直線與圓解析版公開課教學(xué)設(shè)計(jì)課件資料

專題22直線與圓

【考綱要求】

1、理解直線的斜率和傾斜角的概念，理解直線傾斜南的唯一性及直線斜率的存在性.

2、理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件，能根據(jù)已知條件判斷兩直線的平行與垂直.

3、能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.

4、能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.

一.直線的傾斜角與斜率

【思維導(dǎo)圖】

定義：當(dāng)直線I與工軸4口文時(shí)，我們以X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向

與直線I向上的志向之間所成的角a叫做直線I的做斜角

候轉(zhuǎn)角

住斜角范圍0°Wa<180

互線與x軸乎行或重合時(shí)，候斜角為0°

2q杞一條直線的像斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.

—斜率常用小寫字身k表示

k=tana(a=#90°)

直

當(dāng)aea叁大科隼k越大；當(dāng)aa越大科華k越大

線定義式

的

注意：任何直線都有候斜角，但是不是所有直畿都有斜率

假

斜

「1（，1，丫1），「2（、2，、2）且11X%則斜率k——=———

角兩點(diǎn)式

qFX1一五2

與

斜

率

當(dāng)兩直線斜拿存在是且為％、k'%||licki=k2

［平行，截距不相同

直線平行

I篁合，截距相同

當(dāng)兩直線斜率不存在即傾斜角都為90°。LIIh

當(dāng)兩直線斜率存在是目為％、%則LJJiC%小2=1

直線垂直

當(dāng)一直線斜率不存一直線傾斜角為0。=11112

【考點(diǎn)總結(jié)】

1、直線的傾斜角

（1）傾斜角的定義

①當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上方向之間所成的角a叫做直線/的傾斜

角.

②當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。.

（2）直線的傾斜角a的取值范圍為（rWa<180。.

(3)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可.

2、直線的斜率與傾斜角的關(guān)系

(1)直線的斜率

把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母A表示，即&=tana.

(2)斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

y

17

圖示。

OX0in°

/n、

傾斜角(范圍)1=0°0°<a<90°1=90。90°<a<180°

斜率(范圍)k=0k>0不存在RO

3、過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

直線過兩點(diǎn)P(xi，%),「2(小”)，其斜率左二"二為彳及).

X2-X]

二、直線的方程

【思維導(dǎo)圖】

名爵方程選用量困

點(diǎn)纖式y(tǒng)—y#=*(x-xo)不含直線尸不

好橫式y(tǒng)=fe+*不含盤直于“軸的直愛

兩點(diǎn)式口1上外加小樹不含直或戶匹和直疑/=”

p-)1XI-XI

藪髭式；+尸不含叁直于生株構(gòu)布過原點(diǎn)的直線

一瓶式Av+B)+C=W?+B2#0)平面直角生標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

求直線方程一瓶有以下鬲腳方法：

①能按法

由邀卷確定出直線方理的適當(dāng)好式，然后直接寫出其方程.

②律定系數(shù)法

先由五畿滿足的條件諛蟲立線方怒，方省中含有待定的系數(shù)，再由

遜設(shè)余件求出待定系數(shù)，即將所求吏微方怒.

(1)直線這點(diǎn)必(歷，力)且垂直于X軸的方態(tài)為“=由

(2)直線過點(diǎn)R(歷，不)且垂食于y軸的方態(tài)為

(3)y軸的方程為，=0

(4)4軸的方卷電匕°

方法一：含有賽數(shù)的直線方程可看作直線系方怒，這時(shí)要能第整理

成這定成的直線系，即髭第看由“動(dòng)中有定”_____________________

方法二：將方怒化成關(guān)于參數(shù)的方程，令參數(shù)的系數(shù)為0求也定點(diǎn)

“救比■”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，可正可更，也可享

“距離”是一個(gè)非更致

當(dāng)友蝮在Z*、y拈上的藏距相等或具本倍數(shù)關(guān)系時(shí)，一般要分藏距

為零和不為零兩葉情況求斜.

當(dāng)出現(xiàn)蔽題之和或橫菽蹈大于蚊蔽歷時(shí)，橫、縱蔽嶷均不為掌，可

直犢用待定系數(shù)法求斛

【考點(diǎn)總結(jié)】

一、點(diǎn)斜式和斜截式

1.直線的點(diǎn)斜式方程

(1)定義：如右圖所示，直線/過定點(diǎn)P(xo,泗)，斜率為A，則把方程y-yo=Mx—X0)叫做直線/的點(diǎn)斜式方

程，簡稱點(diǎn)斜式.

(2)說明：如右圖所示，過定點(diǎn)尸(次，泗)，傾斜角是90。的直線沒有點(diǎn)斜式，其方程為x—其=0,或x=xo.

2.直線的斜截式方程

(1)定義：如右圖所示，直線/的斜率為

且與y軸的交點(diǎn)為(0,b),則方程>=丘+6叫做直線/的斜截式方程，簡稱斜截式.

(2)說明：一條直線與y軸的交點(diǎn)(0,少的縱坐標(biāo)人叫做直線在)，軸上的截距.傾斜角是直角的直線沒有斜截

式方程.

二'兩點(diǎn)式和截距式

項(xiàng)目兩點(diǎn)式截距式

PG1，巾)和尸2。2，”)，其中

條件在無軸上截距。，在y軸上截距b

為#12，yiW”

圖形二仁

y-y\x-x\

方程a+b=]

y2-y\x2—x]

不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過原

適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線

點(diǎn)的直線

三、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)間的距離

【思維導(dǎo)圖】

聯(lián)立方4,斛方6短

^^Z）：.4jx+5v+C]=0,h：.4ix+5]j'+C2=0（.41,Bi,Ci,Ai,BitG為

(

則”與人的交點(diǎn)蜻觸方神］4i.v++圓B^+C。i=0。,的*

①平面上的兩點(diǎn)Pi(.n,yi),?)日的

兩點(diǎn)題m公融＞刊=施］7了+(力-為『

②.特別地，原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)生,”的甌匐。乃=四手.

心尸(.□，J。)到直線/：Av+Bv+C=0的甌離d」|4xo+Bro+C]

直距

篇點(diǎn)線距

線

的求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方善為一般式

交IC1-GI

例條平行線心+明+C】=o與4r+的+Q=0問-d=/；-、.

點(diǎn)線線距一__________________________________________________匹一

及

求的平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方態(tài)化為一般式且x,y的系數(shù)向

距宜相等

離

公一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)林軸垂直

式二是兩財(cái)賽點(diǎn)的中心在財(cái)殊軸上

k'=2a—X.

點(diǎn)用」)關(guān)于點(diǎn)8%用的山點(diǎn)PNJ而4=%一F

城關(guān)于點(diǎn)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)箱可告化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的角林問邈耒解決

點(diǎn)/(%?)關(guān)于直線—+坳+。=岫期的對(duì)稱點(diǎn).4'的，加)

對(duì)

1點(diǎn)關(guān)于線

對(duì)稱兩點(diǎn)的直線與對(duì)稱軸垂直.m—a

a+m?b+n八

兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上1--------+B-------+C=0A.

22

\線關(guān)于級(jí)直線關(guān)于直線的對(duì)稱可傳化為點(diǎn)關(guān)于立線的對(duì)禰問題來解決

【考點(diǎn)總結(jié)】

一、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1.兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示

點(diǎn)AA（〃，b）

直線//：Ax+By+C=O

點(diǎn)A在直線/上Aa+Bb+C=O

A\x+B\y+Ci=O,{x=a,

直線/i與h的交點(diǎn)是A方程組L“八的解是，

〔42%+B2y+C2=01y=6

2.兩直線的位置關(guān)系

A]X~\-B\y+C\—0f

方程組，一組無數(shù)組無解

A2x+B2y+C2=0的解

直線/1與/2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)

直線/1與/2的位置關(guān)系相交重合平行

二、兩點(diǎn)間的距離

兩點(diǎn)間的距離公式

(1)公式：點(diǎn)尸］(X1，%),尸2(x2，竺)間的距離公式|「色|=叱制一及9+⑴一”)2.

(2)文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)兩點(diǎn)的距離等于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)之差的平方和的算術(shù)平方根.

三、點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離

點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線間的距離

項(xiàng)目點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離

定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長度

點(diǎn)Po（xo,州）到直線/：Ax+By兩條平行直線/i：Ax+3y+Ci=0與，2：A.X

+C=0的距離d—+B)，+C2=0(CI#C2)之間的距離d=

公式

|Axo+5yo+C|IC1-C2I

AJA2+B2yjA2+B2

四、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【思維導(dǎo)圖】

定義｝平面內(nèi)到定點(diǎn).的距禹號(hào)于定長的點(diǎn)的Q合叫做留

同心C(.,b)

標(biāo)淮(x—a)2+(y-A)2=/(r>0)々----------------------

----------------------------氏半徑為r

方程

?+++&+&+戶=O(0+a-4-0)

?心”儀初.E：-4f

當(dāng)IF+ETltL牝方衽最示的畫劃是■

if+ETFJ%此方也表示一個(gè)點(diǎn)I丞3

■ly+jp-4FQ*.e不

二元二次方程標(biāo)+則在“+flr+。+八=0*.示■的

p=c#o.

JLM#AU=O.

L+f44F>d

國的標(biāo)率方亞為(x-j+G-b)^/"〉。)，■心C的坐標(biāo)為(a.b),

穿住為r,被M的坐標(biāo)為(XQ,ye)

住置關(guān)系o幾內(nèi)&=代數(shù)法

:J

JlAB^o|MC|>ro(x0-a)+(y0-*>)>?^

點(diǎn)AH上o|MC|=ro(Xo-af+(y?-b)2=r2

點(diǎn)

與

n的0點(diǎn)Al內(nèi)o|MC|vro(x0-以+(y「b)’vr3

位1

關(guān)

系

【考點(diǎn)總結(jié)】

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

條件圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

過原點(diǎn)(x—a)2+(y—b)2=a2+b2(a2+b2>0)

圓心在X軸上(x-a)2+V=0)

圓心在y軸上x2+(y—b)2=r(r^z0)

圓心在X軸上且過原點(diǎn)(x-4)2+)2=〃2(啟0)

圓心在y軸上且過原點(diǎn)x1+(y—b)2=b\b^0)

與X軸相切(x—a)2+(y—b)2=B(b￥0)

與y軸相切(x-a)2+(y—力2=豐o)

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—“）+0一1）2=戶，圓心C（a,b）,半徑為/設(shè)所給點(diǎn)為M（x（）,州），則

判斷方法

位置關(guān)系

兒何法代數(shù)法

點(diǎn)在圓上IMC|=，0點(diǎn)M在圓C上點(diǎn)M（xo，yo）在圓上0ao—。）2+30一與2=,

點(diǎn)在圓內(nèi)IMC|<ro點(diǎn)”在圓C內(nèi)點(diǎn)yo）在圓內(nèi)05）—。）2+°，0—Z?）2V戶

點(diǎn)在圓外IMC|＞廠0點(diǎn)M在圓C外點(diǎn)M（出,yo）在圓外臺(tái)（40—。）2+&0—匕）2＞，

【題型匯編】

題型一：直線的傾斜角與斜率

題型二：直線的方程

題型三：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離

題型四：圓的方程

題型五：直線與圓的位置關(guān)系

【題型講解】

題型一：直線的傾斜角與斜率

一、單選題

1.（2022?山東濰坊?二模）已知直線4：x-3），=O,l2:x+ay-2=0,若1此，則。=（）

A.—B.—C.3D.-3

33

【答案】A

【解析】

【分析】

兩直線斜率均存在時(shí)，兩直線垂直，斜率相乘等于-1,據(jù)此即可列式求出4的值.

【詳解】

/,_L—"（—）=-1na=—.

3a3

故選：A.

2.（2022?浙江臺(tái)州?二模）已知直線4：x+2y+3=0,/2：x+ay+\=Q,若…,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.2B.gC.—D.—2

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用一般式下兩直線垂直的充要條件“420AA+4層=0”即可求解

【詳解】

/,±/,=>lxl+2xa=0=>a=-—

-2

故選：C

3.（2022?北京?潞河中學(xué)三模）設(shè)aeR,若直線辦+y-1=0與直線x+ay+1=0平行，則。的值是（）

A.1B.1,-1C.0D.0,1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)兩直線平行則兩直線斜率相等截距不相等可得答案.

【詳解】

。=0時(shí)，兩直線為>-1=0、直線x+l=0,顯然不平行；

所以awO,兩直線為丫=-"+1,y=」（x+l）,

a

所以一“=且-1*1,

aa

解得4=1.

故選：A.

4.（2022?江西南昌?二模（文））己知直線2x-y+l=0與直線x+my+2=0垂直，則機(jī)=（）

A.-2B.—C.2D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)兩直線垂直，直接列出方程求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，x+/ny+2=0=x=-2,

由2x-y+l=。知y=2x+l,斜率為2,

所以直線2工->+1=。與戶-2不垂直，不符合題意；

12

當(dāng)相。0時(shí)，x+my+2=0=>y=——x,

mm

因?yàn)橹本€2X-y+1=0與直線%+沖+2=0垂直，

所以-，x2=-l,解得ZM=2.

m

故選：C.

二、多選題

1.(2022?湖南省臨澧縣第一中學(xué)一模)下列說法正確的是()

A.已知直線小伙一3)x+(4—左)y+l=0與4：2僅一3)x-2y+3=0平行，則k的值是3

B.直線"-丫-2=0與圓/+丁=2的位置關(guān)系為相交

C.圓M+y2+2x+4y—3=0上到直線x+y+l=0的距離為近的點(diǎn)共有3個(gè)

D.已知AC、8。為圓。:/+丁=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M0,啦)，則四邊形ABCD的面積的最

大值為10

【答案】BC

【解析】

【分析】

A由直線平行的判定求參數(shù)，注意驗(yàn)證是否重合；B根據(jù)直線所過的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可；C由圓

心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可判斷;D設(shè)圓心。(0,0)到AC,BD的距離分別為辦〃，則nr+n2=|OM|2=3

及SA8cACIIBDI，結(jié)合基本不等式求最大值即可判斷?

【詳解】

A：由平行知：2(左一3)(4-4)+2(左一3)=20一3)(5—左)=0,貝必=3或a=5,當(dāng)4=3時(shí)有《：y+1=0,

4：3-2y=0滿足題設(shè)，當(dāng)左=5時(shí)有/.：2x_y+l=0,《：4x-2y+3=0滿足題設(shè)，故后=3或后=5,錯(cuò)誤；

B：由a-y-々=0過定點(diǎn)(1,0),而(1,0)在圓f+/=2內(nèi)，故它們的關(guān)系為相交，正確；

C：由題設(shè)知：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y+2)2=8,則圓心為(-L-2),半徑為2五，所以圓心至Ijx+y+l=o

距離為正，易知圓上點(diǎn)到直線距離為近的點(diǎn)共有3個(gè)，正確；

D：設(shè)圓心O（（）,（））到AC,初的距離分別為，〃,〃，則〉+”2=|0團(tuán)2=3,又ACBO相互垂直，所以

22

SABCD=~\AC\\BD\^2/4-療）（4-〃2）=2yl4+mn，而加+"=322mn，即〃?〃4;當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=如時(shí)

222

等號(hào)成立，故（SAB8）3X=5,故錯(cuò)誤.

故選：BC

題型二：直線的方程

1.（2022?北京市第十二中學(xué)三模）已知直線/過圓x2-2x+y2=。的圓心，且與直線2r+y-3=0垂直，則

/的方程為（）

A.x—2y+l=0B.x+2y—1=0

C.2x+y—2=0D.x~2y—1=0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用配方法求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合垂直直線之間斜率的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由V-2x+y2=0=。-1）2+/=i,所以圓心坐標(biāo)為（1,0）,

因?yàn)橹本€2x+y—3=0的斜率為-2,

所以與直線2x+y-3=0垂直的直線/的斜率為-g=；,

所以/的方程為：y=g（x-l）=x-2y-l=0,

故選：D

2.（2022?北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知直線4：亞+3-Dy+3=0,l2-.2x+ay-l=0,若H則實(shí)數(shù)a的

值是（）

A.0或-1B.-1或1

C.—1D.1

【答案】A

【解析】

【分

利用直線的一般式方程，根據(jù)直線垂直的條件列出等式，求得答案.

【詳解】

由題意可知4中2,故2+。3-1)=0,

解得4=0或。=-1,經(jīng)驗(yàn)證，符合題意，

故選：A

3.(2022?江西?上饒市第一中學(xué)二模(文))若經(jīng)過點(diǎn)P(T,-2)的直線與圓/+丁=5相切，則該直線在y軸

上的截距為()

55_

A.-B.5C.—D.—5

22

【答案】C

【解析】

【分析】

判斷P點(diǎn)在圓上，圓心為原點(diǎn)O,則切線斜率為-/一，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，令x=0即

可求出它在y軸上的截距.

【詳解】

V(-l)2+(-2)2=5,尸在圓上,

-2_1

設(shè)圓心為O,則％=口=2,則過P的切線斜率比=一/,

.??切線方程為：y+2=-1(x+l),

令x=0得y=-g.

故選：C.

4.(2022?貴州畢節(jié)?三模(理))曲線y=l+7i二7與直線(2無+l)x-(A+l)y+l=0有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)&的取

值范圍為()

A.(0,+8)B.?C.(-8,一1)□[-；,+8)D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得直線恒過(1,2)；山曲線方程可確定圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定直線斜

率的取值范圍，由此可構(gòu)造不等式求得女的取值范圍.

【詳解】

由(2Z+l._(A+l)y+l=0得：(2x-y)A+X-y+l=0,

令廠X-.V：O解得：直線儂+l)x-信+i)y+i=o恒過定點(diǎn)(1,2)；

[x-y+l=O[y=2

由y=l+J1--得:x2+(y-l)2=l(y>1),

由此可得曲線y=l+Jl-x2的圖形如卜圖所示，

2-1I

由圖形可知：當(dāng)直線過點(diǎn)(-11)時(shí)，火線斜率為-=

若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為(0,；)

即°<弊解得：-!<“<-；即實(shí)數(shù)人的取值范圍為13一：

&+1223I23.

故選：D.

二、多選題

1.(2022?重慶?二模)己知直線/：蛆+(m+2)y-2m-2=0,圓C:x2+y2-4x=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/恒過定點(diǎn)(1,1)

B.直線/與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)

C.直線/與圓C的相交弦長的最大值為20

D.當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，圓C與圓d+(y-2)-=4關(guān)于直線/對(duì)稱

【答案】ABD

【解析】

【分析】

將直線/方程變形為機(jī)(x+y-2)+2y-2=0即可判斷直線過定點(diǎn)(1,1),進(jìn)而判斷A；再根據(jù)定點(diǎn)(1』)在圓C

內(nèi)判斷B；根據(jù)直線與圓相交時(shí)，最大弦為直徑判斷C；根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性求解C（2,0）關(guān)于/:x-y=0

對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解對(duì)稱圓的方程判斷D.

【詳解】

解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橹本€，:/m+（/n+2）y-2加一2=0可變形為/:機(jī)（x+y-2）+2y-2=0,所以直線/恒過

定點(diǎn)（1/），故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椤?12一4<0,所以點(diǎn)（1,1）在圓C:x2+y2-4x=0內(nèi)，故直線/與圓C相交，由兩個(gè)公共

點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確：

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于圓C:/+y2-4x=（）,圓心為C（2,0）,半徑為，=2,當(dāng)直線線/與圓C相交，故相交弦

長的最大值為圓C的直徑，即為2廠=4,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)m=-1時(shí)，直線/：x—y=0,故圓C:/+y2-4x=0的圓心C（2,0）關(guān)于/:x-y=0對(duì)稱的點(diǎn)

的坐標(biāo)為（0,2）,所以圓C:f+y2-4x=0關(guān)于/：x—y=O對(duì)稱的圓的方程為J+（y-2）2=4,故D選項(xiàng)正

確.

故選：ABD

題型三：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離

1.（2022?重慶?三模）已知直線/：卜=%（》-2）+1（左€咫上存在一點(diǎn)尸，滿足|OP|=1,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

則實(shí)數(shù)&的取值范圍是（）

A.^0,—jB.0,—C.「八4]r141

o,-D.

L3j\_23j

【答案】c

【解析】

【分析】

由已知可得原點(diǎn)。到直線/的距離的最大值為1利用點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于k的不等式，即可求解

%的范圍.

【詳解】

因?yàn)橹本€l：y=k（x-2）+KkeR）上存在一點(diǎn)P,使得|OP|=1,

乂+1|…4

所以原點(diǎn)。到直線/的距離的最大值為1,即「

?+13

'4'

即大的取值范圍是0,-.

故選：c

2.（2022?貴州遵義?三模（文））圓。:f+y2=2上點(diǎn)P到直線/：3x+4y=10距離的最小值為（）

A.72-1B.2-&

C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】

,10c

圓心到直線的距離設(shè)為d,則d=k卞=2,

V3+4-

乂因?yàn)閳A的半徑r=夜，所以點(diǎn)P到直線/：3x+4y=10距離的最小值為“_廠=2-應(yīng)

故選：B

3.（2022?甘肅蘭州?一模（理））圓/-2》+/-3=0的圓心到直線V=x的距離是（）

./y

A.V2B.-C.1D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件把圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得到圓心坐標(biāo)，再代入點(diǎn)到直線的距離公式即可.

【詳解】

由題意可得：圓的一般方程為犬-2》+）13=0,

轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（X-1）2+V=4,

即圓的圓心坐標(biāo)為（1,0）,

因?yàn)橹本€方程為x-y=o,

所以圓心到直線的距離為d=JdL="

Vl2+122

故選：D

4.（2022?貴州貴陽?二模（理））已知直線《：x-，"y=0和/2：x-〃?y+2Q〃-l）=0（，〃€R）與圓C都相切，則圓C

的面積的最大值是（）

A.2乃B.4萬C.87D.16萬

【答案】A

【解析】

【分析】

易得44互相平行，故圓c的直徑為間的距離，再表達(dá)出距離求最大值即可得圓c的直徑最大值，進(jìn)而

得到面積最大值

【詳解】

|2（w-l）|\m-l\

由題，4,互相平行，在2（,〃-1）*0,故圓c的直徑為4,間的距離"（了=2J]H，令f,

1cM22

〃=2—/=—.=?=―[11

則帆=r+l，/+（,+1.+:+]卜（"]+1，故當(dāng):+；=。，即，=一2,加=—1時(shí)d取得最

大值d=2應(yīng)，此時(shí)圓C的面積為5=%（g）=2萬

故選：A

二、多選題

1.（2022.江蘇.海安高級(jí)中學(xué)二模）已知直線/過點(diǎn)（3,4）,點(diǎn)A（-2,2）,8（4,-2）到/的距離相等，則/的方

程可能是（）

A.x-2y+2=0B.2x-y-2=0

C.2x+3y-18=0D.2x-3y+6=0

【答案】BC

【解析】

【分析】

分直線，斜率存在和不存在進(jìn)行討論.當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y-4=z（x-3）,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離

公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線/的方程.

【詳解】

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=3,此時(shí)點(diǎn)A到直線/的距離為5,點(diǎn)3到直線/的距離為1,

此時(shí)不成立;

當(dāng)匕線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y—4=4（x—3）,即立―》+4-3左=0,

?.?點(diǎn)A（-2,2）,3（4,-2）到直線的距離相等，

|-2%-2+4-3用眼+2+4-3自2

—rv=~[=J—/,I解得上=-3,或％=2,

V^+l\]k+13

當(dāng)&=—§時(shí)，直線/的方程為y-4=—：（x-3）,整理得2x+3y-18=0,

當(dāng)&=2時(shí)，直線/的方程為y-4=2（x—3）,整理得2x—y—2=0.

綜上，直線/的方程可能為2x+3y-18=0或2x-y-2=0

故選：BC.

題型四：圓的方程

一、單選題

1.（2022?北京?高考真題）若直線2x+y-l=0是圓（x-4+y2=i的一條對(duì)稱軸，則。=（）

A.!B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解.

【詳解】

由題可知圓心為（。,0）,因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即2a+0T=0,解得。=；.

故選：A.

2.（2022?北京豐臺(tái)?一模）已知圓C:x2-2x+V=0,則圓心C到直線x=3的距離等于（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

求出圓心的坐標(biāo)，即可求得圓心C到宜線x=3的距離.

【詳解】

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-圓心為C0,0）,故圓心C到直線x=3的距離為|1-3|=2.

故選：c.

3.(2022?廣西南寧?二模(文))已知圓q[x+3y+y2=i,圓O2：(x-l)?+丁=1,過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓?？?/p>

圓。z的切線以，PB(A,B為切點(diǎn))，使得|/科=0|冏，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為().

22

A.—+—=1B.x2=4y

95

r2,

C.y-/=lD.(x-5)+/=33

【答案】D

【解析】

【分析】

由條件結(jié)合圓的切線性質(zhì)可得出|P?「-1=2(|PO2「-1),結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得出答案.

【詳解】

由|PA|=y/2\PB\得=2|PB|2.

因?yàn)閮蓤A的半徑均為L則|PO「T=2(|POj_l),

則(x+3)2+/-1=2(一I)?+/—1],g|J(x—5)2+V=33.

所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x-5)2+y2=33.

故選：D

4.(2022?安徽滁州?二模(文))已知A,8為圓C:x2+y2-2x-4y+3=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦A8的中點(diǎn)，

若NACB=90。，則點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.(Ly-2)2=；B.(I)?+—2)2=1

C.(x+l)2+(y+2)2=；D.(x+l)2+(y+2)2=1

【答案】B

【解析】

【分析】

在直角三角形中利用幾何關(guān)系即可獲解

【詳解】

圓C即(x-l)2+(y-2)2=2,半徑/=&

因?yàn)镃4_LC8,所以AB=^r=2

又尸是A3的中點(diǎn)，所以CP=：A8=1

所以點(diǎn)P的軌跡方程為（X-1）?+（y-2）2=1

故選：B

二、多選題

1.（2022.江蘇南京.三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：+y2-lax-Gy+a2=0（aeR）,則下列

說法正確的是（）

A.若awO,則點(diǎn)。在圓C外

B.圓C與x軸相切

C.若圓C截y軸所得弦長為4&，則。=1

D.點(diǎn)。到圓C上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為/

【答案】ABD

【解析】

【分析】

選項(xiàng)A,根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可；選項(xiàng)B,根據(jù)直線與圓相切的定義判斷即可；選項(xiàng)C,根據(jù)圓的

弦長公式277彳求解即可；選項(xiàng)D,根據(jù)分a=0和兩種情況即可判斷.

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)?H0時(shí)，將原點(diǎn)代入圓方程可得“2>0,故點(diǎn)。在圓C外，故A正確；

對(duì)于B,圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程即為（x—af+（y-3）2=9,則圓心C（a,3）,r=3,

顯然圓心C到x軸距離為3等于半徑，所以相切，故B正確；

對(duì)于C,對(duì)根據(jù)題意，/=2疹方，解得a=±l，解得所以圓C截〉軸所得弦長為4應(yīng),

則。=±1,故C不正確；

對(duì)于D,當(dāng)。=0時(shí)，圓C：x2+(y-3)2=9,所以點(diǎn)。在圓C上，顯然最小值為0,最大值為2r=6,

故乘積且等于/；當(dāng)。工0時(shí)，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)。在圓C外，|OC|=J/+9,

所以最大值為|。。+乙最小值為|明-小乘積為|OCf_產(chǎn)=4+9—32=/,故口正確.

故選：ABD.

題型五：直線與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.(2022?江西萍鄉(xiāng)?三模(文))已知直線/：y=x被圓C:(x-3)2+(y-l)2=/(r>0)截得的弦長為2,則廠=()

A.73B.76C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)半徑的平方等于弦長一半的平方加圓心到直線的距離的平方，即可求出答案.

【詳解】

圓心到直線的距離”=焉，=0,弦長的一半為1,/?="可+『="

故選：A.

2.(2022.廣東佛山?三模)已知集合&={伍》)k2+卜2=4},B={(x,y)|x+y=l},則48的元素個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系去判斷A8的元素個(gè)數(shù)

【詳解】

集合A={(x,y),+V=4}表示以(0,0)為圓心2為半徑的圓上的所有點(diǎn)

集合6={(x,y)|x+y=1}表示直線x+y-1=0上的所有點(diǎn)

圓心(0,0)到直線x+y-l=0的距離d=堆￡[1=—<2,

Vl2+122

則直線x+y-i=O與圓V+y2=4相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，

則AB的元素個(gè)數(shù)為2

故選：C

3.(2022?