專題03 三角形的證明與計(jì)算（原卷版）

2/2專題03三角形的證明與計(jì)算目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01三角形與全等 1題型02三角形與相似 9題型03三角形邊角計(jì)算 19中考練場 31題型01三角形與全等【解題策略】六個(gè)全等模型手拉手模型倍長中線模型平行線中等模型雨傘模型【典例分析】例．（2023·北京·中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．【變式演練】1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在和中，延長交于F．求證：．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在等腰與等腰中，，連接，相交于點(diǎn)，連接，，．(1)探究線段，有何關(guān)系？寫出結(jié)論并說明理由．(2)若，，求的值．(3)直接寫出的值．3．（2023·河北石家莊·一模）如圖，在中，為線段上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作射線．(1)求證：，并求的度數(shù)；(2)若F為中點(diǎn)，連接，連接并延長，交射線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)．①求的長；②直接寫出的長．題型02三角形與相似【解題策略】8字模型 反8字模型手拉手模型一線三等角模型【典例分析】例．（2023·湖南常德·中考真題）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，延長至E，連接．

(1)求證：；(2)在如圖1中，若，其它條件不變得到圖2，在圖2中過點(diǎn)D作于F，設(shè)H是的中點(diǎn)，過點(diǎn)H作交于G，交于M．求證：①；②．【變式演練】1．（2023九年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，為邊上一點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，且，連接，，，延長交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，連接，交延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，求的值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求證：．2．（2023·上海虹口·一模）如圖，在中，已知點(diǎn)D、E分別在邊上，和相交于點(diǎn)F，，．(1)求證：；(2)如果，求證：．3．（2024·上海普陀·一模）已知：如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，，與交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接，如果，求證∶．4．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）在和中，，直線與交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，若，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）．題型03三角形邊角計(jì)算【解題策略】勾股定理常見折疊模型：計(jì)算方差的公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)是，是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是：

例：DB2+BC2=DC2例：DB2+AB2=AD2例：BM2+AB2=AM2MN=MC2例：FC=AC例：AD=AC【典例分析】例．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，在中，過點(diǎn)C作，在上截取，上截取，連接．(1)求證：；(2)若，求的面積．【變式演練】1．（2023·湖北黃岡·一模）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，且，E為的中點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．2．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作交于F，連接．(1)求證：；(2)若，，求線段的長度．3．（2023·安徽·模擬預(yù)測）某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)四邊形進(jìn)行了如下探究：在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若（為銳角），求四邊形的面積；（用含的代數(shù)式表示）(3)如圖3，若，求四邊形的面積．4．（2024·山西朔州·一模）綜合與實(shí)踐在中，為邊的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作．(1)如圖1，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，交邊于點(diǎn)，不添加輔助線，則圖①中與相似的三角形有______．（填序號(hào)）①

②

③

④(2)如圖2，將繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，分別交線段于點(diǎn)，（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求證：．(3)在圖2中，若，當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時(shí)，求線段的長．1．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，的延長線上，且，連接與交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)若，，求四邊形的周長．2．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求的長；(3)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，在中，平分，，重足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作、交于點(diǎn)F，G為的中點(diǎn)，連接．求證：．

4．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，．

(1)求證：；(2)若，時(shí)，求的面積．5．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運(yùn)動(dòng)，滿足．(1)求證：；(2)設(shè)的長為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．6．（2023·山東臨沂·中考真題）如圖，．(1)寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)延長到，使，延長到，使，連接．求證：；(3)在（2）的條件下，作的平分線，