天津市重點(diǎn)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市重點(diǎn)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每題4分，共36分.)1.為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出此平面圖形的直觀圖恰好是一個邊長為4的正方形，則原平面圖形的面積為（）A.32 B.16 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知平面圖形的直觀圖恰好是一個邊長為4的正方形，則其面積為16，結(jié)合直觀圖面積與原圖面積之間的關(guān)系，這是因?yàn)樾倍y畫法中與y軸平行的線段變?yōu)樵瓉淼囊话?，因此直觀圖中高即為原來的倍，可得原平面圖形的面積為.故選：C.3.在中，是角分別所對的邊，，則一定是（）A.底邊和腰不相等的等腰三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，由余弦定理有，整理得，即，為等腰三角形，又，所以為等邊三角?故選：D.4.已知向量滿足，則（）A.3 B. C.7 D.〖答案〗D〖解析〗由兩邊平方得，，因，代入解得：，故.故選：D.5.在中，角所對的邊長分別為，若，，，則這樣的三角形解的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.0 D.不確定〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，，所以由正弦定理得：，即，解得，故無解.故選：C.6.在中，，是的中線，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：因?yàn)?，則，可得，因?yàn)闉榈闹芯€，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.故選：B.7.冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”.通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為，則該陀螺的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由底面圓的半徑為，得底面圓的面積為，又知，則，得圓柱的高等于母線長，且圓柱的母線長為，已知圓錐的高為，圓的半徑為，則圓錐的母線長為：，則陀螺的表面積為：.故選：B.8.一個人騎自行車由A地出發(fā)向正東方向騎行了到達(dá)地，然后由地向南偏東方向騎行了到達(dá)地，再從地向北偏東方向騎行了到達(dá)地，則兩地的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知，，所以，，所以，在中，由余弦定理得，所以，即兩地的距離為.故選：A.9.在體積為15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一點(diǎn)，S﹣ABC的體積為3，則三棱錐S﹣A1B1C1的體積為（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V＝15，三棱錐S﹣ABC的體積與三棱錐S﹣A1B1C1的體積和為V＝5，∵三棱錐S﹣ABC的體積為3，∴三棱錐S﹣A1B1C1的體積2.故選：C．二、填空題(本題共5小題，每題5分，共25分.)10.復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為__________.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)椋裕?，所以的虛部?.故〖答案〗為：1.11.已知一個正方體的外接球的體積為，則正方體的體積為__________.〖答案〗〖解析〗記正方體棱長為a，外接球半徑為R，則，解得，因?yàn)檎襟w的體對角線即為外接球的直徑，所以，解得，所以，正方體的體積為.故〖答案〗為：.12.已知一個正三棱錐的側(cè)棱長為3，其底面是邊長為的等邊三角形，則此正三棱錐的高為__________.〖答案〗〖解析〗如圖，在正三棱錐中，，由正三棱錐的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)P在底面的投影O為正三角形ABC的中心，則，所以.故〖答案〗為：.13.如圖，直三棱柱的六個頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，，側(cè)面是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則直三棱柱的體積為___________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，由題意知，球心在底面的中心O上，故為截面圓的直徑，則，取的中點(diǎn)，連接易知：底面中∥，，則面，即為直角三角形，由勾股定理可得：，故，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，在中，與BE交于點(diǎn)，，則的值為__________；過點(diǎn)的直線分別交于點(diǎn)設(shè)，則的最小值為__________.〖答案〗4〖解析〗設(shè)，令，因?yàn)?，所以，所以，又與分別共線，所以，解得，因?yàn)?，所以，即，解得，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楣簿€，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：4.三、解答題（本題共5小題，共59分.)15.設(shè)復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，.（1）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若是純虛數(shù)，則，解得.（2）由題意知，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.16.在中，是角分別所對的邊，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由余弦定理知，，所以，即，解得或-1(舍負(fù))，所以.（2）由正弦定理知，，所以，所以.（3）由余弦定理知，，所以.17.平面內(nèi)給出三個向量，求解下列問題：（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量與向量夾角為，求的值；（3）若向量與向量的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）向量在向量方向上的投影向量為.（2）由，得，所以.（3）若向量與向量的夾角為銳角，則，得，若向量，則，得，所以且.18.如圖，已知正方體的體積為8.（1）求正方體表面積；（2）設(shè)上底面的中心為，求三棱錐的體積；（3）求三棱錐內(nèi)切球(與所有面均相切的球)的半徑.解：（1）設(shè)，由題意可知，，則，則正方體的表面積.（2）根據(jù)等體積公式可知，，所以三棱錐的體積為.（3）根據(jù)等體積公式可知，，因?yàn)?，，所以三棱錐的表面積為，設(shè)三棱錐內(nèi)切球半徑為，由，得，所以三棱錐內(nèi)切球半徑為.19.的內(nèi)角的對邊分別為已知.（1）若的周長等于3，求；（2）若為銳角三角形，且；①求；②求