計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課件

第五章圖形變換在計(jì)算機(jī)

繪

圖

應(yīng)

用

中

，

經(jīng)

常

要

進(jìn)

行

從

一

個(gè)

幾

何

圖形到另

一

個(gè)幾何圖形的變換，例如，將圖形向某

一

方向平移

一

段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)

一

定的角度；或

將圖形放大或縮小等等，這種變換過(guò)程稱為幾何變

換

。圖形的幾何變換是計(jì)算機(jī)繪圖中極為重要的

一

個(gè)組成部分，利用圖形變換還可以實(shí)現(xiàn)二維圖形和

三維圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯?dòng)

態(tài)圖形，從而實(shí)現(xiàn)景物畫面的動(dòng)態(tài)顯示。18.07.20205.1

二維圖形變換5.1.1二維圖形幾何變換的基本原理二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連線次序的情況下，對(duì)一個(gè)平面點(diǎn)集進(jìn)行的線性變換。實(shí)際上，

由于一個(gè)二維圖形可以分解成點(diǎn)、直線、

曲線。

把曲線離散化，它可以用一串短直線段來(lái)逼近，而每一條直線段均由兩點(diǎn)所決定，這樣，二維平面圖形不論是由直線段組成，還是由曲線段組成，都可以用它的輪廓線上順序排列的平面點(diǎn)集來(lái)描述。因此可以說(shuō)，

對(duì)圖形作幾何變換，其實(shí)質(zhì)是對(duì)點(diǎn)的幾何變換，通過(guò)討論點(diǎn)的幾何變換，就可以理解圖形幾何變換的原理。18.07.2020

2例如，如果要對(duì)下圖中的四邊形ABCD

進(jìn)行平移變換，

只需要對(duì)四個(gè)頂點(diǎn)A

、B

、C

、D做平移變換，連接平移后的四個(gè)頂點(diǎn)即可得到四邊形平移變換的結(jié)果。18.07.2020

3對(duì)二維圖形進(jìn)行幾何變換有五種基本變換形式，

它們是：

平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對(duì)稱和錯(cuò)切，這些圖形

變換的規(guī)則可以用函數(shù)來(lái)表示。有兩種不同的變換形

式：一種是圖形不動(dòng)，而坐標(biāo)系變動(dòng)，

即變換前與變

換后的圖形是針對(duì)不同坐標(biāo)而言的，稱之為坐標(biāo)模式

變換；另

一

種是坐

標(biāo)系不動(dòng)，而圖形改變，

即變換前

與變換后的坐標(biāo)值是針對(duì)同一坐標(biāo)系而言的，稱之為

圖形模式變換。實(shí)際應(yīng)用中，后一種圖形變換更有實(shí)

際意義，下面討論的圖形變換是屬于后一種變換。18.07.2020

4如果對(duì)一圖形的每個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行上述變換，即可得到該圖形的平移變換。實(shí)際上，線段是通過(guò)對(duì)其兩端點(diǎn)進(jìn)行平移變換，多邊形的平移是平移每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)位置，

曲線可以通過(guò)平移定義曲線的坐標(biāo)點(diǎn)位置，用平移過(guò)的坐標(biāo)點(diǎn)重構(gòu)曲線路徑來(lái)實(shí)現(xiàn)。18.07.2020

55.1.2平移變換平移變換是指將圖形從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位變換。已知

一

點(diǎn)的原始坐標(biāo)是P(x,y),加上

一

個(gè)沿X,Y

方向的平移量t

、和t,,平移此點(diǎn)到新坐標(biāo)

(x+t,y+ty),

則新坐標(biāo)的表達(dá)式為：平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和

形狀。下圖是一平移變換的例子。18.07.2020

6可以用矩陣形式來(lái)表示二維平移變換方程。圖形變

換通常使用齊次坐標(biāo)矩陣來(lái)表示。平移變換方程的齊次

坐標(biāo)矩陣表示式為：稱為變換矩陣。18.07.2020

7其中有了上面的矩陣表示，連續(xù)的平移變換可以通過(guò)連

續(xù)的矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如，點(diǎn)經(jīng)平移變換T?(t?

,ty?)后，再經(jīng)平移變換T?(t?,tyz),那么,最終的平移變

換矩陣。5.1.3

比例變換一

個(gè)圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)

若

在X軸方向變化

一

個(gè)

比例系數(shù)sx,在Y軸方向變化一個(gè)比例系數(shù)sy,

則新坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)

的表達(dá)式為：18.07.2020

8這一變換稱為相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換，

sx

和

s,

分別表示點(diǎn)P(x,y)沿X軸方向和Y軸方向相對(duì)坐標(biāo)

原點(diǎn)的比例變換系數(shù)。比例變換改變圖形的大小。變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：18.07.2020

9其中變換矩陣：比例變換系數(shù)sx和s,可賦予任何正數(shù)值。當(dāng)值

小于1時(shí)縮小圖形，值大于1則放大圖形。

當(dāng)

s,和

s,被賦予相同值時(shí)，就產(chǎn)生保持圖形相對(duì)比例

一

致的變換，

sx和s,值不等時(shí)產(chǎn)生X

軸方向和Y

軸方

向大小不等的比例變換。

s和

s,都指定為1時(shí)，圖

形大小不改變。實(shí)際上，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)圖形的比例變換，

相當(dāng)于每一點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的變換，

因此，它

不但改變圖形的大小，而且改變圖形的位置。18.07.2020

10下圖是

一

圖形比例變換的例子：18.07.2020

11中心不在原點(diǎn)的放大變換中心在原點(diǎn)的放大變換可以通過(guò)選擇一個(gè)在變換后不改變位置的固定點(diǎn)

P。(x。,y。),來(lái)控制圖形變換的位置。例對(duì)于多邊形圖形，

固定點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y.)可以選擇圖形的某個(gè)頂點(diǎn)、

圖形幾何

中心點(diǎn)或任何其它位置，這樣變換后固定點(diǎn)坐標(biāo)不改變，

多邊形每個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)于固定點(diǎn)縮放。對(duì)于坐標(biāo)為P(x,y)的

頂點(diǎn)，相對(duì)于固定點(diǎn)P。(x.,y。)變換后的坐標(biāo)P(x,y)

可計(jì)算為：身

一

之

黎

一

一機(jī)一⑦一

氣

一

身參

一

+()(12寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：18.07.2020@(計(jì)算公式的推導(dǎo)可以這樣考慮，先平移坐標(biāo)原點(diǎn)

(0,0)到(x。y.),

然后進(jìn)行比例變換，變換后再將

坐標(biāo)原點(diǎn)移回到(0,0)。三個(gè)過(guò)程的結(jié)果就是相對(duì)于點(diǎn)

(xyc)

的比例變換。三個(gè)過(guò)程的變換矩陣分別是：18.07.2020

13其中變換矩陣：器@18.07.2020

14①(加

@—)@5.1.4

旋轉(zhuǎn)變換若圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)

繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

一

個(gè)角度0,則新坐標(biāo)點(diǎn)P(x',y’)的表達(dá)式為：公式的推導(dǎo)可參考右圖18.07.202015上面是點(diǎn)P(x,y)

以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)變換，還可以

任意點(diǎn)P

。(x.,y

。)

為中心做旋轉(zhuǎn)變換。其變換公式為：變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：18.07.2020

16其中變換矩陣此公式的推導(dǎo)過(guò)程可以這樣考慮，先平移坐標(biāo)原點(diǎn)

(0,0)到(xey.),

然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，變換后再將坐

標(biāo)原點(diǎn)移回到(0,0)。三個(gè)過(guò)程的結(jié)果就是以點(diǎn)(x。y)

為中心的旋轉(zhuǎn)變換。寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：18.07.2020

17新

]旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形

狀不變。旋轉(zhuǎn)變換的幾何表示見下圖。18.07.2020

18其中變換矩陣：參

作

0H=(75.1.5

對(duì)稱變換對(duì)稱變換是產(chǎn)生圖形鏡象的一種變換，也稱鏡象變換或反射變換。將圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)就可以生成鏡象圖形。1.

對(duì)稱于X軸當(dāng)變換對(duì)稱于X軸時(shí)，則坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)對(duì)稱變換后，新坐標(biāo)點(diǎn)P’

(x’,y’)的表達(dá)式為：變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：18.07.2020

19對(duì)稱X軸變換的幾何表示見下圖18.07.2020

20其中變換矩陣：2.

對(duì)稱于Y軸當(dāng)變換對(duì)稱于Y軸時(shí)，則坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)

經(jīng)對(duì)稱變換后，新坐標(biāo)點(diǎn)P’

(x’,y’)的表達(dá)式為：變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣：18.07.202021對(duì)

稱Y

軸變換的幾何表示見下圖18.07.2020

223.

對(duì)稱于原點(diǎn)當(dāng)圖形對(duì)X軸

和Y軸都進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，即得相

對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換。這

一

變換前后點(diǎn)坐標(biāo)之

間的關(guān)系為：其中變換矩陣：18.07.2020寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：23對(duì)稱原點(diǎn)變換的幾何表示見下圖18.07.2020

244.

對(duì)稱平行于X軸的直線當(dāng)對(duì)稱軸是平行于X軸的直線y=y。時(shí)，變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：18.07.2020

25其中變換矩陣：5.

對(duì)稱平行于Y軸的直線當(dāng)對(duì)稱軸是平行于Y軸的直線x=x。時(shí)，變換前后

點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：其中變換矩陣：18.07.2020變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：266.

對(duì)稱于任

一

點(diǎn)(x。,y。)的變換對(duì)稱于任一點(diǎn)(x。,y。)的變換，實(shí)際上可以看做分別

相對(duì)于直線軸x=x。和直線軸y=y。的兩次對(duì)稱變換，

因此其變換公式是兩者的綜合：其中變換矩陣：18.07.2020變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：277.

對(duì)稱于任一軸的變換關(guān)于XY平面內(nèi)任

一

直線y=mx+b為對(duì)稱軸的變換，

可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱于坐標(biāo)軸等變換的組合。

首先平移直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，而后將直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至同某一坐標(biāo)軸重合，做對(duì)稱于坐標(biāo)軸的變換，最后反向旋轉(zhuǎn)和反向平移將直線置回原處。如下圖所示，平移直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)需要在Y

軸方向上移動(dòng)距離b,

然后將直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至同Y軸重合，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為0,兩步的變換矩陣分別為：18.07.202028做對(duì)稱于Y軸的對(duì)稱變換，其變換矩陣為：最后反向旋轉(zhuǎn)和反向平移將直線置回原處，其變換矩陣分別為：18.07.2020

29sn(ecose

oeos一

n◎變換矩陣中的和需要用已知量表示出來(lái)。當(dāng)m

為直線斜

率，

b為截距時(shí)有：要參打

(各

變

號(hào)

音

動(dòng)

面花

是

琴

省

分

北

參所以，對(duì)稱于任一軸y=mx+b

的變換矩陣為：所以18.07.2020參資線色備權(quán)30所

②—所

—?dú)v上述變換用代數(shù)方程表示為：替換變換矩陣中的和得：18.07.20203105.1.6

錯(cuò)切變換錯(cuò)

切(shear)變換是軸上點(diǎn)不動(dòng)，其它點(diǎn)沿平行于

此軸方向移動(dòng)變形的變換。錯(cuò)切變換也稱為剪切、錯(cuò)位

或錯(cuò)移變換。常用的錯(cuò)切變換有兩種：改變x坐標(biāo)值和

改變y坐標(biāo)值。1.

沿X軸方向關(guān)于Y的錯(cuò)切變換前和變換后y坐標(biāo)不變，而x

坐標(biāo)根據(jù)y坐標(biāo)值呈

線性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：式中c為錯(cuò)切系數(shù)。若c>0,

0,則沿

-X方向錯(cuò)切。18.07.2020則沿+X方向錯(cuò)切，若c<32下圖說(shuō)明了矩形ABCD

經(jīng)錯(cuò)切變換后變?yōu)锳'B'C'D

'的結(jié)果。18.07.202033變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：18.07.2020

34其中變換矩陣：式

中d為錯(cuò)切系數(shù)。若d

>0,

則

沿

+Y方向

錯(cuò)

切

，

若d<0,

則沿

-Y方向

錯(cuò)

切。

右圖

說(shuō)

明

了

矩

形

ABCD經(jīng)錯(cuò)切變換后結(jié)果

為A’B’C’D’。18.07.20202.

沿Y軸方向關(guān)于X的錯(cuò)切變換前和變換后x

坐標(biāo)不變，而y

坐標(biāo)根據(jù)x

坐標(biāo)值

呈線性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：35除了沿X軸方向和沿Y軸方向的錯(cuò)切變換外，還可以使

用沿平行于X軸方向的軸線或沿平行于Y軸方向的軸線以及任

一軸線的錯(cuò)切變換。對(duì)于這些變換，可以通過(guò)先平移、

旋轉(zhuǎn)軸線，轉(zhuǎn)化為沿X軸方向或沿Y軸方向的錯(cuò)切變換。錯(cuò)切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，還可能使圖形發(fā)生畸變。18.07.2020

36變換方程寫成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣：上面討論的五種變換給出的都是點(diǎn)變換的公式，

圖

形的變換