專題15 二倍角、半角問題（解析版）

二倍角、半角問題一、知識(shí)導(dǎo)航既有構(gòu)造相等角的，也有在這個(gè)問題上再進(jìn)行加工的，比如，在坐標(biāo)系中構(gòu)造已知角的半角或二倍角，角可以單獨(dú)出現(xiàn)，也可以存在于某個(gè)幾何圖形中，因此，構(gòu)造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：思路1：構(gòu)造半角三角函數(shù)．構(gòu)造二倍角三角函數(shù)：思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．二、典例精析例一、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ABD=2∠BAC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）思路：轉(zhuǎn)化為等角本題中的∠BAC和∠ABD是內(nèi)錯(cuò)角，若是構(gòu)造∠ABD=∠BAC，作平行線即可．兩倍角亦可以作平行構(gòu)造出，過B作x軸的平行線，作BA關(guān)于平行線對(duì)稱的直線，與拋物線交點(diǎn)即為D點(diǎn)．考慮到，故，可得直線BD解析式為：，與拋物線聯(lián)立方程：，解得：，，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．

例二、如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問題：當(dāng)t=1時(shí)，拋物線經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】思路：三角函數(shù)構(gòu)造相等角t=1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），代入拋物線解析式，可求得拋物線：，故頂點(diǎn)K的坐標(biāo)為．考慮要構(gòu)造，過點(diǎn)K作KH⊥MQ交MQ于H點(diǎn)，則．根據(jù)圖形可求得，故若，則，故，分別解得直線DQ解析式為或，與拋物線聯(lián)立方程：，解得：，，則對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為；，解得：，，則對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為或．三、中考真題演練1．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求t的值；(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；(3)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)B在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）證明，則，即可求解；（2）由即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，則，在中，，即可求解．【詳解】（1）∵平行四邊形，∴，，，由題意得∶，，如下圖，點(diǎn)在上時(shí)，

∵，，，∴，∴，則即解得：（2）如上圖，∵，∴，∵四邊形是菱形，則，∴，∴為等腰三角形，則過點(diǎn)作于點(diǎn)，則即解得∶，則，設(shè)中邊上的高為，則即：，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）存在，理由∶如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，則，在中，，解得：2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求，的值；(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖②，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作的垂線與過點(diǎn)且平行于的直線交于點(diǎn)，為的延長線上一點(diǎn)，連接，，使，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，使，若，求直線的解析式．【詳解】（1）點(diǎn)，在拋物線上，，解得：，，（2）由（1）知，拋物線的解析式是，是拋物線與軸的交點(diǎn)，時(shí)，，，，如下圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，

是第二象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，（3）如下圖，以為一邊作，的另一邊交的延長線于點(diǎn)；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為，

，由（2）知，，，，，，，，即，，，，，，，，，又，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，軸，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，又點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為3．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點(diǎn)，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時(shí)，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北黃岡·中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，______；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求得、，從而可得，，由，可得，求得，在中，根據(jù)正切的定義求值即可；（2）過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E，由，即，再由，可得，證明，可得，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，可得，再進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得：，∴拋物線解析式為：，∵拋物線與x軸交于A、兩點(diǎn)，∴時(shí)，，解得：，，∴，∴，，在中，，故答案為：，2，，；（2）解：過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E，∵，，，∴，由（1）可得，，即，∴，∵，∴，∵軸，軸，∴，，∴，又∵，∴，∴，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，，∴，解得：（舍），，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為．

5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，的面積為6．

(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為、；拋物線的解析式為(3)如圖2，平行于的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，在拋物線上存在點(diǎn)P，當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，恰好平分，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)，；．(3)【分析】（1）令，可求出的值，進(jìn)而可得出，的坐標(biāo)；令，可求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出線段的長，利用三角形的面積公式可得出的值；（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)，，可得，設(shè)出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)（只設(shè)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示），分別用橫坐標(biāo)之差、縱坐標(biāo)之差表示出兩個(gè)相似三角形的直角邊，列出比例等式；設(shè)出的解析式，與拋物線方程聯(lián)立，得出兩根之和的關(guān)系式，結(jié)合前面的比例等式解出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而算出縱坐標(biāo)．【詳解】（1）令，即，解得或，，；令，則，，即，，解得，函數(shù)解析式為：．故答案為：，；．（3）如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，設(shè)，，，，，，則：，，，，恰好平分，即，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，令，由消去整理得：，由韋達(dá)定理可知：，，，．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、拋物線的對(duì)稱性、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算、配方法求二次函數(shù)最值、角平分線的定義、韋達(dá)定理等眾多知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，難度較大．本題第（3）問使用代數(shù)手段解決幾何問題，是幾何與代數(shù)的巧妙結(jié)合，有很強(qiáng)的解析性質(zhì)，是難點(diǎn)所在，熟練掌握這些技巧，對(duì)今后高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的幫助．6．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過定點(diǎn)M，以M為頂點(diǎn)的拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A左B右）．

(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，，（直接寫出結(jié)果）；(2)如圖1，若直線l與拋物線交于另一點(diǎn)C，且恰好平分，求k的值；【答案】(1)；2；3(2)【分析】（1）根據(jù)直線的解析式的變形列出關(guān)于x，y的方程組進(jìn)而解得即可得出M的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可解得b，c的值；（2）過點(diǎn)M作x軸的平行線，交的延長線于點(diǎn)D，得出，通過平分，得出，進(jìn)而得出，聯(lián)立，可得或，寫出直線的解析式得出，的長度，即可得出k的值；【詳解】（1）解：，，，解得：，，以M為頂點(diǎn)的拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A左B右），，解得：故，，；（2）解：過點(diǎn)M作x軸的平行線，交的延長線于點(diǎn)D，則，平分，，．聯(lián)立，解得或，，直線的解析式為，，，，，，，，，；

7．（2022·廣東汕頭·二模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，連接，．(1)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(3)或【分析】（1）將、代入，列方程組并且解該方程組求出、的值，即可得到拋物線的解析式為；（3）取點(diǎn)中，連接，則，，可證明，得，再證明，則，即可證明，再分兩種情況討論，一是點(diǎn)在軸的上方，則，可求得直線的解析式為，進(jìn)而求得直線的解析式為，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；二是點(diǎn)在軸的下方，可求得直線的解析式為，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，，解得，拋物線的解析式為．（3）如圖2，取點(diǎn)中，連接，則，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在軸的上方，設(shè)交軸于點(diǎn)，，，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由，得，解得，（不符合題意，舍去），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)在軸的下方，設(shè)交軸于點(diǎn)，直線，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由，得，解得，（不符合題意，舍去），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題難度較大，屬于考試壓軸題．8．（2022·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，連接，且．(1)求拋物線解析式．(2)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)②或【分析】（1）先根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）②過點(diǎn)作平分，交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，可得到，利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得到，可確定點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BG與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，便可得出其中一個(gè)滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；利用翻折，設(shè)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，進(jìn)而求得直線BN與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，便可得出另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴，，當(dāng)時(shí)，得，解得：，∴，，∵，設(shè)，，∵，∴，解得：，（舍去），∴，∴，∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，∴，解得：．∴拋物線的解析式為．（2）②如圖，過點(diǎn)作平分，交拋物線于點(diǎn)，∴，∴，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，又∵，設(shè)直線BG的解析式為，∴，∴直線BG的解析式為，由，解得：，，∴；將直線沿軸翻折，交拋物線于點(diǎn)，∴，設(shè)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∵直線BG的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴設(shè)直線BN的解析式為，∴∴，由，解得：，，∴．綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，根據(jù)解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長，利用等量關(guān)系列方程或方程組求解，利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)．分類討論的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．（2020