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文檔簡介
2023-2024學(xué)年廣東省中山一中等六校重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)在處取得極值2,則()A.-3 B.3 C.-2 D.22.已知拋物線,過拋物線上兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線與的斜率之積為()A. B. C. D.3.中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A. B. C. D.4.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),且,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.106.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.7.已知方程表示的曲線為的圖象,對(duì)于函數(shù)有如下結(jié)論:①在上單調(diào)遞減;②函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn);③的最大值為;④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則由方程所確定;則正確命題序號(hào)為()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④8.給出以下四個(gè)命題:①依次首尾相接的四條線段必共面;②過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角必相等;④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.39.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.10.已知,,,,則()A. B. C. D.11.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.112.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若存在實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程有4個(gè)不相等的實(shí)根,且這4個(gè)根的平方和存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.14.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點(diǎn)為的外接球上任意一點(diǎn),則的最大值為______.15.四面體中,底面,,,則四面體的外接球的表面積為______16.如圖,四面體的一條棱長為,其余棱長均為1,記四面體的體積為,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____;最大值為____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長;(2)若的面積為6,求的值.19.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.20.(12分)已知三棱錐中,為等腰直角三角形,,設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22.(10分)某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線,為了分析兩條生產(chǎn)線的效果,先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.該項(xiàng)指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計(jì)頻數(shù)2184814162100(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖,以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率,估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率;(2)現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線,根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)?若有90%把握,請(qǐng)從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好?甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附:,.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以,則,解得,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
設(shè)出A,B的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求出過A,B的切線的斜率,結(jié)合,可得x1x2=﹣1.再寫出OA,OB所在直線的斜率,作積得答案.【詳解】解:設(shè)A(),B(),由拋物線C:x2=1y,得,則y′.∴,,由,可得,即x1x2=﹣1.又,,∴.故選:A.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì),考查直線和拋物線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路,由于與切線有關(guān),所以一般先設(shè)切點(diǎn),先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程,求點(diǎn)P坐標(biāo),再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算量就大一些.3、A【解析】
詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進(jìn)去的,即俯視圖中應(yīng)有一不可見的長方形,且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。4、A【解析】
根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)直線過定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù),然后利用對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點(diǎn)在于正確畫出圖像,同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.6、D【解析】
本題首先可以通過題意畫出圖像并過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn),然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點(diǎn)縱坐標(biāo),然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo),最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像,過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn),因?yàn)?,在雙曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因?yàn)閳A的半徑為,是圓的半徑,所以,因?yàn)椋?,,,所以,三角形是直角三角形,因?yàn)椋?,,即點(diǎn)縱坐標(biāo)為,將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得,解得,,將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D?!军c(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。7、C【解析】
分四類情況進(jìn)行討論,然后畫出相對(duì)應(yīng)的圖象,由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)不存在圖象;(2)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分;(3)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分;(4)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓的一部分;畫出的圖象,由圖象可得:對(duì)于①,在上單調(diào)遞減,所以①正確;對(duì)于②,函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn),即沒有零點(diǎn),所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知③錯(cuò)誤;對(duì)于④,函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則中用代替,用代替,可得,所以④正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn)概念,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.8、B【解析】
用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷;根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷;根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷;根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】①中,空間四邊形的四條線段不共面,故①錯(cuò)誤.②中,由公理2知道,過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,故②正確.③中,由空間角的定義知道,空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),故③錯(cuò)誤.④中,空間中,垂直于同一直線的兩條直線可相交,可平行,可異面,故④錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查空間點(diǎn),線,面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理,定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí);考查空間想象能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.9、B【解析】
因?yàn)?,所以,故選B.10、D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.11、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡,構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時(shí)有4個(gè)不相等的實(shí)根,再將這四個(gè)根的平方和表示出來,利用函數(shù)思想來判斷當(dāng)a為何值時(shí)這4個(gè)根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,此時(shí),此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,方程最多2個(gè)不相等的實(shí)根,舍;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如下所示:從左到右方程,有4個(gè)不相等的實(shí)根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時(shí)有最小值,則對(duì)稱軸,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識(shí),但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.14、【解析】
先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到外心距離最大的問題,即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪鼻遥嗜忮F的外接球就是對(duì)應(yīng)棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn),如下圖所示:容易知外接球半徑為.設(shè)線段的中點(diǎn)為,故可得,故當(dāng)取得最大值時(shí),取得最大值.而當(dāng)在同一個(gè)大圓上,且,點(diǎn)與線段在球心的異側(cè)時(shí),取得最大值,如圖所示:此時(shí),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,屬綜合性困難題.15、【解析】
由題意畫出圖形,補(bǔ)形為長方體,求其對(duì)角線長,可得四面體外接球的半徑,則表面積可求.【詳解】解:如圖,在四面體中,底面,,,可得,補(bǔ)形為長方體,則過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為1,1,,則長方體的對(duì)角線長為,則三棱錐的外接球的半徑為1.其表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,補(bǔ)形是關(guān)鍵,屬于中檔題.16、(或?qū)懗?【解析】試題分析:設(shè),取中點(diǎn)則,因此,所以,因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是,最大值為考點(diǎn):函數(shù)最值,函數(shù)單調(diào)區(qū)間三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,得到答案.(Ⅱ)變換得到,設(shè),求,令,故在單調(diào)遞增,存在使得,,計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)(),當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(Ⅱ)(),即,().令(),則,令,,故在單調(diào)遞增,注意到,,于是存在使得,可知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴.綜上知,.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,恒成立問題,意在考查學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.18、(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的長;(2)利用面積得出,結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解:(1)由題可知.在中,,所以.(2),則.又,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角較多時(shí)一般選用正弦定理,已知邊較多時(shí)一般選用余弦定理.19、(1)見解析;(2)最大值為.【解析】
(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因?yàn)楹愠闪ⅲ?,,所以恒成立,?因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)最值的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)連接交于點(diǎn),連接,通過證,并說明平面,來證明平面(2)采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別表示出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)平面的一個(gè)法向量為,結(jié)合直線對(duì)應(yīng)的和法向量,利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行求解即可【詳解】證明:如圖,連接交于點(diǎn),連接,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的重心,則,,,又平面,平面,平面;,,,,,,可得,又,則以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則.直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理的使用,利用建系法來求解線面夾角問題,整體難度不大,本題中的線面夾角的正弦值公式使用廣泛,需要識(shí)記21、(1);(2)【解析】
(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,,由即可
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