江蘇省無錫市江陰市兩校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市江陰市兩校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.）1.已知，為非零向量，則“”是“與夾角為銳角”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗根據(jù)向量數(shù)量積的定義式可知，若，則與夾角為銳角或零角，若與夾角為銳角，則一定有，所以“”是“與夾角為銳角”的必要不充分條件.故選：B.2.已知一個圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為，由

，則，則圓錐的體積為

.故選：A.3.△ABC的三邊長分別為AB=7，BC=5，CA=6，則的值為（）A.19 B.14 C.-18 D.-19〖答案〗D〖解析〗由于，，，則，則．故選：D．4.在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，則在直觀圖中∠A′等于（）A.45° B.135°C90° D.45°或135°〖答案〗D〖解析〗因∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.故選：D.5.已知均為單位向量．若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以，則在上的投影向量為.故選：D.6.已知點(diǎn)O是內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足，的面積為，的面積為，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗因，所以，所以，取的中點(diǎn)，則，，即為中線的中點(diǎn)，如圖所示，則的面積為，的面積為，，所以.故選：A.7.在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，下列結(jié)論中正確的是（）A.越小越費(fèi)力，越大越省力 B.的范圍為C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，〖答案〗D〖解析〗對A，為定值，，解得；由題意知：時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即越大越費(fèi)力，越小越省力，故A錯誤；對B，當(dāng)時，不滿足題意，故B錯誤；對C，當(dāng)時，，，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，，故D正確.故選：D.8.如圖，水平放置的正四棱臺玻璃容器的高為，兩底面對角線、的長分別為、，水深為.則玻璃容器里面水的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)水面（上底面）的所在正方形的邊長為，由題意可知，正方形的邊長為，正方形的邊長為，將正四棱臺的各側(cè)棱延長交于點(diǎn)，設(shè)正四棱錐的為，則，解得，因為，解得，因此，水的體積為.故選：A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題中是真命題的是（）A.在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD是菱形B.若點(diǎn)G為的外心，則C.向量，能作為平面內(nèi)的一組基底D.若O為△所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足，則△為等腰三角形〖答案〗AD〖解析〗A：四邊形ABCD中，由知：線段、平行且相等，由知：對角線相互垂直，即ABCD是菱形，真命題；B：以鈍角△的外心為例，顯然若點(diǎn)G為外心時，，假命題；C：由已知有，顯然共線，所以不能作為平面內(nèi)的一組基底，假命題；D：，，若為中點(diǎn)，則，由有，所以垂直平分，即，故△為等腰三角形.故選：AD.10.中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，下列選項正確的是（）A.B.若，則只有一解C.若為銳角三角形，則b取值范圍是D.若D為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為〖答案〗CD〖解析〗根據(jù)平面向量數(shù)量積公式及三角形面積公式由，因為，所以，故A錯誤；由上可知：，故有兩解，故B錯誤；若為銳角三角形，則，且，即，由正弦定理可知：，故C正確；若D為邊上的中點(diǎn)，則，由余弦定理知，根據(jù)基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以，即，故D正確.故選：CD.11.如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置．若為線段的中點(diǎn)，在翻折過程中（平面），下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐體積最大值為 B.直線平面C.直線與所成角為定值 D.存在，使〖答案〗ABC〖解析〗對于A，取線段的中點(diǎn)，連接，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，在矩形中，且，因為、分別為、的中點(diǎn)，則且，因為，所以，故四邊形為正方形，同理可知四邊形也為正方形，因為，則為的中點(diǎn)，且，將沿直線翻折至的位置，則，且，所以，且，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面，且，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為直角時，等號成立，故A正確；對于B，連接交于點(diǎn)，連接、，因為四邊形為正方形，，則為的中點(diǎn)，又因為為的中點(diǎn)，所以，，因為平面，平面，所以平面，同理可證平面，因為，平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對于C，因為，所以直線與所成角為直線與所成角，因為，，，所以，因為，所以，為等腰直角三角形，且，所以，，中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，直線與所成角為為定值，故C正確；對于D，假設(shè)存在使得，易知，因為，所以，所以，因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，事實上，為等腰直角三角形，且，這與矛盾，故假設(shè)不成立，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.〖答案〗或〖解析〗設(shè)，則由，得或，若，則，所以解得故，若，同理可解得故，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故〖答案〗為或.13.點(diǎn)是邊長為2正三角形的三條邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗不妨假設(shè)在上且，如下圖示，所以，在且，設(shè)，則，，，所以，故，當(dāng)時，的最小值為.故〖答案〗為：.14.若正三棱臺中上底的邊長為1，下底的邊長為2，側(cè)棱長為1，則它的表面積為_________，與所成角的余弦值為_______________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意正三棱臺的上下底面為等邊三角形，上底面為邊長為1的等邊三級形，下底為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為等腰梯形上底邊長為1，下底邊長為2，腰長為1，所以高，所以面積，延長交于點(diǎn)，由上底的邊長為1，下底的邊長為2，所以分別為中點(diǎn)，作中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，則與所成角即為和所成角，連接，在底面的投影為，為底面的中心且在上，作于，顯然由，，所以，所以，，所以，，在等腰梯形上底邊長為1，下底邊長為2，腰長為1，所以，，在中，，根據(jù)線線所成角的范圍，則與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.將形如的符號稱為二階行列式，現(xiàn)規(guī)定二階行列式的運(yùn)算如下：．已知兩個不共線的向量，的夾角為，，（其中），且．（1）若為鈍角，試探究與能否垂直？若能，求出的值；若不能，請說明理由；（2）若，當(dāng)時，求的最小值并求出此時與的夾角．解：（1）由題意，因為，可得，解得，即，則，所以，因為為鈍角，所以，故，所以與不可能垂直．（2）因為，所以，所以，當(dāng)時，，所以，此時，因為，所以，又因為，所以．16.如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是棱，AC的中點(diǎn)．（1）判斷多面體是否為棱柱并說明理由；（2）求多面體的體積；（3）求證：平面平面AB1D．解：（1）多面體不是棱柱．理由如下：因為棱柱的側(cè)面必為平行四邊形，故棱柱的面至少有3個平行四邊形，而多面體只有1個面是平行四邊形，故不是棱柱.（2）易知三棱柱的體積，三棱錐的體積，易知三棱錐的體積等于三棱錐的體積，故多面體的體積．（3）因為D，E分別是，AC的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面，易知，得四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，而，BE，平面，所以平面平面．17.已知梯形中，，，，E為的中點(diǎn)，連接AE.（1）若，求證：B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線；（2）求與所成角的余弦值；（3）若P為以B為圓心、BA為半徑的圓弧（包含A，C）上的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓?。ò珹，C）上運(yùn)動時，求的最小值．解：（1）如圖1，∵，，∴，∴B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線.（2）如圖1，∵，∴，∵，∴，∴，，.（3）如圖2，∵，，∴，設(shè)，則，，∵，，∴當(dāng)，即時，取最小值.18.在①；②；③設(shè)的面積為，且．這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上．并加以解答．在中，角，，的對邊分別為，，，且_____，．（1）若，求的面積；（2）求周長的范圍（3）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）選①，由正弦定理得，整理得，即，因為，所以，又，故.選②，因為，所以，又，故．又，故.選③，因為，即，所以，根據(jù)余弦定理可得，所以，又，故.由余弦定理得，即，解得，所以的面積.（2）由余弦定理得，即所以，因為，所以，所以，所以周長的范圍為.（3）由（1）知，，由正弦定理得：，在銳角中，，，即，所以，即，又，所以，所以的取值范圍是.19.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．，若平面與棱交于點(diǎn)．（1）請補(bǔ)全平面與棱柱的截面，并指出點(diǎn)的位置；（2）求證：平面；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，試判斷三棱錐