人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第十一章集體備課教案 教學(xué)反思

第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.1三角形的邊

F,敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.掌握三角形的定義及相關(guān)概念.

2.掌握等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形的定義，掌握三角形按邊分

類的方法.

3.掌握三角形三邊關(guān)系定理.

【過程與方法】

通過具體的圖形學(xué)習(xí)三角形、等邊三角形、不等邊三角形的定義，運(yùn)用“兩

點(diǎn)之間，線段最短”推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系定理.

【情感態(tài)度】

通過求三角形的邊長時(shí)必須注意三角形的三邊關(guān)系，訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)密

性.

【教學(xué)重點(diǎn)】

三角形的三邊關(guān)系.

【教學(xué)難點(diǎn)】

三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用.

：＞教學(xué)亙木呈

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1畫一個(gè)三角形，結(jié)合圖形探究三角形的定義及相關(guān)概念.

問題2出示等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形探究等邊三角形、等

腰三角形、不等邊三角形定義及概念.

問題3如圖，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”探究AB、AC、BC之間的關(guān)系.

C

B

【教學(xué)說明】全班同學(xué)合作交流，共同完成上面三個(gè)問題，教師巡回指導(dǎo)，

必要時(shí)給予個(gè)別指導(dǎo)或集體指導(dǎo)，在全班同學(xué)基本完成的情況下，針對(duì)問題3

進(jìn)行重點(diǎn)講解.教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.三角形按邊怎樣分類？

2.三角形的三邊關(guān)系是怎樣的.

3.已知三條線段，怎樣判斷它們能否圍成三角形？

【歸納結(jié)論】1.主要定義：

三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角

形.

等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

不等邊三角形：三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形.

2.三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

3.已知三條線段，可用如下簡(jiǎn)易方法判斷它們能否圍成三角形：若兩條較短

邊的和大于最長邊，則能圍成三角形，否則不能.

4.已知三角形兩邊長a,b,第三邊長為x,則x的取值范圍是a-b<x<a+b(a

2b).

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.以下列長度的三條線段為邊，哪些可以構(gòu)成一個(gè)三角形，哪些不能構(gòu)成一

個(gè)三角形？

(1)6,8,10；(2)3,8,11；

(3)3,4,11；(4)三條線長度之比4：6：7

2.等腰AABC中，AB=AC,D是AB的中點(diǎn)，連CD,若CD將AABC周長分成

19和8兩部分，求AABC的腰長及底邊的長.

【教學(xué)說明】可由學(xué)生搶答完成，再由教師總結(jié)歸納.

【答案】略.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

請(qǐng)若干同學(xué)口頭小結(jié)，之后將小結(jié)放映在屏幕上.

'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題11.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

5教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、

直覺、數(shù)據(jù)處理等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)的方法,

同時(shí)升華學(xué)生的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.掌握三角形的高、中線與角平分線定義.

2.會(huì)畫三角形的高、中線與角平分線.

3.掌握三角形的三條高線、三條中線與三條角平分線的有關(guān)性質(zhì).

【過程與方法】

對(duì)學(xué)生進(jìn)行操作訓(xùn)練，邊訓(xùn)練邊講解，然后學(xué)以致用.

【情感態(tài)度】

訓(xùn)練同學(xué)們動(dòng)手操作的能力，提高學(xué)習(xí)興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

畫三角形的高線、中線與角平分線.

【教學(xué)難點(diǎn)】

畫鈍角三角形的高線.

拜教與亙睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1如圖，已知AABC,畫它的三條高.

問題2如圖，已知aABC,畫它的三條中線.

問題3如圖，已知aABC,畫它的三條角平分線.

【教學(xué)說明】對(duì)問題1,對(duì)于鈍角三角形的作高要給予集體指導(dǎo)、分類指導(dǎo),

甚至要進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)，以便讓絕大部分同學(xué)過關(guān).教師講課前，先讓學(xué)生完成“自

主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.銳角三角形的三條高、直角三角形的三條高、鈍角三角形的三條

高的位置有何不同之處？

2.三角形的三條高、三條中線、三條角平分線各自有怎樣的位置關(guān)系？

3.三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別和聯(lián)系？

【歸納結(jié)論】1.定義：

三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽诘闹本€作垂線，所得的垂線段

叫做三角形的一條高.

三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的一

條中線.

三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與對(duì)邊相交；以這個(gè)頂點(diǎn)和交點(diǎn)

為端點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線.

2.三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)有時(shí)在形內(nèi)，有時(shí)在直角頂

點(diǎn)上，有時(shí)在形外；三角形的三條中線交于一點(diǎn)；三角形的三條角平分線交于一

點(diǎn).

3.三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別是：三角形的角平分線是線段，而

角的平分線是一條射線；它們的聯(lián)系是都是平分角.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.如圖，AD是AABC的中線；BE是AABC的角平分線，CF是AABC的高，填

空：

(1)BD==—；

2

A

A

(2)ZABE=Z______=-Z______；

2

(3)Z______=Z______=90°.

2.如圖，AABC中，NA是鈍角.

A

X

(1)畫出AC、AB上的高BD、CE；

(2)畫出NABC的平分線BF；

(3)畫出邊AB上的中線CG.

3.已知,如圖，AB_LBD于B,AC_LCD于C,且AC與BD交于點(diǎn)E.那么(1)

o

△ADE的邊DE上的高為，邊AE上的高為______；(2)若AE=5,DE=2,CD=1,

貝UAB=

A

4.如圖所示，等腰AABC中，AB=AC,一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形的

周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長.

A

5.學(xué)完“三角形的高、中線與角平分線”后，我們知道“三角形的一條中線

將原三角形分成兩種相等的兩部分”.課后余老師給同學(xué)們布置了這樣一道思考

題：有一塊三角形的厚薄均勻的蛋糕，要平均分給6個(gè)小朋友，要求只切3刀，

請(qǐng)你在圖中把你的方案畫出來，并說明理由.

【教學(xué)說明】題1、2、3可讓學(xué)生自主完成，題4、5教師可給予相應(yīng)的指

導(dǎo)

當(dāng)已知三角形兩條高求其他邊長或已知一高與其他邊長求另一高時(shí)，常用面

積作為中間量.涉及等腰三角形邊的問題時(shí)，常要分情況討論，然后看它們是否

滿足三邊關(guān)系，不滿足的要舍去.

【答案】L(1)DCBC

(2)CBEABC

(3)CFACFB

2.圖略.

Q

3.ABDC-解析：4ADE是鈍角三角形，在三角形外部它有兩條高：邊

2

DE上的高AB,邊AE上的高為DC.又SaADE=‘DE?AB」AE-DC,即，X2XAB=L

2222

9

X5X95,AB=-.

2

4.解：設(shè)AB=AC=2x,則AD=CD=x.

(D當(dāng)AB+AD=15,BC+CD=6時(shí),有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=L

(2)當(dāng)BC+CD=15,AB+AD=6時(shí),有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13.

因?yàn)?+4V13,故不能組成三角形.

所以三角形的腰長為10,底邊長為1.

5.略.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

三角形的高、中線與角平分線的定義與性質(zhì).

請(qǐng)若干名學(xué)生口述小結(jié)，老師再利用電子課件將小結(jié)放映在屏幕上.

：,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題11.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

空教學(xué)反思

本課時(shí)教學(xué)以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學(xué)生獨(dú)立思考的

時(shí)間，提供學(xué)生創(chuàng)新的空間與可能，再給不同層次的學(xué)生提供一個(gè)交流合作的機(jī)

會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究，合作學(xué)習(xí)的能力。

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.通知過觀察、實(shí)踐、想象、推理、交流等活動(dòng)，讓學(xué)生了解三角形具有穩(wěn)

定性，四邊形沒有穩(wěn)定性，穩(wěn)定性與沒有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中廣泛應(yīng)用.

2.培養(yǎng)實(shí)事求是的學(xué)習(xí)作風(fēng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

【過程與方法】

1.通過提問、合作討論以及小組交流方式探究三角形的穩(wěn)定性.

2.實(shí)物演示，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛.

3.探究質(zhì)疑，總結(jié)結(jié)果.和學(xué)生共同探究三角形穩(wěn)定性的實(shí)例，回答課前提

出的疑惑.

【情感態(tài)度】

1.引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)探究三角形的穩(wěn)定性，培養(yǎng)其獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣和動(dòng)

手能力.

2.通過合作交流，養(yǎng)成學(xué)生互助合作意識(shí)，提高數(shù)學(xué)交流表達(dá)能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】

了解三角形穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的實(shí)際應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

準(zhǔn)確使用三角形穩(wěn)定性于生產(chǎn)生活之中.

管教與國程

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

課前準(zhǔn)備：木條（用硬紙條代替）若干、小釘若干、小黑板.

問題1工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂鋼架，鋼架橋，其中道

理是什么？

問題2蓋房子時(shí),在窗框未安裝好之前.木工師傅常常先在窗框上斜釘一

根木條，為什么要這樣做呢？活動(dòng)掛架為什么做成四邊形？

□儲(chǔ)

活動(dòng)掛架

【教學(xué)說明】問題設(shè)立要讓學(xué)生體會(huì)三角形在生產(chǎn)和生活中的應(yīng)用，并引導(dǎo)

思考為什么要在這些地方用三角形，另一些地方又要用到四邊形.注意接納學(xué)生

其他不同的思路.教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

老師演示P6探究?jī)?nèi)容，也可叫學(xué)生親手實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)際操作加深學(xué)生印象,

完后請(qǐng)學(xué)生們交流討論后回答得出了什么？教師根據(jù)學(xué)生們的回答進(jìn)行簡(jiǎn)要?dú)w

納.

【歸納結(jié)論】三角形木架形狀不會(huì)改變，四邊形木架形狀會(huì)改變，這就是說,

三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.

還可以發(fā)現(xiàn)，斜釘一根木條的四邊形木架的形狀不會(huì)改變.這是因?yàn)樾贬斠?/p>

根木條后，四邊形變成了兩個(gè)三角形，由于三角形有穩(wěn)定性，窗框在未安裝好之

前也不會(huì)變形.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理

是.

2.下列圖形中哪些具有穩(wěn)定性?

【教學(xué)說明】本節(jié)課的內(nèi)容較少，題目比較簡(jiǎn)單，在學(xué)生獨(dú)立完成后，要求

學(xué)生說明理由.

【答案】1.三角形具有穩(wěn)定性.

2.(1)(4)(6)中的圖形具有穩(wěn)定性.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題11.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

“0教學(xué)反思

本節(jié)課學(xué)習(xí)三角形穩(wěn)定性，并板書課題.完成的教學(xué)目標(biāo)是通過觀察、實(shí)踐、

想象、推理、小組交流合作，使同學(xué)們了解三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定

性，穩(wěn)定性與沒有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)同學(xué)們實(shí)事求是的學(xué)習(xí)

作風(fēng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考的能力.

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.掌握三角形的內(nèi)角和定理.

2.能寫出已知、求證，并能用作輔助線的方法證明三角形內(nèi)角和定理.

3.能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明或計(jì)算.

【過程與方法】

先通過實(shí)驗(yàn)得出三角形內(nèi)角之和等于180°的直觀結(jié)論，再由此得到啟發(fā)，

用過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作平行線的方法證明三角形的內(nèi)角和定理.最后運(yùn)用三角

形的內(nèi)角和定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明或計(jì)算.

【情感態(tài)度】

本節(jié)課使學(xué)生經(jīng)歷了“實(shí)驗(yàn)一一猜想一一證明”的過程，使同學(xué)們初步體驗(yàn)

了自然科學(xué)的一般研究方法，提高了學(xué)生研究和學(xué)習(xí)的興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

本節(jié)的重點(diǎn)是三角形的內(nèi)角和定理.

【教學(xué)難點(diǎn)】

證明三角形的內(nèi)角和定理.

,教學(xué)士旌

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1在紙上畫一個(gè)三角形，并將它的內(nèi)角剪兩個(gè)下來，與第三個(gè)角拼在

一起，觀察三個(gè)角的和是多少？

問題2怎樣證明三角形內(nèi)角的和等于180°?

【教學(xué)說明】全班學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)，約8分鐘交流成果，得出“三角形的內(nèi)角

和等于180°”這個(gè)直觀結(jié)論.

由實(shí)驗(yàn)過程中的拼合過程得到啟發(fā)，引導(dǎo)同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)證明“三角

形內(nèi)角和等于180°教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行證明的一般格式是怎樣的？

2.除教材以外還有其它方法證明這個(gè)結(jié)論嗎？

3.對(duì)一個(gè)真命題為什么還要證明呢？

【歸納結(jié)論】1.對(duì)一個(gè)命題的證明的一般格式是：（1）畫出圖形，根據(jù)圖形

寫出已知和求證.（2）寫出證明過程.

2.除教材以外，還可以用如下作輔助線的方法證明三角形的內(nèi)角和定理.

（延長BC至D,過C作CE〃AB）

3.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

4.一個(gè)命題是否正確，需要經(jīng)過理由充足，使人信服的推理才能得出結(jié)論，

這樣的推論過程叫做“證明”.觀察、試驗(yàn)等是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要途徑，而證明則

是確認(rèn)規(guī)律的必要步驟.

5.輔助線在幾何證明中發(fā)揮巨大的作用，今后我們會(huì)經(jīng)常遇到這個(gè)“朋友”.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.如圖，AB〃CD,ZC=80°,ZCAD=60°,則NBAD的度數(shù)等于（）

A.60°

2.在4ABC中，ZA：ZB：ZC=1：3：5,求NA,ZB,ZC的度數(shù).

3.如圖，已知AABC中，ZABC和NACB的平分線BD,CE相交于0,ZA=50°,

求NB0C的度數(shù).

4.如圖，AABCAD是BC邊上的高，AE平分NBAC,ZB=75°,ZC=45°,

求NDAE與NAEC的度數(shù).

5.如圖，AD、CE是AABC的角平分線，AD、CE交于點(diǎn)0.求證：ZA0C=90°

+12ZB.

【教學(xué)說明】本環(huán)節(jié)由學(xué)生獨(dú)立思考、自主完成，再進(jìn)行交流討論，最后教

師給予指導(dǎo)和總結(jié).初學(xué)證明，讓學(xué)生體會(huì)證明的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

【答案】1.D

2.解：ZA：ZB：ZC=1：3：5,設(shè)NA=x,ZB=3x,ZC=5x,由三角形內(nèi)角和

定理得NA+NB+NC=x+3x+5x=180°

解得x=20°，則3x=60。，5x=100°，即NA=20°,NB=60°,NC=100°.

3.解：由三角形內(nèi)角和定理有NB+NC=180°-ZA=130°,

ZB0C=180°-(ZDBC+ZECB)=180°--(ZB+ZC)=115°.

2

4.解：ZA=180°-ZB-ZC=60°,ZBAE=ZCAE=1ZA=30°.

2

ZBAD=180°-ZB-ZADB=15°,則NDAE=NBAE-NBAD=15°.

ZAEC=1800-ZC-ZCAE=105°.

5.證明：由三角形內(nèi)角和定理得

ZB+ZA+ZC=180°即NA+NC=180°-ZB,

ZA0C+ZDAC+ZECA=180°即NDAC+NECA=180°-ZAOC,

又NDAC=，NA,ZECA=-ZC

22

.?.180°-ZAOC=-(180°-ZB)

2

即NA0C=90°+-ZB

2

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.三角形內(nèi)角和定理.：三角形內(nèi)角和等于180°.

2.證明三角形的內(nèi)角和定理必須作輔助線，也就說要作出平行線，利用平角

來證明，一般來說，共有如下四種方法(如圖)：

(1)構(gòu)造平角

①如圖(1),過點(diǎn)A作直線MN〃BC,有N1=NB,Z2=ZC.

而Nl+NBAC+N2=NMAN=180°,

所以NBAC+NB+NC=180°.

②如圖(2),過BC上一點(diǎn)D作DF〃AB交AC于F,作DE〃AC交AB于E,

則/1=NC,Z2=ZB,Z3=Z4=ZA.

所以NA+NB+NC=N3+N2+N1=18O°.

(2)構(gòu)造鄰補(bǔ)角

如圖(3),延長BC到D,作CE〃AB,則/1=NA,Z2=ZB.

所以NA+NB+NACB=N1+N2+NACB=18O°.

(3)構(gòu)造同旁內(nèi)角

如圖(4),過C點(diǎn)作射線CD〃AB,則N1=NA,ZB+ZBCA+Z1=18O°,

所以NB+NBCA+NA=180°.

⑶(4)

3.作輔助線是幾何證明或計(jì)算中經(jīng)常用到的手段，輔助線在解題中具有舉足

輕重的作用，今后會(huì)經(jīng)常遇到，望同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)，輔助線必須畫成虛線.

;'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材”習(xí)題11.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

承教學(xué)反思

本課時(shí)教學(xué)思路按實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充

分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然性，教學(xué)時(shí)要始終圍繞問題展開，并給學(xué)生留下充分的

思考時(shí)間與空間，形成解決問題的意識(shí)與能力.

11.2.2三角形的外角

了敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.掌握三角形的外角的定義.

2.掌握三角形的外角的三個(gè)重要定理.

【過程與方法】

先通過畫圖學(xué)習(xí)三角形外角的定義，再用上一節(jié)學(xué)過的證明技術(shù)證明“三角

形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，再由上面的結(jié)論直接推出：三

角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.通過對(duì)教材例2的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)

學(xué)生得出一個(gè)重要定理：三角形外角的和等于360°.

【情感態(tài)度】

經(jīng)歷由已知定理推出新定理的過程使學(xué)生了解“推陳出新”的辯證唯物主義

世界觀.

【教學(xué)重點(diǎn)】

三角形的外角定義及性質(zhì).

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用三角形的外角性質(zhì)解決有關(guān)問題.

教學(xué)亙引

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1畫一個(gè)三角形，延長三角形的一邊，就得到三角形的一個(gè)外角，請(qǐng)

根據(jù)圖形探究三角形的外角的定義.

問題2任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角有怎樣的關(guān)系？

你能發(fā)現(xiàn)并證明嗎？

問題3如圖，ZBAE,ZCBF,NACD是AABC的三個(gè)外角，它們的和是多

少？

【教學(xué)說明】學(xué)生分組討論，然后交流成果，對(duì)問題2要求學(xué)生寫出已知、

求證，再寫出證明過程.這里要重點(diǎn)指導(dǎo)，必要時(shí)板書示范.教師講課前，先讓學(xué)

生完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.一個(gè)三角形有幾個(gè)外角？

2.三角形的外角有哪些性質(zhì).

【歸納結(jié)論】1.定義：

三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外

角.

2.一個(gè)三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角.為了方便，在每

一個(gè)頂點(diǎn)處只取一個(gè)外角，所以一個(gè)三角形共有三個(gè)外角.

3.三個(gè)重要定理

（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;

（2）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角;

（注意：這里的不相鄰三個(gè)字特別重要，不可缺少）.

（3）三角形的外角和等于360°.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.下列四個(gè)圖形中，能判斷N1>N2的是（）

2.如圖，NAOB的兩邊OA,OB均為平面反光鏡，ZA0B=35°,在OB上有一

點(diǎn)E,從E點(diǎn)射出一束光線經(jīng)0A上的點(diǎn)D反射后，反射光線DC恰好與0B平行,

則NDEB的度數(shù)是（）

3.如圖，Zl,Z2,Z3是4ABC的三個(gè)外角，Zl：Z2：Z3=2：3：4,求

Zl,N2,N3的度數(shù).

4.五角星ABCDE中，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE等于多少度.

5.如圖，證明N1>NA.

A

6.如圖，直線AC〃BD,連接AB,直線AC,BD及線段AB把平面分成①、②、

③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，

連接PA,PB,構(gòu)成NPAC,ZAPB,NPBD三個(gè)角.（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重

合的射線所組成的角是0°角）

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：ZAPB=ZPAC+ZPBD.

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，ZAPB=ZPAC+PBD是否成立？（直接回答

成立或不成立）

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第③部分時(shí)，全面探究NPAC,ZAPB,NPBD之間的關(guān)系，

并寫出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論.選擇其中一種結(jié)論加以證明.

【答案】1~5略.

6.解：（1）解法一：如圖（甲），延長BP交直線AC于點(diǎn)E.

?.?AC〃BD,.,.ZPEA=ZPBD,

,/ZAPB=ZPAE+ZPEA,

二ZAPB=ZPAC+ZPBD.

解法二:

，/PAC=NAPF.；AC〃BD,

，F(xiàn)P〃BD....NFPB=NPBD.

ZAPB=ZAPF+ZFPB=ZPAC+ZPBD.

解法三：如圖（丙）,

圖(內(nèi))

?.?AC〃BD,

/.ZCAB+ZABD=180°.

即NPAC+NPAB+NPBA+NPBD=180°.

又NAPB+NPBA+NPAB=180°,AZAPB=ZPAC+ZPBD.

(2)不成立.

(3)(a)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是NPBD=NPAC+NAPB.

(b)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上時(shí)，

結(jié)論是NPBD=NPAC+NAPB.

或NPAC=NPBD+NAPB或NAPB=O°,ZPAC=ZPBD(任寫一個(gè)即可).

(c)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，結(jié)論是NPAC=NAPB+NPBD.

選擇(a)證明：如圖(丁)，連接PA,連接PB交于AC于M.???AC〃BD,二

ZPMC=ZPBD.|

又?:ZPMC=ZPAM+ZAPM,ZPBD=ZPAC+ZAPB.

選擇（b）證明：如圖（戊）,

???點(diǎn)P在射線BA上，

.,.ZAPB=O°.VAC/7BD,AZPBD=ZPAC.AZPBD=ZPAC+ZAPB

或NPAC=NPBD+NAPB

或NAPB=O°,ZPAC=ZPBD.

圖（丁）

選擇(c)證明：如圖(巳)，連接PA,連接PB交AC于F

VAC^BD,二NPFA=NPBD.

,/ZPAC=ZAPF+ZPFA,/.ZPAC=ZAPB+ZPBD.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.三角形的外角等于和它不相鄰兩內(nèi)角的和.

2.三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題11.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

：,教學(xué)反思

本課時(shí)教學(xué)應(yīng)突出學(xué)生主體性原則，即通過探究學(xué)習(xí)，指引學(xué)生獨(dú)立思考,

自主得到結(jié)果，再讓學(xué)生相互交流，或上臺(tái)展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個(gè)人的體驗(yàn),

從中獲取成功的體驗(yàn)后，激發(fā)學(xué)生探究的激情.

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.1多邊形

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.掌握多邊形定義及相關(guān)概念.

2.了解什么是凸多邊形，什么是凹多邊形.

3.掌握正多邊形的定義.

【過程與方法】

復(fù)習(xí)三角形的有關(guān)知識(shí)，用類比的方法引出多邊形的定義及多邊形的對(duì)角線

概念.運(yùn)用四邊形、五邊形等簡(jiǎn)單的多邊形作為例子學(xué)習(xí)對(duì)角線、凸多邊形、凹

多邊形等概念，最后學(xué)習(xí)正多邊形的概念.

【情感態(tài)度】

讓學(xué)生體驗(yàn)“由特殊到一般”的思維方法，從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

多邊形、正多邊形的定義及相關(guān)概念.

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.凸多邊形、凹多邊形的定義.

2.正多邊形的定義.

;‘教學(xué)亙士

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1回顧三角形的定義及邊、角、外角的概念，類似地對(duì)四邊形、五邊形、

多邊形下定義.

問題2如圖是五邊形ABCDE,連AC、AD,從而引出多邊形對(duì)角線的定義.

問題3如圖，兩個(gè)四邊形ABCD,A1B1C1D1是不同類型的兩種四邊形，前

者是凸四邊形，后者是凹四邊形，請(qǐng)將兩個(gè)圖形的各邊都向兩邊延長，觀察它們

的區(qū)別，從而探究凸多邊形與凹多邊形的定義.

問題4畫一個(gè)正三角形、正方形，從它們的邊角特點(diǎn)探究正多邊形的定義.

【教學(xué)說明】全班同學(xué)分組討論，8分鐘后交流成果，老師巡回指導(dǎo)，隨時(shí)

了解學(xué)習(xí)情況.

對(duì)問題1要順便指導(dǎo)學(xué)生多邊形的命名法及表示法.

對(duì)問題2要求畫出五邊形的全部對(duì)角線，并數(shù)一數(shù)共有多少條.

對(duì)問題3要告訴同學(xué)們多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形兩類，今后如果沒

有特別說明，一般只討論凸多邊形.

對(duì)問題4,告訴學(xué)生要從邊角兩個(gè)方面考慮.教師講課前，先讓學(xué)生完成“自

主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

思考為什么正多邊形的定義要強(qiáng)調(diào)各條邊相等，各個(gè)角相等？

【歸納結(jié)論】1.定義：

多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.多邊

形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫

做多邊形的外角.

多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角

線.

凸多邊形與凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個(gè)多邊形

都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形叫凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不都在這條

直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凹多邊形.

正多邊形：各條邊都相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形.

2.只有各條邊都相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形的四邊都相等，但

它不一定是正四邊形（即正方形）.只有各角都相等的四邊形不一定是正多邊形,

如長方形的各角都相等，但它不一定是正四邊形.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.下列圖形中是正多邊形的是（）

A.等邊三角形

B.長方形

C.邊長相等的四邊形

D.每個(gè)角都相等的六邊形

2.如果把一個(gè)三角形剪掉一個(gè)角，剩余的圖形是幾邊形？

3.畫出下列多邊形的全部對(duì)角線，想一想，n邊形共有多少條對(duì)角線？

EA

AD

C6------1C

（提示：n邊形共有如二2條對(duì)角線）

2

4.某學(xué)校七年級(jí)六個(gè)班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每?jī)蓚€(gè)班

都進(jìn)行一次比賽）.一共需進(jìn)行場(chǎng)比賽.

5.四邊形的一條對(duì)角線將四邊形分成幾個(gè)三角形？從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出

發(fā)，可以畫出幾條對(duì)角線？它們將五邊形分成幾個(gè)三角形？從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)

出發(fā)，可以畫出幾條對(duì)角線？它們將n邊形分成幾個(gè)三角形？

（提示：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出（n-3）條對(duì)角線，它們把n

邊形分成（n-2）個(gè)三角形.本題為下節(jié)課作好鋪墊）.

【教學(xué)說明】題1、2、3由學(xué)生自主完成，題4、5讓同學(xué)們分組討論，互

相交流，再由教師給予指導(dǎo)和總結(jié).

【答案】LA解析：因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，當(dāng)三角形的各邊相等時(shí)，各

角也相等，而其他多邊形不具有穩(wěn)定性，因此判定正多邊形必須同時(shí)具備各邊都

相等，各內(nèi)角都相等兩個(gè)條件.

2.解：把一個(gè)三角形剪掉一個(gè)角分兩種情況：第一種情況如圖（1）所示，此

時(shí)剩余部分為三角形；第二種情況如圖（2）所示，此時(shí)剩余部分為四邊形.

4.15解析：本題體現(xiàn)數(shù)學(xué)與體育學(xué)科的綜合，解題方法可參照多邊形對(duì)角

線條數(shù)的求法，總場(chǎng)數(shù)即為多邊形的對(duì)角線條數(shù)加邊數(shù).如圖所示，共需比賽

6x(6-3)/小、

-------+6=15(場(chǎng)).

2

5.解：四邊形可以分成2個(gè)三角形；五邊形可以畫出2條對(duì)角線，分成3

個(gè)三角形；n邊形可以畫出（n-3）條對(duì)角線，分成（n-2）個(gè)三角形.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

請(qǐng)學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，教師將小結(jié)內(nèi)容出示在屏幕上.

'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題11.3”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

'教學(xué)反思

學(xué)習(xí)本課時(shí)，可讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)、小組之間充分交流

后概括所得結(jié)論，既鞏固了三角形的知識(shí)，又用類比的方法引出多邊形的有關(guān)概

念，加深對(duì)本課時(shí)的學(xué)習(xí).

11.3.2多邊形的內(nèi)角和

,敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.掌握多邊形的內(nèi)角和定理、外角和定理.

2.運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和、外角和定理進(jìn)行證明或計(jì)算.

【過程與方法】

通過證明四邊形內(nèi)角和定理的方法啟示，求五邊形、六邊形的內(nèi)角和，從而

求n邊形的內(nèi)角和，依此推出多邊形的外角和定理.最后運(yùn)用這兩個(gè)定理進(jìn)行簡(jiǎn)

單的證明或計(jì)算.

【情感態(tài)度】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們掌握“由特殊到一般”及“化未知為己知”的

科學(xué)學(xué)習(xí)方法提高學(xué)習(xí)的興趣和效率.

【教學(xué)重點(diǎn)】

多邊形的內(nèi)角和定理、外角和定理.

【教學(xué)難點(diǎn)】

探求多邊形的內(nèi)角和定理、外角和定理及這兩個(gè)定理的靈活運(yùn)用.

;J教學(xué)亙士

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對(duì)角線，它們將五邊形

分為個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°X.

從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對(duì)角線，它們將六邊形分為一個(gè)

三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°X.

從n(n23且為整數(shù))邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對(duì)角線；它們

將n邊形分為個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°X.

問題2如圖，Zl,N2,N3,…，Nn是n邊形ABCD…的外角，求N1+

N2+N3+…Nn.

【教學(xué)說明】對(duì)問題1,全班同學(xué)獨(dú)立完成，5分鐘后請(qǐng)學(xué)生上黑板寫出各

自的答案，然后引導(dǎo)同學(xué)們得出多邊形的內(nèi)角和定理.

對(duì)問題2,可作如下提示：Z1+Z1Z=?,N2+N2'=?,N3+N3'

=?,........,Nn+Nn'=?,Zlz+N2'+N3'+…Nn'=?教師講課前，先讓

學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

思考n邊形的內(nèi)角和、外角和分別是多少？

【歸納結(jié)論】n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)X180°.

多邊形的外角和等于360°.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.一個(gè)正多邊形，它的每一個(gè)外角都等于45°,則該正多邊形是（）

A.正六邊形

B.正七邊形

C.正八邊形

D.正九邊形

2.如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)40°,再沿直

線前進(jìn)10米后又左轉(zhuǎn)40°,……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共

走了米，

”——

3.已知一個(gè)多邊形，它的外角和等于內(nèi)角和的上，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

4

4.如圖，求NA+NB+NC+/D+NE+NF+NG的度數(shù).

A

（提示：連AE,得五邊形ABCDE）

5.一個(gè)多邊形，除去一個(gè)內(nèi)角a,其余各角之和為2750°,求Na的度數(shù)

和這個(gè)多邊形的邊數(shù).

6.某同學(xué)計(jì)算多邊形內(nèi)角和時(shí)，得到的答案是5243°,老師指出他把某一

個(gè)外角也加了進(jìn)去，他計(jì)算的是幾邊形的內(nèi)角和？這個(gè)多邊形一定有一個(gè)內(nèi)角是

多少度？

7.一個(gè)正多邊形至多有幾個(gè)銳角，為什么？

【教學(xué)說明】本環(huán)節(jié)可由教師根據(jù)實(shí)際教學(xué)進(jìn)行選擇性講解.

【答案】1.C解析：設(shè)該多邊形為正n邊形，則有45°Xn=360°,解得n=8.

2.90解析：依題意知小明所走的路線是一個(gè)正n邊形，則每個(gè)外角都是

40°,則有40°Xn=360°,解得n=9,所以小明一共走了10X9=90米.

3.解：多邊形的外角和為360°，所以該多邊形的內(nèi)角和為360°X4=1440°.

由多邊形內(nèi)角和定理得（n-2）X180°=1440°解得n=10,即這個(gè)多邊形的邊數(shù)

為10.

4.解:如圖，連結(jié)AE.

在△AHE中，ZHAE+ZHEA+ZAHE=180°,

在aFGH中，ZG+ZF+ZFHG=180°,

又NAHE=NFHG

.,.ZHAE+ZHEA=ZF+ZG

貝i」NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG=NBAG+NB+NC+ND+NDEF+NHAE+N

HEA=ZBAE+ZB+ZC+ZD+ZDEA

即為五邊形的內(nèi)角和

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=(5-2)X180°=540°

5.解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n,

因?yàn)?750°=15X180°+50°,

所以n-2=16,

50°+a=180°

，Na=130°,n=18.

6.解：5243°=29X180°+23°

由(n-2)X180°=29X180°得n=31

180°-23°=157°

所以他計(jì)算的是31邊形的內(nèi)角和，其中一定有一個(gè)內(nèi)角是157°.

7.解：一個(gè)正多邊形至多有3個(gè)銳角，理由是因?yàn)檎噙呅蔚耐饨呛蜑?/p>

360°,所以外角中至多3個(gè)鈍角.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

Ln邊形的內(nèi)角和等于（n-2）X180°.

2.多邊形的外角和等于360°.

3.多邊形內(nèi)角和定理證明的思想方法是將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角

形內(nèi)角和的問題.除教材介紹的方法外，還可以用下面的方法：

（1）如圖（1）,點(diǎn)P在多邊形內(nèi)部，輔助線將n邊形分成n個(gè)三角形，再

減去一個(gè)周角，即nX180°-360°=（n-2）X180°.

（2）如圖（2）,點(diǎn)P在多邊形邊上，輔助線將n邊形分成（nT）個(gè)三角形,

再減去以P為頂點(diǎn)的一個(gè)平角即為多邊形的內(nèi)角和，故多邊形內(nèi)角和為（nT）

X180°-180°=(n-2)X180°.

（3）如圖（3）,點(diǎn)P在n邊形的外部，輔助線將n邊形分成了（nT）個(gè)三

角形，再減去外面那個(gè)三角形的內(nèi)角和即為多邊形的內(nèi)角和，故n邊形的內(nèi)角和

為：（nT）X180°-180°=（n-2）X180°.

4.多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān)，外角和與邊數(shù)無關(guān)，多邊形每增加一邊，它

的內(nèi)角和增加180。，而外角和不變.

產(chǎn)課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題11.3”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

教學(xué)反思

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要求學(xué)生主動(dòng)參與，認(rèn)真思考，比較觀察、交流和表述，激

發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)調(diào)分組討論，學(xué)生與學(xué)生之間很好地交流與合作，利用師生

的雙邊活動(dòng)，適時(shí)調(diào)度，查漏補(bǔ)缺，從而順利達(dá)到教學(xué)目的.

章末復(fù)習(xí)

曾敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.了解與三角形有關(guān)的線段（邊、高、中線、角平分線）.理解三角形兩邊

的和大于第三邊，會(huì)根據(jù)三條線段的長度判斷它們能否構(gòu)成三角形.會(huì)畫任意三

角形的高、中線、角平分線.了解三角形的穩(wěn)定性.

2.了解與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角、外角），會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義

證明三角形內(nèi)角和等于180°,探索并了解三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的

兩個(gè)內(nèi)角的和.

3.了解多邊形的有關(guān)概念（邊、內(nèi)角、對(duì)角線、正多邊形），探索并了解多

邊形的內(nèi)角和與外角和公式.

4.通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以

鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì).

【過程與方法】

結(jié)合圖形回顧本章知識(shí)點(diǎn)，復(fù)習(xí)幾種基本的畫圖，復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單的證明技巧，在

此基礎(chǔ)上，進(jìn)行典型題、熱點(diǎn)題的較大量的訓(xùn)練，旨在提高同學(xué)們對(duì)三角形有關(guān)

知識(shí)、多邊形內(nèi)角和、外角和知識(shí)綜合運(yùn)用能力.

【情感態(tài)度】

通過初步的幾何證明的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，通過由特殊到一般的探究

過程的訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，創(chuàng)新能力，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的目

的.

【教學(xué)重點(diǎn)】

三角形的三條重要線段、三角形的內(nèi)角和、外角和、多邊形的內(nèi)角和、外角

和等知識(shí)的靈活運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

簡(jiǎn)單的幾何證明及幾何知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

拜教與亙睚

一、知識(shí)框圖，整體把握

與三角形有關(guān)的線段

三

角

三角形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和

形

三角形的外角和多邊形的外角和

二、回顧思考，梳理知識(shí)

1.本章的主要內(nèi)容是：三角形的概念，三角形的三邊關(guān)系定理，三角形的三

條重要線段（高線、中線和角平分線）.三角形內(nèi)角和定理.三角形的外角，多邊

形的內(nèi)、外角和定理，簡(jiǎn)單的平面鑲嵌.三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性.

2.經(jīng)歷三角形內(nèi)角和等于180°的驗(yàn)證與證明過程，初步體驗(yàn)對(duì)一個(gè)規(guī)律的

發(fā)現(xiàn)到確認(rèn)的艱辛歷程.體會(huì)證明的重要性，初步接觸輔助線在幾何研究中不可

或缺的作用.

3.三角形是我們認(rèn)識(shí)許多其他圖形的基礎(chǔ)，如研究多邊形的內(nèi)角和時(shí)，就是

過多邊形的某頂點(diǎn)作出它的全部對(duì)角線，將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的

內(nèi)角和問題.

三、典例精析，復(fù)習(xí)新知

例1如圖，三角形紙片ABC中，ZA=65°,ZB=75°,將紙片的一角折疊,

使點(diǎn)C落在AABC內(nèi)，若Nl=20°,則N2的度數(shù)為.

分析：由三角形內(nèi)角和定理得NC=180°-ZA-ZB=180°-65°-75°=40°.

折疊以后，變成了四邊形，因四邊形的內(nèi)角和為360°,故NAED+NBDE=360°-

NA-NB=220°.在4CDE中，ZCDE+ZCED=180°-ZC=180°-40°=140°.所以

Z2=220°-140°-Zl=60°.

例2在綠茵場(chǎng)上，足球隊(duì)帶球進(jìn)攻，總是向球門AB沖近，說明這是為什

么？

AB

解：如圖，設(shè)球員接球時(shí)位于點(diǎn)C,他盡力向球門沖近到D,此時(shí)不僅距離

球門近，射門更有力，而且對(duì)球門AB的張角也擴(kuò)大，球就更容易射中，理由說

明如下：

延長CD到E,則NADE>NACE,ZBDE>ZBCE,所以NADE+NBDE>NACE+

ZBCE,即NADB>NACB.

【教學(xué)說明】1.本題作了一條輔助線，構(gòu)造了兩個(gè)三角形的外角，在說理中

發(fā)揮了至關(guān)重要的作用；2.輔助線要畫成虛線.

例3已知一個(gè)等腰三角形的三邊長分別為x,2x-l,5x-3,求其周長.

解：本題分類討論，求出x后再求出三邊，一定要檢驗(yàn)是否符合三角形三邊

關(guān)系定理，若不符合，必須舍去.

(1)若x=2x-l,則x=l,此時(shí)三邊為1,1,2,因?yàn)?+1=2,不符合三角形

三邊關(guān)系，舍去；

(2)若x=5x-3,x=3.此時(shí)三邊為3,符合三角形三邊關(guān)系，周

4424

長為3+J_+3=2.

424

221111?

(3)若2xT=5x-3,x=4.此時(shí)三邊為A,1,1,因?yàn)?所以不

3333333

符合三角形三邊關(guān)系，舍去.綜上，此等腰三角形周長為2.

例4如圖，D、E為4ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，試說明AB+AOBD+EC+DE的理由.

解：本題顯然要運(yùn)用三角形三邊關(guān)系定理證明.由于BD、DE、CE不是三角形

的邊，所以延長BD、CE交于F,再延長BF交AC于P,便可構(gòu)成所需要的三角形,

再運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系定理經(jīng)過變換證明結(jié)論.在AABP中，AB+AP>BP=BF+FP.

在△PFC中，F(xiàn)P+PC>FC=FE+EC.，AB+AP+FP+PC>BF+FP+FE+EC.即AB+AC>

BF+FE+EC=BD+DF+FE+EC.在4FDE中，DF+FE>DE,所以BD+DF+FE+EOBD+DE+EC.

所以AB+AOBD+DE+EC.

【教學(xué)說明】本題在延長BD、CE交于F后，也可以延長CF交AB于G,同

樣也可證明出結(jié)論.

例5如圖，在銳角4ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE

交于一點(diǎn)P,若/A=50°,則NBPC的度數(shù)是（）

A.150°

B.130°

C.120°

D.100°

分析：在四邊形ADPE中，ZDPE=360°-ZA-ZADP-ZAEP=360°-50°-90°

-90°=130°.選B.

例6如圖所示，BE與CD相交于點(diǎn)A,CF為NBCD的平分線，EF為NBED

的平分線.

(1)試探求NF與NB、ND間有何種等量關(guān)系.

(2)EF與FC能垂直嗎？說明理由.

(3)若NB：ZD:ZF=2：x：3,求x的值.

解：⑴ZD+ZB=2ZF.

「EF平分NBED,CF平分NBCD,

.\Z1=-ZBED,Z2=-ZBCD.

22

而/EMC=ND+；NBED,ZEMC=ZF+|ZBCD,

/.ZD+-ZBED=ZF+iZBCD,①

22

同理可得：NB+'NBCD=NF+LNBED.②

22

①+②，得ND+/B=2NF.

(2)能，若EF與FC垂直，即NF=90°,

則NB+ND=180°.

也就是說，如果ND與NB互補(bǔ)，則EF_LFC.

(3)VZB：ZD：NF=2：x：3,

???設(shè)NB=2m,ZD=xm,ZF=3m.

由(1)得xm+2m=2X3m,

?\x=4.