專題15 二倍角、半角問題(解析版)_第1頁
專題15 二倍角、半角問題(解析版)_第2頁
專題15 二倍角、半角問題(解析版)_第3頁
專題15 二倍角、半角問題(解析版)_第4頁
專題15 二倍角、半角問題(解析版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩24頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

二倍角、半角問題一、知識(shí)導(dǎo)航既有構(gòu)造相等角的,也有在這個(gè)問題上再進(jìn)行加工的,比如,在坐標(biāo)系中構(gòu)造已知角的半角或二倍角,角可以單獨(dú)出現(xiàn),也可以存在于某個(gè)幾何圖形中,因此,構(gòu)造半角、二倍角的方法也并不唯一,常用如下:思路1:構(gòu)造半角三角函數(shù).構(gòu)造二倍角三角函數(shù):思路2:等腰三角形外角:三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.二、典例精析例一、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.(1)求該拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠ABD=2∠BAC時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).【分析】(1)拋物線:;(2)思路:轉(zhuǎn)化為等角本題中的∠BAC和∠ABD是內(nèi)錯(cuò)角,若是構(gòu)造∠ABD=∠BAC,作平行線即可.兩倍角亦可以作平行構(gòu)造出,過B作x軸的平行線,作BA關(guān)于平行線對(duì)稱的直線,與拋物線交點(diǎn)即為D點(diǎn).考慮到,故,可得直線BD解析式為:,與拋物線聯(lián)立方程:,解得:,,故D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

例二、如圖1,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A出發(fā),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.問題:當(dāng)t=1時(shí),拋物線經(jīng)過P、Q兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線的頂點(diǎn)為K,如圖2所示,問該拋物線上是否存在點(diǎn)D,使?若存在,求出所有滿足條件的D的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【分析】思路:三角函數(shù)構(gòu)造相等角t=1時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),代入拋物線解析式,可求得拋物線:,故頂點(diǎn)K的坐標(biāo)為.考慮要構(gòu)造,過點(diǎn)K作KH⊥MQ交MQ于H點(diǎn),則.根據(jù)圖形可求得,故若,則,故,分別解得直線DQ解析式為或,與拋物線聯(lián)立方程:,解得:,,則對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為;,解得:,,則對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為.綜上所述,D點(diǎn)坐標(biāo)為或.三、中考真題演練1.(2023·山東青島·中考真題)如圖,在菱形中,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,,.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為;同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為.以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,解答下列問題:

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí),求t的值;(2)連接.設(shè)的面積為,求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值;(3)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)B在的平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)證明,則,即可求解;(2)由即可求解;(3)當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí),則,在中,,即可求解.【詳解】(1)∵平行四邊形,∴,,,由題意得∶,,如下圖,點(diǎn)在上時(shí),

∵,,,∴,∴,則即解得:(2)如上圖,∵,∴,∵四邊形是菱形,則,∴,∴為等腰三角形,則過點(diǎn)作于點(diǎn),則即解得∶,則,設(shè)中邊上的高為,則即:,故有最大值,當(dāng)時(shí),的最大值為;(3)存在,理由∶如下圖,過點(diǎn)作于點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí),則,在中,,解得:2.(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).

(1)求,的值;(2)如圖①,是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,的面積為,求關(guān)于的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍);(3)如圖②,在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),連接交軸于點(diǎn),點(diǎn)在軸負(fù)半軸上,連接,點(diǎn)在上,連接,點(diǎn)在線段上(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),過點(diǎn)作的垂線與過點(diǎn)且平行于的直線交于點(diǎn),為的延長線上一點(diǎn),連接,,使,是軸上一點(diǎn),且在點(diǎn)的右側(cè),,過點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn),點(diǎn)在上,連接,使,若,求直線的解析式.【詳解】(1)點(diǎn),在拋物線上,,解得:,,(2)由(1)知,拋物線的解析式是,是拋物線與軸的交點(diǎn),時(shí),,,,如下圖,過點(diǎn)作軸,垂足為,

是第二象限拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,,(3)如下圖,以為一邊作,的另一邊交的延長線于點(diǎn);作,垂足為;作,垂足為;作軸,垂足為,

,由(2)知,,,,,,,,即,,,,,,,,,又,,,,,,,,,在和中,,,,,,,,,,,,,,,軸,,,,,,,,,,,,,設(shè),則,,,,,,,又點(diǎn)在軸負(fù)半軸上,,設(shè)直線的解析式為,把,代入,得:,解得:,直線的解析式為3.(2023·江蘇無錫·中考真題)已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).(1)請(qǐng)直接寫出,的值;(2)直線交軸于點(diǎn),點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.①求的最大值;②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍,求點(diǎn)的橫坐標(biāo).【答案】(1),(2)①;②2或【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;(2)①過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、.令,求得,勾股定理求得,得出,則,進(jìn)而可得,求得直線的解析式為,設(shè),則,進(jìn)而表示出,最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.②根據(jù)已知,令,,在上取點(diǎn),使得,得出,然后根據(jù),設(shè),.進(jìn)而分兩種情況討論,ⅰ當(dāng)時(shí),,則相似比為,得出代入拋物線解析式,即可求解;ⅱ當(dāng)時(shí),,同理可得,代入拋物線解析式即可求解.【詳解】(1)∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)∴解得:∴,,;(2)①如圖1,過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、.∵,當(dāng)時(shí),,∴,∴,,∴,∴.∵,,∴,∴,∴,∴.∵設(shè)直線的解析式為∴解得:直線解析式為.設(shè),,,當(dāng)時(shí),取得最大值為,的最大值為.②如圖2,已知,令,則,在上取點(diǎn),使得,∴,設(shè),則,則,解得,∴,即.如圖3構(gòu)造,且軸,相似比為,又∵,設(shè),則.分類討論:ⅰ當(dāng)時(shí),則,∴與的相似比為,∴,,∴,代入拋物線求得,(舍).∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為.ⅱ當(dāng)時(shí),則,∴相似比為,∴,,∴,代入拋物線求得,(舍).∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為.綜上所示,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,線段長的最值問題,相似三角形的性質(zhì)與判定,正切的定義.利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.(2023·湖北黃岡·中考真題)已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn),連接.

(1)直接寫出結(jié)果;_____,_____,點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____,______;(2)如圖1,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);【分析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求得、,從而可得,,由,可得,求得,在中,根據(jù)正切的定義求值即可;(2)過點(diǎn)C作軸,交于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作軸,交y軸于點(diǎn)E,由,即,再由,可得,證明,可得,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,可得,再進(jìn)行求解即可;【詳解】(1)解:∵拋物線經(jīng)過點(diǎn),,∴,解得:,∴拋物線解析式為:,∵拋物線與x軸交于A、兩點(diǎn),∴時(shí),,解得:,,∴,∴,,在中,,故答案為:,2,,;(2)解:過點(diǎn)C作軸,交于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作軸,交y軸于點(diǎn)E,∵,,,∴,由(1)可得,,即,∴,∵,∴,∵軸,軸,∴,,∴,又∵,∴,∴,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,則,,∴,解得:(舍),,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為.

5.(2022·湖北武漢·模擬預(yù)測)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸的正半軸交于C點(diǎn),的面積為6.

(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為、;拋物線的解析式為(3)如圖2,平行于的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),在拋物線上存在點(diǎn)P,當(dāng)PQ⊥y軸時(shí),恰好平分,求P點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1),;.(3)【分析】(1)令,可求出的值,進(jìn)而可得出,的坐標(biāo);令,可求出的值,可得出點(diǎn)的坐標(biāo),得出線段的長,利用三角形的面積公式可得出的值;(3)過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作于,根據(jù),,可得,設(shè)出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)(只設(shè)橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示),分別用橫坐標(biāo)之差、縱坐標(biāo)之差表示出兩個(gè)相似三角形的直角邊,列出比例等式;設(shè)出的解析式,與拋物線方程聯(lián)立,得出兩根之和的關(guān)系式,結(jié)合前面的比例等式解出點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而算出縱坐標(biāo).【詳解】(1)令,即,解得或,,;令,則,,即,,解得,函數(shù)解析式為:.故答案為:,;.(3)如圖,過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作于,設(shè),,,,,,則:,,,,恰好平分,即,,,,,,,,,設(shè)直線的解析式為,令,由消去整理得:,由韋達(dá)定理可知:,,,.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、拋物線的對(duì)稱性、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算、配方法求二次函數(shù)最值、角平分線的定義、韋達(dá)定理等眾多知識(shí)點(diǎn),綜合性很強(qiáng),難度較大.本題第(3)問使用代數(shù)手段解決幾何問題,是幾何與代數(shù)的巧妙結(jié)合,有很強(qiáng)的解析性質(zhì),是難點(diǎn)所在,熟練掌握這些技巧,對(duì)今后高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的幫助.6.(2022·湖北武漢·模擬預(yù)測)已知直線經(jīng)過定點(diǎn)M,以M為頂點(diǎn)的拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A左B右).

(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)是,,(直接寫出結(jié)果);(2)如圖1,若直線l與拋物線交于另一點(diǎn)C,且恰好平分,求k的值;【答案】(1);2;3(2)【分析】(1)根據(jù)直線的解析式的變形列出關(guān)于x,y的方程組進(jìn)而解得即可得出M的坐標(biāo),再根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可解得b,c的值;(2)過點(diǎn)M作x軸的平行線,交的延長線于點(diǎn)D,得出,通過平分,得出,進(jìn)而得出,聯(lián)立,可得或,寫出直線的解析式得出,的長度,即可得出k的值;【詳解】(1)解:,,,解得:,,以M為頂點(diǎn)的拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A左B右),,解得:故,,;(2)解:過點(diǎn)M作x軸的平行線,交的延長線于點(diǎn)D,則,平分,,.聯(lián)立,解得或,,直線的解析式為,,,,,,,,,;

7.(2022·廣東汕頭·二模)如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn),連接,.(1)求拋物線的解析式;(3)點(diǎn)M在拋物線上,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).【答案】(1)(3)或【分析】(1)將、代入,列方程組并且解該方程組求出、的值,即可得到拋物線的解析式為;(3)取點(diǎn)中,連接,則,,可證明,得,再證明,則,即可證明,再分兩種情況討論,一是點(diǎn)在軸的上方,則,可求得直線的解析式為,進(jìn)而求得直線的解析式為,將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組,即可求出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo);二是點(diǎn)在軸的下方,可求得直線的解析式為,將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組,即可求出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),,解得,拋物線的解析式為.(3)如圖2,取點(diǎn)中,連接,則,,,,,,,,,,當(dāng)點(diǎn)在軸的上方,設(shè)交軸于點(diǎn),,,∴,設(shè)直線的解析式為,則,解得,直線的解析式為,設(shè)直線的解析式為,則,解得,直線的解析式為,由,得,解得,(不符合題意,舍去),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;當(dāng)點(diǎn)在軸的下方,設(shè)交軸于點(diǎn),直線,當(dāng)時(shí),,,,,,,,,設(shè)直線的解析式為,則,解得,直線的解析式為,由,得,解得,(不符合題意,舍去),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,綜上所述,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法,此題難度較大,屬于考試壓軸題.8.(2022·四川綿陽·模擬預(yù)測)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸,軸分別交于、兩點(diǎn),拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn),與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),連接,且.(1)求拋物線解析式.(2)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn).②當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)②或【分析】(1)先根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)和的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;(2)②過點(diǎn)作平分,交拋物線于點(diǎn),過點(diǎn)作軸,交于點(diǎn),可得到,利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得到,可確定點(diǎn)G的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線BG與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo),便可得出其中一個(gè)滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo);利用翻折,設(shè)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,進(jìn)而求得直線BN與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo),便可得出另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)解:∵直線與軸,軸分別交于、兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),,∴,,當(dāng)時(shí),得,解得:,∴,,∵,設(shè),,∵,∴,解得:,(舍去),∴,∴,∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn),與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),∴,解得:.∴拋物線的解析式為.(2)②如圖,過點(diǎn)作平分,交拋物線于點(diǎn),∴,∴,過點(diǎn)作軸,交于點(diǎn),∴,∴,∵,,∴,∴,∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為,又∵,設(shè)直線BG的解析式為,∴,∴直線BG的解析式為,由,解得:,,∴;將直線沿軸翻折,交拋物線于點(diǎn),∴,設(shè)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,∵直線BG的解析式為,當(dāng)時(shí),,∴,∴,∴設(shè)直線BN的解析式為,∴∴,由,解得:,,∴.綜上所述,當(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,相似三角形的判定和性質(zhì),三角函數(shù)的應(yīng)用,角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,根據(jù)解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo),再由點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長,利用等量關(guān)系列方程或方程組求解,利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn).分類討論的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.9.(2020

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論