江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

【新結(jié)構(gòu)】（萍鄉(xiāng)二模）20232024學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合，，若的充分條件是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.z的實(shí)部為12 B.z的虛部為13i C. D.3.已知隨機(jī)變量，且，則(

)A.3 B.2 C.1 D.04.已知，，，則向量與的夾角為(

)A. B. C. D.5.陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺內(nèi)接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為(

)

A. B. C. D.6.已知，，，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.7.點(diǎn)M將一條線段AB分為兩段AM和MB，若，則稱點(diǎn)M為線段AB的黃金分割點(diǎn).已知直線與函數(shù)的圖象相交，A，B，C為相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，則(

)A.當(dāng)時(shí)，存在使點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)

B.對(duì)于給定的常數(shù)，不存在a使點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)

C.對(duì)于任意的a，存在使點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)

D.對(duì)于任意的，存在a使點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)8.如圖1，與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長(zhǎng)線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心.如圖2，已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，Q是的一個(gè)旁心.直線PQ與x軸交于點(diǎn)M，若，則該雙曲線的漸近線方程為(

)

A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.

C.為遞增數(shù)列 D.為周期數(shù)列10.已知，則下列關(guān)系正確的是(

)A. B.

C. D.11.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)，M，N滿足，，AM與NF相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.

C. D.面積的最大值為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一種春節(jié)吉祥物為分布均勻的正十二面體模型如圖，某興趣小組在十二個(gè)面分別雕刻了十二生肖的圖案.若其中的2個(gè)成員將該模型各隨機(jī)拋出一次，則恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上即龍的圖案在最上面的概率為__________.

13.在中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，，，若AD，BE交于點(diǎn)I，則__________;當(dāng)，，時(shí)，的面積為__________.14.正方體的棱長(zhǎng)為2，P為該正方體側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)含邊界，若PA，PB分別與直線AD所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間;若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.16.本小題15分

定義兩組數(shù)據(jù)，的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量在該組數(shù)據(jù)中的排名和變量在該組數(shù)據(jù)中的排名的樣本相關(guān)系數(shù)，記為，其中

某校15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的排名與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的排名如下表：數(shù)學(xué)成績(jī)的排名123456789101112131415知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的排名153498761021214131115試求這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼系數(shù)”;已知在這15名學(xué)生中有10人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機(jī)抽取3人，抽到數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有X人，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.本小題15分

如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，A為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面圓的圓心，，P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)不與B，C重合，點(diǎn)M在AB上，且，

當(dāng)時(shí)，證明：平面若四棱錐的體積大于等于①求二面角的取值范圍;②記異面直線AP與BO所成的角為，求的最大值.18.本小題17分已知橢圓的離心率為，A，B是E上的不同兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為，當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè)，點(diǎn)A，B都不在y軸上，連接PA，PB，分別交E于C，D兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線CD的距離的最大值.19.本小題17分固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中c為參數(shù).當(dāng)時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：②二倍角公式：③平方關(guān)系：定義雙曲正弦函數(shù)為寫出，具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì);任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;正項(xiàng)數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)a，使得若存在，求出a的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意A是B的子集，所以【解答】

解：，，

因?yàn)榈某浞謼l件是，所以，

則，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，復(fù)數(shù)的模以及共軛復(fù)數(shù)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，然后結(jié)合選項(xiàng)分析即可求解.【解答】

解：由于復(fù)數(shù)，

所以z的實(shí)部為0，虛部為13，故AB錯(cuò)誤；

所以

，

，故C錯(cuò)誤D正確.

故選3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查正態(tài)分布的概率，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)直接得到答案即可.【解答】

解：隨機(jī)變量，

所以，所以，故

所以答案為4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查向量的模、夾角的計(jì)算、向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.

利用，即可求出結(jié)果.【解答】

解：，，

設(shè)向量與的夾角為，

，

即，

，

，

故選5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查圓柱和圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查圓錐的體積，圓柱的體積，球的表面積，屬于基礎(chǔ)題.

由題可知外接球的半徑為4，且球心在圓柱的中心，利用勾股定理列出表達(dá)式，計(jì)算可得答案.【解答】

解：若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長(zhǎng)分別為，，r，

由題，因?yàn)閳A柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上，

所以外接球球心O在圓柱的中心，

令外接球的半徑為R，有

因?yàn)榍虻谋砻娣e為，解出，

在圓柱中，有，，解出，，

所以該陀螺的體積為

6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，屬于中難題.

令，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合，可得答案.【解答】

解：令，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因?yàn)椋?/p>

且，，

則，即，故答案為7.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查新定義，涉及數(shù)形結(jié)合思想以及任意角的三角函數(shù)，屬于中檔題.

依題意，作出圖形，結(jié)合題意可分析計(jì)算得出答案.【解答】

解：

若，則，即點(diǎn)M為線段

AB的黃金分割點(diǎn);

當(dāng)時(shí)，，不存在使點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤;

如下圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，

則存在一個(gè)使得，故選項(xiàng)B錯(cuò);

對(duì)于選項(xiàng)D，若與相交于相鄰的三點(diǎn)A，B，C，

其橫坐標(biāo)分別為，，，則，

將變換成后，點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，，，

且滿足，，，

故，即，對(duì)比值無(wú)影響，故選項(xiàng)D正確.

8.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了雙曲線的漸近線，正弦定理，屬于一般題.

結(jié)合題意，運(yùn)用三角形旁心的定義得出角相等，結(jié)合正弦定理，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊長(zhǎng)關(guān)系，再結(jié)合題意得到

a

、

b

、

c

之間的關(guān)系后即可計(jì)算漸近線方程.【解答】解：由三角形旁心的定義可知

分別平分

，在

中，

，在

中，

，因?yàn)?/p>

，

，所以

，

，所以

，同理可得

，所以

，而

，故漸近線方程為：

.故選：D9.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的周期性，屬于中檔題.

根據(jù)題意，分別求得，得到數(shù)列構(gòu)成以為周期的周期數(shù)列，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答】解：由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，歸納可得數(shù)列構(gòu)成以為周期的周期數(shù)列，所以A不正確；

，

所以B正確；又，所以隨著n的增大而增大，所以C正確；由A選項(xiàng)可知，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)重新組成的新數(shù)列即為，

故數(shù)列構(gòu)成以1，為周期的周期數(shù)列，所以D正確.故選：10.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查利用作差法比較大小，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于中等題.

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，并結(jié)合作差法比較大小，依次判斷各選項(xiàng).【解答】

解：因?yàn)?，所以，?/p>

對(duì)A選項(xiàng)，，所以，故A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，，

所以，故B選項(xiàng)不正確；

對(duì)C選項(xiàng)，，

因?yàn)?，所以?/p>

同理，，所以，

所以，則，故C不正確；

對(duì)D選項(xiàng)，

，

故D正確.11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系，平面向量的運(yùn)用，屬于中檔題.

根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合向量關(guān)系求選項(xiàng)A；進(jìn)而根據(jù)四邊形BMNF為平行四邊形求選項(xiàng)B；當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性求選項(xiàng)最后設(shè)，，因?yàn)閘過(guò)焦點(diǎn)F，則，則求選項(xiàng)【解答】

解：因?yàn)?，則O平分線段MF，又，則O平分線段BN，則四邊形BMNF為平行四邊形，故A對(duì);

因?yàn)樗倪呅蜝MNF為平行四邊形，所以，又，故，故B對(duì);

當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，P在y軸上，此時(shí)，故C錯(cuò);

設(shè)，，因?yàn)閘過(guò)焦點(diǎn)F，則，則，則，又，則，即為等腰三角形，且y軸為MF的垂直平分線，故P必在y軸上.此外，，則，則，當(dāng)MA與拋物線C相切時(shí)，取得最大值1，即的最大值為1，故D對(duì)，

故選：

12.【答案】

【解析】【分析】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接計(jì)算可得答案.【解答】

解：因?yàn)?個(gè)人拋出一次時(shí)龍的圖案在最上面的概率為，

所以2個(gè)成員各拋一次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為13.【答案】1

；

【解析】【分析】本題考查平面向量的基本定理，考查利用余弦定理解三角形，屬于中等題.

利用平面向量的基本定理，可得，用待定系數(shù)法可得的值，再結(jié)合余弦定理和三角函數(shù)值計(jì)算出，利用三角形的面積公式可得答案.【解答】

解：因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，所以?/p>

令，所以，

所以，

因?yàn)锽，I，E共線，所以①，

因?yàn)锳，I，D共線，

所以，

所以②，

聯(lián)立①②，，解出，

故，所以，解出，

故，

在中，由余弦定理，，

因?yàn)椋裕?/p>

，

則。14.【答案】

【解析】【分析】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，空間向量的數(shù)量積與角度的關(guān)系，考查與橢圓的軌跡問(wèn)題，屬于難題.

利用空間向量的數(shù)量積與角度的關(guān)系，列出PA，PB分別與直線AD所成角的正切值之和的表達(dá)式，從而得到點(diǎn)P的軌跡為在平面中以點(diǎn)D，C為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，可得點(diǎn)P到平面ABCD的距離h的取值范圍，最后利用棱錐的體積公式計(jì)算得到答案即可.【解答】

解：在正方體中，以A為原點(diǎn)，以AB，AD，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，

因?yàn)椋?/p>

，

所以，

整理可得點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，

所以點(diǎn)P的軌跡為在平面中以點(diǎn)D，C為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，

則點(diǎn)P到平面ABCD的距離h的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)P在CD中點(diǎn)的正上方；最小值為，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)D或者點(diǎn)C的正上方，

所以四棱錐的體積為15.【答案】解：的定義域?yàn)椋?/p>

，令解得

令，解得，

令，解得，

從而在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

由題意存在，使得成立；即存在，使得

令，

則，

令，解得，

令，解得，

從而在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

所以的最小值為

則

故a的取值范圍是

【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．16.【答案】解：

的值可能為0，1，2，3，

，，

，，

則X的分布列為：

故X的數(shù)學(xué)期望為

【解析】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，屬于中等題.

根據(jù)題意，直接帶入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得到答案；

根據(jù)題意，，1，2，3，分別算出對(duì)應(yīng)的概率，從而得到期望值.17.【答案】解：由題知，在中，，，，

求得，則，，

又，，，OA、平面AOB，

故平面AOB，

又平面AOB，所以，

又，OP、平面MOP，

平面

①設(shè)，，，則二面角的平面角即為，

在OB上取點(diǎn)N，使，連接MN，，，

四棱錐的體積，

其中S表示四邊形OCPB的面積，

則

，

由，可得，

，則，

故，解得，

即二面角的取值范圍為

②以方向x軸正方向，在內(nèi)垂直于OB的方向?yàn)閥軸正方向，方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

，，

，，

，，

即的最大值為

【解析】本題考查了線面垂直的判定、平面與平面所成角和直線與直線所成角的向量求法，是中檔題.

由勾股定理得，再證明平面AOB，所以，由線面垂直的判定即可；

①設(shè)，則二面角的平面角即為，易得四邊形OCPB的面積S，由，可得，即二面角的取值范圍；

②建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.18.【答案】解：依題意，則，因此，

當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線AB的方程為：，

設(shè)，，

聯(lián)立直線AB與橢圓E的方程得，

所以，解得，

故，，即橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

設(shè)，，，，

可知PA的斜率存在，設(shè)為k，

則，直線PA的方程為，

聯(lián)立直線PA與橢圓E的方程，

整理得，

，則，

又，故，

同理可得，易知CD的斜率不為0，設(shè)CD的方程為，

則，

，

又，則，

對(duì)比CD的方程可知，直線