專題17 解答壓軸題型：幾何綜合題（原卷版）

專題17解答壓軸題型：幾何綜合題一、解答題1．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一個玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點處有個吊燈的中點為(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長度．(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓相切，為切點，為上一點，為入射光線，為反射光線，求的長度．(3)如圖③，是線段上的動點，為入射光線，為反射光線交圓于點在從運動到的過程中，求點的運動路徑長．2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點，且將沿翻折到處，延長交邊于點延長交邊于點且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點，將沿翻折得到，直線交于點求的長．3．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）在正方形中，等腰直角，，連接，H為中點，連接、、，發(fā)現(xiàn)和為定值．（1）①__________；②__________；③小明為了證明①②，連接交于O，連接，證明了和的關(guān)系，請你按他的思路證明①②．（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2，，（）求：①__________（用k的代數(shù)式表示）②__________（用k、的代數(shù)式表示）4．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，點E為邊的中點，點F為上的一個動點，連接并延長，交的延長線于點G，以為底邊在下方作等腰，且．(1)如圖①，若點H恰好落在上，連接，．①求證：；②若，，求的面積；(2)如圖②，點H落在矩形內(nèi)，連接，若，，求四邊形面積的最大值．5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）平行四邊形中，點E在邊上，連，點F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點E為中點，．若，求的長度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點C作交于點G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．6．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）問題背景：（1）如圖1，點是內(nèi)一點，且，連接，，求證：．

（2）如圖2，點是線段垂直平分線上位于上方的一動點，是位于上方的等腰直角三角形，且，則，

①______1（填一個合適的不等號）；②的最大值為______，此時______°．問題組合與遷移：（3）如圖3，是等腰底邊上的高，點是上的一動點，位于的上方，且，若，求的最小值．

7．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．(1)①如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，則；②如圖2，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，則；(2)拓展研究：如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，且∠B+∠EGC＝180°時，求證：；(3)解決問題：如圖4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，請直接寫出的值．8．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考二模）“同弧或等弧所對的圓周角相等”，利用這個推論可以解決很多數(shù)學(xué)問題．(1)【知識理解】如圖1，圓的內(nèi)接四邊形中，，，①________；________（填“”，“”，“”）②將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則線段的數(shù)量關(guān)系為________．(2)【知識應(yīng)用】如圖2，是圓的直徑，，猜想的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)【知識拓展】如圖3，已知，分別是射線上的兩個動點，以為邊往外構(gòu)造等邊，點在內(nèi)部，若，直接寫出四邊形面積的取值范圍．9．（2023·廣東深圳·二模）如圖①，已知線段，以為直徑作半圓O，再以為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），的延長線交半圓O于點D．(1)判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)連接，當(dāng)時，求弧的長；(3)過點D作，垂足為E（如圖②），設(shè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．10．（2023·廣東深圳·二模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．（1）如圖①，當(dāng)時，求的值；（2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時，求證：AF=OA；（3）如圖③，當(dāng)點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=BG．11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，分別以AO、CO為邊向外作等邊三角形△AOD和等邊三角形△COE，DF⊥AO于F，連DE交AO于G．（1）求證：△DFG≌△EOG；（2）H為AD的中點，連HG，求證：CD＝2HG；（3）在（2）的條件下，AC＝4，若M為AC的中點，求MG的長．12．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過四邊形的頂點A作射線，P為射線上一點，連接．將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．(1)如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無論點P在何處，總有，請證明這個結(jié)論．(2)如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當(dāng)，時，求的長；(3)如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線上截取，使得．當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出的長．13．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰三角形中，點分別在邊上，連接點分別為的中點．

（1）觀察猜想圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是____，的大小為_____；（2）探究證明把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請求出面積的最大值．14．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）操作：如圖1，點E在矩形邊上，沿折疊，使點E與點A重合，得多邊形（圖2），思考：若，．

(1)求圖1中CE的長；(2)求證：．(3)探究：若用一張A4（）紙進行上述操作，判斷與的數(shù)量關(guān)系．15．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考二模）已知四邊形中，P為射線上一點，過P作交射線于點E，過P作交射線于點F．(1)如圖1，四邊形是正方形，連接交于G，則與的數(shù)量關(guān)系為______；若，，______（填數(shù)字）；(2)如圖2，四邊形是菱形，且直線恰好經(jīng)過點D，連接，求的值；(3)如圖3，四邊形是菱形，連接并延長與交于點O，若O是的中點且為等腰三角形，直接寫出：①的值，②的值．16．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考二模）在四邊形中，（E、F分別為邊、上的動點），的延長線交延長線于點M，的延長線交延長線于點N．(1)問題證明：如圖①，若四邊形是正方形，求證：．(2)拓展應(yīng)用：如圖②所示平面直角坐標(biāo)系，在中，點A坐標(biāo)為，B，C分別在x軸和y軸上，且反比例函數(shù)圖像經(jīng)過上的點D，且，求k的值．(3)深入探究：如圖③，若四邊形是菱形，連接，當(dāng)時，且，試用關(guān)于的式子來表示的值，則__________．（直接寫出結(jié)果）17．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段進行了如下探究：(1)【觀察與猜想】如圖1，在正方形中，點，分別是，上的兩點，連接，，，則的值為______；

(2)如圖2，在矩形中，，，點是上的一點，連接，，，則的值為______；

(3)【證明與理解】如圖3，在矩形中，，，，求的值；

(4)【知識點應(yīng)用】如圖4，在中，，，，將沿翻折后得到，點在邊上，點在邊上，，求的值．

18．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考二模）已知矩形ABCD，點E為直線BD上的一個動點（點E不與點B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時針方向排列），連接DG．(1)如圖1，當(dāng)＝＝1時，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)＝＝2時，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．19．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，是邊長為的等邊三角形，是上一動點，連接，以為邊向的右側(cè)作等邊，連接.

(1)【嘗試初探】如圖1，當(dāng)點在線段上運動時，與相交于點，在運動過程中發(fā)現(xiàn)有兩個三角形始終保持全等，請你找出這對全等三角形，并說明理由.(2)【深入探究】如圖2，當(dāng)點在線段上運動時，延長ED，交CB的延長線于點H，隨著D點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時，求的值.(3)【拓展延伸】如圖3，當(dāng)點在的延長線上運動時，、相交于點，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求的長.20．（2023·廣東深圳·深圳大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．21．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長的比叫做頂角的張率．如圖1，在中，，頂角的張率記作底邊腰．容易知道一個角的大小與這個角的張率也是相互唯一確定的，所以，類比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義的張率，例如，，，請根據(jù)材料，完成以下問題：如圖2，是線段上的一動點（不與點，重合），點，分別是線段，的中點，以，，為邊分別在的同側(cè)作等邊三角形，，，連接和．(1)【理解應(yīng)用】①若等邊三角形，，的邊長分別為，，，則，，，三者之間的關(guān)系為；②；(2)【猜想證明】如圖3，連接，，猜想的值是多少，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖4，連接，，若，，則的周長是多少？此時的長為多少？（可直接寫出上述兩個結(jié)果）22．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將正方形的邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，過點B作直線，垂足為點F，連接．(1)如圖1，當(dāng)時，的形狀為______，的值為______；(2)當(dāng)時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請根據(jù)圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②如圖3，正方形邊長為4，，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在與相似？若存在，則的值為______，若不存在，請說明理由．23．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎叫?，將邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段，的平分線所在直線與直線相交于點．

(1)如圖1，當(dāng)為銳角時，請先用“尺規(guī)作圖”作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法），再依題意補全圖形，求證：；(2)在（1）的條件下，①的度數(shù)為________；②連接，猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若正方形的邊長，當(dāng)以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出線段BE的長度．24．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點E，Q分別在邊上，于點O，點G，F(xiàn)分別在邊上，．求證：；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（k為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點A落在邊上的點E處，得到四邊形交于點H，連接交于點O．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時，若，求的長．25．（2023·廣東深圳·二模）如圖1，點E是正方形ABCD外的一點，以DE為邊構(gòu)造正方DEFG，點M是△ADE邊AE上的動點，點N是△CDG的邊CG上的動點．(1)證明：△ADE≌△CDG；(2)如圖（1）：當(dāng)DM和DN分別是△ADE和△CDG的中線時，試猜想DM和DN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)類比猜想：①在（2）問中，當(dāng)DM、DN分別是△ADE和△CDG的高（如圖2），其他條件不變時，問題（2）的結(jié)論是否仍然成立？（只寫出結(jié)論，不要求證明）②在（2）問中，當(dāng)DM、DN分別是△ADE和△CDG的角平分線，其他條件不變時，問題（2）的結(jié)論是否仍然成立？（只寫出結(jié)論，不要求證明）26．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學(xué)校（集團）高新中學(xué)?？既＃?）[探究發(fā)現(xiàn)]如圖①，已知四邊形是正方形，點E為邊上一點（不與端點重合），連接，將沿折疊，點D落在處，、的延長線交于點F．小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點E在上移動時，．并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完整．證明：延長交于點G．

（2）[類比遷移]如圖②，四邊形為矩形，點E為邊上一點，連接，將沿折疊，點D落在處，的延長線與的延長線交于點F，連接，當(dāng)，，時，求的長；（3）[拓展應(yīng)用]如圖③，已知四邊形為菱形，，，點F為線段上一動點，將線段繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點E落在菱形的邊上（頂點除外）時，如果，請直接寫出此時的長．

27．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)校考二模）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，是中的遙望角，若，請用含的代數(shù)式表示．（2）如圖2，四邊形內(nèi)接于，四邊形的外角平分線交于點F，連結(jié)并延長交的延長線于點E．求證是中的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，若是的直徑．求的度數(shù)．28．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，，，點為平面內(nèi)一點，且．(1)若，①如圖1，當(dāng)點在上時，連接，作交于點，連接、，求證：為等邊三角形；②如圖2，連接，作，作于點，連接，當(dāng)點在線段上時，求的長度；(2)如圖3，連接，若，為邊上一點（不與、重合），連接，以為邊作，且，，作的角平分線，與交于點，連接，點在運動的過程中，的最大值與最小值的差為__________．29．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（1）如圖1，中，，E是上一點，，垂足為D，求的長．（2）類比探究：如圖2，中，，點D，E分別在線段上，．求的長．（3）拓展延伸：如圖3，中，點D，點E分別在線段上，．延長交于點F，，_______；______．30．（2023·廣東深圳·校考三模）折紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，通過折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識，在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．

(1)操作判斷：在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部的點M處，把紙片展平，過M作交、、于點E、F、N，連接并延長交于點Q，連接，如圖①，當(dāng)E為中點時，是___________三角形，___________；(2)遷移探究：如圖②，若，且，求正方形的邊長．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，若（），直接寫出的值為___________．31．（2023·廣東深圳·二模）【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：．【運用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．32．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【課本再現(xiàn)】把兩個全等的矩形和矩形拼成如圖1的圖案，則______；【遷移應(yīng)用】如圖2，在正方形中，是邊上一點（不與點，重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長線于點，求證：；【拓展延伸】在菱形中，，是邊上一點（不與點，重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長線于點．①線段與的數(shù)量關(guān)系是_____________________．②若，是的三等分點，則的面積為____________________．33．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖1，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），點D是上一點，連接CD交AB于E．（1）連接BD，若∠CDB＝40°，求的大?。唬?）如圖2，若點B恰好是中點，求證：；（3）如圖3，將CD分別沿BC、AC翻折到CM、CN，連接MN，若CD為直徑，請問是否為定值，若是請求出這個值，若不是，請說明理由；34．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【問題】北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊P32第2題：已知：如圖1，的外角和的平分線相交于點F．求證：點F在的平分線上．【解答】某數(shù)學(xué)興趣小姐的小明同學(xué)提出了如下的解題方法：如圖2，過點F作于點G，作于點H，作于點M，由角平分線的性質(zhì)定理可得：，．∴．∵，，∴F在的平分結(jié)上．【探究】(1)小方在研究小明的解題過程時，還發(fā)現(xiàn)圖2中和三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：________；(2)小明也發(fā)現(xiàn)和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：________；(3)如圖3，邊長為3的正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的點，且．連接，若，求的長；(4)如圖4，中，，．中，．將的頂點D放在邊的中點處，邊交線段于點G，邊交線段于點H，連接．現(xiàn)將繞著點D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的周長是否發(fā)生變化？若不變，求出的周長，若改變，請說明理由．35．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角中，點D，O分別為邊，上一點，且，延長交射線于點E，則有下列命題：①；②；③；請你從中選擇一個命題證明其真假，并寫出證明過程；【類比遷移】（2）如圖②所示，在等腰中，，，點D，O分別為邊，上一點，且，延長交射線于點E，若，求的值；【拓展應(yīng)用】（3）在等腰中，，，，點D，O分別為射線，上一點，且，延長交射線于點E，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出的長（用a，b表示）．36．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖1，已知點G在正方形的對角線上，，垂足為點E，，垂足為點F．(1)證明與推斷：②求證：四邊形是正方形；②推斷：的值為___________；(2)探究與證明：將正方形的繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)拓展與運用：正方形在旋