專題11 矩形的存在性問(wèn)題（解析版）

專題11矩形的存在性問(wèn)題一、知識(shí)導(dǎo)航矩形的判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形；（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：（AC為對(duì)角線時(shí)）因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．題型如下：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．二、典例精析引例：已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】點(diǎn)C滿足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點(diǎn)C有、、、在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問(wèn)題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問(wèn)題上再加一步求D點(diǎn)坐標(biāo)，也是因?yàn)檫@兩個(gè)圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無(wú)論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來(lái)解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在坐標(biāo)系中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對(duì)角線時(shí)，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對(duì)角線時(shí)，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對(duì)角線時(shí)，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個(gè)方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個(gè)等式而已，剩下的都是計(jì)算的故事．三、中考真題演練1．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)，代入解析式即可求解；（3）①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，同理可求．【詳解】（1）解：由題意得解得，故拋物線的表達(dá)式；（3）解：設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則為直角，①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)作軸交軸于，交過(guò)作軸的平行線于，

，∵為直角，則，∵，∴，∴，∵是矩形鄰邊之比為，即或，即和的相似比為或，即，由題意得：，，∴，則，即，解得：，（不符合題意，舍去）；②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

同理可得：，解得：，綜上，或．2．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）當(dāng)為矩形的邊時(shí)，畫出符合題意的矩形，交y軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則，進(jìn)而得到、的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)果；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，畫出相應(yīng)的圖形，求出結(jié)果即可；【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線的解析式為；（3）解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，理由如下：如圖，當(dāng)為邊時(shí)，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴和為等腰直角三角形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴和為全等的等腰直角三角形，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得或，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，四邊形為矩形，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，則，，∵，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，，∵，，∴，，∴，∴，，，，∴，整理得：，分解因式得：，解得：（舍去），（舍去），，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)解得拋物線的解析式為：；（3）解：，則拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為，情況一：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為拋物線的頂點(diǎn)，∵四邊形為矩形，∴與縱坐標(biāo)相同，∴；情況二：當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形為矩形，過(guò)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作軸的垂線，垂足為，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得，（舍去），∴，綜上所述：符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或．4．（2022·遼寧丹東·中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的表達(dá)式；(4)如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+x+3；（4）解：∵拋物線y＝x2+x+3，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，∴設(shè)Q（2，t），設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H，交CP邊于點(diǎn)G，則GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，①當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線OD所在的直線上時(shí)，如圖，則CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，∴∠COP+∠OCQ＝90°，又∵四邊形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，∴＝tan∠PCQ＝，∴＝，解得：t＝，∴Q（2，）；②當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線CD上時(shí)，如圖，連接CD交GH于點(diǎn)K，∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對(duì)稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH//OC，∴∠CQG＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)G是CP的中點(diǎn)，GH//OC//PD，∴點(diǎn)K是CD的中點(diǎn)，∴K（2，），∴GK＝，∴CK＝KQ＝﹣t，在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，∴22+（）2＝（﹣t）2，解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，∴Q（2，﹣1）；③當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線DC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)O′作O′K⊥y軸于點(diǎn)K，連接OO′交CQ于點(diǎn)M，∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對(duì)稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴＝＝，即＝＝，∴O′K＝，CK＝，∴OK＝OC+CK＝3+＝，∴O′（﹣，），∵點(diǎn)M是OO′的中點(diǎn)，∴M（﹣，），設(shè)直線CQ的解析式為y＝k′x+b′，則，解得：，∴直線CQ的解析式為y＝x+3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝×2+3＝4，∴Q（2，4）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．5．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線AB與y軸交于點(diǎn)．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(3)存在，或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3）畫出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對(duì)角線，進(jìn)行討論，利用勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)圖像的交點(diǎn)、平移等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答即可得出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為．（3）存在．滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)有4個(gè)．，，，．理由如下：①如圖，若AC是四邊形的邊．當(dāng)時(shí)，∴拋物線的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴點(diǎn)與點(diǎn)D重合．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到．∴向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到．此時(shí)直線的解析式為．∵直線與平行且過(guò)點(diǎn)，∴直線的解析式為．∵點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，∴．解得，（舍去）．∴．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到．∴向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到．②如圖，若AC是四邊形的對(duì)角線，當(dāng)時(shí)．過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為H，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為K．可得，．∴．∴．∴．∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合，∴和．∴．∴．∴如圖，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．即，．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到．∴向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到．∴向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到．綜上，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的平移等知識(shí)，根據(jù)題意畫出符合條件的圖形、進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，，.點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過(guò)點(diǎn)E作于F，以為對(duì)角線作正方形．(1)求拋物線的解析式；(3)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(3)或（3，-3）或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）將矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形，當(dāng)△BGC是直角三角形時(shí)，當(dāng)△BCG為直角三角形時(shí)，當(dāng)△CBG為直角三角形時(shí)，分情況討論分別列出等式求得m的值，即可求得G點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）將點(diǎn)A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直線對(duì)稱軸，可得，解得，∴拋物線的解析式為；（3）B（4，-4），C（6，0），，∴,，,要使以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，需滿足：當(dāng)△BGC是直角三角形時(shí)，，，解得，，，此時(shí)G或（3，-3）；當(dāng)△BCG為直角三角形時(shí)，，，解得，，此時(shí)G；當(dāng)△CBG為直角三角形時(shí)，，，解得，，此時(shí)G；綜上所述：點(diǎn)G坐標(biāo)為或（3，-3）或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，存在矩形問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．7．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求此拋物線的解析式；(3)已知點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(3)存在點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線，可得a=-1，再把點(diǎn)代入，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)E（1，n），點(diǎn)F（s，t），然后分兩種情況討論：當(dāng)BC為邊時(shí)，當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，解得：a=-1，∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得：c=3，∴拋物線解析式為；（3）解：存在，理由如下：∵點(diǎn)B（3，0），C（0，3），∴OB=OC，∴BC，設(shè)點(diǎn)E（1，n），點(diǎn)F（s，t），當(dāng)BC為邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)B，同樣E（F）向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)F（E），且BE=CF（CE=BF），如圖，∴或，解得：或，∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）；當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，BC=EF，