連續(xù)，試討論的存在性與的存在性之間的關(guān)系．〔1〕考察以下兩個(gè)函數(shù)圖形，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)分析存在與存在之間的關(guān)系．〔2〕f〔x0〕≠0時(shí)，求證：存在存在．【證明】因≠0，由連續(xù)性，＞0，使得當(dāng)｜x－x0｜＜時(shí)有f〔x〕＞0或f〔x〕＜0，于是在x0該鄰域內(nèi)必有｜f〔x〕｜=f(x〕或｜f〔x〕｜=－f(x〕之一成立，故在點(diǎn)x=x0處兩個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性是等價(jià)的．〔3〕f〔x0〕=0時(shí)，求證：存在．【證明】設(shè)f〔x0〕=0．存在綜合可得，題目中結(jié)論〔2〕和〔3〕成立．也可以概括為：點(diǎn)x=x0是可導(dǎo)函數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)｜｜的不可導(dǎo)點(diǎn)的充分必要條件是它使得f〔x0〕=0但．【評(píng)注】論證中用到顯然的事實(shí)：．【例5】設(shè)函數(shù)f(x〕連續(xù)，且，那么存在＞0，使得〔A〕在〔0，〕內(nèi)單調(diào)增加．〔B〕在〔－，0〕內(nèi)單調(diào)減少．〔C〕對(duì)任意的x〔0，〕有＞f〔0〕．〔D〕對(duì)任意的x〔－，0〕有＞f〔0〕．§2一元函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)f〔x〕在區(qū)間Ix可導(dǎo)，，值域區(qū)間為Iy，那么它的反函數(shù)x=〔y〕在Iy可導(dǎo)且【例】設(shè)y=y〔x〕滿足，求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．【解】變限積分求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)f〔x〕在[a，b]上連續(xù)，那么在[a，b]上可導(dǎo)，且，〔a≤x≤b〕設(shè)在[c，d]上連續(xù)，當(dāng)x[a，b]時(shí)函數(shù)u〔x〕，v〔x〕可導(dǎo)，且的值域不超出[c，d]，那么在[a，b]上可導(dǎo)，且，〔a≤x≤b〕【例1】設(shè)f〔x〕在〔－∞，+∞〕連續(xù)且，求．【例2】設(shè)f〔x〕在〔－∞，+∞〕連續(xù)，又，求．【例3】設(shè)，求．【例4】設(shè)f〔x〕為連續(xù)函數(shù)，，那么等于〔A〕2f〔2〕．〔B〕f〔2〕．〔C〕－f【分析一】先用分部積分法將F〔t〕化為定積分．選〔B〕．【分析二】轉(zhuǎn)化為可以用變限積分求導(dǎo)公式的情形．．選〔B〕．【分析三】交換積分順序化為定積分．【分析四】特殊選取法．取f〔x〕=1〔滿足條件〕選〔B〕．隱函數(shù)求導(dǎo)法：【例1】y=y〔x〕由所確定，那么【例2】y=y〔x〕由以下方程確定，求〔1〕x+arctany=y；【解】對(duì)x求導(dǎo)，解出．再對(duì)x求導(dǎo)得．〔2〕，其中．【解】對(duì)x求導(dǎo)得利用方程化簡(jiǎn)得再將的方程對(duì)x求導(dǎo)得解出，并代入表達(dá)式假設(shè)先取對(duì)數(shù)得lnx+f〔y〕=y然后再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化計(jì)算．【例3】設(shè)y=y〔x〕由方程y－xey=1確定，求的值．【解】原方程中令x=0y〔0〕=1．將方程對(duì)x求導(dǎo)得令．將上述方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得分段函數(shù)求導(dǎo)法：【例1】設(shè)f〔x〕=x2｜x｜，那么使處處存在的最高階數(shù)n為_(kāi)_______．【例2】設(shè)〔A〕不連續(xù)〔B〕連續(xù)，但不可導(dǎo)〔C〕可導(dǎo)但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)〔D〕可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)【分析】先按定義討論f〔x〕在x=0的可導(dǎo)性問(wèn)題．．進(jìn)一步考察在x=0的連續(xù)性．當(dāng)x＞0時(shí)，由此可知，在x=0不連續(xù)．因此，選〔C〕．【例3】求常數(shù)a，b使函數(shù)處處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)數(shù)．【分析與求解】對(duì)常數(shù)a，b，x≠3時(shí)f〔x〕均可導(dǎo)．現(xiàn)要確定a，b使存在．f〔x〕在x=3必須連續(xù)且，由這兩個(gè)條件求出a與b．由f〔x〕在x=3連續(xù)，a，b滿足f〔3+0〕=f〔3－0〕=f〔3〕即3a+b在此條件下，即a=6代入3a+b=9b=－9．因此，僅當(dāng)a=6，b=－9時(shí)f〔x〕處處可導(dǎo)且【評(píng)注】求解此類問(wèn)題常犯以下錯(cuò)誤1°沒(méi)說(shuō)明對(duì)常數(shù)a，b，x≠3時(shí)f〔x〕均可導(dǎo)．2°先由x=3處可導(dǎo)求出a值，再由連續(xù)性求出b值．請(qǐng)看以下錯(cuò)誤表達(dá)：“因由得a=6．再由連續(xù)性f〔3+0〕=f〔3－0〕即9=3a+b，b=－9”錯(cuò)誤在于①當(dāng)3a+b≠9時(shí)不存在，也不可能有．②f〔3+0〕=f〔3－0〕不能保證f〔x〕在x=3連續(xù)．僅當(dāng)f〔3+0〕=f〔3－0〕=f〔3〕時(shí)才能保證x=3連續(xù)．必須先由連續(xù)性定出3a+b=9，在此條件下就可得高階導(dǎo)數(shù)與n階導(dǎo)數(shù)的求法常見(jiàn)的五個(gè)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：§3一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)〔微分〕概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè),在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，那么【例2】假設(shè)周期為4的函數(shù)f〔x〕可導(dǎo)且那么曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔5，f〔5〕〕處的切線斜率k=________．【例3】設(shè)y=f〔x〕由方程e2x+y－cos〔xy〕=e－1所確定，那么曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔0，1〕處的法線方程為_(kāi)_______．【例4】曲線Γ的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，點(diǎn)M0的極坐標(biāo)為〔1，〕，那么點(diǎn)M0處Γ的切線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______．【分析一】〔數(shù)學(xué)一，二〕點(diǎn)M0在Γ上，直角坐標(biāo)為：．Γ的參數(shù)方程為，Γ在M0點(diǎn)處的切線的斜率：Γ在M0處的切線方程．【分析二】Γ的方程可化為2=，于是Γ的隱式方程為x2+y2=2y．由隱函數(shù)求導(dǎo)法，得．，于是切線方程為．第三講一元函數(shù)積分學(xué)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這局部的重點(diǎn)是：①不定積分、原函數(shù)及定積分概念，特別是定積分的主要性質(zhì)．②兩個(gè)根本公式：牛頓—萊布尼茲公式，變限積分及其導(dǎo)數(shù)公式．③熟記根本積分表，掌握分項(xiàng)積分法、分段積分法、換元積分法和分部積分法計(jì)算各類積分．④反常積分?jǐn)可⑿愿拍钆c計(jì)算．⑤定積分的應(yīng)用．§1一元函數(shù)積分學(xué)的根本概念與根本定理1．原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)：〔1〕定義．假設(shè)F〔x〕的導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上成立，那么稱F〔x〕是f〔x〕在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)：f〔x〕的全體原函數(shù)稱為f〔x〕的不定積分，記為．〔2〕原函數(shù)與不定積分的關(guān)系．假設(shè)F〔x〕是f〔x〕的一個(gè)原函數(shù)，那么其中C是任意常數(shù)．〔3〕求不定積分與求導(dǎo)是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，即其中C也是任意常數(shù)．〔4〕不定積分的根本性質(zhì)：2．定積分的概念與性質(zhì)：〔1〕定義．設(shè)，假設(shè)對(duì)任何存在，那么稱f〔x〕在[a，b]上可積，并稱此極限值為f〔x〕在[a，b]上的定積分，記為定積分的值與積分變量的名稱無(wú)關(guān)，即把積分變量x換為t或u等其他字母時(shí)，有另外，約定．〔2〕可積性條件．可積的必要條件：假設(shè)f〔x〕在[a，b]上可積，那么f〔x〕在[a，b]上有界．可積函數(shù)類〔可積的充分但非必要的條件〕：1°f〔x〕在[a，b]上連續(xù)，那么f〔x〕在[a，2°f〔x〕在[a，b]上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，那么f〔x〕在[a，〔3〕定積分的幾何意義：設(shè)f〔x〕在[a，b]上連續(xù)，那么表示界于x軸、曲線y=f〔x〕以及直線x=a，x=b之間的平面圖形面積的代數(shù)和，其中在x軸上方局部取正號(hào)，在x軸下方局部取負(fù)號(hào)．特別，假設(shè)f〔x〕在[a，b]上連續(xù)且非負(fù)，那么表示x軸，曲線y=f〔x〕以及直線x=a，x=b圍成的曲邊梯形的面積．〔4〕定積分有以下性質(zhì)：1°線性性質(zhì)：假設(shè)f〔x〕，g〔x〕在[a，b]上可積，且A、B為兩個(gè)常數(shù)，那么Af〔x〕+Bg〔x〕也在[a，b]上可積，且2°對(duì)積分區(qū)間的可加性：假設(shè)f〔x〕在由a、b、c三數(shù)構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，那么3°改變有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值不改變可積性與積分值．4°比擬性質(zhì)：假設(shè)f〔x〕，g〔x〕在[a，b]上可積，且f〔x〕≤g〔x〕在[a，b]上成立，那么進(jìn)一步又有：假設(shè)f〔x〕，g〔x〕在[a，b]上連續(xù)，且f〔x〕≤g〔x〕，f〔x〕g〔x〕在[a，b]上成立，那么假設(shè)f〔x〕在[a，b]可積，那么｜f〔x〕|在[a，b]可積且5°積分中值定理：假設(shè)f〔x〕在[a，b]上連續(xù)，那么存在ξ∈〔a，b〕，使得3．變限積分，原函數(shù)存在定理，牛頓—萊布尼茲公式：〔1〕變限積分的連續(xù)性：假設(shè)函數(shù)f〔x〕在[a，b]上可積，那么函數(shù)在[a，b]上連續(xù)．〔2〕變限積分的可導(dǎo)性，原函數(shù)存在定理：假設(shè)函數(shù)f〔x〕在[a，b]上連續(xù)，那么函數(shù)就是f〔x〕在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，即x[a，b]．〔3〕不定積分與變限積分的關(guān)系．由原函數(shù)存在定理可得．假設(shè)f〔x〕在［a，b］上連續(xù)，那么不定積分，其中x0[a，b]為一個(gè)定值，C為任意常數(shù)．〔4〕牛頓—萊布尼茲公式：設(shè)在上連續(xù)，是在上的任一原函數(shù)，那么．這個(gè)公式又稱微積分根本公式．推廣形式：設(shè)函數(shù)f〔x〕在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)〔x〕是f〔x〕在〔a，b〕內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，又極限F〔a+0〕和F〔b－0〕存在，那么．〔5〕初等函數(shù)的原函數(shù)4．周期函數(shù)與奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：〔1〕周期函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)f〔x〕在〔－∞，+∞〕連續(xù)，以T為周期，那么1°〔a為任意實(shí)數(shù)〕2°3°〔即f〔x〕的全體原函數(shù)〕為T周期的【證明】1°證法1證法2，其中代入上式得?！泊朔N證法不必假定f〔x〕連續(xù)，只須假定f〔x〕在[0，T]〕可積)．2°3°只須注意例〔08，數(shù)三，數(shù)四〕設(shè)f〔x〕是周期為2的連續(xù)函數(shù).〔Ⅰ〕證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，有；〔Ⅱ〕證明G〔x〕=是周期為2的周期函數(shù)?！痉治雠c證明】〔Ⅰ〕〔它是結(jié)論1°的特例，a=2，見(jiàn)證明1°〕〔Ⅱ〕由題〔Ⅰ〕的結(jié)論，G〔x〕=由于對(duì)x，G〔x+2〕－G〔x〕===G〔x〕是周期為2的周期函數(shù)．〔2〕奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)f〔x〕在[－a，a]連續(xù)，且為奇函數(shù)或偶函數(shù)1°2°令3°假設(shè)f〔x〕為奇函數(shù)，那么在[－a，a]上f〔x〕的全體原函數(shù)為偶函數(shù)．假設(shè)f〔x〕為偶函數(shù)，那么在[－a，a]上f〔x〕只有惟一的一個(gè)原函數(shù)為奇函數(shù)【證明】2°設(shè)f〔x〕為奇函數(shù)．證法1．考察[－a，a]F〔x〕=F〔－x〕〔x[－a，a]〕，即F〔x〕為偶函數(shù)．證法2．x[－a，a]〕，即F〔x〕為偶函數(shù)．〔此種證法只須假設(shè)f〔x〕在[－a，a]可積〕3°只須注意2°的結(jié)論．【例1】．【例2】，且f〔1〕=0，那么f〔x〕=________．【例3】設(shè)f〔x〕的導(dǎo)數(shù)是sinx，那么f〔x〕的原函數(shù)是________．【例4】設(shè)f〔x〕連續(xù)，f〔x〕=x+2，那么f〔x〕=________．【例5】以下命題中有一個(gè)正確的選項(xiàng)是________．〔A〕設(shè)f〔x〕在［a，b］可積，f〔x〕≥0，0，那么＞0．〔B〕設(shè)f〔x〕在［a，b］可積，[α，β][a，b]，那么〔C〕設(shè)在[a，b]可積，那么f〔x〕在[a，b]可積．〔D〕設(shè)f(x〕在［a，b］可積，g(x〕在［a，b］不可積，那么f(x〕+g(x〕在［a，b］不可積．【分析1】f〔x〕在［a，b］可積，g(x〕在［a，b］不可積f(x〕+g(x〕在［a，b］不可積．反證法．假設(shè)不然，那么f(x〕+g(x〕在［a，b］可積，由線性性質(zhì)g〔x〕＝［f〔x〕+g〔x〕］－f〔x〕在［a，b］可積，得矛盾，選〔D〕．【分析2】舉例說(shuō)明〔A〕，〔B〕，〔C〕不正確．由〔A〕的條件只能得≥0．如，x0〔a，b〕f〔x〕≥0，0〔x[a，b]〕，但=0．〔A〕不正確．關(guān)于〔B〕，請(qǐng)看右圖，由定積分的幾何意義知＜0，＞0，〔B〕不正確．這里［α，β］[a，b]，但＞．關(guān)于〔C〕，是f〔x〕與的可積性的關(guān)系．f〔x〕在[a，b]可積在[a，b]可積如=1在[a，b]可積，但f〔x〕在[a，b]不可積，〔C〕不正確，因此選〔D〕．【例６】判斷積分值的大?。骸纠?】把積分值①②③按大小排序，其中f〔x〕在［a，b］上滿足：＞0，＞0，＜0．【例8】設(shè)Ｆ那么Ｆ〔x〕〔A〕為正數(shù)．〔B〕為負(fù)數(shù)．〔C〕為0．〔D〕不為常數(shù)．【例9】設(shè)g〔x〕=那么g(x〕在區(qū)間〔0，2〕內(nèi)〔A〕無(wú)界．〔B〕遞減．〔C〕不連續(xù)．〔D〕連續(xù)．【分析】這是討論變限積分的性質(zhì)．結(jié)論可以用：假設(shè)f〔x〕在［a，b］可積，那么g(x〕＝在［a，b］連續(xù)，這里f〔x〕在［0，2］可積〔有界，只有一個(gè)間斷點(diǎn)〕，那么在［0，2］連續(xù)．選〔D〕．5．利用定積分求某些n項(xiàng)和式的極限【例10】§2根本積分表與積分計(jì)算法那么§3積分計(jì)算技巧【例1】求．求〔b＞a〕．求，n為自然數(shù)．【例4】對(duì)實(shí)數(shù)，求．【解】【例5】求．【解】．§4反常(廣義)積分1．根本概念〔1〕假設(shè)，稱收斂，并記否那么稱發(fā)散．假設(shè)，稱收斂，并記否那么稱發(fā)散．假設(shè)，均收斂，稱收斂且=+．否那么稱發(fā)散．〔2〕設(shè)f〔x〕在〔a，b］內(nèi)閉子區(qū)間可積，在a點(diǎn)右鄰域無(wú)界，假設(shè)極限，稱收斂，并記=,否那么稱發(fā)散．這里x=a稱為瑕點(diǎn)．假設(shè)b為瑕點(diǎn)，類似定義．設(shè)f〔x〕在[a，c〕〔c，b]內(nèi)閉子區(qū)間可積，在x=c鄰域無(wú)界．假設(shè)，均收斂，稱收斂．且=+．否那么稱發(fā)散．〔3〕幾個(gè)重要的反常積分．1°a＞0，2°a＞1，3°4°5°，，，均發(fā)散【例1】反常積分〔〕發(fā)散．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【例2】以下命題中正確的有________個(gè)．〔1〕設(shè)f〔x〕在〔－∞，＋∞〕連續(xù)為奇函數(shù)，那么＝0．〔2〕設(shè)f〔x〕在〔－∞，＋∞〕連續(xù)，存在，那么收斂．〔3〕假設(shè)與均發(fā)散，那么不能確定是否收斂．〔4〕假設(shè)均發(fā)散，那么不能確定是否收斂．【分析】要逐一分析．〔1〕f〔x〕在〔－∞，＋∞〕連續(xù)，收斂．例如f〔x〕=sinx在〔－∞，＋∞〕連續(xù)，為奇函數(shù)，但發(fā)散．〔1〕是錯(cuò)的．〔2〕f〔x〕在〔－∞，＋∞〕連續(xù)，收斂存在如f〔x〕=sinx，=0，但發(fā)散．故〔2〕是錯(cuò)誤的．〔3〕正如兩個(gè)函數(shù)的極限均不存在，但它們相加后的極限可能存在，也可能不存在一樣，假設(shè)，均發(fā)散，那么不能確定是否收斂．如f〔x〕=，均發(fā)散，但＝收斂．假設(shè)取g〔x〕==發(fā)散．因此〔3〕是正確的．〔4〕按斂散性的定義，僅當(dāng)，均收斂時(shí)，才是收斂的，否那么為發(fā)散．因此，，均發(fā)散時(shí)是發(fā)散的．〔4〕也不正確．共有1個(gè)是正確的．2．廣義積分的計(jì)算【例3】(1)求．(2)求．(3)求．(4)求．§5一元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用1．一元函數(shù)積分學(xué)的幾何應(yīng)用【例1】曲線Ｌ1︰y=1－x2〔0≤x≤1〕，x軸和y軸所圍區(qū)域被L2︰y=ax2〔a＞0〕分成面積相等的兩局部，確定a的值．【解】先求Ｌ1與Ｌ2的交點(diǎn)〔x0，y0〕：被分成的兩局部面積分別記為.由．【例2】求由x2+y2≤2x與y≥x確定的平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．【解一】該平面圖形可表示為，在此平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體中縱坐標(biāo)滿足的一層形狀為圓環(huán)形薄片，其外半徑為，內(nèi)半徑為，從而，這個(gè)圓環(huán)形薄片的體積為．故旋轉(zhuǎn)體的體積為．【解二】該平面圖形可表為作垂直分割，相應(yīng)的小豎條繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的體積微元yyx【例3】求曲線的全長(zhǎng)〔a＞0〕．〔只對(duì)數(shù)一，數(shù)二〕【解】以6為周期．在［0，6］中，r≥0[0，3]．，于是，曲線的全長(zhǎng)．曲線C是光滑，選定一端點(diǎn)作為度量弧S的基點(diǎn)。曲線C上每一點(diǎn)M對(duì)應(yīng)有弧長(zhǎng)S，點(diǎn)M處切線的傾角為，稱K=為平面曲線C在點(diǎn)M的曲率，為C點(diǎn)M的曲率半徑，過(guò)點(diǎn)M作曲線C的法線，在曲線凹的一側(cè)，在法線上取一點(diǎn)D，便，以D為圓心，為半徑作一個(gè)圓，稱它為曲線C在點(diǎn)M處的曲率圓，圓心D稱為曲率中心。設(shè)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=y〔x〕，y〔x〕二階可導(dǎo)，那么曲率K=曲線C上點(diǎn)的曲率中心〔，〕是=x－=y+2.一元函數(shù)積分學(xué)的物理應(yīng)用〔數(shù)一，數(shù)二〕【例4】設(shè)在很大的池中放有兩種液體，上層是油，比重＜1，厚度為h1，下層是水，厚度為h2〔＞2R〕，現(xiàn)有半徑為R，比重〔＞1〕的球沉入池底，如將球從液體中取出需作多少功？〔設(shè)移動(dòng)過(guò)程中兩種液體厚度均不變〕．〔只對(duì)數(shù)一，數(shù)二〕【解】設(shè)球心Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸正向垂直向上，建立坐標(biāo)系如圖，可把球上的一個(gè)薄片看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)把球從池底完全取出液體的過(guò)程中，該薄片在水中移動(dòng)的距離是h2－〔R＋x〕，這時(shí)外力的大小是重力減去浮力即，該薄片在油中移動(dòng)的距離是h1，這時(shí)外力的大小是；該薄片在空氣中移動(dòng)的距離是R＋x，這時(shí)外力的大小是，故出取出該薄片的過(guò)程中需作功：從－R到R積分dW，并利用奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零的性質(zhì)和球體積公式可得到將球從液體中取出需作的功：．平面曲線的質(zhì)心〔形心〕公式〔數(shù)一，數(shù)二〕：設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面曲線，其線密度為常數(shù)，參數(shù)方程有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，那么的質(zhì)心:．平面圖形的質(zhì)心〔形心〕公式〔數(shù)一，數(shù)二〕：設(shè)有平面圖形：a≤x≤b，g〔x〕≤y≤f〔x〕，其中f〔x〕，g〔x〕在[a，b]連續(xù)，質(zhì)量均勻分布，面密度為常數(shù)，那么它的質(zhì)心；，．【例5】〔數(shù)一，數(shù)二〕質(zhì)量均勻分布的平面光滑曲線，全長(zhǎng)l，以A點(diǎn)作為計(jì)算弧長(zhǎng)的起點(diǎn)，取弧長(zhǎng)s為自變量，參數(shù)方程為x=x〔s〕，y=y〔s〕〔0≤s≤l〕．〔Ⅰ〕寫(xiě)出的質(zhì)心的積分表達(dá)式.〔Ⅱ〕在x軸上方，證明繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積等于曲線的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長(zhǎng)乘以曲線的弧長(zhǎng)l．〔Ⅲ〕求圓周繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的圓環(huán)體的側(cè)面積A．【解】〔Ⅰ〕用微元法可導(dǎo)出的質(zhì)心的表達(dá)式，．〔Ⅱ〕由題〔Ⅰ〕得等式右端即繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，左端正是的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長(zhǎng)與l之積，因此結(jié)論成立．〔Ⅲ〕由題〔Ⅱ〕，又質(zhì)心＝〔0，a〕，圓周長(zhǎng)為，于是圓環(huán)體的側(cè)面積．§6積分等式與不等式的證明【例1】設(shè)f〔x〕在[a，b]有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，求證明：【證】用分部積分法．【例2】0＜a＜b，f〔x〕在[a，b]連續(xù)，并滿足：，求證：【證】用換元積分法．令，故于是．【例3】設(shè)f〔x〕，g〔x〕在[a，b]連續(xù)且滿足,求證：．【分析與證明】〔*〕要證：．因所以將〔*〕式從a到b積分即得證．第四講一元函數(shù)微分學(xué)中的根本定理及其應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖拐點(diǎn)拐點(diǎn)二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這局部的重點(diǎn)是：①羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其應(yīng)用．②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)〔函數(shù)為常數(shù)，單調(diào)性與極值點(diǎn)，凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線〕．③最值問(wèn)題及應(yīng)用題．④利用微分學(xué)方法證明函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)零點(diǎn)的存在性并確定個(gè)數(shù)，證明函數(shù)不等式等．§1一元函數(shù)微分學(xué)中的根本定理——中值定理費(fèi)馬定理：設(shè)f〔x〕在x=x0取極值，存在羅爾定理：設(shè)f〔x〕在［a，b］連續(xù)，在〔a，b〕可導(dǎo)，且．【例1】設(shè)f〔x〕在〔a，b〕可導(dǎo)且a＜x1＜x2＜b，那么至少存在一點(diǎn)c使〔〕成立．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【例2】答復(fù)以下問(wèn)題：設(shè)f〔x〕在[a，b]有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)且，又f〔x〕在〔a，b〕二階可導(dǎo)，是否存在，為什么？【例3】設(shè)f〔x〕在x=x0連續(xù)，在〔〕除x0點(diǎn)可導(dǎo)且，求證：．§2微分中值定理的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化1．函數(shù)為常數(shù)的條件與函數(shù)恒等式的證明2．函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)〔1〕函數(shù)的單調(diào)性的充要判別法．設(shè)f〔x〕在[a，b]連續(xù)，在〔a，b〕可導(dǎo)，那么f〔x〕在[a，b]單調(diào)不減〔單調(diào)不增〕．f〔x〕在[a，b]單調(diào)增加〔單調(diào)減少〕，2°在〔a，b〕的子區(qū)間上0．〔2〕函數(shù)取極值的充分判別法．設(shè)f〔x〕在x=x0連續(xù)，在可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)＞0〔＜0〕．時(shí)＜0〔＞0〕，那么x=x0是f〔x〕的極大〔小〕值點(diǎn)．設(shè)=0，＞0〔＜0〕，那么x=x0是f〔x〕的極小〔大〕值點(diǎn)．3．函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)〔1〕函數(shù)的凹凸性的充要判別法．設(shè)f〔x〕在[a，b]連續(xù)，在〔a，b〕可導(dǎo)，f〔x〕在[a，b]是凸〔凹〕的：〔＞〕〔曲線y=f〔x〕〔a＜x＜b〕在點(diǎn)處的切線除該點(diǎn)外總在曲線的上方〔下方〕〕．在〔a，b〕是單調(diào)減〔增〕函數(shù)．設(shè)f〔x〕在[a，b]連續(xù)，在〔a，b〕二階可導(dǎo)，那么f〔x〕在[a，b]是凸〔凹〕的≤0〔≥0〕，，又在〔a，b〕的子區(qū)間上0．〔2〕拐點(diǎn)的充分判別法與必要條件．設(shè)f〔x〕在x0鄰域連續(xù)，在x=x0兩側(cè)凹凸性相反，稱〔x0，f〔x0〕〕是曲線y=f〔x〕的拐點(diǎn)．充分判別法1°設(shè)f〔x〕在x=x0鄰域連續(xù)，在x=x0空心鄰域二階可導(dǎo)，且在x=x0兩側(cè)變號(hào)，那么〔x0，f〔x0〕〕為y=f〔x〕的拐點(diǎn)．2°=0，，那么〔x0，f〔x0〕〕為y=f〔x〕的拐點(diǎn)．必要條件設(shè)〔x0，f〔x0〕〕為y=f〔x〕的拐點(diǎn)，那么=0或不存在．【例1】設(shè)f〔x〕在[0，1]上＞0，那么〔〕成立．〔A〕＞＞〔B〕＞－＞〔C〕－＞＞〔D〕＞－＞【例2】設(shè)恒正可導(dǎo)且＜0，那么當(dāng)a＜x＜b時(shí)有〔A〕＞〔B〕＞〔C〕＞〔D〕＞【例3】設(shè)f〔x〕在x=0某鄰域連續(xù)且f〔0〕=0，，那么f〔x〕在x=0處〔〕．〔A〕不可導(dǎo)〔B〕可導(dǎo)且0〔C〕有極大值〔D〕有極小值【例4】設(shè)f〔x〕有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，=0，，那么〔〕成立．〔A〕f〔0〕不是f〔x〕的極值，〔0，f〔0〕〕不是y=f〔x〕的拐點(diǎn)〔B〕f〔0〕是f〔x〕的極大值〔C〕f〔0〕是f〔x〕的極小值〔D〕〔0，f〔0〕〕是y=f〔x〕的拐點(diǎn)【例5】設(shè)f〔x〕滿足且=0那么〔A〕f〔0〕是f〔x〕的極大值〔B〕f〔0〕是f〔x〕的極小值〔C〕點(diǎn)〔0，f〔0〕〕是y=f〔x〕的拐點(diǎn)〔D〕f〔0〕不是f〔x〕的極值，〔0，f〔0〕〕也不是y=f〔x〕的拐點(diǎn).設(shè)f〔x〕在〔a，b〕可導(dǎo)，求證：在〔a，b〕為減函數(shù)f〔x〕＜f〔x0〕+〔x－x0〕，．【分析與證明】〔1〕設(shè)在〔a，b〕為減函數(shù)，f〔x〕－[f〔x0〕+]=＜0〔〕，其中由微分中值定理知，在x與x0之間，f〔x〕－f〔x0〕=．〔2〕設(shè)對(duì)，f〔x〕＜f〔x0〕+．現(xiàn)對(duì)＜x2,x1，x2,有f〔x1〕＜f〔x2〕+,f〔x2〕＜f〔x1〕+兩式相加得＞0＞，即在〔a，b〕為減函數(shù)．【例7】求y=〔x+6〕的單調(diào)性區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性區(qū)間，拐點(diǎn)與漸近線．【解】1〕定義域x≠0，間斷點(diǎn)x=0．2〕由．單調(diào)增區(qū)間：〔－，－2]，[3，+〕；單調(diào)減區(qū)間[－2，0〕，〔0，3]．極大值點(diǎn)x=－2，極小值x=3．凹區(qū)間：〔－，－]，凸區(qū)間[－，0〕，〔0，+〕，拐點(diǎn)〔－，〕．3〕只有間斷點(diǎn)x=0，是垂直漸近線．還有斜漸近線y=x+7．§3一元函數(shù)的最值問(wèn)題【例1】求f〔x〕=x+2cosx在[0，]上的最大值．【例2】某公園在一高為a米的雕塑，其基高為b米，試問(wèn)欣賞者離基座底部多遠(yuǎn)處，使得其視線對(duì)塑像張成的夾角最大，設(shè)欣賞者高為h米．§4微分中值定理的應(yīng)用——證明不等式試證：x＞0，x≠1時(shí)〔x2－1〕lnx＞〔x－1〕2．【例2】設(shè)f〔x〕在[0，1]可導(dǎo)，f〔0〕=0，0＜＜1，求證：＞【分析與證明1】引進(jìn)輔助函數(shù)F〔x〕=要證：F〔x〕＞0〔x〔0，1]〕．由條件知，f〔x〕在[0，1]單調(diào)上升，f〔x〕＞f〔0〕=0〔x〔0，1]〕．從而與g〔x〕=＞0〔x〔0，1〕]〕g〔x〕在[0，1]單調(diào)上升，g〔x〕＞g〔0〕=0〔x〔0，1]〕，＞0〔x〔0，1]〕F〔x〕＞F〔0〕=0〔x〔0，1]〕．因此F〔1〕＞0，即結(jié)論成立．【分析與證明2】要證＞1〔由條件知f〔x〕＞0，x〔0，1]〕令F〔x〕=那么由柯西中值定理=＞1〔對(duì)〕【例3】設(shè)a＞1，n≥1，證明：＜＜．§5微分中值定理的應(yīng)用——討論函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)有方程xn+nx－1=0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在惟一正根xn，并求．【例2】設(shè)f〔x〕在［a，b］要導(dǎo)，＜0，求證：存在c〔a，b〕，．【例3】設(shè)f〔x〕在[a，b]連續(xù)，在〔a，b〕二階可導(dǎo)，并在〔a，b〕內(nèi)曲線y=f〔x〕與弦相交，其中A〔a，f〔a〕〕，B〔b，f〔b〕〕，求證：存在〔a，b〕使得=0．【例4】設(shè)f〔x〕在〔—，+〕可導(dǎo)，=A，求證：存在〔—，+〕使得=0．【例5】設(shè)f〔x〕，g〔x〕在[a，b]連續(xù)，在〔a，b〕可導(dǎo)且g〔a〕=0，f〔b〕=0，x〔a，b〕時(shí)f〔x〕≠0，g〔x〕≠0，求證：存在〔a，b〕使得．【例6】設(shè)函數(shù)f〔x〕，g〔x〕在[a，b]上連續(xù)，在〔a，b〕內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f〔a〕=g〔a〕，f〔b〕=g〔b〕，證明：存在〔a，b〕，使得．【分析與證明一】令F〔x〕=f〔x〕－g〔x〕F〔x〕在[a，b]連續(xù)，在〔a，b〕可導(dǎo)，在題設(shè)條件下，要證存在〔a，b〕，=0．F〔a〕=F〔b〕=0，只須由題設(shè)再證c〔a，b〕，F(xiàn)〔c〕=0．由題設(shè)x1〔a，b〕M=，．假設(shè)x1=x2，取c=x1=x2，F(xiàn)〔c〕=0．假設(shè)x1≠x2，不妨設(shè)x1＜x2，那么F〔x1〕=f〔x1〕－g〔x1〕≥0，F(xiàn)〔x2〕=f〔x2〕－g〔x2〕≤0．c[x1，x2]，F(xiàn)〔c〕=0．〔2〕由F〔a〕=F〔c〕=F〔b〕=0，對(duì)F〔x〕分別在［a，c］，［c，b］用羅爾定理1〔a，c〕，2〔c，b〕，使得，，再對(duì)用羅爾定理〔1，2〕〔a，b〕，使得，即．【分析與證明二】〔利用以下兩個(gè)的結(jié)論：1°設(shè)h〔x〕在〔a，b〕可導(dǎo)，假設(shè)〔x〕在〔a，b〕恒不為零，那么〔x〕＞0〔x〔a，b〕〕或〔x〕＜0〔x〔a，b〕〕．2°設(shè)h〔x〕在[a，b]連續(xù)，在〔a，b〕可導(dǎo)，假設(shè)h〔a〕=h〔b〕=0．h〔x〕在［a，b］為凸〔凹〕函數(shù)，那么h〔x〕＞0〔＜0〕〔x〔a，b〕．〕同前，由題設(shè)x1〔a，b〕，，．令F〔x〕=f〔x〕－g〔x〕，假設(shè)結(jié)論不對(duì)，那么＞0或＜0〔x〔a，b〕〕．〔1〕假設(shè)＞0〔x〔a，b〕〕F〔x〕在[a，b]為凹函數(shù)，又F〔a〕=F〔b〕=0F〔x〕＜0〔x〔a，b〕〕，但F〔x1〕=f〔x1〕－g〔x2〕≥0，得矛盾．〔2〕假設(shè)＜0〔x〔a，b〕〕F〔x〕在[a，b]為凹函數(shù)，又F〔a〕=F〔b〕=0F〔x〕＞0〔x〔a，b〕〕，但F〔x2〕=f〔x2〕－g〔x2〕≥0，得矛盾．因此必〔a，b〕，使得=0，即=．設(shè)函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間[0，1]連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間〔0，1〕內(nèi)可導(dǎo)，且f〔1〕=0．求證：至少存在一點(diǎn)〔0，1〕，使得4f〔〕+〔〕=0．【例8】確定方程ex=ax2〔a＞0為常數(shù)〕的根的個(gè)數(shù)．【解】令f〔x〕=．〔1〕〔2〕考察區(qū)間〔〕．f〔x〕在〔〕單調(diào)上升，又，對(duì)＞0，f〔x〕在〔〕有唯一零點(diǎn)．〔3〕考察區(qū)間〔0，+〕．f〔x〕在〔0，2]單調(diào)下降，在[2，+〕單調(diào)上升，又于是，當(dāng)f〔2〕＞0即a＜時(shí)f〔x〕在〔0，+〕無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)a=時(shí)f〔x〕在〔0，+〕有唯一零點(diǎn)〔即x=2〕，當(dāng)a＞時(shí)f〔x〕在〔0，2〕〔2，+〕分別有唯一零點(diǎn)，即在〔0，+〕有且僅有二個(gè)零點(diǎn)．§6用微分中值定理證明函數(shù)成導(dǎo)數(shù)存在某種特征點(diǎn)【例1】函數(shù)f〔x〕在[0，1]連續(xù)，在〔0，1〕可導(dǎo)，且f〔0〕=0，f〔1〕=1．證明〔1〕存在ξ〔0，1〕使得f〔ξ〕=1－ξ．〔2〕存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，〔0，1〕【分析與證明】〔1〕即證在〔0，1〕零點(diǎn)．因F〔x〕在[0，1]連續(xù)，又F〔0〕=－1，F(xiàn)〔1〕=1異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，ξ〔0，1〕F〔ξ〕=0，即F〔ξ〕=1－ξ．〔2〕由上題的ξ，分別在［0，ξ］與［ξ，1］對(duì)f〔x〕用拉格朗日中值定理得，〔0，ξ〕使得〔ξ，1〕使得兩式相乘得．【例2】設(shè)f〔x〕在［a，b］連續(xù)，在〔a，b〕可導(dǎo)，0≤a＜b≤，求證：存在ξ1，ξ2〔a，b〕使得【證】第一步，將中值ξ1，ξ2別離到等式兩端，得：．第二步，根據(jù)上式兩端的形式，將等式兩端的表達(dá)式寫(xiě)成適當(dāng)?shù)闹兄刀ɡ硭媒Y(jié)果注意，按柯西中值定理，存在ξ1，ξ2〔a，b〕分別使得由此可得，最后，利用題設(shè)條件驗(yàn)算原等式是否成立，與第二步所得結(jié)果比擬，只需驗(yàn)證當(dāng)0≤a＜b≤時(shí)成立三角恒等式．為此，將以下兩個(gè)和差化積公式，做商即可，故，此題結(jié)論成立得證．【例3】〔08，數(shù)二〕〔Ⅰ〕證明積分中值定理，假設(shè)函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么至少存在一點(diǎn)［a，b］，使得〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足證明至少存在一點(diǎn)ξ〔1，3〕，使得＜0．分析與證明：〔Ⅰ〕f〔x〕在[a，b]連續(xù)，于是存在最大，最小值．，m≤f〔x〕≤M〔x[a，b]〕m〔b－a〕≤m≤由[a，b]上連續(xù)函數(shù)f〔x〕到達(dá)最大值與最小值定理取中間值定理[a，b]，f〔〕=即〔Ⅱ〕先由積分中值定理可知，[2，3]，使得現(xiàn)條件變成〔2〕＞〔1〕，〔2〕＞〔〕，〔2，3]要證：〔1，3〕，〔〕＜0．方法10：分別在[1，2]，[2，]上同拉格朗日中值定理〔1，π〕，2〔2，〕使得＞0，＜0再在[1，2]上對(duì)〔x〕用拉格朗日中值定理〔1，2〕〔1，3〕，＜0．證法20：用反證法證明．假設(shè)不然對(duì)x〔1，3〕，≥0〔x〕在〔1，3〕單調(diào)不減．假設(shè)〔x〕在〔1，3〕恒正或恒負(fù)〔x〕在[1，3]單調(diào)與〔1〕＜〔2〕，〔2〕＞〔〕矛盾，于是〔1，3〕，〔〕=0，由〔x〕在〔1，3〕單調(diào)不減〔〕〔x〕在[1，]單調(diào)不增，在[，3]單調(diào)不減．假設(shè)2[1，]〔1〕≥〔2〕與〔2〕＞〔1〕矛盾．假設(shè)2[，]〔2〕≤〔〕與〔2〕＞〔〕矛盾．因此≥0〔x〔1，3〕〕是不可能的，即〔1，3〕，＜0．證法3：用反證法證明．結(jié)論：假設(shè)≥0〔x〔1，〕〕，連接點(diǎn)〔1，〔1〕〕，〔，〔〕〕的直線做方程是y=〔1〕+，那么〔x〕≤g〔x〕〔x[1，]〕[證明如下：令F〔x〕=〔x〕－g〔x〕，那么F〔1〕=0，F(xiàn)〔〕=0，于是〔1，〕，，又F〔x〕≤F〔1〕=0〔x[1，]〕F〔x〕≤F〔〕=0〔x[，]〕因此F〔x〕≤0〔x[1，]〕即〔x〕≤g〔x〕〔x[1，]〕]但由〔2〕＞〔1〕，〔2〕＞〔〕〔2〕＞g〔2〕這便矛盾了，因此〔1，3〕，＜0．微積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用〔數(shù)三，數(shù)四〕一元函數(shù)微積分學(xué)中與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的概念與公式1．復(fù)利與貼現(xiàn)設(shè)A1是現(xiàn)有本金，r是年利率，連續(xù)復(fù)利計(jì)息，At是t年末的未來(lái)值．那么有復(fù)利公式：〔A0求At〕．貼現(xiàn)公式：〔At求A0〕．2．“邊際”概念在經(jīng)濟(jì)函數(shù)中，因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)一般用“邊際”概念．C〔x〕是總本錢函數(shù)，那么MC=稱為邊際本錢函數(shù)，其中x為產(chǎn)品的產(chǎn)量，〔x〕的經(jīng)濟(jì)意義是：〔x〕近似于產(chǎn)量為x時(shí)再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所需增加的本錢，這是因?yàn)镃〔x十1〕－C〔x〕=C〔x〕≈〔x〕．R〔x〕是總收益函數(shù)〔x為銷售量〕，那么MR=〔x〕稱為邊際收益函數(shù)，它的經(jīng)濟(jì)意義是：〔x〕近似于銷售量為x時(shí)再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加〔或減少〕的收入．L〔x〕是總利潤(rùn)函數(shù)〔x為銷售量〕，那么MR=〔x〕稱為邊際利潤(rùn)，注意L〔x〕=R〔x〕－C〔x〕，〔x為銷售量，只考察銷售局部的本錢〕，那么．3．彈性〔1〕彈性概念設(shè)經(jīng)濟(jì)量x，y有函數(shù)關(guān)系y=f〔x〕，x在x0時(shí)，相對(duì)變化為，引起函數(shù)y的相對(duì)變化，它們的比值為為f〔x〕的平均彈性極限值稱為f〔x〕在x0的彈性，它反映出當(dāng)充分小時(shí)f〔x〕在x0引起的“相對(duì)變化率”稱為y=f〔x〕的彈性函數(shù)．〔2〕需求對(duì)價(jià)格的彈性設(shè)某商品的需求量Q是價(jià)格P的函數(shù)，稱Q=Q〔P〕為需求函數(shù)，那么需求對(duì)價(jià)格的彈性為Ep=，也記為．也稱之為需求彈性關(guān)于需求彈性〔1〕一般說(shuō)來(lái)Ep＞0〔Q〔P〕是價(jià)格P的減函數(shù)〕，當(dāng)我們比擬商品需求彈性的大小時(shí)，是指彈性的絕對(duì)值．〔2〕提價(jià)〔＞0〕或降價(jià)〔＜0〕對(duì)總收益的影響．由需求彈性可得出價(jià)格變動(dòng)如何影響銷售收益的結(jié)論．由需求彈性定義及收益與需求的關(guān)系得PdQ=EpQdp，R=Q〔P〕P求收益函數(shù)的微分得dR=QdP+PdQ=Q〔1+Ep〕dP用微分近似改變量得＜1〔低彈性〕時(shí)，＜0＜0〔降價(jià)使收益減少〕；＞1〔高彈性〕時(shí)，＜0＞0〔降價(jià)使收益增加〕：=1時(shí)，提或降價(jià)對(duì)收益無(wú)明顯影響．〔3〕收益對(duì)價(jià)格的彈性〔4〕假設(shè)干關(guān)系式1°〔將Ｒ＝Q·P代入表達(dá)式得到〕2°〔將R=Q·P求導(dǎo)得兩邊都除Q得到〕3°〔1°、2°兩式合起來(lái)〕4°當(dāng)需求函數(shù)Q=Q〔p〕存在反函數(shù)p=p〔Q〕時(shí)，【證明】．【例1】設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q=Q〔P〕是單調(diào)減少的，收益函數(shù)R=PQ，當(dāng)價(jià)格為P0，對(duì)應(yīng)的需求量為Q0時(shí)，邊際收益而．需求對(duì)價(jià)格的彈性Ｅp，=b＞1，求P0和Q0．【解】Q＝Q〔P〕存在反函數(shù)P＝P〔Q〕，可用上述公式令Q＝Q0得a=．又令p=p0得c=Q0〔1－b〕，Q0=．【例2】設(shè)總本錢C關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)C〔x〕＝400＋3x+，需求量x關(guān)于價(jià)格p的函數(shù)為p=，求：邊際本錢，邊際收益，邊際利潤(rùn)以及收益對(duì)價(jià)格的彈性．【解】1〕由邊際本錢的定義邊際本錢ＭC＝2〕總收益函數(shù)Ｒ＝px=100，邊際收益ＭＲ＝.3〕〔設(shè)產(chǎn)量＝需求量〕，邊際利潤(rùn)ＭＬ＝．4〕先求出需求量x為p的函數(shù)關(guān)系．P=．【例3】設(shè)某商品的需求量Q與價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系為Q=100－5P，假設(shè)需求彈性絕對(duì)值大于1，那么商品價(jià)格P的取值范圍是多少？【解】首先由Q≥0得P≤20＞1＜5P〔P≥0〕P10因此，10＜P≤20．4．定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用．〔1〕設(shè)x是產(chǎn)品的產(chǎn)量，邊際本錢MC〔x〕＝〔x〕，求總本錢函數(shù)C〔x〕：C〔x〕=C0+．其中C0是產(chǎn)品的固定本錢〔即C〔0〕＝C0〕．〔2〕設(shè)x是商品的銷售量，邊際收益MR〔x〕=，求總收益函數(shù)R〔x〕．．〔R〔0〕=0〕【例4】生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定本錢為50，產(chǎn)量為x時(shí)的邊際本錢函數(shù)為〔x〕＝x2－14x+111，邊際收益函數(shù)為＝100－2x，求：〔1〕總利潤(rùn)函數(shù)：〔2〕產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？【解】C〔x〕=50+R〔x〕=總利潤(rùn)L〔x〕=R〔x〕－C〔x〕=－〔2〕求Ｌ〔x〕在［0，〕的最大值點(diǎn),由，得駐點(diǎn)x1=1，x2=11．L〔0〕=－50，L〔11〕=＞0，L〔1〕＜0x=x2=11時(shí)總利潤(rùn)最大．〔3〕某產(chǎn)品的總產(chǎn)量Q的變化率f〔t〕，t為時(shí)間變量，那么從t=a到t=b，該產(chǎn)品的產(chǎn)量變化為Q〔b〕－Q〔a〕=，〔Q〔t〕是從開(kāi)始到t，產(chǎn)品的產(chǎn)量〕，這段時(shí)間產(chǎn)量的平均值為t=t0時(shí)總產(chǎn)量為Q0，那么總產(chǎn)量函數(shù)是Q〔t〕=Q0+．第五講泰勒公式及其應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)會(huì)用泰勒公式求某些型板限，并確定無(wú)窮小的階，會(huì)用泰勒公式證明某些不等式并會(huì)用適當(dāng)階數(shù)的泰勒公式解決與某階導(dǎo)數(shù)中間值有關(guān)的命題．§1泰勒公式及其余項(xiàng)1、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式：設(shè)f〔x〕在x=x0處有n階導(dǎo)數(shù)，那么f〔x〕=Tn〔x〕+Rn〔x〕，其中，2．帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式：設(shè)f〔x〕在含x=x0的區(qū)間〔a，b〕內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，在[a，b]有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)，，其中，，ξ在x與x0之間，ξ也可表示為ξ=x0+θ〔x－x0〕，0＜θ＜1．x0=0時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式．3．五個(gè)根本初等函數(shù)的麥克勞林公式：Rn〔x〕=o〔xn〕〔〕，．，．cosx=R2n+1〔x〕=o〔x2n+1〕〔x〕，R2n+1〔x〕=．ln〔1+x〕=xRn〔x〕=o〔xn〕〔x〕．Rn〔x〕=o〔xn〕〔x〕，這五個(gè)公式是求其他初等函數(shù)泰勒公式的根底，應(yīng)當(dāng)牢記并會(huì)寫(xiě)出它們的余項(xiàng)．§2泰勒公式的求法1、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的求法【例1】求的麥克勞林公式．【例2】求ln〔1+x+x2〕的6階泰勒公式．【例3】求【解】2．帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的求法【例】求f〔x〕=帶拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式．§3泰勒公式的應(yīng)用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用【例1】設(shè)f〔x〕二次可導(dǎo)且________，______，______．【例2】求【解】注意，于是分子＝又因從而因此．【例3】設(shè)f〔x〕=x2ln〔1+x〕，求f〔n〕〔0〕〔n≥3〕【解】=．【例4】試確定常數(shù)A，B，C的值，使得ex〔1+Bx+Cx2〕=1+Ax+o〔x3〕，其中o〔x3〕是當(dāng)x→0時(shí)比x3高階的無(wú)窮?。痉治雠c求解一】用泰勒公式．因?yàn)閑x=，將其代入題設(shè)等式，整理得.解得【分析與求解二】用洛必達(dá)法那么．由ex〔1+Bx+Cx2〕=1+Ax+o〔x3〕，〔x→0〕〔要求分子極限為0，即1+B－A=0，否那么J=∞〕〔要求分子極限為0，即2A+2C-1=0，否那么J=∞即=0．解得2．帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用【例5】求證：【例6】設(shè)f〔x〕在［0，1］有二階導(dǎo)數(shù)，≤a，≤b，其中a，b均為非負(fù)常數(shù)，c是〔0，1〕內(nèi)任意一點(diǎn)，證明：．【分析與證明】把f〔0〕，f〔1〕分別在c〔0，1〕展成帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式得〔0＜ξ0＜c〕〔c＜ξ1＜1〕兩式相減得其中〔1－c〕2+c2＜〔1－c〕+c=1．【例7】設(shè)函數(shù)f〔x〕在閉區(qū)間［－1，1］上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f〔－1〕=0，f〔1〕=1，，證明：在開(kāi)區(qū)間〔－1，1〕內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f〔3〕〔ξ〕=3．【分析與證明】分別把f〔－1〕和f〔1〕在x=0展成泰勒公式，并由題設(shè)得，－1＜ξ1＜0，，0＜ξ2＜1，兩式相減消去其中未知的f〔0〕與得假設(shè)那么已得證．否那么，界于f〔3〕〔ξ1〕與f〔3〕〔ξ2〕之間，由連續(xù)函數(shù)的中間值定理知，ξ〔ξ1，ξ2〕，f〔3〕〔ξ〕=3．【例8】設(shè)f〔x〕在區(qū)間[－a，a]〔a＞0〕上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f〔0〕=0．〔1〕寫(xiě)出f〔x〕的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式；〔2〕證在[－a，a]上至少存在一點(diǎn)，使．【分析與證明】〔1〕對(duì)x[－a，a]ξ在0，x之間〔2〕將上式兩邊積分得由于在［－a，a］連續(xù)，從而存在，其中x1[－a，a]，其中x2[－a，a]于是假設(shè)有一等號(hào)成立，那么已得證，否那么由連續(xù)函數(shù)中間值定理，存在[－a，a]使得故得證．第六講向量代數(shù)與空間解析幾何〔數(shù)一〕一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形曲面與曲線概念及表示法二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形曲面與曲線概念及表示法二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這局部的重點(diǎn)是：①向量概念與向量的各種運(yùn)算，特別是它們的計(jì)算與應(yīng)用．②求直線與平面方程的方法，判斷平面、直線間相互關(guān)系的方法．§1向量代數(shù)向量的加〔減〕與數(shù)乘向量．向量的數(shù)量積〔又稱點(diǎn)積，內(nèi)積〕：定義：兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，且，其中θ是與的夾角．坐標(biāo)表示：假設(shè)＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，那么·=a1b1+a2b2+a3b3．特征性質(zhì)：⊥·=0，即a1b1+a2b2+a3b3=0主要應(yīng)用：①判定兩向量垂直；②求兩向量、兩直線、兩平面以及直線與平面間的夾角；③建立平面的點(diǎn)法式方程．向量的向量積〔又稱叉積，外積〕：定義：兩向量的向量積×是一個(gè)向量，其模，其中是與的夾角，又×同時(shí)與和都垂直且、、×構(gòu)成右手系．坐標(biāo)表示：假設(shè)＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，那么×=特征性質(zhì)：．主要應(yīng)用：①判定兩向量平行；②求平行四邊形面積，求點(diǎn)到直線的距離；③求兩平面交線的方向向量，化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程．向量的混合積：定義：三向量，，的混合積［，，］是一個(gè)數(shù)，且［，，］＝〔×〕·．坐標(biāo)表示：假設(shè)＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，＝｛c1，c2，c3｝那么［，，］=特征性質(zhì)：，，共面［，，］=0主要應(yīng)用：①判定三向量或四個(gè)點(diǎn)共面，建立平面方程；②求平行六面體的體積，求點(diǎn)到平面或兩條異面直線間的距離；③建立異面直線公垂線的方程．【例1】設(shè)〔×〕·＝2，那么［〔＋〕×〔＋〕］·〔＋〕＝________．【例2】＝2，＝，·=2，那么＝________．【例3】指出以下等式成立的充要條件，并證明：〔1〕；〔2〕＋與共線，其中，．【證明】〔1〕〔＋〕·〔＋〕＝〔〕·〔〕·=0⊥〔2〕＋與平行〔＋〕×〔〕＝×－×＝×與平行．§2平面與直線【例1】過(guò)直線L1：且平行于直線L2：的平面方程是________．【例2】過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面方程是________．【例3】設(shè)直線L為，平面為4x－2y+z－2=0，那么〔〕．〔A〕L∥〔B〕L在上〔C〕L⊥〔D〕L與斜交【例4】直線Ｌ在平面：x+y+z－1=0上，并且與直線垂直相交，求L的方程．【分析與解法】1〕將L0的參數(shù)方程代入平面的方程，得〔t+1〕+〔－t+1〕+t－1=0，t=－1Ｌ0與的交點(diǎn)Ｍ0〔0，2，－1〕，它就是Ｌ與的交點(diǎn)．2〕L0的方向向量＝〔1，－1，1〕，平面的法向量＝〔1，1，1〕，Ｌ的方向向量∥3〕L即是過(guò)Ｍ0以為方向向量的直線另解假設(shè)用兩面式更簡(jiǎn)單．過(guò)Ｍ0與Ｌ0垂直的平面是，即x－y+z+3＝0L為交線§3曲面方程【例1】求①直線Ｌ：在平面：x－y+2z－1＝0上的投影Ｌ0的方程．②直線Ｌ0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面方程．【分析與求解】①求Ｌ0即求過(guò)Ｌ與平面垂直的平面1與的交線．平面1由點(diǎn)及與之平行的向量與所確定．方程為即x－3y－2z+1=0L0的方程為②為求Ｌ0繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程，先把Ｌ0的交面式方程化為以y為參數(shù)的方程．按參數(shù)式表示的旋轉(zhuǎn)面方程得消去得即【評(píng)注】旋轉(zhuǎn)曲面用參數(shù)方程來(lái)描述是方便的．求一條直線Ｌ繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面方程，如繞y軸，先將Ｌ寫(xiě)成以y為參數(shù)的方程．旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程消去得旋轉(zhuǎn)面方程【例2】求直線Ｌ：繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)面方程．【解】直線Ｌ的參數(shù)方程是，旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程是消去得旋轉(zhuǎn)面方程x2+y2=1+z2§4空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線【例1】求曲線C：在xy平面上的投影曲線的方程．【解】投影曲線的方程是第七講常微分方程一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)①掌握方程類型的判別，根據(jù)類型選擇適宜的方法求解方程，會(huì)利用初值條件定出任意常數(shù)。②掌握列方程的常用方法．根據(jù)題意，分析條件，搞清問(wèn)題所涉及的物理或幾何意義，結(jié)合其他相關(guān)的知識(shí)和掌握的方法列出方程和初條件．③一、二階線性方程解的性質(zhì)．④對(duì)數(shù)三還要求差分方程，其重點(diǎn)是求解一階線性差分方程與簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用．〔注意，全微分方程的求解放在多元積分學(xué)局部介紹〕§1微分方程的有關(guān)根本概念微分方程：含有自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔或微分〕的函數(shù)方程，稱為微分方程．當(dāng)方程中的未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，稱為常微分方程．微分方程的階：出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階．設(shè)x為自變量,為未知函數(shù)，那么n階微分方程的一般形式為F〔x，y，〕=0，且在方程中一定要出現(xiàn)．微分方程的解：假設(shè)把函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分代入微分方程后能使其成為恒等式，那么稱該函數(shù)為這個(gè)微分方程的一個(gè)解．含有與方程階數(shù)相同個(gè)數(shù)的獨(dú)立任意常數(shù)的解，稱為微分方程的通解；不含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解．為了確定微分方程的特解，需要給出方程中未知函數(shù)應(yīng)滿足的附加條件，這種條件稱為定解條件，通常給出的是未知函數(shù)及其假設(shè)干階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的值，稱為初始條件．例如：對(duì)方程F〔x，y，〕=0，初始條件可設(shè)為其中x0，y0，y1，y2，…，yn－1都是給定的常數(shù)．求微分方程滿足初始條件的特解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題．§2一階微分方程的解法〔1〕變量可別離方程變量可別離方程的常見(jiàn)形式是，假設(shè)，方程可改寫(xiě)為，求積分即得通解．假設(shè)存在y0使g〔y0〕=0，直接驗(yàn)算可知常值函數(shù)y=y0也是原方程的一個(gè)解．更一般的變量可別離方程是．當(dāng)時(shí)，經(jīng)別離變量，方程可改寫(xiě)成，于是，積分可得通解．假設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，那么也是方程的一個(gè)解．如果不限定自變量是x，未知函數(shù)是y，且x0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，那么常值函數(shù)也是方程的一個(gè)解．在求解變量可別離的方程時(shí)，注意不要遺漏了這類常值函數(shù)解．如果在積分所得的通解表達(dá)式里，未知函數(shù)包含在對(duì)數(shù)中，應(yīng)盡可能通過(guò)恒等變形把未知函數(shù)從對(duì)數(shù)中“解脫”出來(lái)．〔2〕齊次微分方程齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是，作變換由于dy=udx+xdu，代入方程可得，這是關(guān)于u與x的可別離變量方程．當(dāng)時(shí)，別離變量并積分可得.把換回，即得原方程的通解.同樣,假設(shè)存在是的根，那么也是原方程的一個(gè)解．〔3〕一階線性微分方程一階線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是，其中與是函數(shù)．當(dāng)時(shí)，稱為一階齊次線性方程，否那么稱為一階非齊次線性方程．一階線性方程的通解為．注意，通解公式中的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解，通解公式中的第二項(xiàng)是非齊次線性方程的一個(gè)特解．一階線性方程通解的這種結(jié)構(gòu)是所有線性微分方程通解的共同特點(diǎn)．除了直接用上述通解公式求解外，還可用積分因子法求解．即用函數(shù)〔稱為方程的積分因子〕同乘方程兩端，按乘積的導(dǎo)數(shù)公式有，兩端再積分一次，移項(xiàng)后就得出了通解公式．【例1】函數(shù)在任意點(diǎn)x處的增量，且當(dāng)時(shí)，是比擬高階的無(wú)窮小，，那么〔〕〔A〕2．〔B〕．〔C〕．〔D〕．【例2】設(shè)函數(shù)連續(xù)，求解方程：．【解】實(shí)質(zhì)上可導(dǎo)．求導(dǎo)得又原方程中令x=0得y〔0〕=0．求解初值問(wèn)題兩邊乘，得積分得由.【例3】設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且滿足．求函數(shù)．【解】實(shí)質(zhì)上可導(dǎo)，求導(dǎo)得原方程中令x=1，得0=0自然成立，不必另加條件.求解方程〔其中〕得．§3二階常系數(shù)線性微分方程及其解法二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為，其中a，b是常數(shù)，右端項(xiàng)是函數(shù)．當(dāng)時(shí)，方程稱為齊次的，否那么，方程稱為非齊次的．引入記號(hào)，那么方程．二階常系數(shù)線性微分方程的解滿足疊加原理：假設(shè)y1是方程的一個(gè)解，y2是方程的一個(gè)解，A，B是兩個(gè)常數(shù)，那么Ay1+By2就是方程的一個(gè)解．二階常系數(shù)線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理：方程的通解是y=C1y1+C2y2+y*．其中y1和y2是對(duì)應(yīng)齊次方程L[y]=0兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，即L[y1]0和L[y2]0，且不存在常數(shù)k使得y1ky2，y*是非齊次方程的一個(gè)解，即，而C1，C2是兩個(gè)任意常數(shù)．〔1〕齊次方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的求法：二次方程稱為二階常數(shù)系線性微分方程的特征方程，它的兩個(gè)根稱為特征根．按照特征根的不同情況，可得齊次方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，如下表．特征根線性無(wú)關(guān)二解實(shí)根實(shí)根復(fù)根〔2〕非齊次方程一個(gè)特解的求法：假設(shè)，其中是一個(gè)x的m次多項(xiàng)式，r是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么可按照下表選取特解：(其中是系數(shù)待定的m次多項(xiàng)式)r與特征根，的關(guān)系特解y*的形式r≠，r≠r=，r≠r=，r=假設(shè)非齊次項(xiàng)，只需把它看成，且r=0的特殊情形即可．假設(shè)，其中Ｍ，Ｎ，r，ω都是實(shí)數(shù)，且ω＞0．特解的取法如下表：〔其中A，B是兩個(gè)待定的常數(shù)〕與特征值的關(guān)系特解y*的形式不是特征根是特征根假設(shè)非齊次項(xiàng)，只需把它看成是，且r=0的特殊情形即可．另外，無(wú)論系數(shù)Ｍ與Ｎ中是否有等于零的，在特解y*中仍應(yīng)當(dāng)假設(shè)包含兩個(gè)待定系數(shù)A與B．【例1】設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是微分方程的解,其中,,是連續(xù)的，且C1和C2是任意常數(shù)，那么此方程的通解是y=〔〕．〔A〕C1y1+C2y2+y3．〔B〕C1y1+C2y2－〔C1+C2〕y3．〔C〕C1y1+C2y2－〔1－C1－C2〕y3．〔D〕C1y1+C2y2+〔1－C1－C2〕y3．【例2】設(shè)有一個(gè)特解為，求常數(shù)a，b，c的值及此方程的通解．【例3】微分方程的特解形式可設(shè)為〔A〕y*=ax2+bx+c+x〔Asinx+Bcosx〕．〔B〕y*=x〔ax2+bx+c+Asinx+Bcosx〕．〔C〕y*=ax2+bx+c+Asinx．〔D〕y*=ax2+bx+c+Acosx．【例4】設(shè)，其中連續(xù)．求．2〕求解初值問(wèn)題．令，求解①轉(zhuǎn)化為求解二階線性常系數(shù)方程的初值問(wèn)題：特征方程，特征根＝±i，相應(yīng)齊次方程的通解y=cosx+sinx再求原非齊次方程的如下特解記＝Acosx+Bsinx，于是y*＝x，且無(wú)論系數(shù)A，B取何值，其中的函數(shù)＝Acosx+Bsinx都滿足對(duì)應(yīng)的齊次方程．計(jì)算可得．代入方程就有，由此可得于是原方程的通解為由初條件,．因此求得§4某些高階微分方程§5