天體運(yùn)動(dòng)中天體質(zhì)量和密度的估算與天體表面重力加速度問(wèn)題(解析版)

天體表面重力加速度問(wèn)題與天體質(zhì)量和密度的估算一、天體表面上的重力加速度問(wèn)題重力是由于物體受到地球的萬(wàn)有引力而產(chǎn)生的，嚴(yán)格說(shuō)重力只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，另一個(gè)分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，但由于向心力很小，一般情況下認(rèn)為重力約等于萬(wàn)有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，這樣重力加速度就與行星質(zhì)量、半徑聯(lián)系在一起，高考也多次在此命題。計(jì)算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq\f(GmM,R＋h2)，得，g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)(3)其他星球上的物體，可參考地球上的情況做相應(yīng)分析．【典例1】宇航員王亞平在“天宮1號(hào)”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國(guó)首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為()A．0 B.eq\f(GM,R＋h2)C.eq\f(GMm,R＋h2) D.eq\f(GM,h2)【解析】飛船受的萬(wàn)有引力等于在該處所受的重力，即Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R＋h2)，選項(xiàng)B正確?！敬鸢浮緽【典例2】假設(shè)有一火星探測(cè)器升空后，先在地球表面附近以線速度v環(huán)繞地球飛行，再調(diào)整速度進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，最后以線速度v′在火星表面附近環(huán)繞火星飛行。若認(rèn)為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比為1∶2，密度之比為5∶7。設(shè)火星與地球表面的重力加速度分別為g′和g。下列結(jié)論正確的是()A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10C．v′∶v＝eq\r(\f(5,28)) D．v′∶v＝eq\r(\f(5,14))【答案】C【典例3】若在某行星和地球上相對(duì)于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們?cè)谒椒较蜻\(yùn)動(dòng)的距離之比為2∶eq\r(7)。已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為()A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)RC．2R D.eq\f(\r(7),2)R【答案】C【解析】做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，兩種情況下，物體拋出的速度相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(7,4)，根據(jù)公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得g＝eq\f(GM,R2)，故eq\f(g行,g地)＝eq\f(\f(M行,R行2),\f(M地,R地2))＝eq\f(7,4)，解得R行＝2R，故C正確。【跟蹤短訓(xùn)】1．宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原地。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計(jì)。則()A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80【答案】D【解析】由速度變化的對(duì)稱性知豎直上拋的小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(2v0,g)，5t＝eq\f(2v0,g′)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，A、B錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，因而eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′R星2,gR地2)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,80)，C錯(cuò)誤，D正確。2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的(忽略其自轉(zhuǎn)影響)()A.eq\f(1,4) B．4倍C．16倍 D．64倍【答案】D【解析】天體表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，又知ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3M,4πR3)，所以M＝eq\f(9g3,16π2ρ2G3)，故eq\f(M星,M地)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g星,g地)))3＝64。D正確。3.熱愛(ài)天文科學(xué)的某同學(xué)從網(wǎng)上得到一些關(guān)于月球和地球的信息，如下表中所示。根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球和月球的密度之比為()月球半徑R0月球表面處的重力加速度g0地球和月球的半徑之比eq\f(R,R0)＝4地球表面和月球表面的重力加速度之比eq\f(g,g0)＝6A.3∶2 B．2∶3C．4∶1 D．6∶1【答案】A4．據(jù)報(bào)道，科學(xué)家們?cè)诰嚯x地球20萬(wàn)光年外發(fā)現(xiàn)了首顆系外“宜居”行星。假設(shè)該行星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，半徑約為地球半徑的2倍。那么，一個(gè)在地球表面能舉起64kg物體的人，在這個(gè)行星表面能舉起的物體的質(zhì)量約為(地球表面重力加速度g＝10m/s2)()A．40kg B．50kgC．60kg D．30kg【答案】A【解析】在地球表面，萬(wàn)有引力近似等于重力eq\f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)，因?yàn)樾行琴|(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，其半徑約為地球半徑的2倍，則行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的舉力可認(rèn)為是不變的，則人在行星表面所舉起的物體的質(zhì)量為：m＝eq\f(m0,1.6)＝eq\f(64,1.6)kg＝40kg，故A正確。5．科幻大片《星際穿越》是基于知名理論物理學(xué)家基普·索恩的黑洞理論，加入人物和相關(guān)情節(jié)改編而成的。電影中的黑洞花費(fèi)三十名研究人員將近一年的時(shí)間，用數(shù)千臺(tái)計(jì)算機(jī)精確模擬才得以實(shí)現(xiàn)，讓我們看到了迄今最真實(shí)的黑洞模樣。若某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G為引力常量)，則該黑洞表面的重力加速度約為()A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2 D．1014m/s2【答案】C【解析】黑洞實(shí)際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬(wàn)有引力，設(shè)黑洞表面的重力加速度為g，對(duì)黑洞表面的某一質(zhì)量為m的物體，有eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，聯(lián)立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入數(shù)據(jù)得重力加速度約為1012m/s2，故選項(xiàng)C正確。6.假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2【答案】A【解析】如圖所示，7.月球是離地球最近的天體，已知月球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，若忽略月球的自轉(zhuǎn)，則關(guān)于在月球表面所做的實(shí)驗(yàn)，下列敘述正確的是()A．把質(zhì)量為m的物體豎直懸掛在彈簧測(cè)力計(jì)下，靜止時(shí)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為eq\f(GMm,R2)B．以初速度v0豎直上拋一個(gè)物體，則物體經(jīng)時(shí)間2πeq\r(\f(R,GM))落回原處C．把羽毛和鐵錘從同一高度同時(shí)釋放，則鐵錘先落地D．用長(zhǎng)為l的細(xì)繩拴一質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則小球的最小動(dòng)能為eq\f(GMml,2R2)【答案】AD二、中心天體質(zhì)量和密度的估算(1)“g、R法”：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。①由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝geq\f(R2,G)。②天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)“T、r法”：測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。③若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)可見(jiàn)，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度?！镜淅?】假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G。地球的密度為()A.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0－g,g0) B.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g)【答案】B【解析】物體在地球的兩極時(shí)，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物體在赤道上時(shí)，mg＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝Geq\f(Mm,R2)，以上兩式聯(lián)立解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g)。故選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤?！镜淅?】利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期C．月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離【答案】D【跟蹤短訓(xùn)】1.“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103km。利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為()A．8.1×1010kg B．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kg【答案】D【解析】對(duì)“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星，由于萬(wàn)有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，整理得：M＝eq\f(4π2,GT2)(R＋h)3，代入數(shù)據(jù)可得M≈7.4×1022kg，D正確。2.“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103A．8.1×1010kgC．5.4×1019kg【答案】D【解析】天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)都是萬(wàn)有引力提供向心力．“嫦娥一號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律知：eq\f(GMm