13.5.2-線段的垂直平分線

第13章

全等三角形13.5逆命題與逆定理第2課時(shí)

線段的垂直

平分線1課堂講解線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的性質(zhì)

我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸.

如圖13.5.1，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.將線段AB沿直線MN對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合.

由此即有：知1－導(dǎo)（來源于教材）知1－講1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂

直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上；結(jié)論：這個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等．表達(dá)方式：如圖13.5--2，l⊥AB，AO＝BO，點(diǎn)P在l上，則AP＝BP.2．作用：可用來證明兩線段相等．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5--2知1－講線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.已知：如圖13.5.1，MN丄AB，垂足為點(diǎn)C，AC=BC，點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn).求證：PA=PB.分析：圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA=PB.（此講解來源于教材）請(qǐng)寫出完整的證明過程.知1－講

例1

如圖13.5--3，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，(1)若△BCD的周長為8，求BC的長；(2)若BC＝4，求△BCD的周長．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5--3知1－講導(dǎo)引：由DE是AB的垂直平分線，得AD＝BD，所以

BD與CD的長度和等于AC的長，所以由△BCD的周長可求BC的長，同樣由BC的長也可求△BCD的周長．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）知1－講解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長為8，∴BC＝△BCD的周長－(BD＋CD)＝8－5＝3.

(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.

（此講解來源于《點(diǎn)撥》）知1－講總結(jié)本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，用線段垂直平分線的性質(zhì)把BD的長轉(zhuǎn)化成AD的長，從而把未知的BD與CD的長度和轉(zhuǎn)化成已知的線段AC的長．本題中AC的長、BC的長及△BCD的周長三者可互相轉(zhuǎn)化，知其二可求第三者.（此講解來源于《點(diǎn)撥》）知1－講

例2如圖13.5--4，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，線段AC的垂直平分線MN與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，則∠BCD的度數(shù)是______．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5--410°知1－講導(dǎo)引：在△ABC中，∵∠B＝90°，∠A＝40°，∴∠ACB＝50°.∵M(jìn)N是線段AC的垂直平分線，∴DC＝DA，AE＝CE.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠DCE＝∠A＝40°.∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.（此講解來源于《點(diǎn)撥》）知1－講總結(jié)

利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出邊相等，從而得出三角形全等，再利用全等三角形中對(duì)應(yīng)角相等確定∠DCA的度數(shù)，根據(jù)角度差解決問題．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）(中考·義烏)如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA＝5，則線段PB的長度為(

)A．6B．5C．4D．3

知1－練（來自《典中點(diǎn)》）2

如圖，已知線段AB，BC的垂直平分線l1，l2交于點(diǎn)M，則線段AM，CM的大小關(guān)系是(

)A．AM>CM

B．AM＝CMC．AM<CM

D．無法確定知1－練（來自《典中點(diǎn)》）3

(中考·荊州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長分別是40cm，24cm，則AB＝________．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）2知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的判定知2－導(dǎo)這一定理描述了線段垂直平分線的性質(zhì)，那么反過來會(huì)有什么結(jié)果呢？探索

條件

結(jié)論性質(zhì)定理

逆命題

寫出該定理與它的逆命題的條件和結(jié)論，想想看，其逆命題是否是一個(gè)真命題？你一定發(fā)現(xiàn)到線段兩端距離相等的點(diǎn)的確在該線段的垂直平分線上.我們可以通過“證明”說明這一結(jié)論正確.知2－講線段垂直平分線的判定定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．(1)條件：點(diǎn)到線段兩端距離相等；結(jié)論：點(diǎn)在線段垂直平分線上．(2)表達(dá)方式：如圖13.5--5，∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．(3)作用：①作線段的垂直平分線的依據(jù)；②可用來證線段垂直、相等．

拓展：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)叫這個(gè)三角形的外心．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5--5知2－講已知：如圖13.5.2,

QA=QB.

求證：點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上.分析：為了證明點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，可以先經(jīng)過點(diǎn)Q作線段AB的垂線，然后證明該垂線平分線段AB;也可以先平分線段AB，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)C，然后證明QC垂直于線段AB.（此講解來源于教材）知2－講證明：過點(diǎn)Q作MN丄AB，垂足為點(diǎn)C，

故∠QCA=∠QCB=90°.

在Rt

△QCA

和Rt△QCB中，∵QA=QB,QC=QC,Rt

△QCA

≌Rt

△QCB

(H.L).∴AC=BC (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上.你能根據(jù)分析中后一種添加輔助線的方法，寫出它的證明過程嗎？（此講解來源于教材）知2－講于是就有定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.上述兩條定理互為逆定理，根據(jù)上述兩條定理，我們就能證明：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).（此講解來源于教材）知2－講

例2

如圖13.5--6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求證：直線AD是CE的垂直平分線．

證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠AED＝90°，易證△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，∴點(diǎn)D在CE的垂直平分線上；AC＝AE，∴點(diǎn)A也在CE的垂直平分線上，∴直線AD是CE的垂直平分線．

圖13.5--6（此講解來源于《點(diǎn)撥》）總結(jié)知2－講利用判定定理要證一條直線是線段的垂直平分線，必須證明這條直線上有兩點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等(即證有兩點(diǎn)在線段的垂直平分線上)．易錯(cuò)之處：只證明一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，就說過該點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線．因?yàn)檫^該點(diǎn)的直線有無窮多條，其中只有一條是線段的垂直平分線．注意：證線段的垂直平分線也可以利用定義．（來自《點(diǎn)撥》）知2－講從圖13.5.3中可以看出，要證明三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)一定在第三條邊的垂直平分線上就可以了.其思路可表示如下：試試看，現(xiàn)在你會(huì)證明了嗎？（此講解來源于教材）試一試知2－講

例3

如圖13.5--7，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一點(diǎn)，求證：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.導(dǎo)引：(1)連結(jié)BD，要證BE＝DE，只要證明E點(diǎn)

是線段BD的垂直平分線上的點(diǎn)即可．由AB＝AD，說明A點(diǎn)是線段BD的垂直平分

線上的點(diǎn)，由BC＝DC，說明C點(diǎn)也是線

段BD的垂直平分線上的點(diǎn)，所以AC是線

段BD的垂直平分線，而已知E是AC上一

點(diǎn)，問題得以解決．(2)要證明角相等，只需證明△ABE≌△ADE即可．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5--7知2－講證明：(1)連結(jié)BD，如圖13.5-7，∵AB＝AD，BC＝CD，∴A，C兩點(diǎn)均在線段BD的垂直平分線上．∴AC是線段BD的垂直平分線．

又∵E是AC上一點(diǎn)，∴BE＝DE.(2)在△ABE和△ADE中，∵AB＝AD，BE＝DE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE.（此講解來源于《點(diǎn)撥》）總結(jié)知2－講由線段垂直平分線的判定定理確定AC是線段BD的垂直平分線，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得BE＝DE，這是線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用．（來自《點(diǎn)撥》）知2－講

例4如圖13.5--8，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A，B，C之間修建一個(gè)購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5-8知2－講導(dǎo)引：本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是要找一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．首先考慮到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在線段AB的垂直平分線上，到B，C兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在線段BC的垂直平分線上，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5--9知2－講解：連結(jié)AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線DE，GF，兩直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所要確定的購物中心的位置．如圖13.5--9.（此講解來源于《點(diǎn)撥》）圖13.5--9總結(jié)知2－講解決作圖選點(diǎn)性問題：若要找到某兩個(gè)點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，一般在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上去找．（來自《點(diǎn)撥》）總結(jié)知2－講線段垂直平分線的判定有兩種方法：(1)定義法；(2)判定定理．我們一般習(xí)慣用定義法進(jìn)行證明，但利用判定定理則更為簡單，用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí)，需證直線上有兩點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．（來自《點(diǎn)撥》）銳角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P是△ABC(

)A．三條角平分線的交點(diǎn)

B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)

D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)知2－練（來自《典中點(diǎn)》）2如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，則點(diǎn)D在線段(

)的垂直平分線