吉林省吉林地區(qū)普通高中2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)吉林地區(qū)普通高中2023—2024學(xué)年度高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題說(shuō)明：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，貼好條形碼.2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答素寫在答題卡上.字體工整，筆跡清楚.3．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無(wú)效：在試卷上、草紙上答題無(wú)效.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義及三角函數(shù)值符號(hào)判斷其所在象限即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)，又因?yàn)椋?，，所以點(diǎn)位于第一象限.故選：A.2.已知若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.4 C.1或4 D.2【答案】B【解析】【分析】分和，求解，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，解得：（舍去）；當(dāng)時(shí)，，則，解得：.故選：B3.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可得【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D.4.若互不相等的正數(shù)滿足，則（）A.成等差數(shù)列 B.成等比數(shù)列C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互不相等，且得到，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)等比中項(xiàng)的概念，判斷成等比數(shù)列.【詳解】因?yàn)榛ゲ幌嗟?，且，所以，即，所以成等比?shù)列.故選：D5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義，即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的奇偶性，只有是奇函數(shù)，又正切函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，而函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒大于零，所以只有C正確.【詳解】對(duì)于A，，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，為奇函數(shù)，又在不滿足單調(diào)遞增定義，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為奇函數(shù)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，是非奇非偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知圓錐的側(cè)面積是，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半徑為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出圓錐底面圓的半徑，并由題意聯(lián)立方程組求出；再由勾股定理解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，由題意知：，兩式相除解得，；所以圓錐的頂角為，軸截面為等邊三角形，圓錐的高，設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為，，解得.故選：D.7.已知圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若以為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短，即可求出的最小值，由此即可求出離心率的最大值．【詳解】由題意知，，以，為焦點(diǎn)的橢圓的半焦距為，由題意可知直線1與橢圓有交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，則，因?yàn)椋瑒t該橢圓的離心率的最大值為．故選：B．8.已知為銳角，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先結(jié)合和差角公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】因?yàn)?，為銳角，且，兩邊同時(shí)除以得，，，為銳角，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，最大值為．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，則（）A. B.C. D.的子集個(gè)數(shù)為2【答案】BCD【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式及絕對(duì)值不等式，結(jié)合集合的交集、并集運(yùn)算及子集的定義計(jì)算即可.詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意知，，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以的子集為、?個(gè)，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.10.在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）A.各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64 B.各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和為729C.有理項(xiàng)有3項(xiàng) D.常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)【答案】AB【解析】【分析】利用各二項(xiàng)系數(shù)和可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)的絕對(duì)值和與二項(xiàng)式的展開(kāi)式的系數(shù)和相等，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)可判斷C選項(xiàng)和D選項(xiàng)；【詳解】在的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故A正確；各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和與的各項(xiàng)系數(shù)和相等，令，可得各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和為，故B正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有4項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；令，得，所以常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.如圖1，在等腰梯形中，，且為的中點(diǎn)，沿將翻折，使得點(diǎn)到達(dá)的位置，構(gòu)成三棱錐（如圖2），則（）A.翻折過(guò)程中，與可能垂直B.在翻折過(guò)程中，二面角無(wú)最大值C.當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，與所成角小于D.點(diǎn)在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，若點(diǎn)的軌跡是橢圓，則三棱錐的體積的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】先確定未翻折之前，圖形中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，翻折時(shí)，當(dāng)時(shí)可證平面平面，從而可證，判斷A；且此時(shí)二面角取得最大值，判斷B；還是此時(shí)，當(dāng)三棱錐體積最大，可求異面直線與所成角，判斷C；對(duì)D，根據(jù)圓錐曲線的定義，判斷二面角的取值范圍，求出高的取值范圍，從而的三棱錐的體積的取值范圍，判斷D.【詳解】如圖1：在未折起之前，有，，，..又，，所以.沿將翻折，則點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓，且圓面一直和垂直，如圖：當(dāng)時(shí)，，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面，平面平面，，所以平面.平面，所以.故A正確.此時(shí)，，所以即為二面角的平面角為，是二面角的最大值，故B錯(cuò)誤；此時(shí)三棱錐的高等于，高取得最大值，又底面不變，所以三棱錐的體積最大.如圖：取中點(diǎn)，連接，，則即為一面直線與所成角，在中，，，，所以，所以，故C正確；對(duì)D：點(diǎn)在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，若點(diǎn)的軌跡是橢圓，根據(jù)圓錐曲線的概念，二面角應(yīng)該在之間取值，且不能為（此時(shí)點(diǎn)的軌跡是圓），當(dāng)二面角或時(shí)，，當(dāng)二面角時(shí)，，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，且點(diǎn)的軌跡是橢圓時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用一個(gè)平面截圓錐體，要想得到的截面是一個(gè)橢圓，截面不能和圓錐的母線相交，且截面不能與圓錐的軸垂直（此時(shí)的截面是圓）.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第13題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分．12.已知向量，若，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得的值，從而可求模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所?故答案為：.13.“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動(dòng)能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢(mèng)幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個(gè)景觀至多經(jīng)過(guò)一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有_________種不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則_________（結(jié)果用表示）.【答案】①.8②.【解析】【分析】結(jié)合題意及分類加法原理，依次計(jì)算到達(dá)、、、、的走法即可.由題意可知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，即（且），結(jié)合累加法求解即可.【詳解】由題意知，到達(dá)點(diǎn)共有1種走法，到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)，一種是直接到達(dá)），到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)，一種是經(jīng)過(guò)，所以到達(dá)將、的走法加起來(lái)），到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)和，一種是經(jīng)過(guò)，所以到達(dá)將、的走法加起來(lái)），到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)和，一種是經(jīng)過(guò)和，所以到達(dá)將、的走法加起來(lái)），故按圖中所示方向到達(dá)有8種不同的打卡路線.由題意知，，，，，，…，（且），因?yàn)椋ㄇ遥?，，，…，，（且），將上式累加可得，（且），整理可得，又，，所以，?故答案為：8；.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)作軸垂線，垂足分別為，直線與直線交于點(diǎn)，則與的面積比值為_(kāi)________.【答案】1【解析】【分析】設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線的方程求得，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，討論點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)或左側(cè)，表示出，所以，再將韋達(dá)定理代入即可得出答案.【詳解】依題意作示意圖如下圖，圖一為點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，圖二為點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，根據(jù)拋物線方程有：，設(shè)直線的方程為：，，，故，若，則直線與直線不相交，故，聯(lián)立直線與拋物線的方程有：，則，則，直線的方程為：，令，得到，所以，因?yàn)?，所以，而?duì)于，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，根據(jù)圖象可知，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，根據(jù)圖象可知，，即，所以，.故答案為：1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線的方程求得，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，討論點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)或左側(cè)，表示出，所以，再將韋達(dá)定理代入即可得出答案.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）在方向上投影向量是，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到求解；（2）（方法一）由在方向上的投影向量，化簡(jiǎn)得到，再利用余弦定理求得即可；（方法二）：過(guò)作，設(shè)，在Rt中，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：由正弦定理得，，即，又，，即得或（舍），又.【小問(wèn)2詳解】（方法一）在方向上的投影向量為，即，，由余弦定理，，，則；（方法二）：如圖所示：過(guò)作，垂足為，則為在方向上的投影向量，設(shè)，則，在Rt中，，，.16.如圖，在四棱錐中，平面，為中點(diǎn)，點(diǎn)在梭上（不包括端點(diǎn)）.（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合三線合一證得，，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.（2）由線面平行判定定理可證得平面，則點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離.方法一：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.方法二：運(yùn)用等體積法計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，如圖所示，平面，，，即，又為中點(diǎn)，則，且，四邊形為正方形，，平面平面，又，、平面，平面，又平面平面平面.【小問(wèn)2詳解】在中，分別為中點(diǎn)，，又平面平面，平面，點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，（方法一），以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)是平面的法向量，，取，則是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)到平面的距離為，即直線到平面的距離為.（方法二）連接、，如圖所示，為等腰直角三角形，，又平面是三棱錐的高，，，，，設(shè)到平面距離為，則，，即到平面的距離為.17.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)圓與直線相切，交線段于點(diǎn)，且．（1）求圓心的軌跡方程，并說(shuō)明是什么曲線；（2）過(guò)點(diǎn)且傾斜角大于的直線與軸交于點(diǎn)，與的軌跡相交于兩點(diǎn)，且，求的值及的取值范圍.【答案】（1），點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)均為的等軸雙曲線．（2），【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)列出等量關(guān)系整理可得；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，可得的值及的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，圓的半徑為為到直線的距離，則．根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)的集合即，整理得.所以，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)均為的等軸雙曲線．【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線，傾斜角大于設(shè)聯(lián)立得，故，，，由題知，雙曲線的焦點(diǎn)，由得的取值范圍是18.短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對(duì)當(dāng)天前來(lái)旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來(lái)的280名游客中南方游客有200人.（1）依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：?jiǎn)挝唬喝擞慰投桃曨l合計(jì)收看未看南方游客北方游客合計(jì)（2）為了增加游客的旅游樂(lè)趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過(guò)次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，無(wú)關(guān)（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）利用已知條件，完成列聯(lián)表，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)公式求解判斷即可；（2）（i）設(shè)經(jīng)過(guò)次傳遞后回到甲的概率為，求出關(guān)系式，得到通項(xiàng)公式；（ii）方法一：設(shè)第次傳遞時(shí)甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點(diǎn)分布，，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，利用公式求期望即可.方法二：設(shè)第次傳遞時(shí)，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點(diǎn)分布，，利用公式求期望即可.【小問(wèn)1詳解】將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計(jì)收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游與短視頻無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)經(jīng)過(guò)次傳遞后回到甲的概率為，，，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（ii）（方法一）設(shè)第次傳遞時(shí)甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點(diǎn)分布，，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，，因?yàn)?，所?（方法二）設(shè)第次傳遞時(shí)，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點(diǎn)分布，，由題可知，，又，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2問(wèn)（ii）的解決關(guān)鍵是，根據(jù)題意得到的關(guān)系，利用構(gòu)造法分析出是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此得解.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)分別是的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，記．（i）證明：直線與曲線交于除外另一點(diǎn)；（ii）在（i）結(jié)論下，判斷是否存在定值且，使，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）存在定值，此時(shí).【解析】分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解，從而解不等式，求出函數(shù)單調(diào)性；（2）（i）法一：在（1）基礎(chǔ)上得到，求出直線方程，聯(lián)立得到，