空間直角坐標(biāo)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系第一章空間向量與立體幾何1課前預(yù)習(xí)素養(yǎng)啟迪1.空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k}.以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做原點,i,j,k都叫做

,通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做

,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它們把空間分成八個部分.[問題1]空間直角坐標(biāo)系的三個要素是什么?答案:原點、坐標(biāo)軸方向、單位長度.坐標(biāo)向量坐標(biāo)平面2.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)橫縱豎(x,y,z)[問題2]如果點P不在三個坐標(biāo)平面內(nèi),如何確定它的坐標(biāo)?答案:如圖,過點P分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面,依次交x軸、y軸和z軸于點A,B,C.設(shè)交點A,B,C在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別代表唯一的實數(shù)x,y,z,將這三個實數(shù)按順序排成一組(x,y,z),那么點P就對應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z).即得到點P的坐標(biāo).[問題3]給定一點P的坐標(biāo),即P(x,y,z),如何在空間直角坐標(biāo)系下確定這個點?答案:給定點P(x,y,z),在x軸、y軸和z軸上依次選取坐標(biāo)為x,y,z的點A,B,C,過這三點分別作一個垂直于x軸、y軸和z軸的平面,則這三個平面的唯一交點就是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)所確定的點P.空間中的點P與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.1.點(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的(

)A.y軸上 B.Oxy平面上C.Ozx平面上 D.第一象限內(nèi)C解析:點(2,0,3)的縱坐標(biāo)為0,所以該點在Ozx平面上.2.已知點A(-2,3,4),則點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為(

)A.(2,3,4) B.(-2,-3,4)C.(-2,3,-4) D.(2,-3,-4)D解析:因為點A(-2,3,4),所以點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為(2,-3,-4).3.(多選題)關(guān)于點P(1,-1,2),下列說法正確的是(

)A.點P關(guān)于Oxy平面的對稱點P1的坐標(biāo)為(1,-1,-2)B.點P關(guān)于x軸的對稱點P2的坐標(biāo)為(-1,-1,2)C.點P關(guān)于Oyz平面的對稱點P3的坐標(biāo)為(-1,-1,2)D.點P關(guān)于y軸的對稱點P4的坐標(biāo)為(-1,-1,-2)ACD解析:求點關(guān)于坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo),其規(guī)律是“關(guān)于誰對稱,誰不變”,如點(x,y,z)關(guān)于y軸的對稱點為(-x,y,-z),關(guān)于平面Oyz的對稱點是(-x,y,z),點(x,y,z)關(guān)于x軸的對稱點為(x,-y,-z),關(guān)于平面Oxy的對稱點是(x,y,-z),A選項,點P關(guān)于Oxy平面的對稱點P1的坐標(biāo)為(1,-1,-2),故A正確;B選項,點P關(guān)于x軸的對稱點P2的坐標(biāo)為(1,1,-2),故B錯誤;C選項,點P關(guān)于Oyz平面的對稱點P3的坐標(biāo)為(-1,-1,2),故C正確;D選項,點P關(guān)于y軸的對稱點P4的坐標(biāo)為(-1,-1,-2),故D正確.4.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),則線段AB中點的坐標(biāo)為

.

(4,0,-1)5.設(shè){i,j,k}是空間的一個單位正交基底,則向量a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k的坐標(biāo)分別是

.

(3,2,-1),(-2,4,2)解析:因為{i,j,k}是單位正交基底,故根據(jù)空間向量坐標(biāo)的概念知a=(3,2,-1),b=(-2,4,2).2課堂探究素養(yǎng)培育空間直角坐標(biāo)系[例1]長方體ABCD-A′B′C′D′的長、寬、高分別為AB=8,AD=3,AA′=5.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并求頂點A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐標(biāo).解:如圖,以A為原點,分別以直線AB,AD,AA′為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則點A,B,C,D都在平面Axy內(nèi),因而其豎坐標(biāo)z都為0,因此A,B,C,D的坐標(biāo)分別是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0).由于點A′,B′,C′,D′都在一個垂直于z軸的平面A′B′C′D′內(nèi).又AA′=5,所以這四點的豎坐標(biāo)z都是5.又過A′,B′,C′,D′分別作Axy平面的垂線,垂足分別為A,B,C,D,因此A′,B′,C′,D′的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y分別與A,B,C,D的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y相同.因此A′,B′,C′,D′的坐標(biāo)分別是A′(0,0,5),B′(8,0,5),C′(8,3,5),D′(0,3,5).建系確定點的坐標(biāo)的原則(1)建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循以下原則①讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi).②充分利用幾何圖形的對稱性.(2)求某點的坐標(biāo)時,一般先找這一點在某一坐標(biāo)平面的射影,確定其兩個坐標(biāo),再找出它在另一軸上的射影(或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號)確定第三個坐標(biāo).[針對訓(xùn)練]在空間直角坐標(biāo)系中,描出下列各點:A(0,0,4),B(3,-3,0),C(1,2,3).解:根據(jù)坐標(biāo)與點的對應(yīng)關(guān)系,描出各點,如圖所示.空間中點的對稱問題[例2](1)點A(1,2,-1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy及x軸的對稱點的坐標(biāo)分別是

.

;解析:(1)如圖所示,過A作AM⊥平面Oxy交平面于點M,并延長到C,使AM=CM,則A與C關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy對稱且點C的坐標(biāo)為(1,2,1).過A作AN⊥x軸于點N并延長到點B,使AN=NB,則A與B關(guān)于x軸對稱且點B的坐標(biāo)為(1,-2,1).所以點A(1,2,-1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy對稱的點C的坐標(biāo)為(1,2,1),點A(1,2,-1)關(guān)于x軸的對稱點B的坐標(biāo)為(1,-2,1).(1,2,1),(1,-2,1)(2)已知點P(2,3,-1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對稱點為P1,點P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對稱點為P2,點P2關(guān)于z軸的對稱點為P3,則點P3的坐標(biāo)為

.

解析:(2)點P(2,3,-1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對稱點P1的坐標(biāo)為(2,3,1),點P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對稱點P2的坐標(biāo)為(-2,3,1),點P2關(guān)于z軸的對稱點P3的坐標(biāo)是(2,-3,1).(2,-3,1)[針對訓(xùn)練]在空間直角坐標(biāo)系中,點(2,-1,3)關(guān)于平面Ozx的對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(-2,-1,-3) B.(2,1,-3)C.(-2,-1,3) D.(2,1,3)解析:點P(x0,y0,z0)關(guān)于平面Ozx的對稱點Q的坐標(biāo)為(x0,-y0,z0).故選D.求向量的坐標(biāo)[例3]在長方體ABCD-A′B′C′D′中,已知AB=4,AD=2,AA′=4.(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并求點C′的坐標(biāo);用坐標(biāo)表示空間向量的步驟1.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則點B1的坐標(biāo)是(

)A.(1,0,0) B.(1,0,1)C.(1,1,1) D.(1,1,0)C解析:點B1到三個坐標(biāo)平面的距離都為1,易知其坐標(biāo)為(1,1,1).2.點A(0,-2,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是(

)A.在x軸上 B.在Oxy平面內(nèi)C.在Oyz平面內(nèi) D.在Ozx平面內(nèi)C解析:因為點A的橫坐標(biāo)為0,所以點A(0,-2,3)在Oyz平面內(nèi).3.(多選題)已知四邊形ABCD的頂點分別是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),那么以下說法正確的是(

)ABD4.設(shè){i,j,k}是單位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中a=