專題14 圖形的相似 綜合檢測過關(guān)卷（解析版）

專題14圖形的相似綜合過關(guān)檢測（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）1．下列四條線段中，不是成比例線段的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查線段成比例的知識，可以根據(jù)定義判定，也可以計算最大最小數(shù)的積以及中間兩個數(shù)的積，判斷是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．【詳解】解：A、，，，故四條線段是成比例線段，不符合題意；B、，，，故四條線段是成比例線段，不符合題意；C、，，，故四條線段不是成比例線段，符合題意；D、，，，故四條線段是成比例線段，不符合題意．故選：C．2．在比例尺為的地圖上量得兩地的圖上距離，則兩地的實際距離為（

）mA． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了比例尺，根據(jù)比例尺等于圖上距離除以實際距離，那么用圖上距離除以比例尺即可求出實際距離，據(jù)此求解即可．【詳解】解：，故選B．3．在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．設(shè)雕像的下部高為，由黃金分割的定義可列出等式求解即可．【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為，雕像上部(腰部以上)與下部(腰部以下)的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為，即該雕像的下部設(shè)計高度約是，故選B．4．如圖，正五邊形的幾條對角線的交點分別為，它們分別是所在對角線的黃金分割點．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正多邊形的相關(guān)性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及判定，首先根據(jù)正五邊形的相關(guān)性質(zhì)判定四邊形為平行四邊形，進而求出的長度，再根據(jù)黃金分割點進行計算即可得到的長.黃金分割點等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握黃金分割點的計算方法是解決本題的關(guān)鍵【詳解】解：∵五邊形為正五邊形∴，,∴同理可得∴∵∴同理可證明∴四邊形為平行四邊形∴,，同理：，∵、為的黃金分割點∴，∴，∴，故選：A．5．黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點E，以E為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點F，這樣就把正方形延伸為矩形，稱其為黃金矩形．若，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握，計算即可．【詳解】解：設(shè)，四邊形是正方形，，矩形是黃金矩形，，，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，，故選：D．6．如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，與相交于點H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，故①正確；∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④正確；在中，，∴，，∴，故③錯誤；設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故⑤正確．綜上分析可知，正確的結(jié)論有4個，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．7．如圖，的邊上有兩點、，且是正三角形，則下列條件不一定能使與相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由是正三角形，所以，，再根據(jù)相似三角形的判定方法逐項分析即可．【詳解】解：∵是正三角形，∴，∴選項A，當(dāng)時，，∵，∴，∴，選項C，由，∴∵∴又∵，∴，選項D，由，，∴，∵∴，選項B條件不足以證明與，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是關(guān)鍵．8．如圖，，則圖中相似三角形共有（

）對．

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】因為是公共角，，所以可得；易得，所以，可得；所以共有4對．【詳解】∵∴，∴，∴；∴共有4對．故選：B【點睛】本題考查相似三角形的判定：有兩組對應(yīng)角相等的三角形相似．9．如圖，平行四邊形，是延長線上的一點．交、于點、，則圖中相似三角形共有（

）

A．對 B．對 C．對 D．對【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法進行分析即可．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，，由，得：，，由，得：，，，四邊形為平行四邊形，是對角線，，，綜上所述，相似三角形有共有對，故選：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理，注意找全相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點G、F分別在邊、上，如果正好經(jīng)過的重心，那么的積等于（

）A．4 B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，設(shè)的重心是，連接，延長交于，由三角形的重心的性質(zhì)可得，再結(jié)合矩形的性質(zhì)和平行線分線段成比例及余角的性質(zhì)證明，即可推出．【詳解】解：設(shè)的重心是，連接，延長交于，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故選：B．二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）11．兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點P是線段上一點，若滿足，則稱點P是的黃金分割點．如圖所示的五角星中，，且C，D兩點都是AB的黃金分割點，若，則的長是．【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割點，在C，D兩點中任意選一個黃金分割點，選C為黃金分割點時，根據(jù)黃金分割點的定義得出，設(shè)，則，列出關(guān)于x的一元二次方程求解x，進而即可求出．【詳解】解：根據(jù)題意得：∵C點是的黃金分割點，∴,即，∵，∴設(shè)，則，∴，整理得：，解得：,∴，（舍去）．∴.故答案為：．12．如圖，在矩形ABCD中，截去一個正方形ABFE后，使剩下的矩形對折后與原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=．【答案】或2【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，進行計算即可求解．【詳解】∵ABFE是正方形，∴AB=EF=AE，∵矩形GFCH和矩形EGHD全等，∴EG=DH=GF=HC，設(shè)ED=，EG=，∴AD=，AB=，∵矩形ABCD和矩形EGHD相似，∴或，①當(dāng)時，∴，解得：，∴AD：AB=，②當(dāng)時，，解得：，∴AD：AB=，故答案為：2或．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，，，，為小正方形的頂點，則圖中所形成的三角形中，相似的三角形是．【答案】【分析】本題主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的邊把對應(yīng)的線段表示出來，利用兩邊比值以及夾角相等的兩個三角形相似即可證明．【詳解】解：，由題意可知：，，∴，，∵，∴，故答案為：．14．如圖，不等長的兩條對角線相交于點，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個三角形．若，則甲、乙、丙、丁這4個三角形中，一定相似的有．【答案】乙和丁【詳解】．【易錯點分析】容易誤認為，條件中，是，是，不是兩個三角形的對應(yīng)邊成比例，所以不能判定．15．如圖，點P是矩形邊上的任意一點（不包括點），點分別是的重心，若矩形的面積是8，則的面積是．【答案】【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，掌握三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接并延長交于點，連接并延長交于點，交于點，雙向延長，分別交于點，根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)得出：的底為，高為，進而即可求解．【詳解】解：連接并延長交于點，，連接并延長交于點，交于點，雙向延長，分別交于點，如圖，∵點分別是的重心，同理可得：，∴的底為，高為，設(shè)，∵矩形的面積是8，∴．∴的面積．故答案為：．16．如圖，在中，，點是的重心，聯(lián)結(jié)，如果，那么的余切值為．【答案】【分析】延長交于F，過G作于G，直線交于E，證明，得，同理可得，即有，根據(jù)G為的重心，，得，設(shè)，根據(jù)勾股定理列式計算可得答案．【詳解】解：過G作于G，延長交于點，如圖：∵，∴，，∵，∴，∴，∵G為的重心，∴，∵，∴，∴，則在直角三角形中，，故答案為：【點睛】本題考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，難度較大，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．17．如圖，在中，是邊上的中線，為的重心，過點作交于點，那么的面積是．【答案】/【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)中線分出的兩個三角形的面積相等得到，然后根據(jù)平行得到，進而得到計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴，又∵為的重心，，∴，∴，∴，故答案為：．18．已知中，，中線交于點，，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意利用三角形重心的性質(zhì)求出，再利用相似三角形判定得到，再利用相似三角形性質(zhì)即可得到本題答案．【詳解】解：∵中，，中線交于點，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴解得：，故答案為：．【點睛】本題考查三角形重心問題，相似三角形判定及性質(zhì)，直接開方法解一元二次方程．19．如圖，的中線和中線相交于點G，如果，那么圖中陰影部分的面積是．【答案】4【分析】本題主要考查了重心的性質(zhì)、三角形面積的計算；熟練掌握三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接并延長交于，則為的中線，的三條中線、，交于點，，，，，，．故答案為：4．20．如圖，淇淇同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為m，樹的頂端在水中的倒影距自己m遠，淇淇的身高為m，則樹高為m．

【答案】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由入射光線和反射光線與鏡面的夾角相等，可得兩個相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖所示：

∵入射光線和反射光線與鏡面的夾角相等，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴樹高為m．故答案為：三、解答題（本題共3題，共40分）21(12分)．巴臺農(nóng)神廟的設(shè)計代表了古希臘建筑藝術(shù)上的最高水平，它的平面圖可看作寬與長的比是的矩形，我們將這種寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形的寬．(1)黃金矩形的長；(2)如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以為邊的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；(3)在圖②中，連接，求點到線段的距離．【答案】(1)(2)矩形DCEF為黃金矩形，理由見解析(3)點D到線段AE的距離為【分析】本題考查了黃金分割，理解題目所給“黃金矩形”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，即可求解；（2）先求出，再求出的值，即可得出結(jié)論；（3）連接，，過D作于點G，根據(jù)，，得出，再根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，故答案為：；（2）解：矩形為黃金矩形，理由是：由（1）知，∴，∴，故矩形為黃金矩形；（3）解：連接，，過D作于點G∵，，∴，在中，，即，則，解得，∴點D到線段的距離為．22（14分）．如圖，正方形紙片．現(xiàn)對紙片做如下操作：第一步，對折紙片，使邊與重合，得到折痕；第二步，將折疊，得到折痕；第三步，將折疊，使頂點落在折痕上點處．(1)求證：點恰為線段的黃金分割點；(2)現(xiàn)有矩形紙片，其中，如圖所示．請你借助這張紙片，設(shè)法折出一個的角．要求寫出折紙的步驟（可仿照上面的表述），并在圖中畫出各步驟的折痕位置，注明角的位置，不需要證明．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查折疊作圖，黃金分割點的定義，勾股定理，掌握黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．（1）先運用勾股定理得到，然后在和中，運用解題計算即可證明；（2）先對折矩形，然后再折疊，使得點落在第一次的折痕上，即可得到角．【詳解】（1）證明：如圖，連接，設(shè)正方形的邊長為，則．在中，，則．設(shè)，則，在和中，有，即，解得，即點P是的黃金分割點()；（2）方法如圖所示:第一步：對折矩形紙片ABCD,使與重合，得到折痕，把紙片展平；第二步：再一次折疊紙片，使點