第五章留數(shù)及其應(yīng)用

1第五章留數(shù)及其應(yīng)用

函數(shù)的孤立奇點及其分類留數(shù)和留數(shù)定理留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用25-1函數(shù)的孤立奇點及其分類一Δ、函數(shù)孤立奇點的概念及其分類二、函數(shù)各類孤立奇點的充要條件三、用函數(shù)的零點判斷極點的類型3例1是函數(shù)的孤立奇點.是函數(shù)的孤立奇點.注意:孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.一Δ

、函數(shù)孤立奇點的概念及其分類在定義如果函數(shù)在不解析,但的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則為的孤立奇點.稱4例2

指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),的奇點存在,

函數(shù)的奇點為總有不是孤立奇點.所以5如果點為函數(shù)的孤立奇點，則在點某去心鄰域內(nèi)可設(shè)的Laurent級數(shù)展開式為

為該去心鄰域內(nèi)圍繞點z0的任一條正向簡單閉曲線。討論函數(shù)在孤立奇點的情況6定義1

若Laurent級數(shù)(5-1-1)中所含(z-z0)的負(fù)冪項的項數(shù)分別為1）零個，2）有限個，3）無窮多個，則分別稱z0為f(z)的可去奇點、極點和本性奇點。且當(dāng)z0為極點時，若級數(shù)中負(fù)冪的系數(shù)c-m≠0

并且cn=0(n=-m-1,-m-2,???),則稱z0為f(z)的m級極點，一級極點又稱為簡單極點。71可去奇點如果Laurent級數(shù)中不含的負(fù)冪項,

則稱孤立奇點稱為的可去奇點.其和函數(shù)在處解析.二、函數(shù)各類孤立奇點的充要條件可去奇點8無論在是否有定義,可補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.反過來，若在解析，且存在，則必是的可去奇點。9由定義判斷:的Laurent級數(shù)無負(fù)在如果冪項,由極限判斷：若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.則為可去奇點的充要條件為為

的可去奇點.則注：函數(shù)f(z)的可去奇點z0看作它的解析點，且規(guī)定結(jié)論的10例

說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負(fù)冪項另解

所以為的可去奇點.11如果補(bǔ)充定義:時,那末在解析.例

中不含負(fù)冪項,是的可去奇點.122極點其中關(guān)于的最高冪為即的(m級)極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)定義

如果Laurent級數(shù)中只有有限多個的負(fù)冪項,13則由極點的定義14注意到:的m級極點的充要條件是為函數(shù)由此可得：的解析點，并且有為函數(shù)這里15的極點的充要條件是為函數(shù)例

有理分式函數(shù)是二級極點,

是一級極點.由此也得：16在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且

的Laurent展開式中含有的負(fù)冪項為有限項.由定義判別：由定義的等價形式判別：由極限判別：判斷

.m級極點的三種判別方法17解

所以不是二級極點,而是一級極點.是的幾級極點?思考例1

問是的二級極點嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論

.

解析且183本性奇點稱為則孤立奇點的本性奇點.若Laurent級數(shù)中含有無窮多個的負(fù)冪項,例如，含有無窮多個z的負(fù)冪項特點:

在本性奇點的鄰域內(nèi)不存在且不為同時不存在.19例為f(z)的本性奇點.綜上，當(dāng)z0為f(z)的孤立奇點時，可用極限值存在有限、為、不存在，來區(qū)分奇點是可去奇點、極點還是本性奇點。20綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點Laurent級數(shù)的特點存在且為有限值無負(fù)冪項含無窮多個負(fù)冪項含有限個負(fù)冪項關(guān)于的最高冪為不存在211、函數(shù)的零點例定義若函數(shù)在點解析，并且，z0則稱為函數(shù)的零點。三、用函數(shù)的零點判斷極點的類型

定義若為函數(shù)的零點，且存在自然數(shù)使在的Taylor級數(shù)為則稱為的m級零點，其中22m級零點的判別方法零點的充要條件是：定理1

如果f(z)在點z0解析，那么z0為f(z)的m級23(1)由于知是的一級零點.知是的一級零點.解

(2)由于例1

求以下函數(shù)的零點及級數(shù):(1)(2)24定理2

其中)(zy在點0z解析，且0z為)(zf的m級零點的充要條件為

25證明：如果是函數(shù)的m級零點，則此處展開式的前m項系數(shù)都為零。若記則有其中：在處解析，并且26推論1

點為的級極點的充要條件為是的級零點。推論2

若點為函數(shù)的級零點(k=1,2)，則z0為函數(shù)的級零點；當(dāng)時，z0為函數(shù)的級極點。27推論3(L’Hospital法則)

設(shè)函數(shù)不恒為零，若為函數(shù)和的零點(極點)，則當(dāng)時，函數(shù)的極限一定存在或為，且有28例2

函數(shù)有些什么奇點,如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)的奇點是使的點,這些奇點是孤立奇點.的一級極點.即29例3

求下列函數(shù)孤立奇點的類