新教材高中物理第二章機(jī)械振動(dòng)第4節(jié)單擺導(dǎo)學(xué)案新人教版選擇性必修第一冊(cè)

．單擺1．理解單擺模型和單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，知道單擺振動(dòng)時(shí)回復(fù)力的來(lái)源。2.了解影響單擺周期的因素，掌握單擺的周期公式。一、單擺的回復(fù)力1．單擺：將一小球用細(xì)線懸掛起來(lái)，把小球拉離最低點(diǎn)釋放后，小球就會(huì)來(lái)回?cái)[動(dòng)。如果細(xì)線的長(zhǎng)度不可改變，細(xì)線的質(zhì)量與小球相比eq\o(□,\s\up2(01))可以忽略，球的直徑和線的長(zhǎng)度相比eq\o(□,\s\up2(02))可以忽略，與小球受到的重力及線的拉力相比，空氣等對(duì)它的阻力可以忽略，這樣的裝置就叫作單擺。單擺是實(shí)際擺的eq\o(□,\s\up2(03))理想化模型。2．單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的來(lái)源：擺球的重力沿圓弧eq\o(□,\s\up2(04))切線方向的分力F＝mgsinθ。(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：當(dāng)擺角θ很小時(shí)，可認(rèn)為回復(fù)力F指向eq\o(□,\s\up2(05))平衡位置，與位移x反向。若單擺擺長(zhǎng)為l、擺球質(zhì)量為m，則回復(fù)力F＝eq\o(□,\s\up2(06))－eq\f(mg,l)x＝－kx，因此單擺在擺角很小的情況下做eq\o(□,\s\up2(07))簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。二、單擺的周期1．探究影響單擺周期的因素(1)探究方法：控制變量法。(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論：?jiǎn)螖[做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與擺長(zhǎng)eq\o(□,\s\up2(01))有關(guān)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期eq\o(□,\s\up2(02))越大；單擺的周期與擺球質(zhì)量和振幅eq\o(□,\s\up2(03))無(wú)關(guān)。2．周期公式(1)提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。(2)公式：eq\o(□,\s\up2(04))T＝2πeq\r(\f(l,g))，即單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)l的二次方根成eq\o(□,\s\up2(05))正比，與重力加速度g的二次方根成eq\o(□,\s\up2(06))反比。判一判(1)一根細(xì)線一端固定，另一端拴一小球就構(gòu)成一個(gè)單擺。()(2)單擺回復(fù)力的方向總是指向懸掛位置。()(3)單擺的回復(fù)力是由擺球重力的分力提供的。()(4)單擺的振幅越大周期越大。()(5)單擺的周期與擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。()提示：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√想一想(1)擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，合外力是否為零？擺球到達(dá)最大位移處時(shí)v＝0，加速度是否等于0?提示：?jiǎn)螖[擺動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)不處于平衡狀態(tài)，有向心力和向心加速度，回復(fù)力為零，合外力不為零。擺球到達(dá)最大位移處時(shí)速度等于零，合外力等于重力沿圓弧切線方向的分力，所以加速度不等于零。(2)把單擺從赤道處移至兩極處時(shí)，要保證單擺的周期不變，應(yīng)如何調(diào)整擺長(zhǎng)？提示：兩極處的重力加速度大于赤道處的重力加速度，由T＝2πeq\r(\f(l,g))知，應(yīng)增大擺長(zhǎng)，才能使周期不變。課堂任務(wù)單擺及其回復(fù)力仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動(dòng)”?；顒?dòng)1：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力有什么特點(diǎn)？提示：回復(fù)力的大小與振子相對(duì)平衡位置的位移大小成正比，方向與位移的方向相反，即F＝－kx。活動(dòng)2：如何驗(yàn)證單擺的擺動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？提示：可以畫(huà)出單擺的振動(dòng)圖像，分析是不是正弦圖像，從而進(jìn)行判斷。還可以分析擺球的回復(fù)力，判斷是否符合F＝－kx?；顒?dòng)3：如圖，單擺做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，單擺做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是什么？提示：?jiǎn)螖[做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力就是圖中的F，它是重力的一個(gè)分力，其大小為mgsinθ?；顒?dòng)4：當(dāng)擺角θ很小時(shí)，sinθ≈θ，試分析這時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？提示：一般情況，回復(fù)力F與小球從O點(diǎn)到P點(diǎn)的位移x并不成正比也不反向。但是，當(dāng)擺角θ很小時(shí)，擺球運(yùn)動(dòng)的圓弧可以看成直線，可認(rèn)為F指向平衡位置O，與位移x反向。圓弧eq\o\ac(OP,\s\up15(︵))的長(zhǎng)度可認(rèn)為與擺球的位移x大小相等，即sinθ≈θ＝≈eq\f(x,l)，因此，單擺振動(dòng)的回復(fù)力F可表示為F＝－eq\f(mg,l)x，式中負(fù)號(hào)表示回復(fù)力與位移的方向相反。對(duì)一個(gè)確定的單擺來(lái)說(shuō)，擺球質(zhì)量m和擺長(zhǎng)l是一定的，eq\f(mg,l)可以用一個(gè)常量k表示，于是上式可以寫(xiě)成F＝－kx，可見(jiàn)，單擺在擺角很小的情況下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。1．單擺(1)單擺是實(shí)際擺的理想化模型。(2)實(shí)際擺看作單擺的條件①擺線的形變量與擺線長(zhǎng)度相比可忽略；②擺線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比可忽略；③擺球的直徑與擺線長(zhǎng)度相比可忽略；④空氣阻力與擺球的重力及繩的拉力相比可忽略。2．單擺的回復(fù)力如圖所示，重力G沿圓弧切線方向的分力F是擺球沿運(yùn)動(dòng)方向的合力，正是這個(gè)力提供了使擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力：F＝－mgsinθ。3．單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)擺球以懸點(diǎn)為圓心做變速圓周運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只要速度v≠0，半徑方向都受向心力(最高點(diǎn)其向心力為零)。向心力由細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力提供。(2)擺球同時(shí)在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只要不在平衡位置，軌跡的切線方向都受回復(fù)力。4．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證在θ很小時(shí)(理論值為≤5°)，sinθ≈θ≈eq\f(x,l)?；貜?fù)力F＝－Gsinθ≈－eq\f(mg,l)x＝－kx。因此，在擺角θ很小時(shí)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。例1(多選)關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是()A．單擺振動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的分力mgsinα，其中α是擺線與豎直方向之間的夾角B．單擺的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力C．單擺的擺球在平衡位置時(shí)(最低點(diǎn))的加速度為零D．單擺的振動(dòng)周期在偏角很小的條件下跟振幅無(wú)關(guān)(1)擺球通過(guò)平衡位置時(shí)，做何種運(yùn)動(dòng)？加速度是零嗎？提示：擺球做圓周運(yùn)動(dòng)。加速度不為零。(2)“振幅很小”的含義是什么？提示：“振幅很小”時(shí)，擺球的運(yùn)動(dòng)可看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，周期與振幅無(wú)關(guān)。[規(guī)范解答]單擺運(yùn)動(dòng)的軌跡是一段圓弧，在擺動(dòng)的過(guò)程中，擺球受重力G和擺線的拉力FT兩個(gè)力的作用，提供回復(fù)力的是重力沿圓弧切線方向的分力mgsinα，而不是重力和擺線拉力的合力，A正確，B錯(cuò)誤；擺球在平衡位置時(shí)有向心加速度，加速度不為零，C錯(cuò)誤；通常情況下單擺的振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只有在偏角很小的情況下才可近似看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件下，周期與振幅無(wú)關(guān)，D正確。[完美答案]AD規(guī)律點(diǎn)撥回復(fù)力、向心力、合外力的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別①回復(fù)力：使物體回到平衡位置且指向平衡位置的力；對(duì)單擺來(lái)說(shuō)，重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsinθ提供回復(fù)力。②向心力：使物體做曲線運(yùn)動(dòng)且指向圓心的力；對(duì)單擺來(lái)說(shuō)，擺線的拉力和重力沿徑向的分力的合力提供向心力。③合外力：物體所受的合力，它使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。(2)聯(lián)系：回復(fù)力、向心力、合外力均為效果力且均為矢量。回復(fù)力、向心力一定是變力，合外力可以為恒力，也可為變力。對(duì)單擺來(lái)說(shuō)，回復(fù)力與向心力的合力等于合外力。eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])對(duì)于單擺振動(dòng)，以下說(shuō)法中正確的是()A．單擺振動(dòng)時(shí)，擺球受到的向心力大小處處相等B．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力就是擺球受到的合力C．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受回復(fù)力為零D．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合外力為零答案C解析單擺振動(dòng)過(guò)程中受到重力和細(xì)線拉力的作用，把重力沿切向和徑向分解，其切向分力提供回復(fù)力，細(xì)線拉力與重力的徑向分力的合力提供向心力，向心力大小為meq\f(v2,l)，可見(jiàn)最大偏角處向心力為零，平衡位置處向心力最大，而回復(fù)力在最大偏角處最大，在平衡位置處為零，故應(yīng)選C。課堂任務(wù)單擺的周期仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動(dòng)”?；顒?dòng)1：想一想單擺的周期可能與什么因素有關(guān)？用什么方法驗(yàn)證？提示：可能與單擺的振幅、擺球的質(zhì)量、擺長(zhǎng)有關(guān)。用控制變量法驗(yàn)證。活動(dòng)2：實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)螖[做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與擺長(zhǎng)有關(guān)，與擺球質(zhì)量和振幅無(wú)關(guān)。在探究單擺周期與擺長(zhǎng)之間的定量關(guān)系時(shí)，對(duì)擺的振幅有要求嗎？提示：振幅要足夠小，一般偏角不要超過(guò)5°?；顒?dòng)3：對(duì)擺線和擺球有什么要求嗎？提示：為使擺長(zhǎng)穩(wěn)定，空氣阻力影響較小，擺線質(zhì)量影響較小，擺線要選較細(xì)、伸縮性較小并且適當(dāng)長(zhǎng)一些的，擺球要選質(zhì)量大、體積小的?；顒?dòng)4：如何分析單擺周期T和擺長(zhǎng)l的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)？提示：先通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析，對(duì)周期T與擺長(zhǎng)l的定量關(guān)系做出猜測(cè)，例如可能是T∝l、T∝l2，或者T∝eq\r(l)、T∝eq\r(3,l)……然后按照猜測(cè)來(lái)確定縱坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸。例如，通過(guò)估算我們認(rèn)為可能是T∝l2，那么可以用縱坐標(biāo)表示T，橫坐標(biāo)表示l2，作出圖像。如果這樣作出的圖像確實(shí)是一條直線，說(shuō)明的確有T∝l2的關(guān)系，否則再做其他嘗試。1．單擺的周期荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)l的二次方根成正比，與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的二次方根成反比，他確定周期公式為：T＝2πeq\r(\f(l,g))。(1)單擺的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))，只與擺長(zhǎng)l及單擺所在處的重力加速度有關(guān)，與振幅及擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。(單擺的等時(shí)性就是指單擺的周期與振幅無(wú)關(guān)的性質(zhì)。)(2)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)。(3)單擺周期公式中的g為單擺所在處的重力加速度，它會(huì)隨地理位置的改變而改變。l為單擺的擺長(zhǎng)。擺長(zhǎng)是指從懸點(diǎn)到擺球重心的長(zhǎng)度，l＝l′＋eq\f(d,2)，l′為擺線長(zhǎng)，d為擺球直徑。2．計(jì)算單擺的周期的方法(1)用單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))計(jì)算，計(jì)算的關(guān)鍵是正確確定擺長(zhǎng)。(2)根據(jù)T＝eq\f(t,N)計(jì)算。這是粗測(cè)周期的一種方法，周期的大小雖然不取決于t和N，但可以利用該方法計(jì)算周期，它會(huì)受到時(shí)間t和振動(dòng)次數(shù)N測(cè)量的準(zhǔn)確性的影響。3．等效單擺如圖是一半徑為R的光滑凹槽，現(xiàn)將一半徑為r的小球從稍稍偏離最低點(diǎn)的位置釋放，小球做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力與單擺振動(dòng)的回復(fù)力均為重力沿圓弧切線方向的分力，其運(yùn)動(dòng)與擺長(zhǎng)為(R－r)的單擺等效，故其周期T＝2πeq\r(\f(R－r,g))。4．等效擺長(zhǎng)問(wèn)題等效擺長(zhǎng)為擺球運(yùn)動(dòng)軌跡所在圓弧的圓心到擺球球心間的距離。如圖甲、乙所示，忽略擺球直徑且擺球在垂直紙面的豎直平面內(nèi)做小角度的擺動(dòng)，則其等效擺長(zhǎng)分別為L(zhǎng)甲＝Lsinθ，L乙＝Lsinθ＋L1，周期分別為T(mén)甲＝2πeq\r(\f(Lsinθ,g))，T乙＝2πeq\r(\f(Lsinθ＋L1,g))。5．等效重力加速度問(wèn)題等效重力加速度為單擺處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，擺線的拉力F(相當(dāng)于視重)與擺球質(zhì)量的比值，即g等＝eq\f(F,m)。有關(guān)等效重力加速度的題比較復(fù)雜，但只要求出g等就可以求出對(duì)應(yīng)的周期。(1)擺球?yàn)閹щ娦∏?，擺線為輕質(zhì)絕緣細(xì)線，豎直方向有電場(chǎng)的單擺。如圖甲所示，電場(chǎng)方向豎直向下，擺球帶正電，單擺處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)擺線的拉力F＝mg＋Eq，其等效重力加速度為g等＝eq\f(F,m)＝g＋eq\f(Eq,m)，所以單擺的周期為T(mén)＝2πeq\r(\f(L,g等))＝2πeq\r(\f(L,g＋\f(Eq,m)))。同理可得，如果電場(chǎng)強(qiáng)度豎直向上，則單擺的周期為T(mén)＝2πeq\r(\f(L,g－\f(Eq,m)))。(2)擺線一端固定在光滑斜面上，另一端連接擺球，擺球在光滑斜面上小角度擺動(dòng)的單擺。如圖乙所示，在斜面上擺球靜止時(shí)擺線的拉力F＝mgsinα，所以g等＝gsinα，在斜面上該單擺的周期為T(mén)＝2πeq\r(\f(L,gsinα))。例2有一單擺，其擺長(zhǎng)l＝1.02m，擺球的質(zhì)量m＝0.10kg，已知單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，單擺振動(dòng)30次用的時(shí)間t＝60.8s，試求：(1)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻螅?2)如果將這個(gè)擺改為秒擺，擺長(zhǎng)應(yīng)怎樣改變？改變多少？(1)根據(jù)周期公式如何求重力加速度？提示：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得g＝eq\f(4π2l,T2)。(2)要改變單擺的周期，可采用哪些措施？提示：由T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，改變l和g均可使單擺的周期改變。[規(guī)范解答](1)當(dāng)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2)，只要求出T值代入即可。因?yàn)門(mén)＝eq\f(t,n)＝eq\f(60.8,30)s≈2.027s，所以g＝eq\f(4π2l,T2)≈eq\f(4×3.142×1.02,2.0272)m/s2≈9.79m/s2。(2)秒擺的周期是2s，設(shè)其擺長(zhǎng)為l0，由于在同一地點(diǎn)重力加速度是不變的，根據(jù)單擺的振動(dòng)規(guī)律有：eq\f(T,T0)＝eq\f(\r(l),\r(l0))，故有：l0＝eq\f(T\o\al(2,0)l,T2)＝eq\f(22×1.02,2.0272)m≈0.993m。其擺長(zhǎng)要縮短，縮短量Δl＝l－l0＝1.02m－0.993m＝0.027m。[完美答案](1)9.79m/s2(2)縮短0.027m規(guī)律點(diǎn)撥1注意秒擺是周期為2s的單擺，不是一秒；其擺長(zhǎng)約為1m。2單擺振動(dòng)周期改變的途徑①改變單擺的擺長(zhǎng)；②改變單擺所在處的重力加速度改變單擺的地理位置或使單擺超重或失重。eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])如圖所示是半徑很大的光滑凹球面的一部分，有一個(gè)小球第一次自A點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，到達(dá)最低點(diǎn)O時(shí)的速度為v1，用時(shí)為t1；第二次自B點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，到達(dá)最低點(diǎn)O時(shí)的速度為v2，用時(shí)為t2，下列關(guān)系正確的是()A．t1＝t2，v1>v2 B．t1>t2，v1<v2C．t1<t2，v1>v2 D．t1>t2，v1>v2答案A解析小球從A、B點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下均做等效單擺的運(yùn)動(dòng)，t1＝eq\f(TA,4)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))，t2＝eq\f(TB,4)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))，R為球面半徑，故t1＝t2；A點(diǎn)離平衡位置遠(yuǎn)些，與平衡位置的高度差較大，由機(jī)械能守恒定律可知從A點(diǎn)滑下到達(dá)平衡位置O時(shí)的速度較大，即v1＞v2。故A正確。例3有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來(lái)確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是T，當(dāng)氣球停在某一高度時(shí)，測(cè)得該單擺周期為T(mén)′，求該氣球此時(shí)離海平面的高度h。(把地球看作質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體)(1)題中單擺在兩位置處的周期為何不同？提示：重力加速度不同。(2)此題除要用到單擺的周期公式，還要用到什么知識(shí)？提示：萬(wàn)有引力的有關(guān)知識(shí)。[規(guī)范解答]設(shè)擺長(zhǎng)為l，海平面處和離海平面的高度為h處的重力加速度分別是g和g′。根據(jù)單擺周期公式得T＝2πeq\r(\f(l,g))，T′＝2πeq\r(\f(l,g′))，故eq\f(g,g′)＝eq\f(T′2,T2)根據(jù)萬(wàn)有引力公式有Geq\f(Mm,R2)＝mg(M為地球質(zhì)量)，得g＝Geq\f(M,R2)，同理g′＝Geq\f(M,R＋h2)，得eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)，由以上結(jié)論可得eq\f(T′2,T2)＝eq\f(R＋h2,R2)，則h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T′,T)－1))R。[完美答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T′,T)－1))R規(guī)律點(diǎn)撥本題是一個(gè)既考查天體運(yùn)動(dòng)又考查單擺的綜合題。重力加速度g是聯(lián)系“單擺”與“天體運(yùn)動(dòng)”的紐帶，無(wú)論從單擺到天體運(yùn)動(dòng)，還是從天體運(yùn)動(dòng)到單擺，首先必須求出或表示出g。這類問(wèn)題經(jīng)常會(huì)用到萬(wàn)有引力定律及黃金代換GM＝gR2。eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3－1])一單擺在地面上的擺動(dòng)周期與在某礦井底部的擺動(dòng)周期的比值為k。設(shè)地球的半徑為R，假定地球的密度均勻，已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，求礦井的深度d。答案(1－k2)R解析單擺在地面和礦井底部的周期分別為T(mén)＝2πeq\r(\f(l,g))，①T′＝2πeq\r(\f(l,g′))，②由題目知eq\f(T,T′)＝k，③單擺在地面和礦井底部的重力加速度分別為g＝eq\f(GM,R2)，④g′＝eq\f(GM′,R－d2)，⑤由質(zhì)量和體積的關(guān)系知M＝eq\f(4,3)πR3ρ，⑥M′＝eq\f(4,3)π(R－d)3ρ，⑦聯(lián)立①②③④⑤⑥⑦式解得d＝(1－k2)R。eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3－2])如圖，一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線系于與水平面成α角的光滑斜面內(nèi)，小球呈平衡狀態(tài)。若使細(xì)線偏離平衡位置，其偏角小于5°，然后將小球由靜止釋放，則小球到達(dá)最低點(diǎn)所需的時(shí)間至少為多少？答案eq\f(π,2)eq\r(\f(L,gsinα))解析此單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，將其與豎直平面內(nèi)振動(dòng)的單擺比較可以發(fā)現(xiàn)，其等效重力加速度為gsinα，故其振動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(L,gsinα))，小球到達(dá)最低點(diǎn)所需的時(shí)間至少為t＝eq\f(T,4)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(L,gsinα))。1.(單擺的認(rèn)識(shí))(多選)單擺是為研究振動(dòng)而抽象出的理想化模型，其理想化條件是()A．?dāng)[線質(zhì)量不計(jì)B．?dāng)[線不可伸縮C．?dāng)[球的直徑比擺線長(zhǎng)度短得多D．只要是單擺的運(yùn)動(dòng)就是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)答案ABC解析單擺由擺線和擺球組成，擺線只計(jì)長(zhǎng)度不計(jì)質(zhì)量，擺球只計(jì)質(zhì)量不計(jì)大小，且擺線不可伸縮。但把單擺的運(yùn)動(dòng)作為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)處理是有條件的，只有在擺角很小(θ≤5°)的情況下才能視單擺的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。故A、B、C正確，D錯(cuò)誤。2．(單擺的回復(fù)力)單擺振動(dòng)的回復(fù)力是()A．?dāng)[球所受的重力B．?dāng)[球重力在垂直懸線方向上的分力C．懸線對(duì)擺球的拉力D．?dāng)[球所受重力和懸線對(duì)擺球拉力的合力答案B解析單擺振動(dòng)的回復(fù)力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力，即擺球重力在垂直懸線方向上的分力，B正確。3．(單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是()A．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是它受到的合力B．?dāng)[球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)軌跡上的同一點(diǎn)，加速度是不變的C．?dāng)[球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度的方向始終指向平衡位置D．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，加速度為零答案B解析擺球的回復(fù)力為重力沿其運(yùn)動(dòng)軌跡切線方向的分力，A錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過(guò)平衡位置即最低點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力為0，但合力提供向心力，不為0，故此時(shí)加速度不為0，D錯(cuò)誤；回復(fù)力的方向指向平衡位置，但合力的方向并不始終指向平衡位置，故擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度方向也并不始終指向平衡位置，C錯(cuò)誤；由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可知B正確。4．(單擺的周期)發(fā)生下列哪一種情況時(shí)，單擺周期會(huì)增大()A．增大擺球質(zhì)量B．縮短擺長(zhǎng)C．減小單擺振幅D．將單擺由山下移至山頂答案D解析由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))知，T與單擺的擺球質(zhì)量、振幅無(wú)關(guān)，縮短擺長(zhǎng)，l變小，T變小，A、B、C錯(cuò)誤；單擺由山下移到山頂，g變小，T變大，D正確。5．(單擺周期的應(yīng)用)如圖所示，光滑圓弧軌道的半徑為2m，C點(diǎn)為圓心正下方的點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)與C點(diǎn)的距離分別為6cm與2cm，a、b兩直徑相同的小球分別從A、B兩點(diǎn)由靜止同時(shí)釋放，則兩小球相碰的位置是()A．C點(diǎn) B．C點(diǎn)右側(cè)C．C點(diǎn)左側(cè) D．不能確定答案A解析由于軌道半徑遠(yuǎn)大于A、B兩點(diǎn)與C點(diǎn)的距離，故兩小球都可看作在做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，類似于單擺。因此周期只與“擺長(zhǎng)”即軌道半徑和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)，與運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)即振幅無(wú)關(guān)，可知兩小球周期相同，故兩小球同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，即在C點(diǎn)相碰，A正確。6．(單擺的周期與運(yùn)動(dòng))如圖所示的單擺，擺長(zhǎng)為l＝40cm，擺球在t＝0時(shí)刻從右側(cè)最高點(diǎn)釋放做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)t＝1s時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)情況是(g取10m/s2)()A．向右加速B．向右減速C．向左加速D．向左減速答案B解析單擺的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))＝2πeq\r(\f(0.4,10))s＝0.4πs≈1.256s，t＝1s時(shí)，eq\f(3,4)T<t<T。t＝0時(shí)，擺球從右側(cè)最高點(diǎn)釋放做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在t＝1s時(shí)已經(jīng)越過(guò)平衡位置(最低點(diǎn))，向右側(cè)最大位移處運(yùn)動(dòng)，由平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，擺球做的是減速運(yùn)動(dòng)，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確。7．(單擺的周期)已知在地面上某一位置單擺a完成10次簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的全振動(dòng)的時(shí)間，單擺b正好完成6次簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的全振動(dòng)，兩單擺擺長(zhǎng)之差為1.6m，則兩單擺擺長(zhǎng)La與Lb分別為()A．La＝2.5m，Lb＝0.9mB．La＝0.9m，Lb＝2.5mC．La＝2.4m，Lb＝4.0mD．La＝4.0m，Lb＝2.4m答案B解析單擺完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間叫作單擺的周期，根據(jù)題設(shè)可知a、b兩單擺的周期之比為：eq\f(Ta,Tb)＝eq\f(6,10)，由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))得：eq\f(Ta,Tb)＝eq\f(\r(La),\r(Lb))，根據(jù)題設(shè)可知Lb－La＝1.6m，聯(lián)立解得La＝0.9m，Lb＝2.5m。故B正確。8．(綜合提升)圖甲是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)擺球向右運(yùn)動(dòng)為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖像，根據(jù)圖像回答：(1)單擺振動(dòng)的頻率是多大？(2)開(kāi)始時(shí)刻擺球在何位置？(3)若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2，試求這個(gè)單擺的擺長(zhǎng)是多少？答案(1)1.25Hz(2)B點(diǎn)(3)0.16m解析(1)由圖乙知周期T＝0.8s，則頻率f＝eq\f(1,T)＝1.25Hz。(2)由圖乙知，t＝0時(shí)刻擺球在負(fù)向最大位移處，因向右為正方向，所以開(kāi)始時(shí)刻擺球在B點(diǎn)。(3)由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得l＝eq\f(gT2,4π2)≈0.16m。9．(等效重力加速度問(wèn)題)如圖所示，單擺甲放在空氣中，周期為T(mén)甲，單擺乙?guī)д姡旁趧驈?qiáng)磁場(chǎng)中，周期為T(mén)乙，單擺丙帶正電，放在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，周期為T(mén)丙，單擺丁放在靜止的光滑斜面上，周期為T(mén)丁。已知以上四個(gè)單擺所在位置重力加速度大小相等，且擺長(zhǎng)相等，那么()A．T甲>T乙>T丙>T丁B．T乙>T甲＝T丙>T丁C．T丙>T甲>T丁>T乙D．T丁>T甲＝T乙>T丙答案D解析甲為普通單擺，T甲＝2πeq\r(\f(L,g))。根據(jù)等效重力加速度的求法，可知：對(duì)乙，洛倫茲力不提供回復(fù)力，則T乙＝2πeq\r(\f(L,g))；對(duì)丙有：F丙＝mg＋Eq＝mg′，則T丙＝2πeq\r(\f(L,g′))＝2πeq\r(\f(L,g＋\f(Eq,m)))；對(duì)丁有：F?。絤gsinα＝mg″，則T?。?πeq\r(\f(L,g″))＝2πeq\r(\f(L,gsinα))。由此可知T丁>T甲＝T乙>T丙，D正確。10.(綜合提升)(多選)甲、乙兩單擺的振動(dòng)圖像如圖，則()A．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙兩擺擺長(zhǎng)相同，且在不同的星球上擺動(dòng)，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙兩擺擺長(zhǎng)相同，且在不同的星球上擺動(dòng)，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝1∶4答案BD解析由題圖可知T甲∶T乙＝2∶1，根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得l＝geq\f(T2,4π2)，若兩單擺在同一地點(diǎn)，則g相同，則兩擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙＝4∶1，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝4π2eq\f(l,T2)，若兩擺長(zhǎng)相等，則兩擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝1∶4，故C錯(cuò)誤，D正確。11．(綜合)關(guān)于單擺的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()①單擺的回復(fù)力是擺線的拉力與重力的合力②單擺的回復(fù)力是重力沿?cái)[球運(yùn)動(dòng)軌跡切向的分力③單擺的周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，與振幅無(wú)關(guān)，與擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)④單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)⑤在山腳下走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘移到高山上走時(shí)將變快A．③④ B．②③C．③④⑤ D．①④⑤答案B解析單擺的回復(fù)力是重力沿?cái)[球運(yùn)動(dòng)軌跡切向的分力，千萬(wàn)不要誤認(rèn)為是擺球所受的合外力，所以說(shuō)法①錯(cuò)誤，說(shuō)法②正確；根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺的周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，與振幅無(wú)關(guān)，與擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)，說(shuō)法③正確；只有在擺角很小(θ≤5°)的情況下才能視單擺的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，說(shuō)法④錯(cuò)誤；將擺鐘從山腳移到高山上時(shí)，擺鐘所在位置