廣東省惠陽高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省惠陽高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的焦距為，過左焦點作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點，若線段的中點在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（）A．若∥，b∥，則∥ B．若，，則∥C．若∥，，則 D．若，b∥，則5．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．在直角坐標(biāo)平面上，點的坐標(biāo)滿足方程，點的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．140 D．1208．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．09．函數(shù)在的圖象大致為A． B．C． D．10．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．11．一個封閉的棱長為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時，如圖，水面的高度正好為棱長的一半．若將該正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）A． B． C． D．12．已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（，）的左頂點為A，右焦點為F，過F作x軸的垂線交雙曲線于點P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.14．已知數(shù)列的前項和為，，且滿足，則數(shù)列的前10項的和為______.15．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_______．16．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，設(shè)的最小值為，若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.18．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；②為了鼓勵市民關(guān)注環(huán)保，針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知點P在拋物線上，且點P的橫坐標(biāo)為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準(zhǔn)線交于M，N兩點，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點為H．過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．20．（12分）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點.（Ⅰ）若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程；（Ⅱ）若直線過點，點滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.21．（12分）貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會提出“堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，建立解決相對貧困的長效機制”對當(dāng)前和下一個階段的扶貧工作進(jìn)行了前瞻性的部署，即2020年要通過精準(zhǔn)扶貧全面消除絕對貧困，實現(xiàn)全面建成小康社會的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號召，某市對口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展扶貧工作.對某種農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)銷售進(jìn)行指導(dǎo)，經(jīng)調(diào)查知，在一個銷售季度內(nèi)，每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬元，未售出的商品，每噸虧損2萬元.經(jīng)統(tǒng)計，兩市場以往100個銷售周期該產(chǎn)品的市場需求量的頻數(shù)分布如下表：市場：需求量（噸）90100110頻數(shù)205030市場：需求量（噸）90100110頻數(shù)106030把市場需求量的頻率視為需求量的概率，設(shè)該廠在下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)噸該產(chǎn)品，在、兩市場同時銷售，以（單位：噸）表示下一個銷售周期兩市場的需求量，（單位：萬元）表示下一個銷售周期兩市場的銷售總利潤.（1）求的概率；（2）以銷售利潤的期望為決策依據(jù)，確定下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量噸還是噸?并說明理由.22．（10分）百年大計，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進(jìn)行專項培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)線段的中點為，判斷出點的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當(dāng)時，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯誤故選：A【點睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.3、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．4、C【解析】

根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時，也可以滿足∥，b∥，故本命題不正確；B：當(dāng)時，也可以滿足，，故本命題不正確；C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當(dāng)∥，，時，能得到，故本命題是正確的；D：當(dāng)時，也可以滿足，b∥，故本命題不正確.故選：C【點睛】本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.5、B【解析】

先解不等式化簡兩個條件，利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得，解絕對值不等式可得，由于為的子集，據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件．故選：B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運算，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由點的坐標(biāo)滿足方程，可得在圓上，由坐標(biāo)滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標(biāo)滿足方程，在圓上，在坐標(biāo)滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與，由圖可知，設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為，則，圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.7、C【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時間不少于小時的頻率為，故自習(xí)時間不少于小時的頻率為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應(yīng)用．8、D【解析】分析：因為題設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.9、A【解析】

因為，所以排除C、D．當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時，，可得.故選A．10、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半，由此得到結(jié)論．【詳解】正方體的面對角線長為，又水的體積是正方體體積的一半，且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半，即最大水面高度為，故選B.【點睛】本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

設(shè)，利用兩點間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因為是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點可得，再由雙曲線的性質(zhì)可得，解出即得.【詳解】由題，設(shè)點，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點，過點，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是常考題型.14、1【解析】

由得時，，兩式作差，可求得數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的和．【詳解】解：數(shù)列的前項和為，，且滿足，①當(dāng)時，，②①-②得：，整理得：（常數(shù)），故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以（首項不符合通項），故，所以：，故答案為：1．【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項和的公式，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】由分層抽樣的知識可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應(yīng)填答案．16、0.22.【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?！驹斀狻俊军c睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結(jié)論，求出的表達(dá)式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數(shù)的取值范圍的左端點．【詳解】解：（1）解：，當(dāng)時，，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；，因為，所以，，令，則恒成立，由于，當(dāng)時，，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立；當(dāng)時，若則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，即對時，，與題意不符；綜上，為所求．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認(rèn)真仔細(xì)．18、(1)不能；(2)①；②分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可；計算K的觀測值K2，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論．（2）由相互獨立事件的概率可得男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）即可；【詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計男104555女153045合計2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得K”的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為.為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為，①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為；②的取值為10，20，30，40.,,,,所以的分布列為10203040.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，考查了概率分布列和期望，計算能力的應(yīng)用問題，是中檔題目．19、(1)(2)4【解析】

（1）將點P橫坐標(biāo)代入拋物線中求得點P的坐標(biāo)，利用點P到準(zhǔn)線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設(shè)A、B點坐標(biāo)以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及垂直關(guān)系，得出關(guān)系式，計算的值即可．【詳解】（1）將點P橫坐標(biāo)代入中，求得，∴P（2，），，點P到準(zhǔn)線的距離為，∴，∴，解得，∴，∴拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點為F（0，1），準(zhǔn)線方程為，；設(shè)，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線與圓的方程應(yīng)用問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)，即可求得參數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)，，則兩式相減，可得.（*）因為線段