專(zhuān)題11 有關(guān)三角形的綜合問(wèn)題（講）-備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（解析版）

備戰(zhàn)2019年中考二輪講練測(cè)專(zhuān)題11有關(guān)三角形的計(jì)算與證明（講案）一講考點(diǎn)——考點(diǎn)梳理（一）三角形中的特殊線段1.三角形的角平分線：三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，且交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.2.三角形的中線：三角形的三條中線都在三角形的內(nèi)部，且交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫三角形的中心，重心把中線分為1：2兩部分（到頂點(diǎn)的距離占2份）.3.三角形的高線：三角形的三條高或高的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫做三角形的垂心.銳角三角形垂心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心即直角三角形的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.4.三角形的中位線：三角形的三條中位線都在三角形的內(nèi)部，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.（二）三角形的性質(zhì)1.三角形的三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.判斷三條線段是否能組成三角形時(shí)，只需要判斷較短的兩條線段長(zhǎng)之和是否大于第三遍即可.2.三角形的角（1）三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180°.（2）三角形的外角：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.（3）三角形的外角和為360°.（三）全等三角形的判定條件（1）邊角邊（SAS）：有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（2）角邊角（ASA）：有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（3）角角邊（AAS）：有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（4）邊邊邊（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（5）斜邊、直角邊（HL）（適用于直角三角形）：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.（四）等腰三角形與等邊三角形一、等腰三角形1.等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.特別的，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.2等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（2）等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（3）等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.3.等腰、等邊三角形的判定（1）等角對(duì)等邊.（2）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（五）角平分線與線段的垂直平分線1.角平分線（1）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等.（2）角平分線的判定：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的平分線上.2.線段的垂直平分線（1）概念：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線.（2）線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等.到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.二講題型——題型解析（一）三角形的三邊關(guān)系問(wèn)題例1、△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中線，設(shè)AD長(zhǎng)為m，則m的取值范圍是．【答案】1＜m＜4．【分析】作輔助線，構(gòu)建△AEC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．【解析】延長(zhǎng)AD至E，使AD=DE，連接CE，則AE=2m，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案為：1＜m＜4．點(diǎn)睛：本題考查了三角形三邊關(guān)系、三角形全等的性質(zhì)和判定，屬于基礎(chǔ)題，輔助線的作法是關(guān)鍵．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．（二）有關(guān)角平分線的性質(zhì)綜合問(wèn)題例2如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1【答案】B．【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．點(diǎn)睛：本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；定值問(wèn)題．（三）最短路徑和最值問(wèn)題例3（2017天津第11題）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值的是（）A．BCB．CEC．ADD．AC【答案】B．【分析】如圖連接PC，只要證明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度．【解析】如圖連接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度，故選B．點(diǎn)睛：本題考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃虇?wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題；等腰三角形的性質(zhì)；最值問(wèn)題．（四）三角形中的翻折問(wèn)題例4如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長(zhǎng)等于（）A．2B．C．D．【答案】D．【分析】如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先證明AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【解析】如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵?BC?AH=?AB?AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，∵?AD?BO=?BD?AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，故選D．點(diǎn)睛：本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．（五）三角形中的規(guī)律探究問(wèn)題例5設(shè)△ABC的面積為1．如圖1，分別將AC，BC邊2等分，D1，E1是其分點(diǎn)，連接AE1，BD1交于點(diǎn)F1，得到四邊形CD1F1E1，其面積S1=．如圖2，分別將AC，BC邊3等分，D1，D2，E1，E2是其分點(diǎn)，連接AE2，BD2交于點(diǎn)F2，得到四邊形CD2F2E2，其面積S2=；如圖3，分別將AC，BC邊4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分點(diǎn)，連接AE3，BD3交于點(diǎn)F3，得到四邊形CD3F3E3，其面積S3=；…按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，若分別將AC，BC邊（n+1）等分，…，得到四邊形CDnEnFn，其面積S=．【答案】．【分析】先連接D1E1，D2E2，D3E3，依據(jù)D1E1∥AB，D1E1=AB，可得△CD1E1∽△CBA，且=，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，即可得到S△CD1E1=S△ABC=，依據(jù)E1是BC的中點(diǎn)，即可得出S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，據(jù)此可得S1=；運(yùn)用相同的方法，依次可得S2=，S3=；根據(jù)所得規(guī)律，即可得出四邊形CDnEnFn，其面積Sn=，最后化簡(jiǎn)即可．【解析】如圖所示，連接D1E1，D2E2，D3E3，∵圖1中，D1，E1是△ABC兩邊的中點(diǎn)，∴D1E1∥AB，D1E1=AB，∴△CD1E1∽△CBA，且=，∴S△CD1E1=S△ABC=，∵E1是BC的中點(diǎn)，∴S△BD1E1=S△CD1E1=，∴S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=+=，同理可得：圖2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2==，圖3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3==，以此類(lèi)推，將AC，BC邊（n+1）等分，得到四邊形CDnEnFn，其面積Sn==，故答案為：．點(diǎn)睛：本題主要考查了圖形的變化類(lèi)問(wèn)題以及三角形面積的計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)；三角形的面積；規(guī)律型；綜合題．學(xué)科#網(wǎng)（六）三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題例6如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為．【答案】或1．【分析】①如圖1，當(dāng)∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，于是得到結(jié)論；②如圖2，當(dāng)∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到結(jié)論．【解析】①如圖1，當(dāng)∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，∴BM=BC=；②如圖2，當(dāng)∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，∴BM=B′M，∴CM=BM，∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為或1，故答案為：或1．點(diǎn)睛：本題考查了翻折變換﹣折疊問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；等腰直角三角形；分類(lèi)討論．（七）三角形中的綜合性問(wèn)題例7在等邊△ABC中，D為射線BC上一點(diǎn)，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上，證明：∠BAD=∠EDC；（2）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上，證明：①AD=DE；②BC=DC+2CF（提示：構(gòu)造全等三角形）；（3）如圖2，若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出BC、DC、CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（3）BC=2CF-DC；理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=60°，再由三角形的外角性質(zhì)結(jié)合已知條件，即可得出結(jié)論；(2)過(guò)D作DG∥AC交AB延長(zhǎng)線于G，證得△AGD≌△DCE，得出：①AD=DE；進(jìn)一步利用GD=CE，BD=CE得出②BC=DC+2CF；(3)過(guò)D作DG∥AC交AB延長(zhǎng)線于G，由平行線和等邊三角形的性質(zhì)得出∠BGD=∠BDG=∠B=60°，證出△GBD是等邊三角形，證出AG=CD，再證出∠GAD=∠CDE，證明△AGD≌△DCE，得出GD=CE，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=60°，∴∠BAD=∠EDC；(2)①過(guò)D作DG∥AC交AB于G，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，AB=BC，∴∠B=∠ACB=60°，∴∠BDG=∠ACB=60°，∴∠BGD=60°，∴△BDG是等邊三角形，∴BG=BD，∠AGD=∠B+∠BGD=60°+60°=120°，∴AG=DC，∵CE是∠ACB外角的平分線，∴∠DCE=120°=∠AGD，由(1)知∠GAD=∠EDC，在△AGD和△DCE中，，∴△AGD≌△DCE(SAS)，∴AD=DE；

②∵△AGD≌△DCE，∴GD=CE，∴BD=CE，∵EF⊥BC，CE是∠ACB外角的平分線，∴∠ECF=60°，∠CEF=30°，∴CE=2CF，∴BC=CE+DC=DC+2CF；(3)BC=2CF-DC；理由如下：過(guò)D作DG∥AC交AB延長(zhǎng)線于G，如圖2所示：∵DG∥AC，△ABC是等邊三角形，∴∠BGD=∠BDG=∠B=60°，∴△GBD是等邊三角形，∴GB-AB=DB-BC，即AG=DC，∵∠ACB=60，CE是∠ACB的外角平分線，∴∠DCE=∠ACE=12×(180°-∠ACB)=60°∴∠AGD=∠DCE=60°，∵∠GAD=∠B+∠ADC=60°+∠ADC，∠CDE=∠ADC+∠ADE=∠ADC+60°，∴∠GAD=∠CDE，在△AGD和△DCE中，，∴△AGD≌△DCE(ASA)，∴GD=CE，∴BD=CE，∵CE=2CF，∴BC=BD-DC=CE-DC=2CF-DC．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的意義、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三講方法——方法點(diǎn)睛（一）證明角或線段的關(guān)系：在幾何證明與計(jì)算過(guò)程中，若看到邊、角的證明，優(yōu)先考慮證明三角形全等，若告訴兩組對(duì)應(yīng)邊相等，則優(yōu)先考慮利用“SAS”找出夾角證明三角形全等；若告訴兩組對(duì)應(yīng)角相等，則可以考慮“ASA”、“AAS”；同時(shí)，在證明直角三角形全等時(shí)，在找角相等，通常利用“同角的余角相等”.（二）對(duì)于一般三角形中的計(jì)算問(wèn)題，常用到其性質(zhì)：三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°；外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；邊角關(guān)系：在同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角.四練實(shí)題——隨堂小練1.已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長(zhǎng)是（）A．3B．4C．8D．9【答案】B．【分析】設(shè)AD=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定義得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】設(shè)AD=x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故選B．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；動(dòng)點(diǎn)型．學(xué)科#網(wǎng)2．已知：點(diǎn)A（2016，0）、B（0，2018），以AB為斜邊在直線AB下方作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）【答案】C【解析】【分析】過(guò)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，作AE⊥CD于點(diǎn)E，易證△ACE≌△BCD，則CD=AE，則C的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，設(shè)C的坐標(biāo)是(x，y)，根據(jù)BD＝CE列方程進(jìn)行求解即可.【詳解】過(guò)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，作AE⊥CD于點(diǎn)E，∵∠BOA＝∠BCA＝90°，∠OFB＝∠CFA，∴∠DBC＝∠FAC，∵CD⊥y軸，OA⊥y軸，∴CD∥OA，∴∠ACE＝∠FAC，∴∠ACE＝∠DBC，∴在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD(AAS)，∴CD＝AE，則C的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，BD＝CE，∴設(shè)C的坐標(biāo)是(x，y)，則|x|＝|y|，且x＜2016，y＜2018，又∵BD＝CE，∴2018﹣y＝2016﹣x，則x＝﹣1，y＝1，故C的坐標(biāo)是(﹣1，1)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用全等三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等是解題的關(guān)鍵.3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作圓，交斜邊AB于點(diǎn)E，D為AC的中點(diǎn)．連接DO，DE．則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．DO∥AB B．△ADE是等腰三角形C．DE⊥AC D．DE是⊙O的切線【答案】C【解析】【分析】連接OE，由OD為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到OD與AB平行，選項(xiàng)A正確；由兩直線平行得到同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等即∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，再由OE=OB，利用等邊對(duì)等角得到∠OEB＝∠B，等量代換得到∠COD＝∠DOE，再由OC=OE，OD為公共邊得到三角形COD與三角形EOD全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠OED＝∠OCD為直角，即OE垂直于DE，可得出DE為圓O的切線，選項(xiàng)D正確；連接EC，由BC是直徑可得∠AEC＝∠CEB＝90°，在直角三角形AEC中，D為斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=AD，即三角形AED為等腰三角形，選項(xiàng)B正確，而DE不一定垂直于AC，故選項(xiàng)C符合題意．【詳解】連接OE∵D為AC中點(diǎn)，O為BC中點(diǎn)∴OD為△ABC的中位線，∴DO∥AB，選項(xiàng)A正確；∵∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠COD＝∠DOE，在△COD和△EOD中，，∴△COD≌△EOD（SAS），∴∠OED＝∠OCD＝90°，∴DE為圓O的切線，選項(xiàng)D正確；連接EC，∵BC是直徑，∴∠AEC＝∠CEB＝90°，在Rt?AEC中，∵AD＝DC，∴DE＝AD，∴△AED為等腰三角形，選項(xiàng)B正確，則不一定正確的為DE⊥AC．故選：C．4．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線AE折疊，點(diǎn)D落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)D′處，則CD′的最小值是（）A．4 B．45 C．45【答案】C【解析】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)和當(dāng)點(diǎn)D'在對(duì)角線AC上時(shí)CD′最小解答即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D'在對(duì)角線AC上時(shí)CD′最小，

∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線AE折疊點(diǎn)D落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)D處，

∴AD=AD'=BC=2，

在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2＝82+42＝455．如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC＝8，則PD的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PE=PD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠POD=∠OPC，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PCE=∠AOB，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出PE=12PC=4【詳解】解：作PE⊥OA于E，

∵P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，

∴∠AOP=∠BOP=15°，

∵PC∥OB，

∴∠POD=∠OPC，

∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，

∴PE=12PC=4，

∵P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PD=PE=4，

故答案為：46．如圖，在中，邊上的中點(diǎn)，MI//CA，且MI與鈭燘AC的平分線AI交于點(diǎn)I，若，則MI的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.【答案】4【解析】【分析】如圖，延長(zhǎng)MI交AB于D，根據(jù)M為BC的中點(diǎn)，MI∥CA，可得MD是△ABC的中位線，進(jìn)而得到MD的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠1=∠2，可得AD=DI，進(jìn)而得到MI的長(zhǎng)．【詳解】延長(zhǎng)MI交AB于D，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，MI∥CA，∴MD是△ABC的中位線，∴MD=12AC=12×18=9，AD=12AB=∵AI是∠BAC的平分線，∴∠1=∠3，∵M(jìn)D∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴DI=AD=5，∴MI=DM-DI=9-5=4，7．如圖，等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為6cm，其中BD是中線，且BD=3cm，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CD，則△BDE的周長(zhǎng)為_(kāi)______cm.【答案】3+23【解析】【分析】要知△BDE的周長(zhǎng)，需要求出BD、DE、BE的長(zhǎng)，因?yàn)槿切蜛BC為等邊三角形，周長(zhǎng)為6cm，所以BC=AC=2cm，又因?yàn)锽D為中線，所以CD=12AC=1cm，且CE=CD=1cm，所以BE=2cm+1cm=3cm，∠ACB=60°，∠ACE=120°，所以DE=3cm，且BD=3cm，所以△BDE【詳解】解：三角形ABC為等邊三角形，周長(zhǎng)為6cm,BC=2cm，BD⊥AC，AB=BC=CA=2cm，∠A=∠ABC=∠ACB=60°ABC為等邊三角形，BD為中線AD=CD=1cm，∠CBD=30°，CE=CD=1cm∠E=∠CDE∠ACB=60°,∠ACB=∠E+∠CDE（三角形外角等于不相鄰的內(nèi)角和）∠E=∠CDE=30°∠E=∠CBD=30°DE=BD=3BE=BC+CE=2cm+1cm=3cm△BDE的周長(zhǎng)=BE+BD+DE=(3+23)cm故答案為：3+238．如圖，△ABC中，AC=8，BC=10，AC＞AB.(1)用尺規(guī)作圖法在△ABC內(nèi)求作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到兩點(diǎn)A、C的距離相等，又到邊AC、BC的距離相等（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.(2)若△ACD的周長(zhǎng)為18，求△BCD的面積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）分別作出∠ACB的角平分線和線段AC的垂直平分線，交點(diǎn)即為所求；（2）連接AD、BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，由垂直平分線的性質(zhì)可得AD=DC，CE=12AC，根據(jù)找出可得出CD的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=DE，利用三角形面積公式即可得答案.【詳解】(1)如圖所示，D點(diǎn)為所作(2)連接AD、BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F由(1)可知AD=DC，DE垂直平分AC，即CE=12AC=4∵，AC=8∴CD=5，在RtΔDEC中，DE=又∵CD是∠ACB的平分線，DE⊥AC，DF⊥BC∴DF=DE=3，∴，9．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，連接DF，BF.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段DF，BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(不用證明)；(2)如圖②，將圖①中△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，線段DF，BF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?寫(xiě)出你的猜想，并給予證明；(3)如圖③，將圖①中△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，線段DF，BF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明.【答案】（1）DF=BF，DF⊥BF；（2）DF=BF，DF⊥BF，見(jiàn)解析；（3）)DF=BF，DF⊥BF.【解析】【分析】(1)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出此時(shí)線段DF，BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.(2)過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE，交DF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接DB，BM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到CMDE=CFEF=FMDF，∠DEC=∠MCE，根據(jù)CF=EF，得到DF=FM，CM=DE，證明螖ADB鈮呂擟MB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到(3)根據(jù)第(2)的方法，直接寫(xiě)出結(jié)論即可.【詳解】解：（1）DF=BF，DF⊥BF(2)DF=BF，DF⊥BF證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE，交DF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接DB，BM∵DE∥CM∴CMDE=CFEF=∵F是CE的中點(diǎn)∴CF=EF∴DF=FM，CM=DE∵ΔABC和ΔADE是等腰直角三角形∴DE=AD，BC=AB，∠DEA=∠DAE=∠CAB=∠ACB=45°∴∠DEC=135°=∠ECM，∠DAB=90°∴∠DAB=∠BCM，且AB=BC，CM=DE=AD.∴螖ADB鈮呂擟MB∴∠ABD+∠DBC=90°∴∠MBC+∠DBC=90°=∠DBM∴ΔDBM是等腰直角三角形又DF=FM∴BF=DF，BF⊥DF(3)DF=BF，DF⊥BF五練原創(chuàng)——預(yù)測(cè)提升1.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一點(diǎn)，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，則CE與DE的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．CE=DEB．CE=DEC．CE=3DED．CE=2DE【答案】B．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，設(shè)BE=x，由相似三角形的性質(zhì)可解得x，易得CE，DE的關(guān)系．【解析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB===，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，設(shè)BE=x，則AE=，即，解得x=，∴，∴CE=DE，故選B．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．2.在△ABC中，AB=10，AC=，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或10【答案】C．【分析】分兩種情況考慮，如圖所示，分別在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD與CD的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)．【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，如圖1所示，AB=10，AC=，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD==8，CD==2，此時(shí)BC=BD+CD=8+2=10；如圖2所示，AB=10，AC=，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD==8，CD==2，此時(shí)BC=BD﹣CD=8﹣2=6，則BC的長(zhǎng)為6或10．故選C．考點(diǎn)：勾股定理；分類(lèi)討論．3．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則在①3.6②4，③5.5，④7，這四個(gè)數(shù)中AP長(zhǎng)不可能是_____（填序號(hào)）【答案】④【解析】【分析】利用垂線段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AB＝6，可知AP最大不能大于6．此題可解．【詳解】：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長(zhǎng)不可小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的長(zhǎng)不能大于6．故答案為：④4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC、BD，若S四邊形ABCD＝18，則BD的最小值為_(kāi)________．【答案】6【解析】【分析】過(guò)A作AM⊥CD于M，過(guò)A作AN⊥BC于N，先根據(jù)“AAS”證明△DAM≌△BAN,再證明四邊形AMCN為正方形,可求得AC=6,從而當(dāng)BD⊥AC時(shí)BD最小，且最小值為6.【詳解】如下圖，過(guò)A作AM⊥CD于M，過(guò)A作AN⊥BC于N，則∠MAN＝90°,∠DAM＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠BAN＝90°,∴∠DAM＝∠BAN.∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD,∴△DAM≌△BAN,∴AM＝AN,∴四邊形AMCN為正方形,∴S四邊形ABCD＝S四邊形AMCN＝12AC2∴AC=6,∴BD⊥AC時(shí)BD最小，且最小值為6.故答案為：6.5．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，點(diǎn)D在邊AC上，連接BD，過(guò)A作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若M，N分別為線段AB，EC的中點(diǎn)，如圖1，求證：MN⊥EC；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥EC交BD于點(diǎn)F，求證：AE＝2BF；（3）如圖3，以AE為一邊作一個(gè)角等于∠BAC，這個(gè)角的另一邊與BE的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)，O為BP的中點(diǎn)，連接OC，求證：OC＝12（BE﹣