數列全章導學案 人教課標版

雞西市第十九中學學案

年()月()日班級姓名

數列既念與簡單表示法㈠

學習.理解數列的概念，認識數列是反映自然規(guī)律的基本數學模型.

目標.探索并掌握數列的幾種簡單表示法.

.能根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.

重點.在理解數列概念時，應區(qū)分數列與集合兩個不同的概念.

難點.類比函數的表示方法來理解數列的幾種表示方法.

.由數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式是本節(jié)的難點之一，突破難點的方

法：把序號標在項的旁邊，觀察項與序號的關系，從而寫出通項公式.

先看下面的幾組例子：

()全體自然數按從小到大排成一列數：，…；

()正整數的倒數排成一列數：，，，，；

()兀精確到，…的不足近似值排成一列數：，…；

。無窮多個排成一列數：，…；

()當分別取，…時，(一)的值排成一列數：一，一，一，….

請你根據上面的例子嘗試給數列下個定義.

【數列的概念】

按照一定順序排列的一列數稱為，數列中的每一個數叫做這個數列的.數列中的每一項都和

它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第項(通常也叫做項)，排在第二位的數稱為這

個數列的第項，……，排在第位的數稱為這個數列的第項.

探究數列中的項與數集中的元素進行對比，數列中的項具有怎樣的性質？

()確定性：一個數是或不是某一數列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性；

()可重復性：數列中的數可以重復，而集合中的元素不能重復出現(即互異性)；

()有序性：一個數列不僅與構成數列的“數”有關，而且與這些數的排列次序有關，而集合

中的元素沒有順序(即無序性)；

。數列中的每一項都是數，而集合中的元素還可以代表除數字外的其他事物.

【數列的幾種表示方法】

數列的一般形式可以寫成，…，…,簡記為.

項數有限的數列叫做數列，項數無限的數列叫做數列.

除了列舉法外，數列還可以用公式法、列表法、圖象法來表示.

探究下面是用列舉法給出的數列，請你根據題目要求補充完整.

0數列：，…

①用公式法表示：=;

②用列表法表示：

???

???

③用圖象法表示為（在下面坐標系中繪出）:

0數列：，，，，，…

①用公式法表示：=.

②用列表法表示：

如果數列｛｝的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的公

式.

和函數不一定有解析式一樣，并不是所有的數列都有通項公式.一個數列的通項公式不唯一,

可以有不同的表現形式，=（一）「可以寫成=（一）+,還可以寫成

=（\\（（為奇數），，一（為偶數）.））

探究根據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察數列的特征，并進行聯想、轉化、

歸納，同時要熟悉一些常見數列的通項公式.下表中的一些基本數列，你能準確快速地寫出

它們的通項公式嗎？

數列通項公式

，，,,，=

----

—

----

，***=______

,,??―---

例根據數列的通項公式，分別寫出數列的前項與第項.

()=；()=++H----

小結由數列的通項公式可以求出數列的指定項，要注意=,….如果數列的通項公式較為復

雜，應考慮運算化簡后再求值.

訓練根據下面數列的通項公式，寫出它的前項.

()=+；()=.

例根據數列的前幾項，寫出下列各數列的一個通項公式:

0，—.一，…；()，，，，，…；()，-；().

小結據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住其幾方面的特征：①分

式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對

值特征.并對此進行聯想、轉化、歸納.

訓練寫出下列數列的一個通項公式：

()，，，，…；0，…；()-，，一，

例已知數列｛｝的通項公式=.

()寫出它的第項；()判斷是不是該數列中的項.

小結判斷某數列是否為數列中的項，只需將它代入通項公式中求的值，若存在正整數，則

說明該數是數列中的項，否則就不是該數列中的項.

訓練已知數列｛｝的通項公式為=(6*),那么是這個數列的第項.

【當堂訓練】

.下列敘述正確的是()

.數列與是相同的數列.數列，…可以表示為｛｝

.數列，…是常數列.數列｛｝是遞增數列

.已知下列數列：

0：()>>>…，，…；()>，，…，，…：

()>一，，…，，…；()>一，…，，…；().

其中，有窮數列是，無窮數列是，遞增數列是，遞減數列是，常數列是，擺動數列是，周期

數列是.(將合理的序號填在橫線上)

.寫出下列數列的一個通項公式：

(),,,,???；()—>，—>，….

.什與是不同的兩種表示，什表示數列，，…，，…，是數列的一種簡記形式.而只表示數列｛｝

的第項，與｛｝是“個體”與“整體”的從屬關系.

.數列的表示方法：①圖象法；②列表法；③通項公式法；④遞推公式法.

.由數列的前幾項歸納其通項公式的關鍵是觀察、歸納各項與對應的項數之間的聯系.同時,

要善于利用我們熟知的一些基本數列，通過合理的聯想、轉化而達到問題的解決.

雞西市第十九中學學案

年（）月（）日班級姓名

北洌概念與簡單表示法O

學習.理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.

目標.能從函數的觀點研究數列，掌握數列的一些簡單性質.

重點.數列的遞推公式是給出數列的另一重要形式.一般只要給出數列的首項或前幾

難點項以及數列的相鄰兩項或幾項之間的運算關系，就可以依次求出數列的各項.

.由于數列可以看作是一類特殊的函數，因此許多函數的性質可以應用到數列

中.例如，數列的單調性、數列的最值、數列的周期性都可以類比函數的性質.

公元前世紀意大利數學家斐波那契的名著《算盤全書》中，記載了一個著名的問題，某人有

一對新生的兔子飼養(yǎng)在圍墻中，如果它們每個月生一對兔子，且新生的兔子從第三個月開始

也是每個月生一對兔子，問一年后圍墻中共有多少對兔子？該問題在原書中作了分析：第一

個月和第二個月都是原初的一對兔子，第三個月生下一對兔子，圍墻內共有兩對兔子，第四

個月仍是最初的一對兔子生下一對?兔子，共有對兔子.到第五個月除最初的兔子新生一對兔

子外，第一個月生的兔子也開始生兔子，因此共有對兔子.繼續(xù)推下去，第個月時最終共有

對兔子.書中還提出，每個月的兔子總數可由前兩個月的兔子數相加而得.據我首先是由世

紀法國數學家呂卡將級數。：，....+=+一命名為斐波那契數列，它在數學的許多分支中有廣

泛應用.數列的這種表達形式，是用前面的項來表達后面的項，我們稱之為數列的遞推公式，

數列的遞推公式有什么應用呢？這一節(jié)我們就來學習數列的遞推公式.

【數列的函數特性】

數列是一種特殊的函數，其特殊性主要表現在以下三個方面：

①數列的定義域是正整數集+或它的有限子集｛，…，卜

②數列中的項是對應序號，…的一列函數值；

③數列的圖象是一些孤立的點，這些點的橫坐標按從小到大依次是，….

探究數列的單調性

下面給出了一些數列的圖象：

觀察上述數列項的取值的變化規(guī)律，請類比單調函數的定義，把下列單調數列的定義補充完

整.

一般地，一個數列｛｝,如果從第項起，每一項都大于它前面的一項，即，那么這個數列叫做遞

增數列；如果從第項起，每一項都小于它前面的一項，即，那么這個數列叫做遞減數列；如

果數列｛｝的各項都相等，那么這個數列叫做常數列.

因此，要證明數列｛｝是單調遞增數列，只需證明+一；要證明數列｛｝是單調遞減數列，只需證

明+一.

已知數列｛｝滿足：=，+—=,則=,從單調性來看，數列是單調數列.

數列可以看作是一個定義域為（或它的有限子集｛，…，｝）的函數，當自變量按照從小到大的順

序依次取值時，對應的一列.

探究數列的周期性

已知數列｛｝中，=,=,+=+一,試寫出，，，，，，你發(fā)現數列｛｝具有怎樣的規(guī)律？你能否求出

該數列中的第項是多少？

【由簡單的遞推公式求通項公式】

問題遞推公式與通項公式，都可以用來寫出數列中的任意項，都是給出數列的一種方法，

那么它們究竟有什么不同呢？

遞推公式：已知數列｛｝的第項（或前幾項），且從第項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或

前項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

通項公式：如果數列｛｝的第項或前幾項已知，并且數列｛｝的任一項與它的前一項-（或前幾項）

間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數列的公式.

通項公式反映的是項與項數之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或項）之間的關系.

對于通項公式，只要將公式中的依次取值，…，即可得到相應的項；

而遞推公式則要已知首項（或前幾項），才可求得其他的項.往往我們要利用各種方法將遞推公

式轉化為通項公式，通項公式能夠更直接地研究數列.

探究對于任意數列｛｝,等式：+（—）+（—）+…+（--）=都成立.試根據這一結論，求解下

列問題.

已知數列｛｝滿足：=,+—=,試求通項.

探究若數列｛｝中各項均不為零，則有：?=成立.試根據這一結論求解下列問題.

已知數列｛｝滿足：=,=（2），試求通項.

例在數列｛｝中，已知=,=,+=+—（2），寫出此數列的前項.

小結已知數列遞推公式求數列通項時，依次將項數的值代入即可.

訓練已知數列｛｝中，=,=,+=（￡*,N）,求，.

例己知數列｛｝的通項公式為=.求證：數列｛｝為遞增數列.

小結數列是一種特殊的函數，因此可用函數單調性的方法來研究數列的單調性.

訓練已知數列｛｝的通項公式是=,其中、均為正常數，那么與+的大小關系是（）

.>+.<+1.=+.與的取值相關

例已知=（G*）,試問數列｛｝中有沒有最大項？如果有，求出這個最大項；如果沒有，說明理

由.

小結數列的最大、最小項問題，可以通過研究數列的單調性加以解決，若求最大項，的值可

通過解不等式組（\\（》-》+））來確定；若求最小項，的值可通過解不等式組（\\（W-W+））來確

定.

訓練在數列｛｝中，=一，若數列｛）為遞增數列，試確定實數的取值范圍.

【當堂訓練】

.已知+——=,則數列｛｝是（）

遞增數列.遞減數列.常數列.不能確定

數列，…的遞推公式是（）

+=+,G*.=_+,》

+=+（+）,G*,2.=-+（-）,￡*,N

數列｛｝中，=一~F+,則此數列中最大項的值是（）

已知數列｛｝滿足=,+—+=（《+）,則此數列的通項等于（）

.+.+1.—.一

.同數列的通項公式一樣，數列的遞推公式也是表示數列的常用方法之一.遞推公式法與通

項公式法統(tǒng)稱為公式法.

.函數與數列的聯系與區(qū)別

一方面，數列是一種特殊的函數，因此在解決數列問題時，要善于利用函數的知識、函數的

觀點、函數的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題.

另一方面，還要注意數列的特殊性（離散型），由于它的定義域是*或它的有限子集｛，…，｝,因

而它的圖象是一系列孤立的點，而不像我們前面所研究過的初等函數一般都是連續(xù)的曲線，

因此在解決問題時，要充分利用這一特殊性，如研究單調性時，由數列的圖象可知，只要這

些點每個比它前面相鄰的一個高（即＞-）,則圖象呈上升趨勢，即數列遞增，即｛｝遞增0+＞對任

意的（C*）都成立.類似地，有｛｝遞減S+V對任意的（G*）都成立.

《數列的概念與簡單表示法（一）》專題

年（）月（）日班級姓名

想是冏觀，做是率嗓；曲點猶豫，嬴左行劭。

.數列，，，，…的第項是（）

.數列｛+｝中的項不能是（）

..342..

.數列，…的一個通項公式是（）

.=-+.=

.=.=+

.已知數列，，，，…，那么中屬于該數列中某一項值的應當有（）.個.個.個.個

.在數列，，，，，…中，=.

.用火柴棒按下圖的方法搭三角形：

按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數與所搭三角形的個數之間的關系式可以是

.寫出下列數列的一個通項公式：（可以不寫過程）

()，…;

()，，，

(),—.?,,一,,

.已知數列｛(+)｝:

()寫出這個數列的第項和第項；

()是不是這個數列中的項？如果是，是第幾項？

二、能力提升

《數列的概念與簡單表示法(二)》專題

年()月()日班級姓名

周功無須解薄，夫貶抑嘴許多托科。

.已知數列｛｝的首項為=,且滿足+=+,則此數列的第項是()

.數列｛｝中，=,對所有的》，都有……?=,則+等于()

.若=，+=,則給出的數列｛｝的第項是()

.由，…，一，…構成數列｛｝,數列｛｝滿足=,當》時，=-,則的值是()

..17..

.已知數列｛｝滿足：==,+=++,C*,則使〉的的最小值是.

.已知數列｛｝滿足=-，+=+,G*,則通項公式=.

.根據下列個圖形及相應點的個數的變化規(guī)律，試猜測第個圖中有多少個點.

(1)(2)(3)(4)(5)

.已知函數()=--,數列｛｝滿足()=一.

()求數列｛｝的通項公式；

()證明：數列｛｝是遞減數列.

.已知數列｛｝滿足

錯誤!若=錯誤！，則的值

雞西市第十九中學學案

年()月()日班級姓名

㈠

學習.理解等差數列的意義.

目標.會推導等差數列的通項公式，能運用等差數列的通項公式解決一些簡單的問

__________題..掌握等差中項的概念，深化認識并能運用.

.要善于通過實例的觀察、分析、歸納、提煉來理解等差數列的概念，同時，還

難點應準確理解等差數列的關鍵詞“從第項起”，“差是一個常數”等；要善于用歸納

或疊加法探求等差數列的通項公式.

.利用+—=(e+)可以幫助我們判斷一個數列是否為等差數列.

【引入】

.年，英國天文學家哈雷發(fā)現一顆大彗星運動的軌跡和年、年的彗星的運動軌跡驚人地相似，

便大膽斷定這是同一天體的三次出現，并預言它將于年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星，

它的回歸周期大約是年.請你查找資料，列出哈雷彗星的回歸時間表，并預測它在本世紀回

歸的時間.

哈雷彗星的回歸時間表(單位：年)

，????

預測它在本世紀回歸的時間是年.

.第一屆現代奧運會于年在希臘雅典舉行，此后每年舉行一次，奧運會如因故不能舉行，屆

數照算.這樣舉行奧運會的年份數構成一個數列，這個數列有什么特征呢？這個數列叫什么

數列呢？

這個數列從第項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，像這樣的數列叫做等差數

列.等差數列有很多的應用，這一節(jié)我們就來學習等差數列及其通項公式.

【探究一】等差數列的概念

問題我們先看下面幾組數列：

(1)，,??；0，一，一，???；

(2),…；()—,—,—,—,—,….

觀察上述數列，我們發(fā)現這幾組數列的共同特點是.

【歸納】如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數

列就叫做數列，這個常數叫做等差數列的，公差通常用字母表示.

問題判斷下列數列是否為等差數列，如果是，指出首項和公差；如果不是，請說明理由：

()>()，…；

(),…；()>—>一，…；

(),

探究如何準確把握等差數列的概念？談談你的理解.

答0等差數列｛｝從第項起，每一項與它的前一項的差都是同一個常數，這一點說明一個等差數

列至少有項.

()如果一個數列，不從第項起，而是從第項起或第項起，每一項與它前一項的差是同一個常數,

那么此數列等差數列，但可以說從第項或第項起是一個等差數列.

()一個數列，從第項起，每一項與它的前一項的差，盡管等于常數，這個數列也不一定是等差

數列，因為這些常數可以不同，當常數不同時，當然不是等差數列，因此定義中“同一個”

常數，這個“同一個”十分重要，切記不可丟掉.

【探究點二】等差數列的通項公式

問題如果等差數列｛｝的首項是，公差是，你能求其通項嗎？

探究根據等差數列的定義：+=+,可以依次得到，，，，…，然后觀察規(guī)律，歸納概括出通項

公式.

探究由等差數列的定義知：--=(2)，可以采用疊加法得到通項公式.

【歸納】若等差數列的首項為，公差為，則其通項=.

等差數列｛｝中，若公差,，則數列｛｝為數列；

若公差＜,則數列｛｝為數列

【探究點三］等差中項

問題而藁三個數，，組成等差數列，那么叫做和的等差中項，試用，表示.

【歸納】若三個數,，構成等差數列，則叫做與的，并且=.

問題已知，，是△的三個內角，且是、的等差中項，求角的大小.

探究若數列｛｝滿足：+=,求證：｛｝是等差數歹U.

例已知｛｝為等差數列，分別根據下列條件寫出它的通項公式.

()=，=;()前三項為：，2a.

小結在等差數列｛｝中，首項與公差是兩個最基本的元素；有關等差數列的問題，如果條件與

結論間的聯系不明顯，則均可化成有關、的關系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及

整體計算，以減少計算量.

訓練若｛｝是等差數列，=，=,求.

例已知，，成等差數列，求證：，，也成等差數列.

小結一般地，一個數列至少有三項.若，，成等差數列，則+=,反之亦然.此時，就是與

的等差中項.

訓練已知，，成等差數列，那么(+),(+),(+)是否能構成等差數列？

例梯子的最高一級寬，最低一級寬，中間還有級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的

寬度.

小結在實際問題中，若一組數依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數列方法解決.在

利用數列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數等關鍵問題.

訓練在通常情況下，從地面到高空，高度每增加，氣溫就下降某一個固定數值.如果高度的氣

溫是8.5℃,高度的氣溫是-17.5℃,求，，高度的氣溫.

【當堂訓練】

.若數列｛｝滿足+=+,則數列是()

.公差為的等差數列.公差為的等差數列

.公差為一的等差數列.不是等差數列

.若W,則等差數列，，，的公差是()

.在等差數列｛｝中，

()已知=,=,=,則=；

()己知=,=,=,則=；

。已知=,=,則=；

()己知=—,=,則=.

.甲蟲是行動較快的昆蟲之一，下表記錄了某種類型的J甲蟲的爬行速度：

時間()???????

距離0???????

()你能建立一個等差數列的模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關系嗎？

()利用建立的模型計算，甲蟲能爬多遠？它爬行需要多長時間？

.等差數列的判定關鍵要看+—(6*)是否為一個與無關的常數.由于+—=+—+臺+=++,所

以也可以利用+=++(e*)來判定等差數列.注意數列的項中含有字母時是否需要分類討論.

.等差數列的通項公式及其變形=+(-)=+(一)的應用極其靈活，公式中的四個量，，，中知

三可求一.充分利用等差數列的函數特性可使解題過程更為簡捷.

.數列的應用題在數列中占有很重要的地位.

雞西市第十九中學學案

年()月()日班級姓名

學習.能根據等差數列的定義推出等差數列的重要性質.

目標.能運用等差數列的性質解決有關問題.

重點.靈活運用等差數列的性質，可以減少計算量，因此要熟練掌握等差數列的有關

難點性質.

.掌握等差數列與一次函數之間的關系，就能站在較高的角度整體把握等差數列

的內涵和本質.

【復習引入】

.等差數列的通項公式：=.

.等差數列的項的對稱性：有窮等差數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩

項的和，即：+=+="?=+.

.等差數列的性質

0若｛｝是等差數列，且+=+(、、、C*),貝IJ.

()若｛｝是等差數列，且公差為，貝孔｝和｛｝都是等差數列，且公差為.

()若｛｝，什分別是公差為，的等差數列，則數列｛+｝(、是常數)是公差為的等差數列.

【探究點一】等差數列的常用性質

問題設等差數列｛｝的首項為，公差為，則有下列性質，請你給出證明.

(1)若+=+(,,,e*),則+=+.

(2)若+=(,,《*),則+=.

探究已知等差數列｛卜｛｝分別是公差為和'，則由｛｝及｛｝生成的“新數列”具有以下性質，

請你補充完整.

①]｝是等差數列，貝IJ,,,…仍成等差數列（首項不一定選），公差為;

②下標成等差數列且公差為的項，+，+2"”…（，G+）組成公差為的等差數列:

③數列｛2+｝”,是常數）是公差為的等差數列;

④數列｛+｝仍是等差數列，公差為;

⑤數列僅+〃｝（九“是常數）仍是等差數歹IJ,公差為.

【探究點二】等差數列與一次函數的聯系

探究由于等差數列｛｝的通項公式=+（一），與一次函數對比可知，公差本質上是相應直線的

斜率.如，是等差數列｛｝中的任意兩項，由=+（一）,可知點（，）分布以為斜率，以為縱截距

的直線上.

請你類比一次函數的單調性，研究等差數列的單調性，并完成下表.

an/J

>｛｝為________數列

/O123w

an

=｛｝為________數列

Oi23

an

<什為________數列、?、

01>2x3■〃

例1在等差數列｛｝中，已知++=,++=,求++的值.

小結解決本類問題一般有兩種方法：一是運用等差數列｛｝的性質：若+=+=,則+=+=

(,,,,都是正整數)：二是利用通項公式轉化為數列的首項與公差的結構完成運算，屬于通性

通法，兩種方法都運用了整體代換與方程的思想.

訓練已知等差數列｛｝中，++=，2。4。=，求此數列的通項公式.

例2三個數成等差數列，和為，積為一，求這三個數.

小結利用等差數列的定義巧設未知量，從而簡化計算.一般地有如下規(guī)律：當等差數列｛｝

的項數為奇數時，可設中間一項為，再用公差為向兩邊分別設項：…一，一，，+,+,…;

當項數為偶數項時，可設中間兩項為一，+,再以公差為向兩邊分別設項：…一，一，+,

+,…，這樣可減少計算量.

訓練四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為，首末兩數的積為一，求這四個數.

例已知數列｛｝,滿足=,+=.

()數列｛｝是否為等差數列？說明理由.

()求.

小結判斷一個數列是等差數列的基本方法是緊扣定義：+—=(為常數)，也可以用+—=--(2)

進行判斷.本題屬于“生成數列問題”，關鍵是形成整體代換的思想方法，運用方程思想求

通項公式.

訓練正項數列｛｝中，=,+—=+.

()數列｛｝是否為等差數列？說明理由.

()求.

【當堂訓練】

.等差數列｛｝中，+=,=,則等于（）

.等差數列｛｝中，已知=,=一，則公差=.

.已知等差數列｛｝中，+++=,求+.

.已知三個數成等差數列并且數列是遞增的，它們的和為，平方和為，求這三個數.

.判斷一個數列｛｝是否是等差數列，關鍵是看+一是否是一個與無關的常數.

.三個數成等差數列可設為：一，，+或，+,+;四個數成等差數列可設為：一，一，+,

+或，+,+,+.

.在等差數列｛｝中，首項與公差是兩個最基本的元素；有關等差數列的問題，如果條件與結論

間的聯系不明顯，則均可化成有關、的關系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體

計算，以減少計算量.

《等差數列（一）》專題

年（）月（）日班級姓名

篌市是投資旅酬率徽篇的書情。

.已知數列｛｝滿足=,+—+=,則數列的通項等于（）

.+.+.—.—

.等差數列，…中第一個負數項是（）

.第項.第項.第項.第項

.若，，，成等差數列，則++的值為（）

.｛｝是首項=,公差=的等差數列，若=，則等于。

.已知等差數列｛｝中，+=,=,則的值是（）

.已知=,=,貝II、的等差中項是.

.一個首項為，公差為整數的等差數列，第項開始為負數，則它的公差是（）

.若W,兩個等差數列、、、與、、、、的公差為和，則的值為.

.等差數列｛｝中，己知=,+=,=,求的值.

.若，，是等差數列，求證：，，成等差數列.

.已知等差數列｛｝:，….

（）,4〃?+（6*）是｛｝中的項嗎？試說明理由.

（）若，（，G*）是數列｛｝中的項，則+是數列｛｝中的項嗎？并說明你的理由.

《等差數列（-）》專題

年（）月（）日班級姓名

據防杷握身邊的朋友，他們嘟是佛造馀丈命意義的人。

.在等差數列｛｝中，若++++=,則+的值等于（）

..75..

.設｛｝是遞增等差數列，前三項的和為，前三項的積為，則它的首項是（）

..2..

.等差數列｛｝的公差＜,且?=,+=，則數列｛｝的通項公式是（）

.-（G*）.=+（G*）

.=-+（6*）.=-+（《*）

.若，，成等差數列，則二次函數=一十的圖象與軸的交點的個數為（）

..1..或

.設｛｝是公差為正數的等差數列，若++=,u2。=，則++等于（）

..105..

.在等差數列｛｝中，已知++++=,那么=.

.在等差數列｛｝中，己知=,=,求+的值.

.成等差數列的四個數之和為，第二個數與第三個數之積為，求這四個數.

.一個等差數列的首項為=,末項=（2）且公差為整數，那么項數的取值個數是（）

..7..不確定

.等差數列｛｝中，公差為，且+++-+=,則+++-+=.

.已知方程(一+)(—+)=的四個根組成一個首項為的等差數列，則一=.

.已知數列｛｝滿足=,=—(》)，令=.

()求證：數列｛｝是等差數列；

()求數列｛｝的通項公式.

《等差數列的對稱性》專題

年()月()日班級姓名

臂慈來包4每一法嗡價值的思考.

問題求和：+++…+=?

對于這個問題，著名數學家高斯十歲時就能很快求出它的結果.我們可以這么理解他的思路:

=+++???++,把加數倒序寫一遍：

=+++???++.

所以有=(+)+(+)+???+(+)+(+)=X,

.*.=X=.

請你利用“高斯的算法”求+++~+=?

我們發(fā)現：等差數列的項的對稱性：有窮等差數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等

于首末兩項的和，即：+=+=3=+.

問題設等差數列｛｝的首項為，公差為，你能利用“倒序相加法”求等差數列｛｝的前項和嗎？

解

由此可得I等差數列｛｝的前項和公式：=.

根據等差數列的通項公式=,

代入上式可得=

練習：.在等差數列(｝中，已知++=,++=,求++的值.

.設是等差數列｛｝的前項和，已知=,=,則等于（）

,,35.,

.已知等差數列｛｝中，+=,則該數列的前項和等于（）

.含項的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為（）

.含十項的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為（）

歸納：若｛｝有+項，G+,則中間一項是，+=,

.在項數為奇數的等差數列中，所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則該數列有項.

.設、分別為兩個等差數列｛｝和｛｝的前項和，證明：=.

.兩個等差數列｛｝,｛｝的前項和分別為和，己知=,求的值.

.設是等差數列｛｝的前項和，若=，則等于（）

雞西市第十九中學學案

年（）月（）日班級姓名

（-）

學習.理解等差數列前項和公式的推導過程.

目標.熟練掌握等差數列的五個量，，，，的關系，能夠由其中三個求另外兩個..掌握

等差數列前項和公式及性質的應用.

重點.運用等差數列的前項和公式的關鍵在于準確把握它們的結構特征，這樣才能根

難點據具體情境（已知條件和待求目標）選用恰當的公式解決問題.

.要善于從推導等差數列的前項和公式中，歸納總結出一般的求和方法一p^|

|ai法

“數學王子”高斯是德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，

和阿基米德、牛頓并列，同享盛名.高斯十歲那年，老師布置了一道很繁雜的計算題，要求

學生把到的所有整數加起來，老師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去.老

師起初并不在意這一舉動，但當他發(fā)現全班唯一正確的答案屬于高斯時，才大吃一驚.而更

使人吃驚的是高斯的算法，他發(fā)現：第一個數加最后一個數的和是，第二個數加倒數第二個

數的和也是，…共有對這樣的數，用乘以得到，這種算法是教師未曾教過的方法，高斯自己

就想出來了，那么這是一個什么樣的方法呢？它用于解決什么類型的問題呢？

這種方法叫倒序相加法，是等差數列求和的一種重要方法，這一節(jié)我們就來學習等差數列的

求和方法.

【幾個基本問題】

.把++…+叫數列｛｝的前項和，記做.例如++…+可以記做；+++??-+-=(>).

.若｛｝是等差數列，則可以用首項和末項表示為=；

若首項為，公差為，則可以表示為=.

【探究點一】等差數列前項和公式的推導

問題求和：+++…+=?

對于這個問題，著名數學家高斯十歲時就能很快求出它的結果.我們可以這么理解他的思路:

=+++???++,把加數倒序寫一遍：

=+++-++.

所以有=(+)+(+)H-----卜(+)+(+)=X,

；.=X=.

請你利用“高斯的算法”求+++~+=?

【練習】寫出下列常見等差數列的前項和

0++H-----F=.

()++H------F(-)=.

0++H-----F—.

探究設等差數列｛｝的首項為，公差為，你能利用“倒序相加法”求等差數列｛｝的前項和嗎？

解=+++…+一+

=+(+)+(+)+???+[+(-)]+[+(-)],

=+—+—+…++

=+(-)+(一)?!----

.\=(+)X,

由此可得|等差數列｛｝的前項和公式：=.

根據等差數列的通項公式=,

代入上式可得=

【練習】等差數列｛｝中

()已知=,=,=—,則=;

()已知=,=,=,則=;

()已知=,=一，=-,則=.

例1在等差數列｛｝中，已知=,=,=,求和.

小結在解決等差數列問題時，如已知，，，，中任意三個，可求其余兩個，這種問題在數學上

常稱為“知三求二”型.

訓練已知等差數列｛｝中，

(I)=,=—,=一,求及；

(2)=,=—,=—,求.

【探究點二】等差數列前項和的性質

探究設｛｝是等差數列，公差為，是前項和，易知+HH++++…+2,"，2m++2m++…+

3m也成等差數列，公差為.上述性質可以用前項和符號表述為：若｛｝成等差數列，則，，也成等

差數列.

探究若數列｛｝是公差為的等差數列，求證：數列｛｝也是等差數列.

探究設、分別為兩個等差數列｛｝和｛｝的前項和，證明：=.

例()等差數列｛｝的前項和為，前2小項和為,

求數列｛｝的前3機項的和3,“；

()兩個等差數列｛｝，什的前項和分別為和，已知=,求的值.

小結等差數列前項和的有關性質在解題過程中，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為

易、事半功倍的效果.

訓練設｛｝為等差數列，為數列｛｝的前項和，已知=,=,為數列的前項和，求.

例甲、乙兩物體分別從相距的兩處同時相向運動，甲第分鐘走，以后每分鐘比前分鐘多走,

乙每分鐘走.

（）甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？

（）如果甲、乙到達對方起點后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前分鐘多走，乙繼續(xù)每分鐘走，那么

開始運動幾分鐘后第二次相遇？

小結建立等差數列的模型時，注意相遇時甲、乙兩人的路程和是兩個等差數列的前項和.

訓練現有根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管

的根數為（）

【當堂訓練】

.記等差數列前項和為，若=,=,則該數列的公差等于（）

.已知等差數列｛｝中，+=,則該數列的前項和等于（）

.等差數列｛｝的前項和為，若=,=,則=.

.已知等差數列｛｝的前項依次為,3”，前項和=,求及.

.求等差數列前項和公式的方法稱為倒序相加法.

.等差數列的兩個求和公式中，一共涉及，，，，五個量，通常已知其中三個量，可求另外兩個

量.在求等差數列的和時，一般地，若已知首項及末項，用公式=較好，若已知首項及公差,

用公式=+較好.

.等差數列的性質比較多，學習時，不必死記硬背，可以在結合推導過程中加強記憶，并在

解題中熟練靈活地應用.

雞西市第十九中學學案

年（）月（）日班級姓名

學習.熟練掌握等差數列前項和的性質，并能靈活運用.

目標.掌握等差數列前項和的最值問題.

.理解與的關系，能根據求.

重點任何一個數列｛｝與它的前項和之間都有一個等量關系式，此公式為：=

難點（\\（=，--））,題中己知一個數列的前項和，則可利用此公

式求得此數列的通項公式，同時要注意此公式是一個分段的函數，所以在使用此

公式求解時，要分類討論.

.數列中的最值問題可以根據二次函數的最值加以求解，這也是利用函數解決數

列問題的一個重要應用.

.等差數列的前項和與二次函數聯系十分緊密，要辨析它們之間的關系，從更高

境界處理等差數列的前項和問題.

1.如果已知數列｛｝的前項和的公式，那么這個數列確定了嗎？如果確定了，那么如何求它的

通項公式？應注意一些什么問題？

2.如果一個數列的前項和的公式是=++（,,為常數），那么這個數列一定是等差數列嗎？

3.如果｛｝是一個等差數列，那么｛｝還是等差數列嗎？如果不再是等差數列，如何求｛｝的前項

和？

這一節(jié)課我們就來解答上面的問題.

【復習引入】

.前項和與之間的關系

對任意數列｛｝,是前項和，與的關系可以表示為=（\\（（=）,,___________（2）.））

.等差數列前項和公式==.

【探究點一】數列｛｝的前項和與的關系

問題我們已經知道，如果通項公式已知，就能求出；反過來，如果已知數列｛｝的前項和，能

否求出它的通項公式？

探究如果數列｛｝的前項和的公式是=++（,,為常數），求通項公式，并判斷這個數列一定

是等差數列嗎？

若等差數列｛｝的前項和公式為=++,則=,=,=.

例已知數列｛｝的前項和為，且=一,求通項公式.

小結已知前項和求通項，先由=時，=求得，再由2時，=--求，最后驗證是否符合，若

符合則統(tǒng)一用一個解析式表示.

訓練已知數列｛1的前項和=,求.

【探究點二】等差數列前項和的最值

問題由于=+=+(—),當=時，=；當W時，此解析式可以看作二次項系數為，一次項系

數為，常數項為的二次函數，其圖象為拋物線=+(一)上的點集，坐標為(，)(￡*).

因此，由二次函數的性質立即可以得出結論：當〉時，有最值；當〈時，有最值；且取最接

近對稱軸的正整數時，取到最值.

探究按要求，把下列表格填充完整，并觀察使等差數列前項和取到最值時序號的規(guī)律.

序號等差數列基本量前項和的最值

=____，()=，

，***f=____

此時=____.

一，-,=_______，0=_____，

=_____________

此;時=____

，一,=____，—()=一，

此時=__________

—＞一，-，-，=_______，0=_____>

，,?,,此時=_

通過上面的例子，我們看到等差數列前項和的最值在項的符號分界點處取到，據此完善下列

結論：

()若＞，V,則數列的前面若干項為項(或)，所以將這些項相加即得｛｝的

最值.

()若＜,＞,則數列的前面若干項為項(或)，所以將這些項相加即得｛｝的

最值；

特別地，若＞，＞,則是｛｝的最值;若＜,＜,則是｛｝的最值.

已知數列｛｝的通項公式是=一，則取得最小值時，為.

例在等差數列｛｝中，=一,試用兩種方法求該數列前項和的最小值.

小結在等差數列中，求的最大（小）值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正（負）

值或零，而它后面的各項皆取負（正）值，則從第項起到該項的各項的和為最大（小）.由于為關

于的二次函數，也可借助二次函數的圖象或性質求解.

訓練在等差數列｛｝中，=,=,求的最大值.

例若等差數列｛｝的首項=,=一，記=++…+,求.

小結等差數列））前項的絕對值之和，由絕對值的意義，應首先分清這個數列的哪些項是負的,

哪些項是非負的，然后再分段求出前項的絕對值之和.

訓練已知等差數列｛｝中，記是它的前項和，若=,=,求數列｛｝的前項和.

【當堂訓練】

已知數列｛｝的前項和=,則等于（）

+.一

數列｛｝為等差數列，它的前項和為，若=（十）+九則2的值是（）

設數列｛｝的通項為=一（6*）,則++-+=.

首項為正數的等差數列，前項和為，且=,當=時，取到最大值.

.公式=--并非對所有的W*都成立，而只對與的正整數才成立.由求通項公式=（）時，要分

=和》兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函

數的形式表示.

.求等差數列前項和的最值

（）二次函數法：用求二次函數的最值方法來求其前項和的最值，但要注意W*,結合二次函數

圖象的對稱性來確定的值，更加直觀.

（）通項法：當〉，＜,（\\（2,+W））時，取得最大值；

當＜,＞,（\\（W,+》））時，取得最小值.

.求等差數列｛）前項的絕對值之和，關鍵是找到數列｛）的正負項的分界點.

《等差數列的前項和（一）》專題

年（）月（）日班級姓名

積極思考會嘴積極人幺，靖極思考公藥濡救人幺.

.設為等差數列什的前項和，若=,公差=,+—=,則等于（）

,.7..

.設是等差數列｛｝的前項和，已知=,=,則等于（）

,.35..

.含+項的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為（）

.已知等差數列｛｝中，++2aia=,且＜,則為（）

.-.-11.-.-

,設等差數列｛｝的前項和為，若=,=.則++等于（）

..45..

.一個等差數列的項數為，若++-+.-=,++-+=,且一=,則該數列的公差是（）

?.-3.—.一

.設為等差數列｛｝的前項和，若=,=,則=.

.在項數為奇數的等差數列中，所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則該數列有項.

.已知等差數列｛｝中，=,公差〉，則使得前項和取得最小值時的正整數的值是.

.已知等差數列｛｝中，=,=一.

（）求數列｛｝的通項公式；

（）若數列｛｝的前項和=一,求的值.

.已知等差數列｛｝中，3。=—，+=，求｛｝的前項和.

《等差數列的前項和（二）》專題

年（）月（）日班級姓名

事實上，氏功依代表了馀工作的，鼠功是失敗的錯累.

.若數列｛｝的前項和=一，則等于（）

??8..

.已知數列｛｝的前項和=,則+的值為（）

..152..

.設是等差數列｛｝的前項和，若=,則等于（）

..11.

.設是等差數列｛｝的前項和，若=,則等于（）

.數列｛｝的前項和為，且=一（￡*）,則通項=.

.設為等差數列｛｝的前項和，若=,=,則當取得最大值時，的值為.

.已知數列｛｝的前項和=一，第項滿足《,則為（）

..8..

.設｛｝是等差數列，是其前項和，且<,=>,則下列結論錯誤的是（）

.<.=

.>.與均為的最大值

.已知數列｛｝的前項和公式為=一.

（）求數列｛｝的通項公式；

（）求的最小值及對應的值.

設等差數列｛｝滿足=,=一.

（）求｛｝的通項公式；

（）求｛｝的前項和及使得最大的序號的值.

雞西市第十九中學學案

年（）月（）日班級姓名

習題課鈿蛻

學習.熟練掌握等差數列的概念、通項公式、前項和公式，并能綜合運用這些知識解

目標決一些問題.

.熟練掌握等差數列的性質、等差數列前項和的性質，并能綜合運用這些性質解

決相關問題.

___________.熟練掌握等差數列的五個量，，，，的關系，能夠用其中三個求另外兩個.

,,稱為等差數列的三個基本量，和都可以用這三個基本量來表示，五個量，，，，

難點中可知三求二，即等差數列的通項公式及前項和公式中''知三求二"的問題，一般

是通過通項公式和前項和公式聯立方程（組）求解.這種方法是解決數列運算的最

基本方法，對此類問題，注意利用等差數列的性質以簡化計算過程，同時在具體

求解過程中還應注意已知與未知的聯系及整體思想的運用.

.等差數列的通項公式=,其中為首項，為公差.

.等差數列的前項和：一般地，若已知首項及公差，用

公式=較好，若已知首項及末項，用公式=較好.

.若數列｛｝是公差為的等差數列，則有下列性質：

①若+=+,則（,，，G+）；

②若表示｛｝的前項和，貝人—，一，…是數列.

③若｛｝有+項，三+，則中間一項是，+=,

.對于數列｛卜一般地，我們稱+++…+為數列｛｝的前項和，用表示，即=+++…,若

己知，則=

.