高教線性代數(shù)第五章二次型-課后習(xí)題答案

高教線性代數(shù)第五章二次型——課后習(xí)題答案

第五章二次型

1.用非退化線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并利用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果。1)

4x1x22x1x32x2x3；

2)x222

12x1x22x24x2x34x3；

3)x22

13x22x1x22x1x36x2x3；

4)8x1x42x3x42x2x38x2x4；

5)xlx2xlx3xlx4x2x3x2x4x3x4；6)x222

12x2x44x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4；7)x2222

1x2x3x42x1x22x2x32x3x4。

解1)已知fxl,x2,x34x1x22x1x32x2x3,先作非退化線性替換

xlyly2

x2yly2(1)

x3y3

則

fxl,x2,x22

34yl4y24yly3

4y2

14y222

ly3y3y34y2

2y322

1y3y34y2,

再作非退化線性替換yl11

2zl2z3

y2z2

y3z3

則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

fx22

1,x2,x3zl4z2z2

3,

最后將（2）代入（1）,可得非退化線性替換為2）

（11XzzZ32121211x2zlz2z3（3）22x3z3

于是相應(yīng)的替換矩陣為11102110221

T11001000100120

且有121,12010

100TAT040o

001

2）已知fxl,x2,x3xl2x1x22x24x2x34x3,222由配方法可得

fxl,x2,x3xl2x1x2x2x24x2x34x32222

xlx2x22x3，22于是可令

ylxlx2y2x22x3,

yx33

則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

fxl,x2,x3yly2,22且非退化線性替換為

xlyly22y3x2y22y3,

xy33

相應(yīng)的替換矩陣為

112T012,001

且有

001101121001

TAT1101220120100

221024001000

(3)已知fxl,x2,x3xl3x22x1x22x1x36x2x3,22

由配方法可得

fxl,x2,x3xl2x1x22x1x32x2x3x2x34x24x2x3x322222

xlx2x32x2x3,22

于是可令

ylxlx2x3y22x2x3,

yx33

則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

fxl,x2,x3yly2,22

且非退化線性替換為13xyyy31212211x2y2y3,

22x3y3

相應(yīng)的替換矩陣為1

TOO

且有12120321,21

11TAT23210011110133

0213001121212032100101

0o21000

(4)已知fxl,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4,先作非退化線性替換

xlyly4xy22

x3y3

x4y4

則

fxl,x2,x3,x48yly48y42y3y42y2y38y2y42

221111118y42y4yly2y3yly2y3

282282

1118yly2y32y2y3282

11118yly2y3y42yly2y32y2y3,2842

再作非退化線性替換222

ylzlyzz223,

y3z2z3

y4z4

則

53531fxl,x2,x3,x48zlz2z3z42zlz2z3

88442

2z22z3,

再令2222

53wzxx312144w2z2,

w3z3

153w4zlz2z3z4288

則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

fxl,x2,x3,x42wl2w22w38w4,2222且非退化線性替換為

153xww121424w3w4

x2w2w3,

x3w2w3

lxwlw442

相應(yīng)的替換矩陣為120T012

且有5411031410,1001

020TAT0000200o020008

(5)已知fxl,x2,x3,x4xlx2xlx3xlx4x2x3x2x4x3x4,先作非退化線

性替換

xl2yly2xy22,xy33

x4y4

則

fxl,x2,x3,x42yly2y22yly32y2y32yly42y2y4y3y42

yly2y3y4再作非退化線性替換2132y3y4y4yl2,

242

zlylzyyyy21234,1z3y32y4

z4y4即

ylzly2zlz2z3lz42,yzlz3432yz44

則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

222fxl,x2,x3,x4zlz2z332z4,4

且非退化線性替換為1xzzzz4123121xzzzz421232,

lxzz4332x4z4

相應(yīng)的替換矩陣為11T0

0

且有111211121012001

10

TAT00

20100010o30042200(6)已知

fxl,x2,x3,x4xl2x2x44x1x24x1x32x1x4

2x2x32x2x42x3x4,由配方法可得

fxl,x2,x3,x4xl22x12x22x3x42x22x3x42

2x22x3x42x2x42x2x32x2x42x3x4222xl2x22x3x4于是

可令231122x2x3x4x3x42222

ylxl2x22x3x431y2x2x3x422y3x3x4y4x4

則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fyl2y2且非退化線性替換為2212y3,2

xlyl2y2y3y43x2y2y3y42x3y3y4x4y4

故替換矩陣為1213012T100

000

且有1111

01

200000

221002TAT000022(7)已知

fxl,x2,x3,x4xlx2x3x42x1x22x2x32x3x4,

由配方法可得

fxl,x2,x3,x4x22x2xlx3xlx32x1x32x3x4x4222

xlx2x32x1x3x32x3x4x4x32222

xlx2x3x3x42x1x3x3xlxl22222

xlxlx2x3x3x4xlx32222于是可令

ylxlyxXX2123，

y3x3x4

y4xlx3

則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

fyly2y2y4,

且非退化線性替換為2222

xlylxyy224,xyyl43

x4yly3y4

相應(yīng)的替換矩陣為

10T11

且有0101,001011

0100。010001000010TAT00

(n)把上述二次型進(jìn)一步化為規(guī)范形，分實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)兩種情形；并寫(xiě)出所作的非

退化線性替換。

解1)已求得二次型

fxl,x2,x34x1x22x1x32x2x3

的標(biāo)準(zhǔn)形為

fyl4y23y3,

且非退化線性替換為222

11xyyy32121211x2yly2y3,22x3y3

(1)在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換ylz31y2z2,2y3zl

可得二次型的規(guī)范形為

fzlz2z3。

(2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換222

ylizl1y2z2,2y3zl

可得二次型的規(guī)范形為

fzlz2z3?

2)已求得二次型

fxl,x2,x3xl2x1x22x24x2x34x3222222

的標(biāo)準(zhǔn)形為

fyly2,

且非退化線性替換為22

xlyly22y3x2y22y3,

xy33

故該非退化線性替換已將原二次型化為實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形和復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形

fyly2o

3)已求得二次型

fxl,x2,x3xl3x22x1x22x1x36x2x32222

的標(biāo)準(zhǔn)形為

fyly2,

且非退化線性替換為22

13xyyy31212211x2y2y3,22x3y3(1)在實(shí)數(shù)域

上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即fyly2。

(2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換22

ylzly2iz2o

yz33

可得二次型的規(guī)范形為

fzlz2(.

(3)已求得二次型

fxl,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4

的標(biāo)準(zhǔn)形為

f2yl2y22y38y4,

且非退化線性替換為222222

153xyy121424y3y4

x2y2y3,

x3y2y3

1x4yly42

(1)在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換yl

y2y3

y4

可得二次型的規(guī)范形為

21212121z4z2,z3zl222fzlz2z3z2。

(2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換22yl

y2y3

y4

可得二次型的規(guī)范形為

2i212i21zlz2,z3z4222fzlz2z3z2。

(5)已求得二次型

fxl,x2,x3,x4xlx2xlx3xlx4x2x3x2x4x3x4的標(biāo)準(zhǔn)形為

fyly2y3且非退化線性替換為2222232y4,4

1xyyyy4123121xyyyy421232,

lxyy4332x4y4

(1)在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換ylz2yz21y3z3,

y42z43

可得二次型的規(guī)范形為

fzlz2z3z4o

(2)在復(fù)數(shù)域匕若作非退化線性替換2222

ylizlyz22y3iz3,y42iz4

可得二次型的規(guī)范形為

fzlz2z3z4o

6)已求得二次型

fxl,x2,x3,x4xl2x2x44x1x24x1x32x1x42222222

2x2x32x2x42x3x4的標(biāo)準(zhǔn)形為fyl2y2且非退化線性替換為2212y3,2

xlyl2y2y3y43xyy3y422。2x3y3y4x4y4

(1)在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換ylz21yz322,y2zl3

y4z4

可得二次型的規(guī)范形為

222fzlz2z3o

(2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換ylizliyz222,y2z33

y4z4

可得二次型的規(guī)范形為

222fzlz2z3o

7)已求得二次型

fxl,x2,x3,x4xl2x2x44x1x24x1x32x1x42222x2x32x2x42x3x4

的標(biāo)準(zhǔn)形為fyyyy,2222

1224

且非退化線性替換為

xlyl

x2y2y4

x3ylyo

4

x4yly3y4

(1)在實(shí)數(shù)域上，上面所作非退化線性替換」將二次型化為規(guī)范形，即fy222

1y2y2y2

4o

(2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換

ylzl

y2z2,

y3z3

y4iz4

可得二次型的規(guī)范形為

fz2222

1z2z3z4o

2.證明：秩等于r的對(duì)稱(chēng)矩陣可以表成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱(chēng)矩陣之和。證由題設(shè)知

AA且rank(A)r,于是存在可逆矩陣C使CACD,

且D為對(duì)角陣，又因?yàn)镃,C1,ClC1均為可逆矩陣，所以有

CACDID2Dr,

其中

0

dl0

D0

于是

AC1D1

1D2DrC

C1D1

DrClo0因

DCli1,2,,r

111111DCCDCCDCCoiii

IDiC1都是對(duì)稱(chēng)矩陣，故A可表成r個(gè)秩為1的對(duì)稱(chēng)矩陣之和。即C

3.證明：

合同,其中ili2in是1,2,,n的一個(gè)排列。

證題中兩個(gè)矩陣分別設(shè)為A,B,與它們相應(yīng)的二次型分別為

fA1x12x2nxn,

fBilyli2y2inyn,

作非退化的線性替換

ytxitt1,2,,n,

則fB可化成fAo故A與B合同。

4.設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，證明：

1)A是反對(duì)稱(chēng)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一個(gè)n維向量X,有一XAX0。

2）如果A是對(duì)稱(chēng)矩陣，且對(duì)任一個(gè)n維向量X有XAX0,那么A0。證1）必要

性。因?yàn)锳A,即aii0,aijajiij,所以XAX

由于aijaji0,故

XAX

n222222ai,jijxixjaijajixixjijaijijajixixj0。充分

性。因?yàn)閄R,有XAX0,即

allxlal2a21xlx2xlnanlxlxna22x2

22a2nan2x2xnannxn0,

2

這說(shuō)明原式是一個(gè)多元零多項(xiàng)式，故有

alla22ann0,aijajiij,即AA,

2）由于A是對(duì)稱(chēng)的，且XAX0,即

allxl2al2xlx22alnxlxna22x22a2nx2xnannxn0,這說(shuō)明

XAX為一個(gè)多元零多項(xiàng)式，故有alla22ann0,2aij0aijaji0,

即A0o

5.如果把實(shí)n階對(duì)稱(chēng)矩陣按合同分類(lèi)，即兩個(gè)實(shí)n階對(duì)稱(chēng)矩陣屬于同一類(lèi)當(dāng)且僅當(dāng)它

們合同，問(wèn)共有幾類(lèi)？

解實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B合同的充要條件為存在可逆矩陣T與C使

2

2

2

dl

TBTCAC

d2

dr

Do0

0

下面考慮對(duì)角矩陣D的相應(yīng)二次型的合同分類(lèi)情況，在dii1,2,,r中可分為

r210

個(gè)正，0

個(gè)負(fù)個(gè)負(fù)

r1個(gè)正，1

個(gè)正，r2個(gè)負(fù)個(gè)正，r1個(gè)負(fù)個(gè)正，r

個(gè)負(fù)

共計(jì)r1個(gè)合同類(lèi)。但秩r又可分別取n,n1,,2,1,0,故共有

123nn1

n1n2

2

個(gè)合同類(lèi)。

6.證明：一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條

件是：它的秩等于2且符號(hào)差等于0,或者秩等于1。

證必要性。設(shè)

fxl,x2,,xnalxla2x2anxnblxlb2x2bnxn,其中

ai,bii1,2,,n均為實(shí)數(shù)。

1）若上式右邊的兩個(gè)一次式系數(shù)成比例，即

bikaii1,2,,n

不失一般性，可設(shè)al0,則可作非退化線性替換

ylalxla2x2anxnyxi2,,nii

使二次型化為

fxl,x2,,xnkyl,2

故二次型fxl,x2,,xn的秩為1。

2）若兩個(gè)一次式系數(shù)不成比例，不妨設(shè)ala2，則可作非退化線性替換blb2

ylalxla2x2anxny2blxlb2x2bnxn,

yxi3,,nii

使

fxl,x2,,xnyly2o

再令

ylzlz2y2zlz2,

yzi3,,nii

則二次型可化為

fxl,x2,,xnyly2zlz2,22

故二次型fxl,x2,,xn的秩為2,且符號(hào)差為0。

充分性。1）若fxl,x2,xn的秩為1,則可經(jīng)非退化線性替換ZCY使二次型化

為

fxl,x2,,xnkyl,2其中yl為xl,x2,,xn的一次齊次式，即

ylalxla2x2anxn,且

fxl,x2,,xnkalxla2x2anxn2

kalxlka2x2kanxnalxla2x2anxn。

2)若fxl,x2,,xn的秩為2,且符號(hào)差為0,則可經(jīng)非退化線性替換ZCY使二次

型化為

fxl,x2,,xnyly2yly2yly222

alxla2x2anxnblxlb2x2bnxn,故fxl,x2,,xn可表

成兩個(gè)一次齊次式的乘積。

7.判斷下列二次型是否正定：

1)99x112x1x248x1x3130x260x2x371x3；2)

10x18x1x224x1x32x228x2x3x3；3)222222x

i1

nn2i1ijnn1

i1xxij；4)xi12ixixi1。

解1)二次型的矩陣為

24996A613030,

243071

因?yàn)?/p>

1990,2

故原二次型為正定二次型。

2)二次型的矩陣為99661300,3A0,

41210A421412141

因?yàn)锳0,所以原二次型非正定。

3）記二次型的矩陣為Aaij

nn

，其中

1,

aij1

,2

即

ijiJ

112

A1

212

121121211221122

1,

1

2

1

12

由于A的任意k階順序主子式所對(duì)應(yīng)的矩陣Ak與A為同類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)矩陣，且

1

Akk10

2

故原二次型為正定二次型。

4）記二次型的矩陣為Aaij

k

k1,2,,n,

nn

,則A的k級(jí)順序主子式為

112

121

112

20

13200

2

11221

000

k

12

1

Ak

21

12

0143

1

0

2

k

k1

0

k

1

k10,2

k

故原二次型為正定二次型。

8.t取什么值時(shí)，下列二次型是正定的：1)xlx25x32txlx22x1x34x2x3

2)xl4x2x32txlx210x1x36x2x3解1)二次型的矩陣為222222

It1Atl2,

125

因?yàn)锳的各階順序主子式為

110,2t

tl0,It

1120,

53At

12

當(dāng)原二次型為正定時(shí)，有

21t0,25t4t0

4解上面不等式組，可得t0o5

2）二次型的矩陣為

lt5At43,

531

當(dāng)A的所有順序主子式都大于零時(shí)，即110,2t

t44t20,lt5

3At43t230t1050,

531由原二次型為正定得

2

4t0

2t30t1050

但此不等式組無(wú)解，即不存在t值使原二次型為正定。

9.證明：如果A是正定矩陣，那么A的主子式全大于零。所謂主子式，就是行指標(biāo)與

列指標(biāo)相同的子式。證設(shè)正定矩陣Aaijxj0則可得新二次型

nn

,作正定二次型

a

i1J1

nn

ij

xixj,并令

jkl,k2,,ki,klk2ki,

a

ikljkl

kiki

ij

xixj,

由正定二次型的定義知該二次型是正定的，故A的一切i級(jí)主子式

Ai0i1,2,,no10.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大之后，tEA是

正定矩陣。

證

al2tall

ta22a21

tEA

aan2nl

它的k級(jí)順序主子式為

tal1

kt

aln

a2n

tannalka2k

al2ak2

a21akl

ta22

takk

當(dāng)t充分大時(shí)，kt為嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣的行列式，且taii故

kt0k1,2,,n,從而tEA是正定的。11.證明：如果A是正定矩陣，

那么A也是正定矩陣。

1

ai1,2,,n,

ijji

證因A是正定矩陣，故XAX為正定二次型，作非退化線性替換XAY,又A也是對(duì)稱(chēng)

矩陣，故

11

AA1YXAX0,YAYYA

11

從而YAY為正定二次型，即證A為正定矩陣。

12.設(shè)A為一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A0,證明：必存在實(shí)n維向量X0,使

11

XAX0o

證因?yàn)锳0,于是A0,所以rankAn,且A不是正定矩陣。故必存在非退化線

性替換XCY使1

AXYC1ACYYBYX

yly2ypyp1yp2yn,

1且在規(guī)范形中必含帶負(fù)號(hào)的平方項(xiàng)。于是只要在ZCY中，令yly2yp

222222

0,yp1yp2yn1,則可得一線性方程組

cl1x1cl2x2clnxn0cplxlcp2x2

cpnxn0,cp1,1x1cp1,2x2cp1,nxn1

cnlxlcn2x2cnnxn1

由于C0,故可得唯一組非零解Xsxls,x2s,,xns使

AXs000111np0,Xs

即證存在X0,使XAX0o

13.如果A,B都是n階正定矩陣，證明：AB也是正定矩陣。

證因?yàn)锳,B為正定矩陣，所以XAX,XBX為正定二次型，且

XAX0,XBX0,

因此

AXXBX0,XABXX

于是XABX必為正定二次型，從而AB為正定矩陣。

14.證明：二次型fxl,x2,,xn是半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相

等。證必要性。采用反證法。若正慣性指數(shù)p秩r,則pro即

fxl,x2,,xnyly2ypyp1yr,22222若令

yly2yp0,yp1yr1,則可得非零解xl,x2,,xn使

fxl,x2,,xn0o這與所給條件fxl,x2,,xn0矛盾，故pro

充分性。由pr,知

fxl,x2,,xnyly2yp,222

故有fxl,x2,,xn0,即證二次型半正定。

15.證明:nxi是半正定的。

i1i12

in2

n2證nxixi

i1i1

nxlx2xnn2222

x2

122x2xn2x1x22xlxn2x2x32x2xn2xnIxn

n1xlx2xn(2x1x22xlxn2x2x3222

2x2xn2xnlxn)

xl2x1x2x2xl2x1x3x3xn12xnlxnxn222222

可見(jiàn)：1ijnxixj2

1)當(dāng)xl,x2,,xn不全相等時(shí)

xl,x2,,xn

2)當(dāng)xlx2xn時(shí)

fxl,x2,,xn1ijnxxixj0o2ixj0o2

1ijn

故原二次型fxl,x2,,xn是半正定的。

AX是一實(shí)二次型，若有實(shí)n維向量XLX2使16.設(shè)fxl,x2,,xnX

AX0,X2AX20oXI

AXOOo證明：必存在實(shí)n維向量X00使X0設(shè)A的秩為r,作非退化線性替換

XCY將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型

XAXdlyld2y2dryr,

其中dr為1或-1。由已知，必存在兩個(gè)向量XI,X2使222

AX10和X2AX20,XI

故標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)dl,,dr不可能全為1,也不可能全為-1。不妨設(shè)有p個(gè)1,q個(gè)-

L且pqr,即

AXylypyp1ypq,X

這時(shí)P與q存在三種可能：

Pq，Pq，Pq

下面僅討論P(yáng)q的情形，其他類(lèi)似可證。

令ylyqLyq1yp0,yp1ypq1,則由ZCY可求得

非零向量X0使2222

AXOylypyp1ypq0,X0

即證。

17.A是一個(gè)實(shí)矩陣，證明：

rankAArankA。

證由于rankArankAA的充分條件是AX0與AAX0為同解方程組，故

只要證明AX0與AAX0同解即可。事實(shí)上

AX0AAX0XAAX0

AXAX0AX0,

即證AX0與AAX0同解，故

rankAArankA

注該結(jié)論的另一證法詳見(jiàn)本章第三部分（補(bǔ)充題精解）第2題的證明，此處略。

2222

一、補(bǔ)充題參考解答

1.用非退化線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果:

1)xlx2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；

2)xlx2x2x3xnIxn；

3)x

i1

nn2i1ijn2xxij；

4)xilix,其中xxlx2xn。n解1)作非退化線性替換

xlyly2nxyy22n12

xnynyn1,xyynn1n1

x2n1y2y2n1xyyl2n2n

即XTY,則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fyly2ynyn1y2n1y2n,且

替換矩陣222222

10

T0

1

使111011,1111000100

11,TAT11其中

A12

2)若yl

則121212xlx2x3xx2x3,y21,22

yly2yly2yly222

xlx2x2x3,

于是當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，作變換xixi1xi2yi2xxi1xi2

yi1ii1,3,5,,n2,2ynxn

則

xlx2x2x3xnIxnyly2y3y4yn2yn1,且當(dāng)n4k1

時(shí)，得非退化替換矩陣為222222

11111110000110

11111T11000,

1101

當(dāng)n4k3時(shí)，得非退化替換矩陣為11111110000110

11111T11000,

1101

故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，都有

1111TATo

110

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，作非退化線性替換

xixi1xi2yi2yxixi1xi2i12

i1,3,5,,n3,xxnyn1

n12xxnynn1

2

則

xlx2x2x3xnlxnyly2y3y4yn1yn,于是當(dāng)n4k時(shí)，得

非退化替換矩陣為222222

1111111100001111T1100,

1111

于是當(dāng)n4k2時(shí)，得非退化替換矩陣為111111000110

1111T1100,

1111

故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，都有

111TAT1o1

3）由配方法可得22ln3Inxxxxf2j

12j43j3j2

nln12xn1xnxn,2n1n2n

于是可令2

Inylxl2xj

j2In

y2x2xj3j3,

1yn1xn1xnnynxn則非退化的線性替換為

1111xyyyyynl23n1123nInxylyly23nIn2

3nIn,

1xn1yn1ynnxnyn

且原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為fyl

相應(yīng)的替換矩陣為232nn122y2ynyn,142n12n

11201T00

0000

又因?yàn)?113nIn1113nIn11

1nIn101n001

11112221111222A

11112221111222所以

01003000400406TAT000

4）令

則

由于

則

000n02n1n1000Onylxlx

y2x2x,

yn1xn1xynxnnxl2ylyii2nx2yl2y2yi

i3o

n2xn1yi2yn1yni1xnynnnyixin1xx

,iliIn122y2inyn1n1原式

2nyiyiyi

ilili1i12n1y2ii1yiyjijn1

12232n2

zl4z2nIz2n1

2z2

31

2z2n2

2n1

zn1,其中所作非退化的線性替換為

yllll

zlzzzn1

2233n1

yz1223z314z4InIz

n1

yn1

z

n1

ynzn

故非退化的替換矩陣為

121111

11310

121112In110

1121101

3nT011

1

0

011121n1

00001

00010

00001

2013

0

01001214101

o23

Oilnl23n1

00001

又

xlx

2

x

XX,X,XXX

i

x

12x,nx

i1

2

xnx

n1

1n

1nn11

1

nnlxl,x2,,xxIn

Innln

nnnn1nInn1

In

nIn

1nxl1nx2n1xnn

n1n

1

xl,x2,,xxn1n

ZAZ,

所以InnIn1n1xln12n

n1xnn

0020030000240000TAT

3nOOO0n100000

2.設(shè)實(shí)二次型

fxl,x2,,xna

ilsillxai2x2ainxn2

證明：fxl,x2,xn的秩等于矩陣

alla21Aasi

的秩。

證設(shè)rankAr,因al2alna22a2nas2asn

fxl,x2,,xnAAX,

下面只需證明rankAr即可。由于rankArankA故存在非退化矩陣

P,Q使PAQ0

從而

PAAP

令ErOErPA或

00Er0011QQ0E001Q,00

0

則IBQDIrCM

CM00Br00

rErPAAP0由于Q110Br0DOo0Q

是正定的，因此它的r級(jí)順序主子式B0,從而AA的秩為ro

即證rankArankAA

3.設(shè)

fxl,x2,,xn1112IpIp1Ipqo22222

其中l(wèi)ii1,2,,pq是xl,x2,,xn的一次齊次式，證明：fxl,x2,,xn的

正慣性指數(shù)P，負(fù)慣性指數(shù)qo

證設(shè)libilxlbi2x2binxni1,2,,pq,fxl,x2,,xn的正

慣性指數(shù)為s,秩為r,則存在非退化線性替換yicilxlci2x2cinxn

i1,2,,n,使得

fxl,x2,,xn1112IpIp1Ipq22222

ylysys1yr。下面證明spo采用反證法。設(shè)sp,考慮線性方程

組2222

bilxlbinxn0bplxlbpnxn0

exexOs1,nns1,11

cnlxlcnnxn0

該方程組含pns個(gè)方程，小于未知量的個(gè)數(shù)n,故它必有非零解al,a2,,an

于是fal,a2,,anIp1Ipqylys,2222上式要成立，必有

Ip1Ipq0,ylys0,這就是說(shuō)，對(duì)于xlal,x2a2,,xnan

這組非零數(shù)，有yl0,y20,

yn0,

這與線性替換YCX的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以spo

同理可證負(fù)慣性指數(shù)rsp,即證。4.設(shè)

AA

All

12AA2122

是一對(duì)稱(chēng)矩陣，且A0,證明：存在TE

XII

0

E使TATA11

0個(gè)級(jí)數(shù)與A22相同的矩陣。

證只要令T

E0

AA1

E，則EA1

11A12,

2111T0E

注意到

A,A1

12A21

11A

1

11,

則有

TAT

EOA12

A111A12

A21A1

HEA11

A21AE

E220

AA11

12

E

A1

11A12

0A121A11A12A22OE

All

0

0

o

即證。

5.設(shè)A是反對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：A合同于矩陣

011001

10O

0

0

0

,其中表示一

證采用歸納法。當(dāng)n1時(shí)，A0合同于0,結(jié)論成立。下面設(shè)A為非零反對(duì)

稱(chēng)矩陣。

當(dāng)n2時(shí)0Aa12

故A與lal2第2行乘al20110第2列乘

a1201合同，結(jié)論成立。10

假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，今考察nk1的情形。這時(shí)

0Aalka1,k1alk0ak,klai,k1,

ak,k10

1

ak,k1如果最后一行（列）元素全為零，則由歸納假設(shè)，結(jié)論已證。若不然，經(jīng)過(guò)行

列的同時(shí)對(duì)換，不妨設(shè)ak,k10,并將最后一行和最后一列都乘以，則A可化成

0aIkblalkbl,0110

再將最后兩行兩列的其他非零元bi,aiki1,2,,k化成零，則有

由歸納假設(shè)知100

0bl,k與

0l,k合同,從而A合同于矩陣

再對(duì)上面矩陣作行交換和列交換，便知結(jié)論對(duì)k1級(jí)矩陣也成立，即證。

6.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)c,使對(duì)任一個(gè)實(shí)n維向量X都有

AXcXX。X

證因?yàn)锳XX

令amaxaij,則i,jai,jijxixjaiji,jxixj,XAXax

i,jixjo利用xixjxi2x2

j

2可得AXaXi,jxi2x2j2anxi2cXX,

i

其中can,即證。

7.主對(duì)角線上全是1的上二角矩陣稱(chēng)為特殊匕三角矩陣。

1）設(shè)A是一對(duì)稱(chēng)矩陣，T為特殊上三角矩陣，而B(niǎo)TAT,證明：A與B的對(duì)應(yīng)順序主

子式有相同的值；

2）證明：如果對(duì)稱(chēng)矩陣A的順序主子式全不為零，那么一定有一特殊上三角矩陣T使

TAT成對(duì)角形；

3）利用以匕結(jié)果證明：如果矩陣A的順序主子式全大于零，則XAX是正定二次型。

證1）采用歸納法。當(dāng)n2時(shí)，設(shè)

allAa21

則

BTATbal2lbT,01,

a2210all1a21al2lball.

a2201考慮B的兩個(gè)順序主子式：B的一階順序主子式為all,

而二階順序主子式為BTA1A1A,

與A的各階順序主子式相同，故此時(shí)結(jié)論成立。

歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)n