課題41角的概念推廣(一)

課題：4.1角的概念推廣(一)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)正角、負(fù)角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸匕

就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.本節(jié)課重點(diǎn)是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法.嚴(yán)格區(qū)分“終邊相同”

和“角相等”；“軸線角”“象限角"和''區(qū)間角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的

角”和“銳角”的不同意義.

講解范例：

例1在。到360度范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角

(1)-120°(2)640°(3)-950°12'

例2寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中在-360°~720。間的角寫出來:

⑴60°(27-210⑶363°14'。

課堂練習(xí)

1.銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？0°

90°的角是銳角嗎？

總結(jié)有關(guān)角的集合表示.

銳角：{。|0°<0<90°},

0°?90°的角：{。|0°W9W90°}；

小于90°角:{0|。<90°}.

2.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們

是哪個(gè)象限的角？

(1)420°,(2)-75°,(3)855°,(4)-510°.

(答:(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)

注意：以后凡是沒有給出“始邊落在x軸的正半軸上”都默認(rèn)為此條件.

課后作業(yè)：

1.下列命題中正確的是()

A.終邊在y軸非負(fù)半軸上的角是直角

B.第二象限角一定是鈍角

C.第四象限角一定是負(fù)角

D.若￡=。+%?360°(AeZ),則a與￡終邊相同

2.與120°角終邊相同的角是()

A.-600°+/(?360°,kRZB.-120°+A?360°,A-eZ

C.1200+(2A+1)-180°,AeZD.660°+k-360°,keZ

3.若角。與￡終邊相同，則一定有(

A.。+￡=180°B.。+￡=0°

C.a-8=k?360°,A-GZD.a+8=k?360°,AGZ

4.與1840°終邊相同的最小正角為,與一1840°終邊相同的最小正角

是?

5.今天是星期一，100天后的那一天是星期,100天前的那一天是星期.

6.鐘表經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)了(填度).

7.在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角

(1)360°(2)720°(3)10800(4)1440°

8.已知4=｛銳角｝,B=｛0°至U90°的角),g｛第一象限角｝,D=｛小于90°的角｝.

求:A,B,C,D

9.將下列各角表示為a+k?360°(Jtez,0°Ma<360°)的形式，并判斷角在第幾象

限.

(1)560°24'(2)-560°24'(3)2903°15'

(4)-2903°15'(5)3900°(6)-39000

10.寫出終邊落在第一象限角的角集合:

寫出終邊落在第二象限角的角集合:

寫出終邊落在第三象限角的角集合:

寫出終邊落在第四象限角的角集合:

11.試寫出終邊落在X軸正半軸的所有角的集合：

課題：4.1角的概念推廣（二）

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)象限角,軸線角，區(qū)間角的集合表示.

用集合的形式表示象限角以及軸線角（終邊在坐標(biāo)軸上的角）

區(qū)間角:銳角：（0。,90。），鈍角：（90。,180。），注意區(qū)間（a,B）與8360。+。，小360。+6）的區(qū)別

講解新課：

例1寫出終邊在y軸上的角的集合（用。到360度的角表示）.

引申：寫出所有軸上角的集合

例2.用集合的形式表示象限角

例3寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合（不包括邊界）

例4已知a是第二象限角，問我是第幾象限角？2a是第幾象限角？分別加以說明。

課堂練習(xí)：

1.若/={a|a—k?360°,AeZ}；B—{a\a-k?180°,AeZ}；C—{a\

a=A?90°,ACZ},則下列關(guān)系中正確的是（）

A.A=B=CB.A=B^\CC.A\JCD.ATBTC

2.若。是第四象限角，則180。一。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.若。與￡的終邊互為反向延長線，則有（）

A.。=￡+180°B.a=￡—180°C.。=一￡D.。=￡+(2A+1)180°,

AeZ

4.終邊在第一或第三象限角的集合是.

5.。為第四象限角，則2。在；角。=45°+左?90°的終邊在第

象限.

課后作業(yè)：

1.寫出與370°23'終邊相同角的集合S,并把S中在一720°?360°間的角寫出來.

2.在直角坐標(biāo)系中作出角a=hl80°+60°,keZ,

，=h90°+60°,keZ角的終邊.

3.寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合(不包括邊界)

4,終邊在第一或第三象限角的集合是

5.已知角a是第三象限角，試判斷a巴a，上所在的象限.

23

6.經(jīng)過3小時(shí)35分鐘,時(shí)鐘與分鐘轉(zhuǎn)過的度數(shù)之差是

7.集合2={a|a=60」+左360°,Aez|,5=|a=60+A：270,A：ez}

C={a|a=60°+租80°,無€Z}那么集合A,B,C的關(guān)系如何?

課題：4.2弧度制（一）

角度制與弧度制的換算：

71

'：360°=2nrad.,.1800=兀rad10=——raJ?0.01745raJ

180

L圖）?57.30°=57°18'

講解范例：

例1把67°30'化成弧度

3

例2把-7irad化成度

5

注意幾點(diǎn)：1.今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略如:3表示3rad,

$111兀表示7?'@<1角的正弦；

2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記?。?/p>

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度

角度210°225°240°270°300°315°330°360“

弧度

3.應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)

數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

任意角的集合實(shí)數(shù)集R

例3用弧度制表示：

1終邊在％軸上的角的集合

2終邊在V軸上的角的集合

3終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合

課后作業(yè)

1.下列各對(duì)角中終邊相同的角是（）

jrjr%丫22

A.一和----b2左左（A￡Z）B.——和——冗

2233

C-衛(wèi)和小八204羊口122萬

D.——和-----

9939

2.若。=一3,則角。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若。是第四象限角，則乃一。一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（用弧度制表示）第一象限角的集合為,第一

或第三象限角的集合為.

5.7弧度的角在第象限，與1弧度角終邊相同的最小正角為.

6.圓弧長度等于截其圓的內(nèi)接正三角形邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為.

TTTTTTTTTTTT

7.求值：sin—tan—+tan—cos---tan—cos—.

336642

8.已知集合/={aI24aw2An,AeZ},Q{aI-4WaW4},求4C5

9.現(xiàn)在時(shí)針和分針都指向12點(diǎn)，試用弧度制表示15分鐘后，時(shí)針和分針的夾角.

課題：4.2弧度制（二）

1.弧長公式：/=廣同

由公式：|d='nl^r-\a\比公式/=名”簡單

1'r11180

弧長等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕時(shí)值與半徑的積

2.扇形面積公式S=-/R其中/是扇形弧長，火是圓的半

2

徑。

講解范例：

例2.已知扇形ZO8的周長是6cm,該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。

0

例4將下列各角化成0到2%的角加上2左萬（左eZ）的形式

19

（1）—n（2）-315°

3

4萬

例5直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對(duì)的弧長⑴'—

3

例6已知扇形周長為10cm,面積為6cm2,求扇形中心角的弧度數(shù).

課堂練習(xí)：

1.圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也增加到原來的2倍，則（）

A.扇形的面積不變B.扇形的圓心角不變

C.扇形的面積增大到原來的2倍D.扇形的圓心角增大到原來的2倍

2.時(shí)鐘經(jīng)過一小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過了（）

71717t

A.一radCB.——radC.—radD.——rad

661212

3.一個(gè)半徑為A的扇形，它的周長是4R,則這個(gè)扇形所含弓形的面積是（）

A-(2-sin1cosI)/?2B.-sinlcosl7?2

22

D.(l-sinlcosl)/?2

4.圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?，而弧長不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來

2

的倍.

5.若。=一216°,7=7n,則r=(其中扇形的圓心角為。，弧長為/,半徑為

r).

302

6.在半徑為——的圓中，圓心角為周角的一的角所對(duì)圓弧的長為

713

8.已知扇形4仍的面積是1cm：它的周長是4cm,則弦48的長等于cm.

9.已知扇形力如的圓心角為120°,半徑為6,則扇形所含弓形的面積為.

10.2弧度的圓心角所對(duì)的弦長為2,求此圓心角所夾扇形的面積.

課題：4.3任意角的三角函數(shù)(一)

比值上叫做a的正弦記作：sina==y

rr

X

比值二叫做a的余弦記作：cosa=

rr

比值上叫做a的正切記作：tana二

XX

XX

比值土叫做a的余切記作：cota=

yy

講解范例：

例1已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)以2,-3)(如圖)，求a的六個(gè)三角函數(shù)值.

例2求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值.

3兀

⑴0⑵萬(3)—

2

例3填表:

a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧度

sina

cosa

seca

esca

例4(1)已知角a的終邊經(jīng)過P(4,-3),求2sina+cosa的值

⑵已知角a的終邊經(jīng)過P(4a,-3a),(aM)求2sina+cosa的值

Icosxltanx

例5求函數(shù)y=——+苫二的值域

cosx|tanx|

課堂作業(yè)：

1.若角。的終邊經(jīng)過P(a,0),aWO,那么下列各式中不存在的是()

A.sin0B.cos0C.tan0D.cot0

2.如果角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸重合，終邊在函數(shù)y=-5x(xV0)的圖象上，那么

cosa的值為()

A.士叵口V26

D.-----------dD

262626-4

2

3.若點(diǎn)尸(-3,y)是角。終邊上一點(diǎn)，且sina=-一，則y的值是

3

4.角a的終邊上一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5a,T2a）（dWO）,求sin。+2cosa的值.

5.已知角a的終邊上一點(diǎn)P與點(diǎn)A（-3,2）關(guān)于y軸對(duì)稱，角P的終邊上一點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱,求2sina+3sinB的值.

Y

6.已知角。的終邊上一點(diǎn)月的坐標(biāo)是（x,-2)(BO),且cos6=—,求sin6和tan。的值.

3

課題：4.3任意角的三角函數(shù)（二）

1.三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律：

記憶法則：

sinct>Osinoc>O

第一象限全為正,二正三切四余弦.cosoc<0cosoc>0

tancc<Otancc>O

cotcc<0cotcc>0

2.誘導(dǎo)公式一（其中左eZ）:

sincx<Osincc<O

coscc<0coscc>0

用弧度制可寫成tancc>OtanavO

cotcc>0cotoc<0

sin（a+k-360°）=sina

sin（￡Z+2k兀）=sina

cos(a+k-360°)=cosacos(a+2左乃)=cosa

tan(a+k-360°)=tanatan(a+2左乃)=tana

講解范例：

例1確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)

Jr1\jr

(l)cos250°(2)sin(--)(3)tan(-672°)(4)tan(——)

例2求下列三角函數(shù)的值

9乃（3）

（l）sinl480°10'（2）cos一血（-等).

4

例3求值：sin(-1320°)coslllO°+cos(-10200)sin750°+tan4950°.

gL皿sinxcosxtanx…士3

例5求函數(shù)y=--------+---------+?j'的值域

|sinx|cosxtanx

例6設(shè)a是第二象限的角，且|cos4|=-cos4,求4的范圍.

222

課后作業(yè)

1.確定下列各式的符號(hào)

(1)sinlOO0?cos240°(2)sin5+tan5

八㈤八/……sinx+cosx_七\(yùn)、,八

2.x取什么值時(shí)，---------有意義?

tanx

3.若三角形的兩內(nèi)角a,(3滿足sinacosB<0,則此三角形必為……()

A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上三種情況都可能

4.已知。是第三象限角且cos幺<0,問且是第幾象限角？

22

z［、sin2?9

5.已知g<1.貝陶為第幾象限角？

課題：4.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（一）

八3.22,sina

公式：sina+cos-a=1-----=tana

cosa

1.注意“同角"，即sin?a+cos26Hl

2.無特殊說明，默認(rèn)定義域內(nèi)。

講解范例：

4

例1.已知sina=不，并且a是第二象限角，求a的其他三角函數(shù)值.

定義法：關(guān)系式法：

Q

練習(xí)：已知cosa=---,求sin。、tana的值.

例2.已知tana=3,求sin。，cosa.

例3.化簡tana，且。在第二象限。

課后作業(yè)

1.已知cosO=L,求tan。的值.

2

2.已知tana=2,求sina的值

3.已知tana=—3,貝ijsina二,cosa=

4.一知tana為非零實(shí)數(shù)，用tana表示sin。，cosa.

5.化簡：71-sin24400

1+sinaJl-sina

6.J知a是第三象限角,化簡

1-sina丫1+sina

課題：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（二）

1.三角恒等式的證明.

2.“1”的代換，sin2a+cos2a=1的應(yīng)用.

3.齊次方程化簡求解.

課堂例題

cosa_l+sinof

例1.求證:

l-sinacosa

一，,?sinxtanx-sinx

練習(xí)：化z筒--------J-----------；—

1-cosxVtanx+sinx

例2.已知sina+cosa=',求下列各式的值.

2

求：1)sina-cosa2)sinacosa3)sina3+cos?3

17r7i

練習(xí)：已知sina?COSa=—,月.一<a<—，則cosa—sina的值是多少？

842

例3.已知tana=2,

,、sina-4cosa

求-及---si-n-?--a--+--2-s-i-nacosa的值。

5sina+2cosa

注:構(gòu)建齊次方程,尋求簡便方法.

練習(xí)：已知sin。=3cosa,求：1.---I--------2.sinacosa

sinacosa

課后作業(yè)：

L化簡下列各式

1-COS。+/1+cos。名㈤

1+cos0V1-cos^

sin?A/1-COS20

-/—----------------------

71-sin2^cos。

1-V3

2.已知sina+coso=求tana

2

廿4sina_2cosa，八

3.若---------------=10,則tana的值為_________________

5cosa+3sina

4.已知tana=3,求下列各式的值

⑴4sina-cosasin2-2sina?cosa-cos2a

⑵22

3sina+5cosa4cos-3sina（附便簽解題過程）

小3.212,八11

⑶一sm-a+—cosa(4)-----+-------

42sincrcosa

課題：4.5正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（一）

內(nèi)容講解：

誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，注意點(diǎn)：這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號(hào)兩邊的三角函數(shù)名稱相同；

“把a(bǔ)看成銳角”是指。原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；”前面加上一個(gè)……符號(hào)”

是指a的同名函數(shù)值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個(gè)符號(hào)（正號(hào)或負(fù)號(hào)，主要是負(fù)號(hào)，正

號(hào)可省略），而這個(gè)符號(hào)是把任意角。視為銳角情況下的原角原函數(shù)的符號(hào).應(yīng)注意講清這句話

中每一詞語的含義，特別要講清為什么要把任意角a看成銳角.建議通過實(shí)例分析說明.

講解范例：

5乃

例1.下列三角函數(shù)值：（1）cos210°；（2）sin—

4

例2.求下列各式的值:(1)sin(--)；(2)cos(-60o)-sin(-210°)

3

例3化簡sin(1440°+a)?cos(a-1080°)

'"cos(-180°-a)-sin(-a-180°)

1N

例4.已知cos(五+a)=——,—<a<2n,則sin(2n—a)的值是().

22

叫（0-f⑻土,

（A）是

2

課后練習(xí)

1.求下式的值:2sin(-1110°)-sin960°+V2cos(-225°)+cos(-210°)

2.化簡sin(—2)+cos(-2—n)?tan(2—4n)所得的結(jié)果是()

(A)2sin2(B)0(C)-2sin2(D)-1

3.求下列三角函數(shù)值：

兀

(1)sin—5；(2)co1s94^；(3)sin(-240°)；(4)cos(-1665°)

46

4化筒sin3(-a)cos(5〃+o)tan(2〃+a)

cos'(一二一2乃)sin(—a—3%)tan25(a—4))

57rsin[6+(2k+1)%]一sin[-8-[2k+1)4]

5.當(dāng)。二3時(shí),（左￡Z）的值是—.（附過程）

4sin(6+24乃)cos(a-2k兀)

4.5正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（二）

講解新課：

誘導(dǎo)公式6：

sin(90°-a)=cosa,cos(90°-a)=sina.

tan(90°-a)=cota,cot(90°-a)=tana,

sec(90°-a)=csca,esc(90°-a)=seca

誘導(dǎo)公式7：

sin(90°+a)=cosa,cos(90°+a)=-sina.

tan(90°+a)=-cota,cot(90°+a)=-tana.

sec(90°+a)=-csca,csc(90°+a)=seca

如圖所示sin(90°+a)M'P'=0M=cosa

cos(90°+a)0M'=PM=-MP=-sina

或由6式：sin(900+a)sin[180°-(90°-a)]=sin(90°-a)=cosa

cos(90°+a)cos[180°-(90°-a)]=-sin(90°-a)=-cosa

..TC、/3萬、兀

sin(—+a)-cos(--a)sin(4%〃-a)sin(--a)

例1求證:

tan(2攵4一a)+cot(一左乃+a)兀

cos(51+a)-cos(2-+a)

例2求cos2(--a)+cos2(—+a)的值。

44

例3已知sinp=；,sin(a+p)=1,求sin(2a+p)

課后練習(xí)

1.計(jì)算：sin3150-sin(-480°)+cos(-330°)

2.已知cos(2+a)=g,求cos(g-a)的值。

cos(左兀一a)cos(Mr+a)].?

3o.求證：------------------------------=-1,AGZ

sin[(攵+1)K+a]cos[(k+1)K+a]

.c、c/,、.u.sin(^--a)+5cos(2zr-(z).....

4.已知方m程sin(a-3n)=2cos(a-4n),求----------------------^的值。

一?,37、.，、

5.已知tanQr-a)=/,|cos(^-a)|=-cosa,求--------的值。

cos(%+a)

6.若關(guān)于“的方程2cosT兀+x)-sin%+a=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

課題：正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(二)

教學(xué)目的：

能熟練掌握誘導(dǎo)公式一至五，并運(yùn)用求任意角的三角函數(shù)值

進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡及論證.

教學(xué)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式

教學(xué)難點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的靈活應(yīng)用

授課類型：新授課

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

誘導(dǎo)公式

二、講解范例：

練習(xí)：1.求下列三角函數(shù)的值

5萬

(1)sin240°；(2)cos——；

4

57r

(3)cos——；(4)cos(-150°)；

3

3.求值:sin(-1200°)?cos12900+cos(-1020°)?sin(-1050°)+tan855°.

說明：本題的求解涉及了誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五以及同角三角函數(shù)的關(guān)系.通過本題

的求解訓(xùn)練，可使學(xué)生進(jìn)一步熟練誘導(dǎo)公式在求值中的應(yīng)用.

例i.化簡：sin(3萬+a)?cos(a-4萬)

cos(-(7-5%)?sin(-乃-a)

說明：化簡三角函數(shù)式是誘導(dǎo)公式的又一應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)熟悉這種題型.

練習(xí)：.化簡:

sin-[cr+(2〃+1)乃]+2sin-[a-(2/7+1)萬]

1、(〃eZ)

sin(a-2〃))cos(2〃乃-a)

sin(a-3")+cos(a-4萬)sin(4乃一a)cos(2〃-a)

2、求證:

cos(a—4)/、cos(?—a)+sin(a+乃)

-------tan(6r-7i)

sin(a-乃)

--------+cos(l80°+a)

3、求證「-----------------

-------------+sin(360°-a)

sin(540°-a)

作業(yè)：班級(jí)姓名:學(xué)號(hào)

1.已知sin(a+n)=--,則-------------的值是()

2

/、25/3⑹土殛

⑴竽(B)-2(0-^-

33

2.式子——^85：)

的值是()

sin630°+sin(-690°)

⑻-在

(A)2V2(B)V2

3

3.a,3,Y是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則下列各式中始終表示常數(shù)的是()

(A)sin(a+B)+sinY(B)cos(0+y)-cosa

(C)sin(6Z+Y)-cos(-0)tanP(D)cos(20+Y)+cos2。

4.已知：集合P=卜|x=sin'ez|,集合

Q==則P與Q的關(guān)系是().

(A)PuQ⑻PnQ(C)P=Q(D)PnQ=d>

fl-3cos(乃一6)2,,,,cos(3%-，)

5.已知---------------=-,則------------的值等于

cos(-6)—39sin(-6+5萬)

兀2萬3乃4萬

6.cos——I-cos——+COS——+COS——=

5555-

sin(-a)-sin(900°-a)

7.化簡:所得的結(jié)果是,

tan((z-360°)-cos(l80°+a)—cos(-a-360°)

-------sin(1800+a)

sin(-a)

8.求證=cot3a.

1

+cos(360°-a)

cos(540°-a)

課題：三角函數(shù)的周期性

教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)周期性的概念，判斷些簡單、常見的三角函數(shù)的周期性

掌握簡單三角函數(shù)的周期的求法.

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)周期性的概念

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)周期性的概念

教學(xué)過程：

一、問題的提出：

等式sin(x+2k兀)-sinx,及cos(x+2k兀)-cosx成立,y=sinx

xeR和丁=cosx,xeR的圖象每隔2頁重復(fù)前面的，函數(shù)周期性定義提出.

周期函數(shù)：______________________________________________________________

那么函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零函常數(shù)T叫做

這個(gè)函數(shù)的周期。

理解定義時(shí)，要抓住每一個(gè)x都滿足/(x+7)=/(x),成立才行

,.‘冗71、.,冗、./3771.?

如：sin(—+—)=sin(—),sin(—+—)=sin(—),-??

■/兀冗、.7C7C-j—日.,,..

但sin(—+—)7sin—,—不是y=sinx的周171rl期n

6262

注意點(diǎn)：1.周期也可推進(jìn)，若T是丁=/(x)的周期，那么2T也是

y=/(x)的周期；

已知f(x+T)=f(x)(Tr0),求證f(x+2T)=f(x).

2.若T是y=/(x)的周期，ZeZ且4WO,貝I」kT也

是的周期.

課本P27練習(xí)1、4

二、最小正周期的概念.

_______________________________________________________________叫

—的最小正周期.

［注意］:周期函數(shù)的周期一定存在,但最小正周期不一定存在，

最小正周期如果存在必定唯一.周期函數(shù)的周期有無數(shù)個(gè).

三、例題講解

例1.求下列函數(shù)的最小正周期T.

(1)/(x)=3sinx

(2)f(x)=sin2x

1JI

⑶/(x)=2sin(-x+-)

總結(jié)一般規(guī)律：y=Zsin（Gx+e）,y=/cos（3x+°）的最小正周期是

例2.求證：（1）y=cos2x+sinx的周期為五；

（2）y=|sinx|+|cosx|的周期為萬.

（一般不要求證明是最小正周期）

總結(jié)：（1）一般函數(shù)周期的定義

（2）y=4sin（iax+夕）,y=4cos（6re+夕）周期求法

作業(yè)：班級(jí)姓名—

7T

I、下列函數(shù)中，既是以乃為周期的奇函數(shù)，又是（0,一）上的增函數(shù)

2

的是（）

A.y=tanxBy-cosxCy=tan]Dj^=|tanx\

jr

2、下列函數(shù)中，周期為勺的偶函數(shù)是（）

2

A.y-sin4xBy-cos4xCy-cosxDy-tan2x

3、求下列函數(shù)的周期：

(1)y=2cos3x

x

(2)y=sin—

3

(3)y=6sin(--2x)+1；

4

(4)y=3sinx-V3cosx

jrTT

4、函數(shù)y=4sin(3萬+-)+3cos(3x+-)的最小正周期是

44

ZT2

5、若函數(shù)/(x)=sin(丘+])的最小正周期是『，求正數(shù)k值

6、設(shè)/'(x)是定義在月上的周期為3的奇函數(shù)，且/"(1)=2,則

f(5);：

課題：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)

教學(xué)過程：

二、講解新課：

以上我們作出了y=sinx,xG[0,2口]和y=cosx,xe[0,2n]的圖象，現(xiàn)在把上述圖象沿

著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2”,就得到y(tǒng)=sinx,*￡口和丫=(：05*,x

ER的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

1y1y

-cy「二V「7?\二二尸、—二：77V1/*

%J：-5'K>ix_小-'/G_*\Zz2ii_x一,1\^!/_451_\^}/_.2?2\i/二]O’jSiZ一公一&.''§￡/：6允_1

f(x)=sin(x)f(x)=cos(x)

3.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(描點(diǎn)法):

正弦函數(shù)尸sinx,x￡[0,2冗]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

探究:(1)y=cosx,xeR與函數(shù)y=sic(x+90°)xwR的圖象相同

(2)將y=sinx的圖象向左平移90。即得y=cosx的圖象

(3)也同樣可用五點(diǎn)法作圖：y=cosxxw[0,2用的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是

4.用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象解最簡單的三角不等式：通過例2介紹方法.

三、講解范例：

例1作下列函數(shù)的簡圖

(1)y=一一sinx,x￡[0,2n],(2)y=-cosx,x￡[0,2n],

(3)y=1+sinx,x￡[0,2n],(4)y=cosx+1,x￡[0,2冗],

結(jié)論：函數(shù)f(x),—f(x),f(—x),f(x)+a

例2作下列函數(shù)的簡圖

(1)y=sin2x,x￡[0,2n],

(2)y=sin(x+900)

(3)y=3cosx,x￡[0,2n],

(4)y=|cosxI,x￡[0,2兀],

結(jié)論：函數(shù)f(x+a),af(x),f(ax),

作業(yè)：班級(jí)姓名成績

1.作出函數(shù)圖象(用五點(diǎn)法作圖，并說明與正弦余弦函數(shù)之間的圖形變換)

?y=3cosx

y=cos(2x)

?y=cos(x+30°)

2、作出下列函數(shù)圖象:

1)y=3sinx2)y=Icosx

★3)y=sin|x|4)y=cos(3x+90°),XG[0,2n]

課題：.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)(2)

講解新課：

(1)定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或(-8,+8)］,

分另lit己作：y=sinx,y—cosx,

(2)值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所

以Isin/IWl,IcosxIW1,即一IWsin啟1,—IWcos啟1

也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是

(3)周期性：由sin(x+2A〃)=sinx,cos(x+2發(fā)乃)=cosx(4eZ)知：

正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.

由此可知，2乃，4》,...,一2萬，—4n,....2A"(*WZ且

50)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期._

(4)奇偶性：由sin(—x)=—sinx,cos(—x)=cosx

.??正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

(5)單調(diào)性：

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2A—1)萬，25萬］(AGZ)上都是增函

數(shù)，其值從T增加到1;在每一個(gè)閉區(qū)間［2A〃，(24+1)(AeZ)

上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

三、講解范例：

例1求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值

是什么.

(l)y=cos%+l,xCR；

(2)y=sin2x,xGR.

解：

例2求函數(shù)y=sin⑵吟)的單調(diào)區(qū)間。

解：

課后作業(yè)

1.直接寫出下列函數(shù)的定義域、值域:

1

1°y=——：—2°y=V-2cosx

1+sinx

2.求下列函數(shù)的最值：

1°y=sin(3x+—)-12°y=sin2x_4sinx+53°y=--C0S，-

43+cosx

解：

3.函數(shù)y=ksinx+b的最大值為2,最小值為-4,求k,b的值.

解：

4.求下列函數(shù)的定義域:

1°y=V3cosx-1-2cos2x

2°y=lg(2sinx+l)+72cosx-1

3°y=Jcos(sinx)

課題：.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)(3)

二、講解范例：

例1求下列函數(shù)的周期：

(1)y=3cosx,%eR；

(2)尸sin2x,xGR；

IJI

(3)y=2sin(—x——),

26

例2不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0?

(1)sin(——)—sin(——)；

1810

./23%、/17%、

z⑵cos(-)—cos(-).

54

3cosx+1