2016屆《新步步高》高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)(人教A版-理科)配套課件-第十章-計(jì)數(shù)原理10.2

數(shù)學(xué)A〔理〕§10.2排列與組合第十章計(jì)數(shù)原理根底知識(shí)·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照

排成一列組合合成一組一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用

表示.(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用

表示.所有不同組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(

)(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序.(

)(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)√××(

)(4)(n＋1)?。璶?。絥·n！.(

)√返回√(

)√題號(hào)答案解析1234

EnterCDA14∴不同的選派方案有8＋6＝14(種).解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點(diǎn)撥解析先考慮甲的排法或先考慮中間位置排法.例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點(diǎn)撥解析解方法一(元素分析法)思維點(diǎn)撥解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點(diǎn)撥解析方法二(位置分析法)例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點(diǎn)撥解析方法三(等時(shí)機(jī)法)例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點(diǎn)撥解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點(diǎn)撥解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題例1(2)甲、乙兩人必須排在兩端；思維點(diǎn)撥解析例1(2)甲、乙兩人必須排在兩端；先排特殊元素.思維點(diǎn)撥解析思維點(diǎn)撥解析解先排甲、乙，再排其余7人，例1(2)甲、乙兩人必須排在兩端；例1(3)男女相間.思維點(diǎn)撥解析思維升華插空法.例1(3)男女相間.思維點(diǎn)撥解析思維升華解(插空法)例1(3)男女相間.思維點(diǎn)撥解析思維升華此題集排列多種類型于一題，充分表達(dá)了元素分析法(優(yōu)先考慮特殊元素)、位置分析法(優(yōu)先考慮特殊位置)、直接法、間接法(排除法)、等時(shí)機(jī)法、插空法等常見的解題思路.例1(3)男女相間.思維點(diǎn)撥解析思維升華跟蹤訓(xùn)練1由0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，求：(1)有多少個(gè)含有2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)？解不考慮0在首位，0,1,4,5先排三個(gè)位置，(2)有多少個(gè)數(shù)字1,2,3必須由大到小順序排列的六位數(shù)？例2某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題思維升華思維點(diǎn)撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題思維升華思維點(diǎn)撥解析例2某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,那么先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足；“不含”,那么先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,那么先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足；“不含”,那么先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,那么先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足；“不含”,那么先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.思維升華思維點(diǎn)撥解析例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.思維升華思維點(diǎn)撥解析跟蹤訓(xùn)練2從10位學(xué)生中選出5人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.(1)甲必須入選的有多少種不同的選法？解學(xué)生甲入選，再?gòu)氖Ｏ碌?人選4人，(2)甲、乙、丙不能同時(shí)都入選的有多少種不同的選法？題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題思維升華思維點(diǎn)撥解析例3

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.思維升華思維點(diǎn)撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？解為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，思維升華思維點(diǎn)撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，思維升華思維點(diǎn)撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.思維升華思維點(diǎn)撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).思維升華思維點(diǎn)撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？例3

(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？思維升華解析例3

(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？思維升華解析解

“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，例3

(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？思維升華解析因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.例3

(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？思維升華解析排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.例3

(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？思維升華解析其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).思維升華思維點(diǎn)撥解析例3

(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.思維升華思維點(diǎn)撥解析例3

(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？思維升華思維點(diǎn)撥解析例3

(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，思維升華思維點(diǎn)撥解析例3

(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.思維升華思維點(diǎn)撥解析例3

(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).思維升華思維點(diǎn)撥解析例3

(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？跟蹤訓(xùn)練3(1)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中.假設(shè)每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，那么不同的放法共有()A.12種 B.18種 C.36種 D.54種B(2)(2014·重慶)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，那么同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168解析先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1,小品2,相聲”,“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1,小品2”.同理，第三種情況也有36種安排方法，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法.答案

B易

錯(cuò)

分

析解

析溫馨提醒典例：有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，假設(shè)從20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有________種.易錯(cuò)警示系列16排列、組合問題計(jì)算重、漏致誤易

錯(cuò)

分

析解

析溫馨提醒上述做法使兩次取的一等品有了先后順序，導(dǎo)致取法重復(fù).解析方法一將“至少有1個(gè)是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個(gè)一等品”，“恰有2個(gè)一等品”，“恰有3個(gè)一等品”，易

錯(cuò)

分

析解

析溫馨提醒方法二考慮其對(duì)立事件“3個(gè)都是二等品”，答案

1136(1)排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類問題時(shí)就要遵循一定的解題原那么，如特殊元素、位置優(yōu)先原那么、先取后排原那么、先分組后分配原那么、正難那么反原那么等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問題時(shí)必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.易

錯(cuò)

分

析解

析溫馨提醒(2)“至少、至多”型問題不能利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對(duì)立事件求解.易

錯(cuò)

分

析解

析溫馨提醒返回方法與技巧1.對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).方法與技巧2.排列、組合問題的求解方法與技巧：(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；方法與技巧(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難那么反，等價(jià)條件.求解排列與組合問題的三個(gè)注意點(diǎn)：(1)解排列與組合綜合題一般是先選后排,或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個(gè)原理做最后處理.失誤與防范(2)解受條件限制的組合題,通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決,分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一,防止出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.失誤與防范返回(3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都有重復(fù)或遺漏的問題.2345678910123456789101.(2014·四川)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有()A.192種 B.216種 C.240種 D.288種12345678910所以共有120＋96＝216(種)方法.答案

B1345678910122.將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(

)A.12種

B.10種

C.9種

D.8種34567891012由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選派方案共有2×6＝12(種).答案

A456789101233.10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人.現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對(duì)順序不變，那么不同調(diào)整方法的種數(shù)為()45678910123567891012344.某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位,節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有(

)A.36種

B.42種

C.48種

D.54種56789101234答案

B678910123455.如下圖，要使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有()A.11種 B.20種 C.21種 D.12種67891012345所以共有14＋7＝21(種)方式.答案

C578910123466.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有___種.剩余A、B兩人只有一種排法，607.(2013·北京)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全局部給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是___.58910123467968.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為__.5910123467889.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五種不同的商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，而丙、丁兩種不能排在一起，不同的排法共有___種.510123467892410.有9名學(xué)生，其中2名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，3名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，4名既會(huì)下圍棋又會(huì)下象棋；現(xiàn)在要從這9名學(xué)生中選出2名學(xué)生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有多少種不同的選派方法？51234678910解設(shè)2名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋的同學(xué)組成集合A,3名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋的同學(xué)組成集合B,4名既會(huì)下圍棋又會(huì)下象棋的同學(xué)組成集合C，51234678910那么選派2名參賽同學(xué)的方法可以分為以下4類：51234678910由分類加法計(jì)數(shù)原理，選派方法數(shù)共有6＋12＋8＋12＝38種.141516131211141516131211141516131211答案

D12.我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架艦載機(jī)準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有(

)A.12種

B.18種

C.24種

D.48種141516131211解析丙、丁不能相鄰著艦，那么將剩余3機(jī)先排列，再將丙、丁進(jìn)行“插空”.由于甲、乙“捆綁”視作一整體，剩余3機(jī)實(shí)際排列方法共2×2＝4種.141516131211由分步乘法