江蘇省徐州市2022-2023學年高二下學期期中學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2022-2023學年高二下學期期中學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗點關(guān)于平面的對稱點坐標為.故選：C.2.如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，則下列與向量相等的表達式是（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，錯誤；對選項D：，正確．故選：D3.從5名學生中選出正，副班長各一名，不同選法種數(shù)是（）A.9 B.10 C.20 D.25〖答案〗C〖解析〗從5名學生中選出正，副班長各一名，不同的選法種數(shù)是.故選：C4.將4名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，志愿者小明不去花樣滑冰項目，則不同的分配方案共有（）A.12種 B.18種 C.24種 D.48種〖答案〗B〖解析〗志愿者小明不去花樣滑冰項目，則小明有3種分配方法，將另外3名志愿者分配剩下的3個項目，有種分配方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的分配方案共有種．故選：B．5.用0，1，2，3，4可以組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A.36 B.48 C.60 D.72〖答案〗C〖解析〗當個位數(shù)為0時，有個，當個位數(shù)為2或4時，有個，所以無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，故選：C.6.小明準備將新買的中國古典長篇小說四大名著《紅樓夢》?《三國演義》?《水滸傳》?《西游記》和《論語》五本書立起來放在書架上，若要求《三國演義》?《水滸傳》兩本書相鄰，且《論語》放在兩端，則不同的擺放方法有（）A.18種 B.24種 C.36種 D.48種〖答案〗B〖解析〗第一步：《論語》放在兩端，有種不同的擺放方法；第二步：將《三國演義》?《水滸傳》兩本書捆綁，再與剩余的兩本書一起排列，有種不同的擺放方法；所以共有種不同的擺放方法.故選：B.7.在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)向量共面定理，，若A，B，C不共線，且A，B，C，M共面，則其充要條件是，由此可得A，B，D不正確，選項C：，所以四點共面，故選：C.8.如圖，在直三棱柱中，是的中點，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．若，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，設(shè)，則有，由得，，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.空間中三點是坐標原點，則（）A. B.C.點關(guān)于平面對稱的點為 D.與夾角的余弦值是〖答案〗AB〖解析〗由題意可得：，，所以，故A正確；，即，故B正確；點關(guān)于平面對稱的點為，故C錯誤；，故D錯誤.故選：AB10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.直線的方向向量，平面的法向量是，則；B.若非零向量滿足，則有；C.若是空間的一組基底，且，則四點共面；D.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底；〖答案〗CD〖解析〗對于A：因為，所以，又因為為直線的方向向量，為平面的法向量，所以，故A錯誤；對于B：若非零向量滿足，則和的關(guān)系不確定，故B錯誤；對于C：若，，是空間的一組基底，且，則，即,可得A，B，C，D四點共面，故C正確；對于D：因為，，是空間的一組基底，所以對于空間中的任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組，使所以向量，，也是空間一組基底，故D正確，故選：CD．11.下列選項正確的是（）A.有6個不同的球，取5個放入5個不同的盒子中，每個盒子恰好放1個，則不同的存放方式有720種B.有7個不同的球，全部放入5個相同的盒子中，每個盒子至少放1個，則不同的存放方式有140種C.有7個相同的球，取5個放入3個不同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有18種D.有7個相同的球，全部放入3個相同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有8種〖答案〗ABD〖解析〗選項A，6個球選5個的排列，方法數(shù)為，A正確；選項B，按球的個數(shù)分類討論得方法數(shù)為：，B正確；選項C，用插隔板法，相當于8個相同的球放入3個不同的盒子，每個盒子里至少一個球，方法數(shù)為，C錯誤；選項D，存放方法在于球的個數(shù)，相當于把7分成3個數(shù)的和（可以是0），，共8種方法，D正確．故選：ABD．12.已知正方體的棱長為，為側(cè)面的中心，為棱的中點，為線段上的動點（不含端點），為上底面內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若平面，則C.若，則線段的最大值為D.當與的所成角為時，點的軌跡為拋物線的一部分〖答案〗ACD〖解析〗因為為側(cè)面的中心，所以為的中點，又為棱的中點，所以，所以點到直線距離等于點到直線的距離，所以點到直線的距離等于點到直線的距離的一半，設(shè)，所以點到直線的距離為，所以點到直線的距離為，所以的面積，又，，且，平面，所以平面，所以三棱錐的體積，A正確；如圖以點為原點，為的正方向，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以向量為平面的一個法向量，設(shè)，，所以，因為平面，所以，所以，所以，所以，B錯誤；設(shè)，則，又，因為，所以，所以，所以，又，所以，所以當時，線段取最大值，最大值為；C正確；因為，，又與的所成角為，所以，化簡可得，且，所以點的軌跡為拋物線的一部分，D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．〖答案〗715〖解析〗∵，∴=……=.故〖答案〗為：.14.在空間直角坐標系中，已知，點滿足，則點的坐標為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，，故，得，故〖答案〗為：.15.10名同學進行隊列訓練，站成前排4人后排6人，現(xiàn)體育教師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法有__________種．（數(shù)字作答）〖答案〗450〖解析〗先從后排6人中抽2人，有種選法，再將抽2人調(diào)整到前排，共有6人，且其他人的相對順序不變，有種選法，故不同調(diào)整方法有種.故〖答案〗為：450.16.在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，．點是側(cè)面內(nèi)的動點（不含邊界），，則與平面所成角的正切值的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示建立空間直角坐標系，則，，設(shè)，得，，由題意得，故，得，故點軌跡是以為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，由題可知為的中點，如圖，當共線時，取得最小值為，而，所以，因為平面，所以與平面所成角即為，所以，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知，，，，，求：（1），，；（2）與所成角的余弦值．解：（1）因為，故，解得，故，.由可得，解得，故.（2），，故與所成角的余弦值.18.3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數(shù).（1）選5名同學排成一排：（2）全體站成一排，甲、乙不在兩端：（3）全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；（4）全體站成一排，男生彼此不相鄰；解：（1）無條件的排列問題,排法有種.（2）先在中間五個位置選兩個位置安排甲，乙，然后剩余5個人在剩余五個位置全排列，所以有種.（3）相鄰問題，利用捆綁法，共有種.（4）即不相鄰問題，先排好女生共有種排法，男生在5個空中安插，共有種排法，所以共有種.19.按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份2本：解：（1）依題意，先選1本有種選法；再從余下的5本中選2本有種選法；最后余下3本全選有種方法，故共有種．（2）由（1）知，分組后共有60種方法，分別分給甲?乙?丙的方法共有種．（3）分三步，先從6本書選2本，再從4本書選2本，剩余的就是最后一份2本書，共有種方法，該過程出現(xiàn)了重復．不妨記6本書為?????，若第一步取了，第二步取了，第三步取了，記該種分法為，，，則種分法中還有，，?，，?，，?，，?，，，共種情況，而這種情況僅是??的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有種．20.已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角大??；解：（1）因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為點M為中點，，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，因為平面，所以即為平面PCD的一個法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以，即直線與平面所成角的大小為．21.如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱上的動點，且（1）求證：；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求二面角的正弦值．解：（1）設(shè)，以為原點建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，則，，因為，故．（2）設(shè)，以為原點建立空間直角坐標系，因為，所以當取得最大值時，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值．因為，所以當時，即，分別是棱，的中點時，體積取得最大值，此時，坐標分別為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得．底面的一個法向量為．設(shè)二面角的平面角為，由題意知為銳角．因為，所以，于是．即二面角的正弦值為．22.如圖，在三棱錐中，分別為的中點，為正三角形，平面平面．（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在異于端點的點，使得平面和平面夾角的余弦值為若存在，確定