二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1復(fù)習(xí)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）

（2）2一般地，對(duì)于有二項(xiàng)式定理:引入二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個(gè)？共有n+1個(gè)3楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………4上面右邊的二項(xiàng)式系數(shù)表稱(chēng)為

楊輝三角

楊輝三角，又稱(chēng)賈憲三角，帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。觀(guān)察二項(xiàng)式系數(shù)表（1）各行之間有什么聯(lián)系？（2）每行的二項(xiàng)式系數(shù)怎么變化的？（3）各行有最大值嗎？5楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

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121

1331

1464115101051

1615201561

………………6（1）除每行兩端外，每個(gè)數(shù)字都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。

即二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)7楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………8二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）對(duì)稱(chēng)性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．9楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………10二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（3）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

11（4）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：12

一般地，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（4）（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，最大當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=

且最大13例1.求的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。解：已知二項(xiàng)式冪指數(shù)是偶數(shù)，展開(kāi)式共有9項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以要求的項(xiàng)為

14課堂練習(xí)：1）已知，那么=

；2）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開(kāi)式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=

；4）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。15

一般地，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）