廣東省2024屆高三高考模擬測試（二）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省2024屆高三高考模擬測試（二）數(shù)學試題一、選擇題1.設復數(shù)滿足在復平面內(nèi)對應的點為，則（）A.B.CD.〖答案〗C〖解析〗由復數(shù)滿足，則，由復數(shù)的幾何意義可知，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點與復數(shù)對應的點之間的距離為.所以.故選：C.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故選：C.3.在平行四邊形中，點滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為平行四邊形，則由，∴.故選：B.4.設等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C.5 D.7〖答案〗A〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，即，解得，所以.故選：A.5.在一堂數(shù)學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖，設鐘樓的高度為，由，可得：，由，可得：，故，故，故選：D.6.函數(shù)的定義域為，若，則的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗構造函數(shù)，滿足，，則由可得，解得：.故選：B.7.在平面直角坐標系中，已知圓，若等腰直角的直角邊為圓的一條弦，且圓心在外，點在圓外，則四邊形的面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，設，則，故，由余弦定理得，故等腰直角三角形的面積為，故四邊形面積為，其中，，其中，故，則當時，取得最大值，最大值為.故選：A.8.已知球與圓臺的上、下底面和側面均相切，且球與圓臺的體積之比為，則球與圓臺的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，作出圓臺的軸截面，設圓臺的上、下底面半徑分別為，球的半徑，則，過A作于點，由，得，化簡得，由球的體積公式，圓臺的體積公式，已知球與圓臺的體積之比為，則，化簡得，則，得，又球的表面積，圓臺的表面積，所以，故選：D.二、選擇題9.若是樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則（）A.極差等于的極差B.的平均數(shù)等于的平均數(shù)C.的中位數(shù)等于的中位數(shù)D.的標準差大于的標準差〖答案〗AB〖解析〗對于A，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故的極差等于的極差，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故B正確；對于C，如果是按從小到大排列，則的中位數(shù)為，不一定等于的中位數(shù)，故C錯誤；對于D，的方差，而的方差，但當時兩組數(shù)據(jù)的方差相等，其標準差也相等，故D錯誤．故選：AB．10.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A：，為偶函數(shù)，當時，，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B：，為偶函數(shù)，當時，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：，為偶函數(shù)，當時，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D：，所以為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.11.設為坐標原點，拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于兩點，過點分別作的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的有（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗由已知，，設過點的直線方程為：，設點，則，，由，得，所以，，，，所以，故A正確，，故B錯誤，，,故，C正確，，由選項C可知，所以，故,D正確；故選：ACD.三、填空題12.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.〖答案〗〖解析〗展開式的通項公式為，故展開式中系數(shù)為，系數(shù)為，故的展開式中的系數(shù)為，故〖答案〗為：13.將一個直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點到平面的距離的最大值為______.〖答案〗〖解析〗如圖，過作⊥，交于，過A作⊥，交于，因為在中，,，則，當四點共面時，點A到的距離最大．因為⊥，所以是BC與平面所成的角，則，則，于是，，即A到的最大距離為．故〖答案〗為：．14.如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動，設頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為______；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為______.〖答案〗〖解析〗設，如圖，當三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動時，開始時，先繞旋轉，當旋轉到時，旋轉到，此時，然后再以為圓心旋轉，旋轉后旋轉到，此時，當三角形再旋轉時，不旋轉，此時旋轉到，當三角形再旋轉后，必以為圓心旋轉，旋轉后旋轉到，點從開始到時是一個周期，故的周期為，如圖，為相鄰兩個零點，在上的圖像與軸圍成的圖形的面積為：.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合，其漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）若為雙曲線上的兩點且不關于原點對稱，直線過的中點，求直線的斜率.解：（1）橢圓的焦點為，故，由雙曲線的漸近線為，故，故，故雙曲線方程為：.（2）設，的中點為，因為在直線，故，而，，故，故，由題設可知的中點不為原點，故，所以，故直線的斜率為.此時，由可得，整理得到：，當即或，即當或時，直線存在且斜率為1.16.如圖，在直三棱柱中，點是的中點，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，記與的交點為點，連接，，因為三棱柱是直三棱柱，所以．因為，所以四邊形是正方形，故.因為，，所以又因為是的中點，所以，所以D.因為四邊形是正方形，所以點是的中點，所以．又因為，平面，，所以平面．（2）解：因為，，所以．如圖，以點為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，．所以，，．因為平面，所以平面的法向量為．設平面的法向量為，則即解得取，得設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.解：（1）由題可得因為，所以，所以當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨設，則，記所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以方程無解，則滿足條件的兩點不存在.18.已知正項數(shù)列，滿足（其中）.（1）若，且，證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列；（2）若，以為三角形三邊長構造序列（其中），記外接圓的面積為，證明：；（3）在（2）的條件下證明：數(shù)列是遞減數(shù)列.證明：（1）正項數(shù)列，滿足，兩式相減可得：，因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由兩式相加可得：，即，因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）因為，由（1）得是等比數(shù)列，所以，即，由（1）知，，因為，所以，所以為常值數(shù)列，故，由，因為，所以等號不成立，故，因為，所以，所以，由正弦定理得外接圓的直徑，所以，所以.（3）由（1）可知，，由（2）可知，，解得：，所以，隨著的增大而減小，又因為，所以隨著的增大而減小，所以是遞減數(shù)列，因為，所以是遞增數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，所以數(shù)列是遞減數(shù)列.19.如圖，在平面直角坐標系中有一個點陣，點陣中所有點的集合為，從集合中任取兩個不同的點，用隨機變量表示它們之間的距離.（1）當時，求的分布列.（2）對給定的正整數(shù).（i）求隨機變量的所有可能取值的個數(shù)；（用含有的式子表示）（ii）求概率.（用含有的式子表示）解：（1）當時，集合中共有個點，則所有可能取值為，，，，．所以，，，，．所以的分布列為（2）（i）由題意得，集合中任取兩個不同的點之間的不同距離的總數(shù)可以轉化成邊長為的正方形邊界上任取兩個不同的點之間的不同距離的個數(shù)的總和，在邊長為的正方形中，有個不同的距離，在邊長為的正方形中，有個不同的距離，在邊長為的正方形中，有個不同的距離，由各正方形大小不同，距離大小各不相同，得的所有可能取值的個數(shù)為．（ii）由對立事件，不妨考慮的情況，當時，取出的兩點為邊長為的正方形的頂點，此時，這種正方形共有個，每個正方形中距離等于的情形有種，所以，事件包含的樣本點個數(shù)為當時，不妨設，且，由，得，因為，所以，所以，即，，，當，即時，取出的兩點為邊長分別為，的矩形的頂點，此時，這種矩形共有個，每個矩形中距