上海市虹口區(qū)復(fù)興高中2024年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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上海市虹口區(qū)復(fù)興高中2024年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.2.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì),下列敘述錯(cuò)誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好3.年初,湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延,各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng),全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù),則下列中表述錯(cuò)誤的是()A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B.隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C.月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D.我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值4.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.5.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點(diǎn),,是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.6.已知集合,,則的真子集個(gè)數(shù)為()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.自2019年12月以來(lái),在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級(jí)政府反應(yīng)迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種8.函數(shù)fxA. B.C. D.9.()A. B. C.1 D.10.如圖,平面四邊形中,,,,,現(xiàn)將沿翻折,使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn),且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.11.若實(shí)數(shù)滿足的約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知直線過(guò)雙曲線C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知非零向量的夾角為,且,則______.14.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.15.三對(duì)父子去參加親子活動(dòng),坐在如圖所示的6個(gè)位置上,有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).16.已知集合,其中,.且,則集合中所有元素的和為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.18.(12分)已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng),,.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與曲線交于、兩點(diǎn),,求的取值范圍.19.(12分)過(guò)點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線相交于D、E兩點(diǎn),已知當(dāng)l的斜率為時(shí),.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.20.(12分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,且,求a的取值范圍.21.(12分)某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品,獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng),同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)).年份年份代號(hào)年利潤(rùn)(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司年(年份代號(hào)記為)的年利潤(rùn);(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí),稱該年為級(jí)利潤(rùn)年,否則稱為級(jí)利潤(rùn)年.將(Ⅰ)中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年,求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式:,.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,為橢圓上兩點(diǎn),圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點(diǎn)滿足,求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè),,則的定義域?yàn)?,當(dāng),,單增,當(dāng),,單減,則.則在上單增,上單減,.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.2、C【解析】

結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于,個(gè)高于,其中第個(gè)接近,第個(gè)高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對(duì)于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來(lái)越差,故錯(cuò)誤.對(duì)于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).3、D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤;根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),由圖象可知,月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì),A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),由圖象可知,隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù),B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),由圖象可知,月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大,C選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng),在月日及以前,我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù),我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗(yàn)證求解.【詳解】因?yàn)?,所以是奇函?shù),故排除A,B,又,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過(guò)程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,由圖象可知選B.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、C【解析】

求出的元素,再確定其真子集個(gè)數(shù).【詳解】由,解得或,∴中有兩個(gè)元素,因此它的真子集有3個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù),解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí),本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集.7、C【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識(shí),解此類題時(shí)一般先組合再排列,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→09、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算,同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由題意可得面,可知,因?yàn)?,則面,于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點(diǎn),進(jìn)而算出,外接球半徑為1,得出結(jié)果.【詳解】解:由,翻折后得到,又,則面,可知.又因?yàn)椋瑒t面,于是,因此三棱錐外接球球心是的中點(diǎn).計(jì)算可知,則外接球半徑為1,從而外接球表面積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí),屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.【詳解】實(shí)數(shù)滿足的約束條件,畫出可行域如下圖所示:將線性目標(biāo)函數(shù)化為,則將平移,平移后結(jié)合圖像可知,當(dāng)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)截距最小,;當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí),截距最大值,,所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由已知條件得出,可得,解之可得答案.【詳解】向量的夾角為,且,,可得:,

可得,

解得,

故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模,關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方,利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解即可,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案15、192【解析】

根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對(duì)父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、2889【解析】

先計(jì)算集合中最小的數(shù)為,最大的數(shù),可得,求和即得解.【詳解】當(dāng)時(shí),集合中最小數(shù);當(dāng)時(shí),得到集合中最大的數(shù);故答案為:2889【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因?yàn)?,則,因?yàn)椋?,故,解得,故,則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,用坐標(biāo)表示出,得到,所以,代入韋達(dá)定理即可求解.【詳解】(1)設(shè),,則,設(shè),由得.又由于,化簡(jiǎn)得的軌跡的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,與的方程聯(lián)立,消去得,,設(shè),,則,,由已知,,則,故直線.,令,則,由于,,.所以,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】此題考查軌跡問(wèn)題,橢圓和直線相交,注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧,屬于較難題目.19、;【解析】

根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程;設(shè),的中點(diǎn)為,把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達(dá)定理求出,進(jìn)而求出的中垂線方程,即可求得在軸上的截距的表達(dá)式,然后根據(jù)的取值范圍求解即可.【詳解】由題意可知,直線l的方程為,與拋物線方程方程聯(lián)立可得,,設(shè),由韋達(dá)定理可得,,因?yàn)?,所以,解得,所以拋物線C的方程為;設(shè),的中點(diǎn)為,由,消去可得,所以判別式,解得或,由韋達(dá)定理可得,,所以的中垂線方程為,令則,因?yàn)榛?所以即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用;考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力;屬于中檔題.20、(1)①極小值為1,無(wú)極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.(2)【解析】

(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”(),即是的零點(diǎn),那么由導(dǎo)數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導(dǎo)數(shù),存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,可以由和韋達(dá)定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,進(jìn)行討論即得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無(wú)極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”().(),是函數(shù)的零點(diǎn).,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實(shí)根1,所以,得,根據(jù)①知,時(shí),是函數(shù)的極小值點(diǎn),所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上,得實(shí)數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,,是關(guān)于x的方程()的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,,,即,從而,,即..,,解得.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)(解法2)因?yàn)椋╝,b,,)所以().又因?yàn)楹瘮?shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,所以,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.由得,.(2.1)當(dāng)是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),且.所以,即.又,所以,所以.又,所以.(2.2)當(dāng)不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),則,是關(guān)于x的方程的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,所以得所以,得.所以,得.綜合(2.1)(2.2),實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等,是一道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目,考查學(xué)生的分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,有一定難度.21、(Ⅰ),該公司年年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進(jìn)而可求得關(guān)于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤(rùn)的估計(jì)值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線方

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